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第六章　平面向量、复数
第1节　平面向量的概念及线性运算　
[课标要求]　(1)向量概念：①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．②理解平面向量的几何表示和基本要素．
(2)向量运算：①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．
②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．
③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量与 数量 把既有大小又有方向的量叫做向量；把只有大小没有方向的量称为数量 平面向量是自由向量
有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段 以A为起点、B为终点的有向线段记作
向量 的模 向量的大小称为向量的长度(或称模) 记作||
零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的
单位 向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为±
平行 向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量), 向量a与向量b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量平行
相等 向量 长度相等且方向相同的向量，向量a与向量b相等，记作a＝b 相等向量一定是平行向量，反之不一定
2．向量的线性运算
向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋ b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝ a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0或a＝0时，λa＝0 λ(μa)＝ (λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
(一)必背常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
3．若＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1．
4．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
(1) ＋＋＝0；
(2) ＝(＋)；
(3) ＝(＋)＝(＋)．
5．对于任意两个向量a，b，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a，b不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．
(二)盘点易错易混
1．要重视向量的方向．
2．要注意区分向量共线(平行)与线段的共线或平行．
3．要重视零向量的特殊性，涉及向量共线等问题时不要因忽略零向量致误．
4．单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
5．容易因对向量三角不等式认识不清致误．
【小题热身】
1．(2021·江西上绕模拟)如图，向量a－b＝(　　 )
A．e1－3e2 B．e1＋3e2
C．－3e1＋e2 D．－e1＋3e2
解析：由图可得，a＝e1＋4e2，b＝2e1＋e2，所以a－b＝－e1＋3e2．
答案：D
2．(2021·重庆八中月考)在△ABC中，D为AB的中点，G为线段CD上一点，若＝＋λ，则λ的值为(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：由D为AB的中点知，＝＋λ＝＋λ，又G为线段CD上一点，由共线定理知＋λ＝1，则λ＝．
答案：B
3．(2022·安徽合肥一中月考)设a，b是两个非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　 )
A．＝且a∥b B．a＝－b
C．a∥b D．a＝4b
解析：表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选项易知D满足题意．
答案：D
4．(2022·湖南长沙一中月考)如图所示，
△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，
则＝(　　 )
A．－＋ B．－＋
C．－＋ D．－＋
解析：因为E是线段AD的靠近A的三等分点，所以＝，
又D是线段BC的中点，所以＝，
所以＝＋＝－＋＝－＋(＋)＝－＋．
答案：A
5．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________．
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2．
答案：2
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__平面向量的概念[自主演练]
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
解析：①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．
②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0．
④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．
答案：C
2．给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b．
其中正确命题的序号是________．
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥，
又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝．故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，
∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．
④不正确．当a与b方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是②③．
答案：②③
[思维升华]　理解好向量的相关概念是解决本题的关键，特别注意零向量的特殊性及共线向量定理的应用．
考点2__平面向量的线性运算[多维讲练]
平面向量的线性运算是一个重要考点，一般有两个角度：一是利用三角形或平行四边形法则进行向量线性运算；二是根据向量间的线性运算求参数值．题型为选择或填空题，难度中等，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养．
角度1　向量的线性运算
【例1】(1)如图所示，
已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　 )
A．a－b B．a－b
C．a＋b D．a＋b
(2)在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则(　　 )
A．＝＋
B．＝＋
C．＝＋
D．＝＋
[思维点拨]　利用几何图形中各线段所代表的向量，结合向量线性运算的几何关系，即可确定各向量之间的线性关系．
解析：(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，
得∥且＝＝a，所以＝＋＝b＋a．
(2)
在四边形ABCD中，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形，如图所示．
由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，
所以＝＝(－)＝×＝，
所以＝＋＝＋＝＋．
答案：(1)D 　(2)B
[思维升华]　向量线性运算的解题策略：
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的一般步骤：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果．
[对点练]　1．(2021·湖北宜昌模拟)在△ABC中，点D是线段BC上靠近点C的三等分点，点E在线段AD上，AE∶ED＝3∶5，则＋＝(　　 )
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
解析：根据题意，作出图形，如图所示．
因为＝－，＝－，
所以＋＝－＋－＝＋－2，
又AE∶ED＝3∶5，所以＝，
所以＋＝＋－＝＋－＝－＋，
又点D是线段BC上靠近点C的三等分点，所以＝，
所以＋＝－×＋＝＋－＝＋．
答案：B
角度2　根据向量线性运算求参数
【例2】(1)已知△ABC中，D为AB的中点，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　 )
A．－　　B．－　　C．　　D．
(2)在△ABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F．若＝＋，则 的值为(　　 )
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
解析：(1)因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝－＋，
所以λ＝－，μ＝．故λ＋μ＝．
(2)设＝λ，因为＝＋，所以＝＋λ，
因为B，F，D三点在同一条直线上，所以＋λ＝1，所以λ＝4，
所以＝4．
答案：(1)C　(2)C
[思维升华]　解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后利用三点共线的条件或通过建立方程组来求相关参数的值．
[对点练]　2．如图，
在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　 )
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
解析：根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋．因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3．
答案：C
考点3__共线向量定理的应用[典例引领]
【例3】　设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
解：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5．
∴、共线．
又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb．∴(k－λ)a＝(λk－1)b．
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1．
[思维升华]1．证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
2．非零向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；非零向量a、b不共线，则λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立．
[对点练]　1．(2021·山西临汾一模)已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3，则(　　 )
A．A、B、D三点共线
B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线
D．A、C、D三点共线
解析：＝＋＝＋3＝a＋5b，
又＝a＋5b，所以＝，则与共线，
又与有公共点B，所以A、B、D三点共线．
答案：A
2．设e1，e2是不共线的向量，若＝e1＋λe2，＝e1＋e2，＝3e1－2e2，A，B，D三点共线，则λ的值为__________．
解析：因为e1，e2是不共线的向量，所以e1，e2可以作为平面内一组基底，
因为＝e1＋λe2，＝e1＋e2，＝3e1－2e2，
所以＝－＝－＝－2e1＋3e2，因为A，B，D三点共线，
所以∥，所以－2λ＝1×3，解得λ＝－．
答案：－
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
三角形中的“四心”问题
三角形的内心、外心、重心和垂心是试题中经常涉及的特殊点，在平面向量中有很多关于“四心”的结论，如能合理运用，可简化运算，提高解题速度和正确率．
三角形的“四心”的向量形式的充要条件：
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝．
(2)O为△ABC的重心 ＋＋＝0．
(3)O为△ABC的垂心 ·＝·＝·．
(4)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0．
【典例】　已知O为△ABC所在平面上一点，设＝m ＋n ，若＋＋＝0，则m的值为________．
[思维点拨]　可将已知条件转化为(1－m－n)＝m ＋n ，结合＝＋，列方程组求解；或根据O为重心，结合重心的性质＝写出关于，的表达式，即可求解．
解：法一(常规解法)　由＝m ＋n ＝m(＋)＋n(＋)＝(m＋n)＋m ＋n ．
得(1－m－n)＝m ＋n ．
因为＋＋＝0，即＝＋，
所以解得m＝n＝，故填．
法二(结论解法)　根据三角形“四心”的向量形式的充要条件中的(2)，由＋＋＝0可知O为三角形ABC的重心，
延长AO交BC于D，如图所示，
根据三角形重心的性质有＝＝(＋)＝＋，所以m＝n＝，故填．
答案：
[思维升华]　用本例法二的关键是根据平面向量的表达式直接得到点O是三角形ABC的重心，再结合重心的性质求解，简单快捷，事半功倍．
[对点练]　(2021·河南考前模拟)已知△ABC的内角A＝，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面上一点，且满足||＝||＝||，设＝m ＋，则m＋n的值为(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
解析：(结论解法)根据三角形“四心”的向量形式的充要条件中的(1)，由||＝||＝||，得点O是△ABC的外心，
又外心是三角形三边中垂线的交点，则有即
又·＝12，所以解得
即m＋n＝＋＝，故选A．
答案：A
课下巩固培优卷(二十八)
【A/基础巩固题组】
1．(多选)下列各式中，化简结果为 的是(　　)
A．(－)－
B．－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
解析：对于A，(－)－＝＋＋＝，故A正确；
对于B，－(＋)＝，故B正确；
对于C，－(＋)－(＋)＝－(＋)－(＋) ＝－－＝－(＋)＝－＝，故C正确；
对于D，－－＋＝2＋≠，故D不正确．
答案：ABC
2．(2021·山东青岛一中月考)a，b为非零向量，且＝＋，则(　　 )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量
C．a＝－b
D．a，b无论什么关系均可
解析：因为a，b为非零向量，因为＝＋，由向量和的模的性质知a，b方向相同，观察选择项知选A．
答案：A
3．已知a，b是两个不共线的非零向量，若(2a＋3b)∥(3a＋λb)，则实数λ＝(　　 )
A．　　　B．－2　　　C．2　　　D．－
解析：因为(2a＋3b)∥(3a＋λb)，所以存在t∈R，使得2a＋3b＝t(3a＋λb)，
所以(2－3t)a＝(tλ－3)b，又因为a，b是两个不共线的非零向量，
所以解得λ＝．
答案：A
4．(2020·安徽皖南八校第一次联考)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋μb，＝3a＋2b，＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数λ，μ满足(　　 )
A．λ＝μ－1 B．λ＝μ＋5
C．λ＝5－μ D．λ＝μ＋1
解析：由A，B，C三点共线，得＝t＋(1－t)＝(t＋2)a＋(3－t)b，
而＝λa＋μb，于是有λa＋μb＝(t＋2)a＋(3－t)b，即解得λ＝5－μ．
答案：C
5．(2022·河北定州中学月考)在△ABC中，＝t，P是BN上一点，若＝＋，则实数t的值为(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：由平面向量的线性运算法则和向量的基本定理，
可得＝＋＝＋＝＋＝＋，
因为B，P，N三点共线，所以＋＝1，解得t＝．
答案：C
6．
(2021·安徽芜湖二模)如图，不共线的三个向量a，b，c以圆心O为起点，终点落在同一圆周上，且两两夹角相等，若c＝xa＋yb，则x＋y＝(　　 )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
解析：
因为不共线的三个向量a，b，c以圆心O为起点，终点落在同一圆周上，且两两夹角相等，所以三个向量的终点A，B，C组成一个等边三角形，即O是这个等边三角形的中心也就是重心，故有a＋b＋c＝0 a＋b＋xa＋yb＝0 x＝－1，y＝－1 x＋y＝－2．
答案：A
7．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝_____．
解析：因为||＝||＝|－|＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，
所以|＋|＝2．
答案：2
8．若M是△ABC的边BC上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．
解析：由题设知＝3，如图，过M作MN∥AC交AB于N，
则＝＝＝，
从而＝．
又＝λ＋μ＝＋＝＋，
所以λ＝．
答案：
9．设点O在△ABC内部，且有＋2＋3＝0，点D是边BC的中点，设△ADC与△AOC的面积分别为S1、S2，则S1∶S2＝__________．
解析：由＋2＋3＝＋2＝0，所以＋＝－2．
设E为AC的中点，由D为BC的中点．
则＋＝2，＋＝2，
所以＝－2，则E，O，D三点共线，且＝2，如图．
所以＝，则点O到AC的距离是点D到AC的距离的倍．
所以＝．
答案：3∶2
10．
如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，试用a，b表示向量．
解：法一　由D，O，C三点共线，可设＝k1＝k1(－)＝k1＝－k1a＋k1b(k1为实数)，同理，可设＝k2＝k2(－)＝k2＝－k2a＋k2b(k2为实数), ①
又＝＋＝－a＋＝－(1＋k1)a＋k1b，②
所以由①②，得－k2a＋k2b＝－(1＋k1)a＋k1b，
即(1＋k1－2k2)a＋b＝0．又a，b不共线，所以　解得所以＝－a＋b．所以＝＋＝a＋＝(a＋b)．
法二　延长AO交BC于点E，O为△ABC的重心，则E为BC的中点，
所以＝＝×(＋)＝(a＋b)．
【B/能力提升题组】
11．(2021·湖北武汉模拟)已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　 )
A．内心　　B．外心　　C．重心　　D．垂心
解析：如图，设＝，＝，已知，均为单位向量，
故四边形AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC，由＝＋λ，λ∈(0，＋∞)
得＝λ，又与有公共点A，故A，D，P三点共线，
所以点P在∠BAC的角平分线上，故动点P的轨迹经过△ABC的内心．
答案：A
12．如图，在△ABC中，
点O满足＝2，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设＝m，＝n，则m2＋n2的最小值是(　　 )
A．　　　B．2　　　C．　　　D．
解析：因为＝2，所以＝＋＝＋．
又因为M、O、N三点共线，所以＋＝1．所以m＝3－2n．
所以m2＋n2＝(3－2n)2＋n2＝5n2－12n＋9＝52＋，
所以当n＝，m＝时，m2＋n2有最小值为．
答案：A
13．已知a，b是不共线向量，设＝2a＋b，＝a＋2b，＝3a－b，＝a－3b，若△OAB的面积为3，则△OCD的面积为(　　 )
A．8　　　B．6　　　C．5　　　D．4
解析：∵＝2a＋b，＝a＋2b，＝3a－b，＝a－3b，
如图，在平行四边形OAMB中，
＝＝＝，＝＝＝．
设∠OEA＝θ，则S△OAB＝2S△OAE＝2××·sin θ＝3，即·sin θ＝3
同理，在平行四边形OCND中，
＝＝＝a＋b，＝＝＝2
可得＝，＝4，∴∥，∥；
所以与的夹角为θ或其补角，
则S△OCD＝2S△OCF＝2××·sin θ＝ 4×sin θ＝×·sin θ＝×3＝8∴△OCD的面积为8．
答案：A
14．(多选)(2021·湖北黄石模拟)如图直线l过△ABC的重心G(三条中线的交点)，
与边AB、AC交于点P、Q，且＝λ，＝μ，直线l将△ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为S△APQ和S四边形PQCB，则以下结论正确的是(　　 )
A．λ＋μ＝
B．＋＝3
C．的最大值为
D．的最大值为
解析：因为G是△ABC的重心，所以＝＋，
因为＝λ，＝μ，所以＝＋，
因为P、G、Q三点共线，所以＋＝1，＋＝3，B正确，
因为S△ABC＝·AB·AC·sin A，
S△APQ＝·AP·AQ·sin A，
所以λμS△ABC＝S△APQ，S四边形PQCB＝
S△ABC，＝＝－1，
因为λ>0，μ>0，所以＋≥2，
即3≥2，≤，当且仅当λ＝μ时取等号，
故＝－1≤－1＝，C正确．故选BC．
答案：BC

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