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高考外接球内切球系列专题
外接球：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点
就是该简单多面体的外接球的球心。
题型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
公式(2R)2=a2+b2+c2,即2R=Va2+b2+c2,求出R
例题1若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为√3，则其外接球的表面积是9
解
a=V5,b=√5，c=√5
:2R=Va2+b2+c2-V√32+(V32+(V3)2=3
i.R=3:.S=4nR=9n
例题2.三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上.棱锥P-ABC的各棱长为：
PA=2,PB=3,PC=4,AB=V13,BC=5,AC=2W5,则球O的表面积为()
A.28π
B.29π
C.30π
D.31π
答案：B
例题3【2019年高考全国I卷理数】已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，
PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，
则球O的体积为
A.8V6π
B.4V6π
C.2V6π
D.√6π
【答案】D
【解析】解法一：PA=PB=PC,△ABC为边长为2的等边三角形，∴.P-ABC为正
三棱锥，
∴.PB⊥AC,又E,F分别为PA,AB的中点，.EF∥PB,∴，EF⊥AC,
又EF⊥CE,CE∩AC=C,.EF⊥平面PAC,∴.PB⊥平面PAC,
∠APB=90,PA=PB=PC=√2，P-ABC为正方体的一部分，
则2R=2+2+2=6,即R=6
R-4×66-V6元故选D.
.v=4
一元X
3
38
解法二：设PA=PB=PC=2x,E,F分别为PA,AB的中点，
:EF/PB,且EF=PB=x,
△ABC为边长为2的等边三角形，.CF=√3，
又∠CEF=90°，.CE=3-X,AE=PA=x,
在△AEC中，由余弦定理可得cOS∠EAC=
x2+4-(3-x2）
2×2×x
作PD L AC于D,PA=PC,为AC的中点，cos∠EAC=1D=⊥
PA 2x
+4-3+21
4x
’2x2+1=2,x2=),x=V2,
2x
2
∴.PA=PB=PC=V2,又AB=BC=AC=2,.PA,PB,PC两两垂直，
2R=2+2+2=6,R=6,
2
.v=4
πR3=4T×6W6=√6π.故选D.
3
8

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