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二面角大小的几种求法
二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，
二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，
在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求
二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，
作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
【.寻找有棱二面角的平面角的方法（定义法、三垂线法、垂面法、
射影面积法)
一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊
点)，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角
的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主
要特征”来找出平面角。
例空间三条射线CA、CP、CB,∠PCA=∠PCB=60°，∠ACB=90°，求二
面角B-PC-A的大小。
解：过PC上的点D分别作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,连EF
∴.∠EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a,.'∠PCA=∠PCB=60°，
.∴.CE=CF=2a,DE=DF=v3a,又.∠ACB=900,.∴.EF=2W2a,
∠EDf=3a2+3a2-8a2_1
2.3a2=j
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二、三垂线法：己知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线
定理或逆定理作出二面角的平面角。
例在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD,
PA=AB=a,∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
解：如图，PA⊥平面BD,过A作AH⊥BC于H,连结PH,则PH⊥BC
又AH⊥BC,故∠PHA是二面角PBC-A的平面角。
在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=号；
在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH==2,则
2
∠PHA=arctan2.
三、垂面法：己知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半
平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱
垂直。
例在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,
求B-PCD的大小。
解：（垂面法）如图，PA⊥平面BDBD⊥AC
→BD⊥BC→过BD作平面BDH⊥PC于H→PC⊥DH、BH
→∠BHD为二面角B-PC-D的平面角。
因PB=v5a,BC=aPC=5a号PBBC-S△PBC=PCBH则BH-
2=DH,
又BD=√2a在△BHD中由余弦定理，得：
cos∠BHD=BH2+DH2-BD2
2BH BD
,又0<∠BHD
3
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