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第2节　两条直线的位置关系　
[课标要求]　①能根据斜率判定两条直线平行或垂直；②能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；③探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．两条直线平行与垂直的判定
条件 位置关系 斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2 平行 k1＝k2
斜率都不存在
垂直 k1·k2＝－1
一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0
拓展：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
(1)两直线平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2)两直线垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0．
2．两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行 方程组无解；
重合 方程组有无数组解．
3．三种距离
类型 条件 距离公式
两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) |P1P2|＝
点到直线的距离 点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0 d＝
两条平行线间 的距离 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0 d＝
4．中点坐标公式
若已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点M的坐标
为．
(一)必背常用结论
关于对称的几个结论
1．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
2．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
3．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
4．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
5．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
(二)盘点易错易混
1．两条直线平行时，不要忽视它们的斜率有可能都不存在的情况．
2．两条直线垂直时，不要忽视其中一条斜率为0，另一条斜率不存在的情况．
3．利用点线距离公式时，要先把直线方程化为一般式．
4．求两条平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且使方程中x，y的系数分别对应相等，才能代入距离公式计算．
5．当两条直线平行时，由一般式方程得A1B2－A2B1＝0，解出参数值后需检验是否有重合的情况．
【小题热身】
1．抛物线y2＝4x的焦点到直线x－y＝0的距离为(　　 )
A．　　　B．1　　　C．　　　D．
解析：由抛物线y2＝4x可得焦点坐标为，
根据点到直线的距离公式，可得d＝＝．
答案：D
2．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为(　　)
A． B．
C． D．
解析：解方程组得
所以两直线的交点为．
答案：B
3．已知直线l：x＋ay＋2＝0，点A和点B，若l∥AB，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：kAB＝＝1，由于l∥AB，则直线l的斜率为1，即－＝1，a＝－1．
答案：B
4．[易错题]直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．
解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝．
答案：
5．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝__________．
解析：由两直线垂直的充要条件，
得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1．
答案：0或1
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__两条直线的平行与垂直[典例引领]
【例1】　(1)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－4＝0与l2：x＋(a＋1)y＋2＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 　　
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，l2：2x＋y－1＝0，l3：x＋ny＋1＝0．若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为(　　)
A．－10　　　B．－2　　　C．0　　　D．8
(3)已知点A(－2，3)，B(4，－1)，则线段AB的垂直平分线方程为________________．
解析：(1)因为直线l1：ax＋2y－4＝0与l2：x＋(a＋1)y＋2＝0平行，所以a(a＋1)－2＝0，
解得a＝1或a＝－2．
当a＝－2时，l1：x－y＋2＝0与l2：x－y＋2＝0重合，不满足题意，舍去；
当a＝1时，l1：x＋2y－4＝0，l2：x＋2y＋2＝0，显然平行．
因此“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－4＝0与l2：x＋(a＋1)y＋2＝0平行”的充要条件．
(2)∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8．
又∵l2⊥l3，∴－×(－2)＝－1，
解得n＝－2，∴m＋n＝－10．
(3)∵A(－2，3)，B(4，－1)，
∴线段AB的中点坐标为(1，1)．
∵直线AB的斜率为＝－，
∴线段AB的垂直平分线的斜率为．
∴线段AB的垂直平分线方程为y－1＝×(x－1)，
即3x－2y－1＝0．
答案：(1)C　(2)A　(3)3x－2y－1＝0
[思维升华]　1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行或垂直的方法
(1)两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．
(2)两直线垂直 两直线的斜率之积等于－1．
注意：　当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．
2．由一般式确定两直线位置关系的方法
l1与l2平行的充要条件 ＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
l1与l2相交的充要条件 ≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充要条件 ＝＝(A2B2C2≠0)
[对点练]　(2021·广东揭阳模拟)已知倾斜角为θ的直线l与直线3x－4y－1＝0垂直，则cos θ的值为(　　 )
A．－ B．－
C． D．
解析：由垂直知两直线的斜率之积为－1，而直线3x－4y－1＝0的斜率为，
得直线l的斜率为－，即tan θ＝－，得θ为钝角，所以cos θ＝－．
答案：A
考点2__两直线的交点问题[典例引领]
【例2】　若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为(　　)
A．　 　 B．　 　
C．2　 　 D．2
解析：由解得x＝1，y＝2．即三条直线的交点坐标为(1，2)．
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，
∴m＝－5－2n．
∴点(m，n)与原点之间的距离d＝
＝＝≥，
当n＝－2，m＝－1时取等号．
∴点(m，n)与原点之间的距离的最小值为，故选A．
答案：A
[对点练]　(一题多法)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
解析：法一　由方程组解得
(若2k＋1＝0，即k＝，则两直线平行，不合题意，故2k＋1≠0)∴交点坐标为．
又∵交点位于第一象限，∴
解得－＜k＜．
法二　设l1：y＝kx＋2k＋1，l2：y＝－x＋2，
则直线l1恒过定点P(－2，1)．
设直线l2与x轴、y轴的交点分别为A，B，则A(4，0)，B(0，2)．
在同一坐标系中画出l1，l2图象，如图，则kPA＝－，kPB＝．
∵两直线的交点在第一象限，
∴－＜k＜．
答案：
考点3__距离问题[多维讲练]
【例1】　(1)在平面直角坐标系中，已知点A，B，则＝(　　 )
A．1 B．
C． D．2
(2)点P(cos θ，sin θ)到直线3x＋4y－12＝0的距离的取值范围为(　　 )
A． B．
C． D．
(3)[易错题]直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝x－1平行，则a＝______，l1与l2的距离为______．
解析：(1)∵点A，B，
∴＝＝
＝
＝＝＝1．
(2)由点到直线距离公式，得P到直线的距离为d＝＝，
其中sin φ＝，cos φ＝，由三角函数性质易知，5sin (θ＋φ)－12∈[－17，－7]，
故d∈．
(3)由题可知直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为，所以－＝，解得a＝－，
则直线l1：x－y－2＝0，即3x－4y－6＝0，直线l2：y＝x－1，即3x－4y－4＝0，
所以它们之间的距离为d＝＝．
答案：(1)A　 (2)C　(3)－　
[思维升华]　距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式求解，一般用来判断三角形的形状等．
(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
[对点练]　1．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
解析：点P到直线的距离为＝，
又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10]．
答案：[0，10]
2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
解析：因为＝≠，所以两直线平行．
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，为＝，所以|PQ|的最小值为．
答案：
考点4__对称问题[多维讲练]
对称问题包括中心对称和轴对称两种，主要有点关于点的对称、直线关于点的对称、点关于直线的对称和直线关于直线的对称等类型，高考中偶尔有与其他知识的综合考查，难度中低档．
角度1　中心对称
【例4】　(1)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
(2)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．
解析：(1)设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以直线l的方程为＋y＝1，即x＋4y－4＝0．
(2)在直线l上取两点B(1，1)，C(10，7)，B，C两点关于点A的对称点为B′(－3，－5)，C′(－12，－11)，所以直线m的方程为＝，
即2x－3y－9＝0．
答案：(1)x＋4y－4＝0　(2)2x－3y－9＝0
[思维升华]　1．若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
2．“线关于点的对称”实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．此类问题有两种常用解法：
(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
角度2　轴对称
【例5】　点P关于直线x＋y－2＝0的对称点是(　　 )
A． B．
C． D．
[思维点拨]　设点P关于直线l的对称点为Q，则有以下两个结论：(1)直线PQ与l垂直；(2)点P，Q的中点位于对称直线l上．据此建立方程组可解对称点坐标．
解析：设点P关于直线x＋y－2＝0的对称点是Q，
则有解得a＝0，b＝1，
故点关于直线x＋y－2＝0的对称点是．
答案：B
[思维升华]　点关于直线、直线关于直线对称问题的解题方法
(1)若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组
可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【巧解秒解】　当对称直线的斜率为1或－1时，可采用以下方法
设点P(1，2)关于x＋y－2＝0对称的点的坐标为(x0，y0)．把对称直线方程变形为x＝－y＋2，所以x0＝－2＋2＝0；
再把对称直线变形为y ＝－x＋2，所以y0＝－1＋2＝1．
故所求对称点的坐标为(0，1)．
[对点练]　1．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的角平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　 )
A．(－2，4) B．(－2，－4)
C．(2，4) D．(2，－4)
解析：设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，
则解得
∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0．
联立解得则C(2，4)．
答案：C
2．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是____________．
解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)．
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
得2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0．
答案：x－2y＋3＝0
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
直线系方程的应用
直线系方程是指具有某种共同性质的所有直线的集合，其方程叫直线系方程．常见的直线系方程有平行直线系、垂直直线系和过两直线交点的直线系，求解直线方程时，采用设直线系方程的方法可简化运算．
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0．
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0)．
4．过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)和x＝x0．
题型一　平行直线系方程
【例1】　已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程．
解：设直线l1的方程为x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝．依照题意有×|－c|×＝8，c＝±4．所以l1的方程是x－3y±4＝0．
题型二　垂直直线系方程
【例2】　求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0．
又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0．
题型三　过相交直线交点的直线系方程
【例3】　(一题多法)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解：法一　解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)．因为k3＝，所以直线l的斜率k＝－，方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0．
法二　设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0．
法三　设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0．因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0．
[对点练]　1．(一题多法)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程．
解：法一　设直线l：＋＝1，则a＋b＝1和－＝组成的方程组的解为a＝4，b＝－3．
故l的方程为－＝1，即3x－4y－12＝0．
法二　根据平行直线系方程的内容可设直线l为3x－4y＋c＝0(c≠7)，
则直线l在两坐标轴上的截距分别是－，，由－＋＝1，知c＝－12．
故直线l的方程为3x－4y－12＝0．
2．求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程．
解：设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0．
由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得
＝，
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝或λ＝，
所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1．
3．已知三角形三边所在的直线方程分别为2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0，2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程．
解：设所求高所在的直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y－7)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋(4－7λ)＝0，
可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝，
所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0．
课下巩固培优卷(三十九)
【A/基础巩固题组】
1．(2022·山东青岛模拟)设集合A＝，B＝{(x，y)|4x－2y＋5＝0}，则A∩B＝(　　 )
A． B．
C． D．
解析：由直线4x－2y＋5＝0得y＝2x＋，
因为直线y＝2x＋与直线y＝2x－3的斜率相等，截距不相等，所以两直线相互平行，故A∩B＝ ．
答案：A
2．已知点A，点B在抛物线y＝x2上，则的最小值为(　　 )
A．2 B．1
C． D．
解析：设点B，则＝＝＝≥，
∴当y＝时，＝．
答案：C
3．(2021·河北唐山检测)“m＝－2”是“直线x＋y－2＝0与直线mx＋y＋1＝0相互垂直”的(　　 )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当m＝－2时，直线－x＋y－2＝0与直线－2x－2y＋1＝0的斜率分别为1和－1，满足斜率之积等于－1，此时两直线垂直，所以“m＝－2”是“两直线相互垂直”的充分条件；
若“直线x＋y－2＝0与直线mx＋y＋1＝0相互垂直”
则m＋2m＋2＝0即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或m＝－1，
所以两直线垂直得不出m＝－2，
所以“m＝－2”是“两直线相互垂直”的充分而不必要条件．
答案：A
4．(2021·山东东营模拟)圆x2＋y2＋4y＝0的圆心到经过点M的直线l的距离为，则直线l的方程为(　　 )
A．x＋2y－9＝0或2x－y＋3＝0
B．x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0
C．x＋2y＋9＝0或2x－y－3＝0
D．x－2y＋9＝0或2x－y＋3＝0
解析：当直线l的斜率存在时，设经过点M的直线l的方程为y＋3＝k，即kx－y＋3k－3＝0，所以圆x2＋y2＋4y＝0的圆心到直线l的距离为d＝＝，解得k＝－或k＝2，所以直线l的方程为x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，此时圆心到直线的距离为3，不满足题意．
综上，直线l的方程为x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0．
答案：B
5．(多选)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0 ，其中a∈R ，下列说法正确的是(　　)
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0，1)
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
解析：对于A项，当a＝－1时，直线l的方程为 x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，所以A正确；
对于B项，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)×(－1)＝1×(－1) ，解得a＝0或a＝－1 ，所以B不正确；
对于C项，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点(0，1) ，所以C正确；
对于D项，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，
在两坐标轴上的截距分别是－1，1，所以D不正确．
答案：AC
6．
如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　 )
A．3 B．6
C．2 D．2
解析：直线AB的方程为x＋y＝4，如图，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2．
答案：C
7．过点P的直线l在坐标轴上的截距相等，则l的方程是__________________，
原点到l的距离是__________．
解析：当直线过原点时，y＝kx过点P时，k＝2，即y＝2x，此时原点到直线l的距离为0；
当直线不过原点时，设直线＋＝1，当直线过点P时，＋＝1，得a＝3，
即直线方程是x＋y＝3，即y＝3－x，此时原点到直线的距离d＝＝．
答案：y＝2x，y＝3－x　0，
8．以点A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．
解析：因为kAB＝＝－，
kDC＝＝－，
kAD＝＝，kBC＝＝，
则kAB＝kDC，kAD＝kBC，
所以四边形ABCD为平行四边形．
又kAD·kAB＝－1，
即AD⊥AB，故四边形ABCD为矩形．
故S四边形ABCD＝|AB|·|AD|＝×＝25．
答案：25
9．与直线3x－4y＋5＝0关于y＝x＋1对称的直线的方程为______________．
解析：联立解得
所以直线3x－4y＋5＝0与直线y＝x＋1的交点为(1，2)．在直线3x－4y＋5＝0上取点，设点关于直线y＝x＋1的对称点为(a，b)，
则解得所以点关于直线y＝x＋1的对称点为，
由两点式可得与直线3x－4y＋5＝0关于y＝x＋1对称的直线的方程为：＝，即4x－3y＋2＝0．
答案：4x－3y＋2＝0
【B/能力提升题组】
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
解析：因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线．
又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，
即2x－4y＋3＝0．
答案：B
11．(2021·重庆八中月考)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤2，若将军从点A处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(　　 )
A． B．－
C．2 D．
解析：设点A关于直线x＋y＝3的对称点A′，
AA′的中点为，kAA′＝，故解得
要使从点A到军营总路程最短，即为点A′到军营最短距离，“将军饮马”的最短总路程为－＝－．
答案：B
12．函数f＝ln x图象上一点P到直线y＝2x的最短距离为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：设与直线y＝2x平行且与曲线f＝ln x相切的直线的切点坐标为，
因为f′＝，则＝2，所以x0＝，
则切点坐标为，最短距离为点到直线y＝2x的距离，
即＝，即点P到直线y＝2x的最短距离为．
答案：C
13．(多选)(2021·山东泰安模拟)已知直线l1：x＋ay＋2＝0，l2：ax＋y－1＝0，则(　　 )
A．l1恒过点
B．若l1∥l2，则a2＝
C．若l1⊥l2，则a2＝1
D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
解析：l1：x＋ay＋2＝0 a＋x＋2＝0，
当即x＝－2，y＝2，即直线恒过点，故A不正确；
若l1∥l2，则有＝a2，解得a2＝，故B正确；
若l1⊥l2，则有a＋a＝0，得a＝0，故C不正确；
若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，≥0，－≤0，解得0≤a<1，
当1－a＝0时，直线l2：x＝1，也不过第三象限，
综上可知，0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确．
答案：BD
14．(2021·河北张家口模拟)已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0，则AC边上的高BD所在的直线方程为__________________．
解析：由解得交点B(－4，0)．
因为BD⊥AC，所以kBD＝－＝．
所以AC边上的高线BD的方程为y＝(x＋4)，即x－2y＋4＝0．
答案：x－2y＋4＝0
15．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是解得故m＋n＝．
答案：

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