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第十一章 三角形
11.1.2三角形的高、中线和角平分线
第二课时
人教版 八年级上册
学习目标
1.理解三角形的中线和角平分线的定义， 会画出这两种重要的线段。
2.了解三角形的中线和角平分线的性质，并能应用它来解决实际问题。
3.解三角形的稳定性在日常生活中的应用
线段中点的定义：
线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫线段的中点
知识回顾
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形这边上的中线.
如图, 线段AD是BC边上的中线.
A
B
C
D
新知探究
顶点和它所对的边的中点的线段
D
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么
●
●
E
F
O
三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心
它在三角形的内部.
新知探究
A
B
C
1.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( )
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC D.CE=CD
D
跟踪练习
2．如图，若AD是△ABC的中线，BD=3，则CD的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
B
新知探究
如图，若AD是△ABC的中线，说明S△ABD与S△ACD的大小关系
E
∟
△ABD的底是BD时，高为AE,
解：过点A作AE BC与E
△ACD的底是CD时，高为AE,
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∴S△ABD=S△ACD（等底同高）
结论：三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分
如图、在△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点，若△ABC的面积等于8，求△BDE的面积
例题分析
解：∵点D是BC中点
∵点E是AB中点
知识回顾
三角形除了重要线段高线和中线以外，还有一条重要线段，不过先回顾相关的知识
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
0
A
B
C
A
B
C
D
几何语言
∵AD是 △ ABC的角平分线
∴∠ 1 = ∠ 2 =
１
２
∠BAC
●
●
三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。
角的顶点与交点之间的线段,
︶
︶
1
2
新知探究
∵∠ 1 = ∠ 2 =
１
２
∠BAC
∴AD是 △ ABC的角平分线
任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么
F
E
D
O
三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部
动手操作
A
C
B
判断
三角形角平分线可能在三角形外部（ ）
三角形角平分线的交点在三角形外部（ ）
×
×
如图，已知AC平分∠EAG，BD平分∠FBG，∠1＝35°,∠2＝35°,那么直线AC与BD平行吗？直线AE与BF平行吗？
例题分析
解：AC∥BD，AE∥BF．理由如下：
∵∠1=∠2=350
∴AC∥BD
∵AC平分∠EAG，BD平分∠FBG
∴∠EAG=2∠1，∠FBG=2∠2
∴∠EAG=∠FBG
∴AE∥BF
三角形的稳定性
三角形具有稳定性，
四边形具有不稳定性。
窗框在未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
新知探究
三角形的稳定性的应用
四边形不稳定性的应用
新知探究
1.下列图形中具有稳定性的是（ ）
（A）正方形 （B）长方形
（C）直角三角形 （D）平行四边形
C
2.要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？
跟踪练习
（ 1 根 ）
（ 2 根 ）
（ 3 根 ）
1.三角形的中线、角平分线等有关概念及它们的性质。
2. .三角形的中线、角平分线几何表达及简单应用。
总结归纳
3. .三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性
定义 图形 性质
三角形的中线 连接三角形一个顶点与对边中点的线段，注：三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 ∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD=
（或BC=2BD=2CD）
三角形的角平分线 三角形一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段. 注：三角形的三条角平分线交于一点. ∵AE是△ABC角平分线∴∠BAE=∠CAE=
（或∠BAC=2∠BAE=2CAE）
总结归纳
1.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空：
（1）BE= = ；
（2）∠BAD= = ；
（3）∠AFB= =90°；
CE
∠CAD
∠AFC
当堂检测
2.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法哪些是正确的,哪些是错误的.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
①AD是△ABE的角平分线( )
②BE是△ ABD边AD上的中线( )
③BE是△ ABC边AC上的中线( )
④CH是△ ACD边AD上的高( )
三角形的高、中线与角平分线都是线段.
×
×
×
√
当堂检测
∟
3.如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架.这是利用( ).
A.三角形的稳定性 B.三角形的不稳定性
C.四边形的稳定性 D.四边形的不稳定性
4. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
D
A
当堂检测
5．如图，线段AD把△ABC分成面积相等的两部分，则线段AD是（ ）
A．△ABC的中线 B．△ABC的高
C．△ABC的角平分线 D．以上都不对
A
6．如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，AD为中线．则△ABD与
△ACD的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
C
当堂检测
7.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( )
A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一
D
8．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的中点，连接AD、DE，若S△DEA=2，则四边形AECD的面积为（ ）
A．7 B．6 C．8 D．12
B
9．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，则图中与阴影三角形面积相等的三角形
（不包括它本身）有几个（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
当堂检测
D
10.如图，在△ABC中，AD，AE分别是边上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE=4，DE=1，S△ABC=16，CE=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
B
11．下列说法错误的是( )A．三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分B．三角形的三条中线的交点一定在三角形的内部C．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部
A
12．如图，在△ABC中，AE是△ABC的中线，已知CE＝6，DE＝2，则BD的长为( )
A．2　　B．3　　C．4　　D．6
C
当堂检测
13.如图，在△ABC中，AC=8，BC=6，AD BC于D，AD=6，BE AC于E，BF是 AC边上的中线，求 BE的长及△ABF的面积．
解：S△ABC=BC×AD÷2=6×6÷2=18
∵S△ABC=18
BF是AC边上的中线
∴S△ABF=9
S△ABC=AC×BE÷2
8BE÷2=18
BE=4.5
当堂检测
坚持就是胜利

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