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第3节　圆的方程
[课标要求]　圆与方程：①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
　圆的方程（一）　
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．圆的定义与方程
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．
(一)必背常用结论
(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
(二)盘点易错易混
1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆，当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．
2．要准确运用圆的相关几何性质确定圆心．
3．运用代数法解点与圆的位置关系问题时，要注意不等式的方向．
【小题热身】
1．(2021·宁夏吴忠模拟)以点P(2，－3)为圆心，与y轴相切的圆的方程是(　　 )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
解析：由题知，圆心为P(2，－3)，因为圆P 与y轴相切，所以圆P的半径r＝＝2，
所求圆的方程为＋＝4．
答案：C
2．(2021·浙江绍兴检测)以直线ax－y－3－a＝0(a∈R)经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是(　　 )
A．x2＋y2－2x＋6y＋6＝0
B．x2＋y2＋2x－6y＋6＝0
C．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
D．x2＋y2－6x＋2y＋6＝0
解析：因为直线方程为ax－y－3－a＝0(a∈R)，即a－y－3＝0，所以直线过定点，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝4，即x2＋y2－2x＋6y＋6＝0．
答案：A
3．(2021·广东汕头模拟)已知方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0，则圆心坐标为________，圆的半径为__________．
解析：x2＋y2－2x－2y－2＝0 ＋＝4，
所以圆的圆心为，半径r＝2．
答案：　2
4．(2021·江西贵溪实验中学月考)已知点A，B，则以线段AB为直径的圆的方程为____________________________________________________________．
解析：∵A，B，线段AB的中点M，
则x0＝＝－，y0＝＝1，即圆心坐标为，
R2＝|BM|2＝＋＝，
所以该圆的标准方程为＋＝．
答案：＋＝
5．[易错题](2021·江西景德镇期末)过点P作圆x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0的切线有两条，则a的取值范围是________．
解析：∵x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0表示一个圆，
∴(－a)2＋(－2)2－4(a2－2)>0，∴－2又由过点P作圆x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0的切线有两条，得P在圆外，
所以(－1)2＋12－a×(－1)－2×1＋a2－2>0，解得a<－2或a>1．
综上所述，1答案：(1，2)
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__求圆的方程[典例引领]
【例1】　(一题多法)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为_____________________．
解析：法一(几何法)所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(a，－a)．
又∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝＝|a|．
又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，
圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，
解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
法二(待定系数法)　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3．　①
由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2．　②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0．　③
联立①②③，解得故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
法三(待定系数法)　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心为，半径r＝ ，
∵圆心在直线x＋y＝0上，
∴－－＝0，即D＋E＝0，　 ①
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴＝ ，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0．　②
又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，
由已知得d2＋＝r2，
∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，　③
联立①②③，解得故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
[思维升华]　求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．
常用到的圆的三个性质
①圆心在过切点且垂直切线的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[对点练]　(一题多法)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)
A．＋y2＝
B．＋y2＝
C．＋y2＝
D．＋y2＝
解析：法一(待定系数法)　根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a>0)，半径为r，
则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)．
由题意得 解得
所以圆E的标准方程为＋y2＝．
法二(待定系数法)　设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题意得解得
所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，
即＋y2＝．
法三(几何法)　因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，
所以圆E的圆心坐标为．
则圆E的半径为|EB|＝＝，
所以圆E的标准方程为＋y2＝．
答案：C
考点2__与圆有关的轨迹问题[典例引领]
【例2】　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．
求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[思维点拨]　(1)思路一：因为AC⊥BC，由斜率之积等于－1(或者由数量积等于0)建立方程，化简求解；
思路二：根据直角三角形中线的性质，判断动点轨迹是圆，从而写出方程．两种方法都要注意限制条件，即在△ABC中，应将三点共线的情况舍去．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，利用中点坐标公式把x0，y0用x，y表示，代入到C的轨迹方程化简可得．
解：(1)法一　设C(x，y)．因为A，B，C三点不共线，
所以y≠0．
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1．
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)．
由直角三角形的性质，知|CD|＝|AB|＝2．
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)．因为M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y．
由(1)知，点C的轨迹方程为(x0－1)2＋y＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
[思维升华]　求与圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．
(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．
(3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．
[对点练]　设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为(，)．
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以整理得
又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4．
所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆．
直线OM：y＝－x与点P的轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，
所以点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和．
考点3__与圆有关的最值问题[典例引领]
【例3】已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x＋y的最大值是_________，最小值是_________．
解析：设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，
即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1．
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1．
答案：－1　－－1．
[思维引申]　(1)(换结论)在本例的条件下，求的最大值和最小值．
解：设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，
∴的最大值为－2＋，最小值为－2－．
(2)(换结论)在本例的条件下，求的最大值和最小值．
解：＝，
求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，
可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．
又圆心到定点(－1，2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1．
[思维升华]　与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
[对点练]　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q的坐标为(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2．
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2．
(2)可知表示直线MQ的斜率k．
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0．
∵直线MQ与圆C有交点，∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－．
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0．
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，
∴＝2，∴b＝9或b＝1．
∴y－x的最大值为9，最小值为1．
课下巩固培优卷(四十)
【A/基础巩固题组】
1．已知a，b都是实数，那么“a>2”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的(　　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：方程x2＋y2－2x－a＝0，即(x－1)2＋y2＝1＋a，
表示圆则需1＋a>0，解得a>－1，因为a>2 a>－1，而反之不成立，
所以“a>2”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的充分不必要条件．
答案：A
2．以点(1，－1)为圆心，且与直线x－y＋2＝0相切的圆的方程为(　　 )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝8
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝8
解析：因直线与圆相切，所以圆的半径等于点(1，－1)到直线x－y＋2＝0的距离，
即R＝d＝＝2，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝8．
答案：D
3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　 )
A．这些圆的圆心都在直线y＝x上
B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C．这些圆的圆心都在直线y＝x或y＝－x上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
解析：由题意知，圆的标准方程：＋＝2a2＋1，圆心，圆心都在直线y＝x上．
答案：A
4．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则△ABC外接圆的方程是(　　 )
A．x2＋(y－3)2＝5
B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5
D．(x＋3)2＋y2＝5
解析：由题意，得2a＝－4，∴a＝－2，
∴△ABC外接圆的半径为＝＝，
圆心为(－3，0)，∴△ABC外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5．
答案：D
5．(2021·山东莱州模拟)在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A，B，C，D，若它们都在同一个圆周上，则a的值为(　　 )
A．0　　　　　　　　　　B．1
C．2　　　　　　　　　　D．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得
所以x2＋y2－4x－4y＋4＝0，
又因为点D在圆上，所以42＋a2－4×4－4a＋4＝0，即a＝2．
答案：C
6．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为________________________________________________________________________．
解析：x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以圆的半径为．又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
7．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________．
解析：圆C的方程可化为＋(y＋1)2＝－k2＋1．所以，当k＝0时圆C的面积最大．
答案：(0，－1)
8．(一题多法)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________________________________________________________________________．
解析：法一(几何法)　设点C为圆心．
因为点C在直线x－2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即＝
，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
法二(待定系数法)　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题意得
解得
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
法三(待定系数法)　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为．
由题意得
解得
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0．
答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
【B/能力提升题组】
9．[易错题](2021·河北张家口三模)“a>0”是“点在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的(　　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：将x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0化为标准方程，得(x－a)2＋(y－1)2＝a2－a．
当点在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外时，有解得a>1．
∴“a>0”是“点在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的必要不充分条件．
答案：B
10．(2021·山东烟台模拟)阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足＝，则PA2＋PB2的最小值为(　　 )
A．36－24 B．48－24
C．36 D．24
解析：以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则A、B，设P，∵＝，∴＝，
两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0 ＋y2＝8，
所以P点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
则有PA2＋PB2＝2＋2＝2OP2＋2，如图所示：
当点P为圆与x轴的交点(靠近原点)时，此时，OP取最小值，且OP＝3－2，
因此，PA2＋PB2≥2×＋2＝36－24，故选A．
答案：A
11．(2022·重庆实验中学月考)已知⊙O方程为x2＋y2＝4，过点M的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为________________________________________________________________________．
解析：设弦AB中点P，过点M的直线斜率为k，
所以直线AB的方程为y＝k，
又因为点P为弦AB中点，所以OP⊥AB，
所以中点与圆心连线OP与直线AB垂直，故OP方程为x＋ky＝0，
所以点P是直线OP与直线AB的交点，其轨迹是以OM为直径的圆，
所以点P的轨迹方程为＋y2＝4，且为⊙O内部的部分曲线，如图，
所以点P的轨迹方程为＋y2＝4．
答案：＋y2＝4
12．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________________________．
解析：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则点C(a，b)到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题意可知
∴或
故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2．
答案：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2
13．已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求· 的最小值．
解：(1)设圆心C(a，b)．
由已知得M(－2，－2)，
则解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2．
将点P(1，1)的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2．
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2．
令x＝cos θ，y＝sin θ，
所以·＝x＋y－2
＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin －2，
所以·的最小值为－4．

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