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江苏名校联盟2022-2023学年高三上学期暑期返校检测摸底测试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
2．“牵星术”是古代的航海发明之一，在《郑和航海图》中都有记载．如图所示，“牵星术”仪器主要是由牵星板（正方形木板），辅以一条细绳贯穿在木板的中心牵引组成．要确定航船在海上的位置，观察员一手持一块竖直的牵星板，手臂向前伸直，另一手持着线端置于眼前，眼睛瞄准牵星板上下边缘，将下边缘与水平线取平，上边缘与北极星眼线重合，通过测出北极星眼线与水平线的夹角来确定航船在海上的位置（纬度）．某航海观察员手持边长为20cm的牵星板，绳长70cm，观察北极星，眼线恰好通过牵星板上边缘，则航船所处的纬度位于区间（参考数据：，，，）（ ）
A． B． C． D．
3．已知，其中，则“存在使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，，那么M，N，P之间的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数，则是在区间上单调的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．已知函数，则其大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（ ）
A． B． C．或 D．1
8．若存在两个不相等的正实数x，y，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设函数定义域为，若存在，且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
10．声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数,则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．在上有个零点
C．的最大值为 D．在上是增函数
11．已知函数，若关于x的方程有且仅有9个不同的根，则实数a可能的取值是（ ）
A． B． C． D．1
12．设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“H函数”.下列为“H函数”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知函数是奇函数，则_____________.
14．已知为数列的前n项和，数列满足，且，是定义在R上的奇函数，且满足，则______．
15．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为__．
16．定义在R上的函数 满足 ，其中为自然对数的底数，，则满足的a的取值范围是__________.
四、解答题
17．已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
（i）求证；
（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.
18．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求的最值，并写出取得最值时的值.
19．已知数列的前项和为，.
(1)从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{an}的通项公式；
①数列是等差数列；
②数列是等比数列；
(2)记，求数列的前n项和.
20．已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
21．已知函数，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）设，当时，不等式恒成立，设实数的取值范围对应的集合为，若在（1）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围．
22．已知函数f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R．
(1)若k＝0，求曲线y＝f(x)在x＝0处切线的方程；
(2)讨论函数f(x)在[0，＋∞)上零点的个数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
直角坐标平面中除去两点 ，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
【详解】
直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点 ，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
【点睛】
本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．
2．C
【解析】
【分析】
先由题中数据计算眼睛距离牵星板的距离，记北极星眼线与水平线的夹角为，由题中数据求出，进而可得出结果.
【详解】
由题意可得，眼睛距离牵星板的距离为，
记北极星眼线与水平线的夹角为，
则，
又，，，
所以，
故选：C.
3．C
【解析】
可得，由，，得到的对称轴，计算代入即可，反之同理．
【详解】
因为，且，，所以，
因为存在使，所以
因为，，所以函数的对称轴
计算下列数据：，，，
因为，所以，所以，
反之也成立，若，则，
所以“存在使”是“”的充要条件．
故选：C．
【点睛】
本题利用，，找到是解决问题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
逆用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简函数式，利用诱导公式化为同名函数，借助正弦函数的性质结合中间值比较大小可得．
【详解】
，
，
，
而，
所以．
故选：C
5．A
【解析】
【分析】
化简函数，求出在区间上单调时的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】
依题意，，而函数的单调区间是，
，，则，因在区间上单调，
于是得，则有，，
解得，而，显然，
因此，的取值范围是：，
所以是在区间上单调的充分不必要条件.
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，然后函数值的绝对值与比较大小后又排除一个选项，从而得正确选项．
【详解】
，函数为奇函数，排除CD；
，因此的图象夹在直线和之间（含有轴的部分），排除B．
故选：A．
7．B
【解析】
【分析】
由题设可得且，求解即可.
【详解】
由题设，且，即，
∴，则，解得或，
综上，.
故选：B.
8．D
【解析】
【分析】
将给定等式变形并构造函数，由函数的图象与垂直于y轴的直线有两个公共点推理作答.
【详解】
因，令，
则存在两个不相等的正实数x，y，使得，即存在垂直于y轴的直线与函数的图象有两个公共点，
，，而，当时，，函数在上单调递增，
则垂直于y轴的直线与函数的图象最多只有1个公共点，不符合要求，
当时，由得，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
令，，令，则，即在上单调递增，
，即，在上单调递增，则有当时，，
，而函数在上单调递增，取，则，
而，因此，存在垂直于y轴的直线()，与函数的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是.
故选：D
【点睛】
思路点睛：涉及双变量的等式或不等式问题，把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
9．BD
【解析】
对于A，根据基本不等式可知A不正确；对于B，当，时，计算可知B正确；对于C，根据基本不等式可知C不正确；对于D，当，时，计算可知D正确.
【详解】
对于A，当时，所以，
所以，故函数不是“函数”故A不正确；
对于B，当，时，，
，满足，故函数是“函数”，故 B正确；
对于C，当正数时，所以，故函数不是“函数”，故C不正确；
对于D，当，时，，，满足，故函数是“函数”，故D正确.
故选：BD
【点睛】
关键点点睛：理解新函数的定义是解题关键.
10．ABC
【解析】
①分别计算和的周期,再求其最小公倍数即可得到的周期.②令即可求得零点.③对求导,令,判断单调性即可求得极值.④对求导,令,即可求出单调递增区间.
【详解】
解：因为：
①的周期是,
的周期是,
所以的周期是,故A正确.
②当,时,
或
解得或或,
所以在上有个零点,故正确.
③
令,求得或,
因为在 单调递增,在单调递减,
所以时取得最大值,则
,故C正确.
④由③得,
要求增区间则,
即（不成立）,或,
所以
所以在上是增函数是错误的,故D错误.
故选：ABC
【点睛】
本意考查正弦、余弦函数的周期性、零点、单调性、极值,利用导数法求单调性和极值会使计算简便.
11．BC
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据图像得到对应二次方程的解得范围，根据零点存在定理得到范围.
【详解】
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增。
函数关于对称，画出函数图像，如图所示：
根据图像知，，可能有0个，2个，4个，5个解.
有且仅有9个不同的根，
则有两个根满足：，.
时恒成立，故，.
设，
当时，；当时，，解得.
综上所述：.
故选：BC.
12．AB
【解析】
【分析】
运用二倍角公式化简函数y，再结合奇函数的性质可判断A；由函数的单调性和值域，可判断B；由指数函数的值域即可判断C；运用配方法，可取可判断D，即可求得答案.
【详解】
对于A，由，函数的定义域为，
是奇函数，
由，
故只需与互为相反数时，，即可满足，
故A为“H函数”；
对于B，由，
和在上都是单调增函数
在上是单调增函数
由于递增，且，
即有任一个，可得唯一的，使得
可得，即，故B为“H函数”；
对于C，由可得，可得不成立
不成立
故C不为“H函数”；
对于D，由
若
可取，可得y无解，可得不成立
不成立
故D不为“H函数”.
故选：AB.
【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念 新公式 新定理 新法则 新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
13．-1
【解析】
【详解】
当时，，
∵函数为奇函数，
∴，
即
，
∴，
∴．
∴．
答案：
14．0
【解析】
【分析】
利用数列通项公式与前n项和公式的关系求通项的递推关系，再构造等比数列求出通项公式.根据和f(x)是R上奇函数可得f(x)是周期为4的函数，且f(0)＝f(2)＝0.，将用二项式定理展开，其中能被4整除的部分在计算时即可“去掉”，由此即可求出答案.
【详解】
，，
两式相减得，，即，
，即数列是以为首项，3为公比的等比数列，
，.
是定义在R上的奇函数，且满足，
令，则，
又＝－f(－x)，
∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(－x)]＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，即是以4为周期的周期函数.
其中能被4整除，
.
故答案为：0．
【点睛】
本题综合考察了数列求通项公式的两个方法：利用通项公式和前n项和公式的关系，以及构造等比数列，考察了函数周期的求法，还考察了利用二项式定理处理整除问题，属于难题.
15．
【解析】
【分析】
由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，求得的最小值．
【详解】
解：根据函数的部分图象，
可得，，求得．
根据图像可得，函数过，所以
再根据五点法作图，，，故有．
将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，
由所得图象关于直线对称，
可得，，即，.因为
所以当，可得的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．
16．
【解析】
【分析】
设，求出其导数结合条件得出在上单调递减，将问题转化为求解，由的单调性可得答案.
【详解】
设，则
由，则
所以在上单调递减.
又
由，即，即，所以
故答案为：
17．（1），；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列和等比数列的通项公式，结合题中所给的条件，列出等量关系式，求得首项、公差和公比，得到数列的通项公式；
（2）（i）根据题意，求得，之后利用作差比较法求得结果；
（ii）利用分组求和法和错位相减法求得数列的前项和.
【详解】
（1）为等差数列，，所以，
，所以，即，
所以；
为等比数列，，
因为，所以，解得，
所以；
（2）（i），
，
所以；
（ii），
所以，
设的前项中，奇数项和为，偶数项和为，
，
，
，
两式相减得，
所以，
所以数列的前项和为.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）根据等差数列和等比数列的通项公式求相关量，之后确定其通项公式；
（2）利用等差数列公差的相关公式求得，之后利用作差比较法求得结果；
（3）利用分组求和法和错位相减法对数列求和.
18．(1)
(2)当时，取得最小值；当时，取得最大值.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.
(1)
依题意，
所以，，
，，
由于，所以，所以.
由解得，
所以的单调递减区间为.
(2)
由（1）得，
，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为.
19．(1)选①证明见解析，；选②证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）选数列是等差数列：由题知，进而，即数列是等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可；选数列是等比数列，结合得，即是等比数列，再根据等比数列通项公式求解即可；
（2）由（1）得，再结合裂项求和法求解即可.
(1)
解：若选数列是等差数列，
∵①，∴②，
∴②①得，即.
且，
是首项为，公差为1的等差数列.
若选数列是等比数列，
∵①，∴②，
∴②①得，即.
∴，整理得
∵，
是等比数列且首项为公比为.
，
∴
(2)
解：∵，，
∴，
20．(1)单调递增，证明见解析
(2){m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}
【解析】
【分析】
（1）任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，再根据题意分析f(x1)－f(x2) 的正负即可；
（2）由（1）有f(x)≤1，再将题意转化为m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立，进而构造函数g(a)＝－2ma＋m2，分类讨论分析即可
(1)
f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝.
由已知条件得.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
(2)
∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.
21．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1），首先求出，令，然后可得，然后，然后可求出答案；
（2）由可得，令，则，，然后可得，由（1）可得，然后可得答案.
【详解】
（1），
当时，，
，，
即，
令，
则，，，
由，
得，，
当时，有最小值，
当时，有最大值1，
当时，函数的值域为．
（2）当，不等式恒成立，
时，，，
恒成立，
令，则，
，
又，
当且仅当即时取等号，而，
，即，
．
又由（1）知，，
当时，，
要使恒成立，只需，
的取值范围是．
【点睛】
方法点睛：（1）常用分离变量法解决恒成立问题，（2）在解决复杂函数的问题时，常用换元法将其转化为常见的函数处理.
22．(1)
(2)当时，有且仅有1个零点；当时，有有2个零点.
【解析】
【分析】
(1)利用导数的几何意义求出斜率，根据切点的横坐标及函数解析式求出切点，从而得切线方程;
(2)利用放缩再结合单调性及，通过分类讨论可求解.
(1)
当时，，，
则曲线在处切线的斜率为，
又，故切点为，因此切线方程为.
(2)
首先证明：当时，.
证明：设，，则，单调递增，
于是，即原不等式得证.
，，
当时，，
故在上单调递增.
若，则当时，，单调递增，
又，故此时有且仅有1个零点.
若，则，
又
，
所以在上存在唯一的零点，，
当，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又
，
且，，因此在上有2个零点.
综上，当时，有且仅有1个零点；当时，有有2个零点.
【关键点点睛】
解决本题第（1）问的关键是求出切线的斜率及切点，解决第（2）问的关键是放缩及单调性的讨论.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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