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第2节　平面向量基本定理及坐标表示
　
[课标要求]　向量基本定理及坐标表示：①理解平面向量基本定理及其意义．②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0．
(一)必背常用结论
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为．
3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为．
4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1)，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．
(二)盘点易错易混
1．涉及向量共线时，容易忽略零向量致误．
2．平面向量基本定理的前提是基底向量不能共线，不能忽视．
3．已知两点求对应向量坐标时，要注意差的顺序．
4．容易记错两个向量平行的坐标公式，要注意坐标顺序及加减号．
5．a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0．
【小题热身】
1．(2021·黑龙江哈尔滨六中月考)若向量＝，＝，则＝(　　 )
A． B．
C． D．
解析：由题意，向量＝，可得＝，
又由向量＝，可得＝＋＝(5，6)＋(－2，－3)＝(3，3)．
答案：C
2．若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c＝(　　 )
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
解析：设c＝xa＋yb，则∴∴c＝3a－b．
答案：B
3．(2021·江苏泰州模拟)若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　 )
A．e1－e2，e2－e1
B．e1＋e2，e1－e2
C．2e2－3e1，－6e1＋4e2
D．2e1＋e2，e1＋e2
解析：由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2非零不共线，
对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2与e2－e1共线，不符题意；
对B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；
对C，2e2－3e1＝(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1与－6e1＋4e2共线，不满足题意；
对D，2e1＋e2＝2(e1＋e2)，故2e1＋e2与e1＋e2共线，不满足题意．
答案：B
4．(2021·山东潍坊三模)如图，在平行四边形ABCD中，＝，
若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　 )
A．－ B．1
C． D．
解析：＝－＝－＝－＝－，
又∵＝λ＋μ，，不共线，
根据平面向量基本定理可得λ＝，μ＝－，∴λ＋μ＝．
答案：D
5．(2021·北京朝阳二模)已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，2)，且a＋2b＝0，则m＝___________．
解析：因a＝(2，m)，b＝(－1，2)，则a＋2b＝(2，m)＋2·(－1，2)＝(2，m)＋(－2，4)＝(0，m＋4)，
而a＋2b＝0，所以m＋4＝0，m＝－4．
答案：－4
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__平面向量基本定理的应用[典例引领]
【例1】　如图，已知△OCB中，
A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b．
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，
由平行四边形法则，得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b．
(2)由题意知，∥，故设＝x．因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b．所以(2－λ)a－b＝x．因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故λ＝．
[思维升华]　应用平面向量基本定理的注意事项
(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
(3)强化共线向量定理的应用．
[对点练]　1．(2021·山西太原一模)已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2DC，点P在线段BC上，若＝＋λ，则实数λ＝(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：如图，
∵P在线段BC上，且AB＝2DC，∴设＝k＝k(－)＝k(＋－)＝k＝k，
∴＝＋＝＋k＝＋k，
又＝＋λ，∴解得λ＝．
答案：C
2．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
解析：因为＝＋，所以3＝2＋，
即2－2＝－，所以2＝．即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设＝λ．所以＝－＝λ－＝λ－＝＋，又＝t＝t(－)＝t＝－t．故解得故t的值是．
答案：
考点2__平面向量的坐标运算[典例引领]
【例2】　已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，
(1)求＋2－3；
(2)设＝3，＝－2，求及M、N点的坐标．
解：(1)∵A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，
∴＝(－2－1，3＋2)＝(－3，5)，
＝(－2－2，3－1)＝(－4，2)，
＝(3－2，2－1)＝(1，1)，
∴＋2－3＝(－3，5)＋2(－4，2)－3(1，1)
＝(－3－8－3，5＋4－3)＝(－14，6)．
(2)∵＝3，＝－2，
∴＝－＝－2－3＝－2＋3，
由A、B、C、D点坐标可得＝(3，2)－(1，－2)＝(2，4)，
∴＝－2(1，1)＋3(2，4)＝(4，10)．
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
又＝3，∴－＝－3，
∴(xM，yM)－(3，2)＝(－6，－12)，
∴xM＝－3，yM＝－10，∴M(－3，－10)．
又＝－2，即－＝－2，
∴(xN，yN)－(3，2)＝－2(1，1)，
∴xN＝1，yN＝0，∴N(1，0)．
[思维升华]　求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
[对点练]　1．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，
后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若E为AF的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，建立如图直角坐标系，设＝1，由E为AF的中点，
∴E，G，A，B，D，则＝，＝，＝，
由＝λ＋μ，得＝λ＋μ，
∴解得则λ＋μ＝．
答案：D
2．(2021·湖南益阳月考)已知A，B， C，且＋＋＝0，则点G的坐标为__________．
解析：设G，因为A，B，C，
则＝，＝，＝，
又＋＋＝0 ，所以解得所以点G的坐标为．
答案：
考点3__向量共线的坐标表示[多维讲练]
向量共线的坐标表示是本节重点，考查角度一是结合向量坐标的加、减、数乘等运算，利用向量共线的坐标公式求参数值；二是利用平行关系求相关点的坐标，常用待定系数法，题型是选择或填空题，难度较小．
角度1　利用向量共线求参数
【例3】　(2021·西藏拉萨一模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，3)，若向量ma＋2b(m∈R)与向量3a－2b共线，则m的值为(　　 )
A．－3　　　B．3　　　C．　　　D．－
[思维点拨]根据向量a，b的坐标求出向量ma＋2b与向量3a－2b的坐标，结合共线的坐标表示可求m的值．
解析：因为a＝(－1，2)，b＝(2，3)，所以ma＋2b＝(－m＋4，2m＋6)，3a－2b＝(－7，0)，
因为向量ma＋2b与向量3a－2b共线，所以－7＝0，即m＝－3．
答案：A
[思维升华]　利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
[对点练]　(2021·湖北襄阳模拟)已知A(－1，－2)，B(1，8)，C三点共线，且＝λ，则λ＝______，x＝______．
解析：由题意，点A(－1，－2)，B(1，8)，C(x，)，可得＝(x＋1，)，＝(1－x，)，
因为＝λ，即(x＋1，)＝λ·(1－x，)，
可得解得λ＝3，x＝．
答案：3　
角度2　利用向量共线求向量或点的坐标
【例4】　(一题多法)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
解析：法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4，4λ)．又＝－＝(－2，6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3)．
法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，
即x＝y．又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3)．
答案：(3，3)
[思维升华]　利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
[对点练]　已知梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，
∴＝2．设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
∴解得故点D的坐标为(2，4)．
答案：(2，4)
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
奔驰定理
奔驰定理：如图所示，已知P是三角形ABC内任意一点，则S△PBC＋S△PCA＋S△PAB＝0．
推论：已知P是三角形ABC内任意一点，且x＋y＋z＝0，则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝x∶y∶z．
【典例】　点P是△ABC内一点，且＝＋，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是(　　)
A．1∶3 B．2∶3
C．1∶4 D．1∶2
[思维点拨]　作出图形，根据＝＋可得＝＝，进而得＝＝或直接根据奔驰定理的推论，得到S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝5∶4∶3，进而得出△ABP的面积与△ABC的面积之比．
解析：法一(常规解法)　如图所示，连接CP并延长，交AB于Q，取AB靠近A的三等分点M，取AC靠近A的四等分点N，连接PM，PN．
因为＝＋，所以四边形AMPN为平行四边形，PN∥AQ，所以＝＝．
分别过点P，C作AB的垂线，垂足分别为E，F，则＝，所以△ABP的面积与△ABC的面积之比为＝．故选C．
法二(结论解法)　连接PC，＝＋＝(－)＋(－)＝＋－，
即＋＋＝0，
利用奔驰定理的推理得S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝∶∶＝5∶4∶3，所以＝＝．故选C．
答案：C
[对点练]　(2022·福建漳州模拟)已知△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点G是△ABC的重心，且＋＋＝0，则∠ABC的大小是________．
解析：(结论解法)由点G是△ABC的重心，可得＋＋＝0，
由奔驰定理的推论及＋＋＝0，
得S△GBC∶S△GCA∶S△GAB＝∶∶＝1∶1∶1．
设a＝5m，b＝7m，c＝8m，由余弦定理可得cos ∠ABC＝＝＝．
因为0<∠ABC<π，所以∠ABC＝．故填．
答案：
课下巩固培优卷(二十九)
【A/基础巩固题组】
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，c＝(5，4)，则以向量a与b为基底表示向量c的结果是(　　)
A．a－b B．a－b
C．－a－b D．a＋b
解析：设c＝xa＋yb，则解得所以c＝a－b．
答案：A
2．(2021·湖北荆门模拟)在△ABC中，已知3＝2＋，且＝(2，4)，＝(m，－2)，则m＝(　　 )
A．1　　　B．4　　　C．－1　　　D．－4
解析：因为3＝2＋，所以＝2，
又＝(2，4)，＝(m，－2)，所以2×＝4m，故m＝－1．
答案：C
3．(2021·安徽淮南二模)△ABC中，D是BC的中点，点E在边AC上，且满足3＝，BE交AD于点F，则＝(　　 )
A．－＋ B．－
C．－＋ D．－＋
解析：由题设可得如下几何示意图，
设＝λ，＝μ，
∵＝－＝－，
∴＝λ＝－λ，
∵＝，
∴＝μ＝，
由＋＝知(1－λ)＋＝，
∴得∴＝＝－．
答案：A
4．(多选)已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(1，1)，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是(　　 )
A．a，c B．a，b－c
C．c，a＋b D．a＋b，b－c
解析：对于A，假设a＝λc，则有显然不成立，故向量a，c不是共线向量，所以符合题意；
对于B，b－c＝(－1，0)，因为a＝－(b－c)，所以a，b－c是共线向量，因此不符合题意；
对于C，a＋b＝(1，1)，因为a＋b＝c，所以c，a＋b是共线向量，因此不符合题意；
对于D，a＋b＝(1，1)，b－c＝(－1，0)，假设a＋b＝μ(b－c)是共线向量，则有显然不成立，故向量a＋b，b－c不是共线向量，所以符合题意．故选AD．
答案：AD
5．(2021·山东聊城三模)在△ABC中，＝3，＝4，＝5，M为BC中点，O为△ABC的内心，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　 )
A． B．
C． D．1
解析：由题知，∠A＝，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径OE＝OF＝＝1，四边形AEOF为矩形，
则＝＋＝＋，又＝＋，
则＝λ＋μ＝(λ＋)＋＝＋，
则解得则λ＋μ＝＋＝．
答案：A
6．(2021·河北沧州模拟)已知a＝(1，2＋sin x)，b＝(cos x，)，c＝(－1，2)，(a－c)∥b，则锐角x等于(　　 )
A．　　B．　　C．或　　D．或
解析：a－c＝(2，sin x)，(a－c)∥b 2×－sin xcos x＝0 sin 2x＝，2x∈(0，π)，2x＝或，x＝或．
答案：D
7．若O(0，0)，A(1，2)且＝2，则A′的坐标为________．
解析：设A′(x，y)，则＝(x，y)，＝(1，2)，
因为＝2，所以(x，y)＝2(1，2)＝(2，4)，则x＝2，y＝4，即A′坐标为．
答案：(2，4)
8．(2021·广东揭阳模拟)在四边形ABCD中，AB＝2，单位向量与平行，P是BC的中点，AP∩DC＝Q，若在、、、中选两个作为基本向量，来表示向量，则＝___________．
解析：＝2＝2＝2＋．
答案：2＋
9．设向量a＝，b＝，如果向量a＋2b与2a－b平行，则a＋b＝___________．
解析：a＋2b＝，2a－b＝，
由向量a＋2b与2a－b平行，∴4－3＝0，
解得m＝－，则a＋b＝．
答案：
10．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．
解析：由已知得＝(3，1)，＝(－m－1，－m)．
由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，
而当与共线时，有＝，解得m＝，
故若点A、B、C能构成三角形，则m≠．
答案：m≠
【B/能力提升题组】
11．如图，
点C在半径为2的上运动，∠AOB＝，若＝m＋n，则m＋n的最大值为(　　 )
A．1　　　B．　　　C．　　　D．
解析：以O为原点、的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则有＝(2，0)，＝(1，)．
设∠AOC＝α，则＝(2cos α，2sin α)．由题意可知
所以m＋n＝cos α＋sin α＝sin ．
因为α∈，所以α＋∈，故m＋n的最大值为．
答案：C
12．(2021·重庆一中月考)如图所示 ABCD，
＝，＝2＝4，EG与FC交于点M，则＝(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：设＝a，＝b，则在平行四边形ABCD中，＝＋＝a＋b，
所以＝＝，
因为＝2＝4，所以＝a，＝a，
连接BM，因为与共线，≠0，
所以设＝λ，λ∈(0，1)，
所以－＝λ，
所以＝λ＋(1－λ)＝a＋(1－λ)b，
同理可设＝μ，μ∈(0，1)，
所以－＝μ，
所以＝(1－μ)＋μ＝a＋μ，
所以a＋(1－λ)b＝a＋μ，
因为a，b不共线，所以解得所以＝，即＝，
所以＝，则＝，所以＝．
答案：D
13．如图，在△ABC中，＝，
点E在线段AD上移动(不含端点)，若＝λ＋μ，则＝____________，λ2－2μ的最小值是____________．
解析：因为在△ABC中，＝，所以＝2．
由向量定比分点公式得＝＋，即＝＋．
因为点E在线段AD上移动(不含端点)，所以设＝x(0所以＝＋，对比＝λ＋μ可得λ＝，μ＝，得＝＝2，
λ2－2μ＝－2×＝－(0根据二次函数性质知当x＝－＝时，＝×－×＝－．
答案：2　－
14．(2021·河北石家庄二中月考)在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，
D在边AB上(不与端点重合)．延长CD到P，使得CP＝9．若＝m＋(m为常数)，则BD的长度是___________．
解析：∵C、D、P三点共线，∴可设＝λ(λ>0)，
∵＝m＋，∴λ＝m＋，即＝＋，
若m≠0且m≠，则A、B、D三点共线，∴＋＝1，即λ＝，
∵CP＝9，∴PD＝6，CD＝3，∵BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝5．
设AD＝x，∠ADC＝θ，则BD＝5－x，∠BDC＝π－θ，
∴根据余弦定理可得cos θ＝＝，
cos ＝＝，∵cos θ＋cos ＝0，
∴＋＝0，解得x＝或x＝5(舍去)，
∴BD的长度为5－＝．
答案：
15．(2021·山东枣庄二模)如图，
由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD中，＝3．设＝x＋y，则x＋y的值为________．
解析：过点F作FM⊥AB，垂足为M，根据正方形的性质，可知DA⊥AB，因此FM∥AD，
由题意可知△ADE≌△ABF，所以AE＝BF，由题意可知EFGH是小正方形，
因此可知：△ABF是直角三角形，设大正方形ABCD的边长为1，AE＝BF＝a，
因为＝3，所以AF＝3AE＝3a，
由勾股定理可知AB2＝AF2＋BF2 1＝9a2＋a2 a＝，由sin ∠FAB＝＝ ＝
FM＝，由cos ∠FAB＝＝ ＝ AM＝，
因为＝＋＝＋，所以x＋y＝＋＝＝．
答案：

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