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第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用　
[课标要求]　(1)数量积的运算：①理解平面向量数量积的概念及其物理意义；②了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；
(2)数量积的坐标表示：①能用坐标表示平面内量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．②能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；
②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b；
③当θ＝π时，向量a与b反向．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos_θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．
规定零向量与任一向量的数量积为0．
3．投影向量
(1)设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)
如图所示，若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1＝|a|cos__θe．
温馨提示：当θ＝0时，OM1＝|a|e；当θ＝时，OM1＝0；当θ∈时，OM1与b方向相同；当θ∈时，OM1与b方向相反；当θ＝π时，OM1＝－|a|e．
4．向量数量积的运算律
(1) 交换律：a·b＝b·a．
(2) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．
结论 几何表示 坐标表示
数量积 |a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
a∥b的 充要条件 a＝λb x1_y2－x2y1＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
(一)必背常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式：
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
2．有关向量夹角的两个结论：
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立)．
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立)．
(二)盘点易错易混
1．根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时，不要遗漏向量共线的情况．
2．|a·b|≤|a||b|当且仅当a∥b时等号成立．
3．注意向量夹角和三角形内角的关系．
【小题热身】
1．(2021·安徽皖西南联盟检测)正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向量A6A7与A7A8的夹角为(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：因为正八边形的内角和为π＝6π，
所以A6A7与A7A8的夹角为π－∠A6A7A8＝π－＝．
答案：B
2．(2021·内蒙古呼和浩特一模)向量a＝，b＝，若a⊥b，则＝(　　 )
A．　　B．2　　C．5　　D．5
解析：向量a＝，b＝，a⊥b，
则a·b＝0，即－2＋2k＝0 ∴k＝1，即3a＋b＝(1，7)，
∴＝＝＝5．
答案：C
3．四边形ABCD中，＝2，·＝0，＝2，则·＝(　　 )
A．－1　　　B．1　　　C．－2　　　D．2
解析：由题意知，四边形ABCD为直角梯形，＝1，·＝0，
所以·＝·＝·＋·＝1×2－1＝1．
答案：B
4．(多选)如果平面向量a＝(2，－4)，b＝(－6，12)，那么下列结论中正确的是(　　 )
A．|b|＝3|a|
B．a∥b
C．a与b的夹角为30°
D．a在b方向上的投影为2
解析：因为a＝(2，－4)，b＝(－6，12)，所以b＝－3a．
在A中，由b＝－3a，可得|b|＝3|a|，故A正确；
在B中，由b＝－3a，可得a∥b，故B正确；
在C中，由b＝－3a，可得a与b的夹角为180°，故C错误；
在D中，a在b方向上的投影为＝＝－2，故D错误．
答案：AB
5．已知向量a＝(，1)，b＝(x，y)(xy≠0)，且|b|＝1，a·b<0，则向量b的坐标可以是________．(写出一个即可)
解析：由题意且xy≠0，例如x＝y＝－就能满足此条件．
答案：(答案不唯一)
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__平面向量数量积的基本运算[典例引领]
【例1】(1)(一题多法)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________．
解析：法一(几何法)　因为·＝2·，
所以·－·＝·， 所以·＝·．
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||·||cos ，化简得||＝2．
故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12．
法二(坐标法)
如图，建立平面直角坐标系xAy．
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2．
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12．
答案：12
(2)已知＝＝2，且向量与的夹角为120°，又＝1，则·的取值范围为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：由·＝(＋)(＋)＝·＋·(＋)＋OP2，
因为＝＝2，且向量与的夹角为120°，
所以·＝·＝··cos 120°＝2×2×(－)＝－2，又因为＝1，
所以·＝·－1，设＋＝，以、为邻边作平行四边形OACB，如图所示：
因为＝＝2，所以平行四边形OACB是菱形，而向量与的夹角为120°，
所以＝＝＝2，
因此·＝·－1＝－·－1＝－·－1，
因为·＝··cos 〈，〉＝2cos 〈，〉，
所以－2≤·≤2，因此－2≤－·≤2，所以有－3≤·≤1．
答案：C
[思维升华]　求非零向量a，b 的数量积的3种方法
直接法 若两向量共起点，则直接可得两向量的夹角，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算
几何法 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解
坐标法 若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解
[对点练]　1．(2021·吉林长春模拟)一副三角板有两种规格，一种是等腰直角三角形，另一种是有一个锐角是30°的直角三角形，如图两个三角板斜边之比为∶2．四边形ABCD就是由三角板拼成的，＝2，∠ABC＝60°，则·＋·的值为(　　 )
A．2 B．－6
C．－6－2 D．－2
解析：建立如图所示直角坐标系：
因为＝2，∠ABC＝60°，所以＝2，＝，
则B，C，D，
所以＝，＝，＝，
＝，
所以·＋·＝－6－2．
答案：C
2．已知直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，P是边BC上一点(不包括B·C两点)．若||＝2，||＝4，且||＝||＋||，则·的最小值为(　　 )
A．0　　　B．2　　　C．3　　　D．4
解析：由题意，＝＋，＝＋，若＝λ(0<λ<1)，则＝(1－λ)，
∴·＝(－λ)·[(1－λ)＋]＝λ(λ－1)2＋·，又BA∥CD，||＝||＋||，
∴·＝16λ(λ－1)＋||||＝16λ(λ－1)＋4＋8λ＝16λ2－8λ＋4＝162＋3，
∴当λ＝时，·的最小值为3．
答案：C
3．(一题多法)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
解析：法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t∈[0，1]，
则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1．
因为＝(1，0)，所以·＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，
故·的最大值为1．
法二　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，
∴·＝||·1＝1．
当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，∴(·)max＝||·1＝1．
答案：1　1
考点2__平面向量数量积的应用[多维讲练]
平面向量数量积的应用是本章重点，也是高考热点，题型为选择或填空题，主要考查向量的垂直、向量的模及夹角，既有正面的求解判断，也有已知夹角、模长、垂直关系求参数值，难度中低档．
角度1　求向量的模
【例2】(1)(2022·广东珠海一模)已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，则|a＋2b|＝______．
(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
解析：(1)根据题意，|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，
则有|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝10－2a·b＝4，可得a·b＝3，
则|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝49，故|a＋2b|＝7．
(2)
建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，
设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)．所以＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)，
所以|＋3|＝(0≤y≤b)，
所以当y＝b时，|＋3|取得最小值5．
答案：(1)7　 (2)5
[思维升华]　求平面向量模的2种方法
公式法 利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算
几何法 利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解
[对点练]　1．已知平面向量a＝(1，)，b＝(t，－2)，a＋b＝(3，－)，则|3a＋b|＝(　　 )
A．3　　B．3　　C．4　　D．4
解析：∵3a＋b＝2a＋(a＋b)＝(2，2)＋(3，－)＝(5，)，∴|3a＋b|＝＝3．
答案：A
2．已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为(　　 )
A．1　　　B．　　　C．2　　　D．2
解析：a，b是相互垂直的单位向量，不妨设a＝，b＝，
设c＝，由a·c＝b·c＝2, 可得x＝y＝2，即c＝，则c的模为＝＝＝2．
答案：D
3．(2022·山东济宁模拟)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，·≤0，则的最大值为(　　 )
A．－1　　　B．1　　　C．　　　D．2
解析：由题意知，＝＝＝1，又a·b＝0，
·＝a·b－a·c－b·c＋≤0，∴a·c＋b·c≥a·b＋＝1，
∴＝＋＋＋2a·b－2≤1＋1＋1＋0－2×1＝1，
∴≤1，即的最大值为1．
答案：B
角度2　求向量的夹角
【例3】(1)若λ为实数，已知向量m＝，n＝，若m⊥n，则向量m－n与n的夹角为(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)已知向量a，b满足＝4，＝5，a·b＝4，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)．
A．　　B．　　C．－　　D．－
解析：(1)因为向量m＝，n＝，且m⊥n，
所以2－λ＝0，解得λ＝2，所以m－n＝－＝．
设向量m－n与n的夹角为θ，则：
cos θ＝cos 〈m－n，n〉＝＝＝－，
又θ∈，所以θ＝．
(2)由cos 〈a，a＋b〉＝＝，又＝4，＝5，a·b＝4，
所以cos 〈a，a＋b〉＝＝＝．
答案：(1)D　(2)A
[思维升华]　求平面向量夹角的2种方法
定义法 当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得．
坐标法 直接利用公式求解．
[对点练]　4．(2021·陕西咸阳质检)已知a，b满足＋＝a·b＝2，＝，则a与b夹角的余弦值为(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：由题意，向量a，b满足＋＝a·b＝2，＝，
可得＝＋＋2a·b＝10＋4，所以＋＝10，
又由＝＋＋2＝20，所以＝5，
设向量a与b夹角为θ，则cos θ＝＝．
答案：A
5．(2021·湖南常德一模)已知向量a＝(1，k)，b＝(2－k，3)，若a⊥(2a－b)，且k≠0，则cos ＝__________．
解析：根据题意，向量a＝(1，k)，b＝(2－k，3)，则2a－b＝(k，2k－3)，
若a⊥(2a－b)，则a·(2a－b)＝k＋k(2k－3)＝0，解得k＝0或k＝1，
又k≠0，则k＝1，所以a＝(1，1)，b＝(1，3)，
则有|a|＝，|b|＝，a·b＝1＋3＝4，
故cos ＝＝＝．
答案：
角度3　平面向量的垂直问题
【例4】(1)已知向量a＝，b＝，≤3，⊥b，则x的值为(　　 )
A．－ B．－1
C．1 D．－3
(2)(2021·山东烟台二模)若向量a，b满足＝2，＝，且⊥，则a与b夹角的余弦值为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：(1)由已知2a＋b＝(3，2＋x)，
因为⊥b，所以·b＝－3＋x(2＋x)＝0，解得x＝－3或x＝1，
又≤3，所以x＝－3不合题意舍去，所以x＝1．
(2)由题设知：(a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝0，而＝2，＝，
∴2cos －1＝0，故cos ＝．
答案：(1)C　(2)D
[思维升华]　平面向量垂直问题的2个类型
利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[对点练]　6．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，3)，若a⊥(a－b)，则a在b方向上的投影为__________．
解析：由a＝(1，2)，b＝(m，3)，可得a－b＝(1－m，－1)，
又因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝1－m－2＝0 m＝－1，所以b＝(－1，3)．
所以a在b方向上的投影为＝＝＝．
答案：
7．已知非零向量a，b的夹角为60°，|b|＝3，a⊥(2a－b)，则|a|＝__________．
解析：由a⊥(2a－b)得a·(2a－b)＝2a2－a·b
＝2|a|2－|a||b|cos 60°＝2|a|2－|a|＝0．故|a|＝．
答案：
考点3__平面向量的综合应用[多维讲练]
平面向量综合应用主要是指利用平面向量的知识解决平面几何、解析几何、物理等问题，一般以选择或填空题形式考查，难度中等．解题的关键是将已知与所求转化为平面向量问题，利用相关知识求解．
角度1　平面向量在解析几何中的应用
【例5】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　 )
A．3 B．2
C． D．2
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝．
因为P在圆C上，所以
P．
又＝(1，0)，＝(0，2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，所以
λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin (θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3．
答案：A
[思维升华]　向量在解析几何中的2个作用
载体 作用 向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
工具 作用 利用a⊥b a·b＝0；a∥b a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法
[对点练]　已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________．
解析：设直线AB的方程为：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)．
将x＝ty＋m代入y2＝4x，可得
y2－4ty－4m＝0，
根据韦达定理有y1y2＝－4m．
∵·＝－4，
∴x1x2＋y1y2＝－4，即＋y1y2＝－4，由于点A、B位于x轴的两侧，∴y1y2＝－8，故m＝2，M(2，0)．
不妨令点A在x轴上方，则y1>0，
S△ABO＝|OM||y1－y2|＝y1－y2＝y1＋≥2＝4，当且仅当y1＝，即y1＝2时，等号成立．
∴△ABO面积的最小值是4．
答案：4
角度2　平面向量在物理中的应用
【例6】　在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则这艘船的航行速度的大小为________，方向与水流方向的夹角为________．
解析：如图所示，设表示水流速度，
表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB为一边，AC为对角线作 ABCD，则就表示船的航行速度．
∵||＝4，||＝12，
∴||＝||＝8，∴tan ∠ACB＝＝，
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°．
即船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为120°．
答案：8 km/h　120°
[思维升华]　解决向量在物理中的应用问题的策略
平面向量的数形结合性让它在物理学中具有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
(1)力、速度、加速度、位移等都是向量，它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；
(2)动量mv是数乘向量；
(3)功W是一个标量，它是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
[对点练]　如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，＝＝4 N，则物体的重力大小为________N．
解析：设F1，F2的合力为，则＝F1＋F2，∵F1，F2的夹角为90°，
∴2＝＝F12＋F22＋2F1·F2＝32＋32＝64，∴＝8 N，
∵物体处于平衡状态．∴物体的重力大小为||＝8 N．
答案：8
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
极化恒等式
1．平面向量的极化恒等式：
设a，b是两个平面向量，则有恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
2．证明过程：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b，
||2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，
||2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，此即极化恒等式．
3．几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的．
【典例】　(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为其左、右焦点，A1、A2分别为其左、右顶点，P为椭圆上的动点，且PF1·PF2＋PA1·PA2≥0恒成立，则椭圆C的离心率可能为(　　)
A． B．
C． D．
[思维点拨]　思路一：设P(x0，y0)，利用数量积的坐标运算及点在椭圆上得到关于a2，c2的不等式，即得离心率的范围．
思路二：利用极化恒等式将目标转化为与椭圆上的点到坐标原点距离有关的最值问题，求出离心率的范围．
解析：法一(数量积的坐标运算)　设P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，
则PF1·PF2＋PA1·PA2＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＋(－a－x0，－y0)· (a－x0，－y0)＝x－c2＋y＋x－a2＋y＝2x－c2－a2＋2(b2－x)＝x－3c2＋a2≥a2－3c2≥0，
所以椭圆C的离心率e＝≤．故选AC．
法二(极化恒等式)　PF1·PF2＋PA1·PA2＝[(PF1＋PF2)2－(PF1－PF2)2]＋[(PA1＋PA2)2－(PA1－PA2)2]＝[(2)2－(F2F1)2]＋[(2)2－(A2A1)2]＝2()2－c2－a2≥2b2－c2－a2＝2(a2－c2)－c2－a2＝a2－3c2≥0(||min＝b，O为坐标原点)，
所以椭圆C的离心率e＝≤．
答案：AC
[思维升华]　在解决向量数量积的相关问题中，利用极化恒等式可以将不方便计算的数量积转化为容易计算的线段长度问题，在实际应用中，可以选择一个线段长度是固定的，这样就相当于将动点问题进行了转化，转化成线段长度问题解决
[对点练]　已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．－1
解析：如图取BC的中点D，取AD的中点E，
·(＋)＝·2
4·＝(＋)2－(－)2＝(2)2－(2)2＝42－3
所以·(＋)＝·2＝22－，
而||≥0，当且仅当P在直线AD上时等号成立．
所以·(＋)的最小值是－，故选B．
答案：B
课下巩固培优卷(三十)
【A/基础巩固题组】
1．(2021·河北张家口二模)设平面向量a＝(1，0)，若a·b＝2，cos 〈a，b〉＝，则|b|＝(　　 )
A．2 B．3
C．9 D．6
解析：cos 〈a，b〉＝＝ ＝ |b|＝6．
答案：D
2．已知平面向量a，b满足2＝，＝，则向量a，b夹角的余弦值为(　　 )
A． B．－
C． D．－
解析：由＝得＝，即a2＝2a·b，所以cos 〈a，b〉＝＝＝．
答案：C
3．已知向量a＝(－6，－8)，b＝(2，1)，则a＋b在b方向上的投影为(　　 )
A．－3 B．3
C． D．－
解析：由题意可得·b＝(－4，－7)·(2，1)＝－15，＝，
故a＋b在b方向上的投影为＝＝－3．
答案：A
4．(2021·河北秦皇岛二模)在△ABC中，已知＝，＝4，＝3，＝2，则·＝(　　 )
A． B．3
C． D．6
解析：因为|＋|＝||＝|－|，
两边平方得：2＋2·＋2＝2－2·＋2
所以·＝0，即⊥．
因为＝2，所以点D是线段BC上靠近点C的三等分点，
据向量数量积的几何意义知：·＝2×3＝6．
答案：D
5．(多选)已知向量a＝，b＝，下列说法正确的有(　　 )
A．若a∥b，则m＝－
B．若m＝0，则a与b夹角的正弦值为
C．若a⊥b，则m＝－
D．若＝13，则m＝－8或16
解析：对于A，因为a∥b．所以3m＝－8．解得m＝－，A错误；
对于B，若m＝0，则a＝，b＝，cos 〈a，b〉＝＝＝，则sin 〈a，b〉＝，B正确；
对于C，因为a⊥b．所以－4m＋6＝0，解得m＝，C错误；
对于D，因为a＋b＝，所以＝13，解得m＝－8或16，D正确．故选BD．
答案：BD
6．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行
速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成角为θ (0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　 )
A．－　　B．－　　C．－　　D．－
解析：由题意知·v2＝0，有|v1||v2|cos θ＋v22＝0，即10×4cos θ＋42＝0，所以cos θ＝－．
答案：B
7．(2022·广东珠海二中月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创制了一幅“弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图)，后人称其为“赵爽弦图”．在直角三角形CGD中，已知GC＝4，GD＝3，在线段EF上任取一点P，线段BC上任取一点Q，则·的最大值为(　　 )
A．25　　　B．27　　　C．29　　　D．31
解析：建立如图所示平面直角坐标系，A
设P，
Q，
＝，
＝，
·＝4×＋·＝16＋4t＋at－4t－3a＋9＝25＋at－3a＝25＋·a．
－3≤t－3≤1，3≤a≤4，所以当t－3＝1，a＝4时，
·取得最大值为25＋1×4＝29．
答案：C
8．(2021·广东中山期中)如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a，b，c满足·c＝0，则t＝__________．
解析：若设x轴、y轴方向上单位向量分别为e1，e2，
∴由图知：a＝e1＋2e2，b＝3e1＋e2，c＝4e1＋4e2，
又∵·c＝0，得4·[(1＋3t)e1＋(2＋t)e2]·(e1＋e2)＝4×(3＋4t)＝0，
∴t＝－．
答案：－
9．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(m，0)(m>0)，则cos 〈，〉＝__________；若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝__________．
解析：①因为O(0，0)，A(1，2)，B(m，0)(m>0)，所以＝(1，2)，＝(m，0)，
所以cos 〈，〉＝＝＝；
②＝(m－1，－2)，若B是以OA为边的矩形的顶点，则·＝0，
即·＝m－1－4＝0，所以m＝5．
答案：　5
10．如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，
线段AD，BE，CF交于点O，则|＋|＝___________；若点M是线段BE上一点，且·＝－2，则||＝___________．
解析：建立如图所示直角坐标系，因为正六边形的边长为2，
则O(0，0)，A(－1，)，B(－2，0)，C(－1，－)，D(1，－)，E(2，0)，F(1，)，
所以＝(－1，)，＝(3，), ＋＝＝，
所以|＋|＝＝4，
点M是线段BE上一点，设M(n，0)，则＝(n－1，)，＝(n－1，－)，
＋＝(n－1，)＋(n－1，－)＝，＝(2，－2)，
·＝2×(n－1)＋(－2)×＝(n－1)－1＝－2，
解得n＝，
所以M，＝， ||＝．
答案：4　
【B/能力提升题组】
11．已知平面向量a、b、c，若〈a，b〉＝，＝4，＝1，则c在b方向上投影的最小值为(　　 )
A．2 B．－1
C． D．2
解析：不妨设a＝＝(4，0)，b＝，c＝，由＝1，可得＝，
又a＝(6，0)，故点C在以M(6，0)为圆心，为半径的圆上运动．
如图，由〈a，b〉＝，不妨设b在直线y＝x上，
过点C、M分别作直线OB的垂线，垂足为C1、M1，
则c在b方向上投影的最小值即为，即－＝cos 60°－＝．
答案：C
12．已知等边△ABC的三个顶点均在圆x2＋y2＝4上，点P，则·＋·的最小值为(　　 )
A．14　　　B．10　　　C．8　　　D．2
解析：·＋·＝(＋)(＋)＋(＋)(＋)
＝2＋(＋)＋·＋2＋(＋)＋·
＝22＋(＋＋＋)＋·＋·，
因为等边△ABC的三个顶点均在圆x2＋y2＝4上，所以||＝||＝||＝2，∠AOB＝∠AOC＝120°，
因此·＝||·||·cos ∠AOB＝2×2×＝－2，||＝＝3，
因为等边△ABC的三个顶点均在圆x2＋y2＝4上，所以原点O是等边△ABC的重心，
因此＋＋＝0，所以有：
·＋·＝18＋·－2－2＝14－·＝14－··cos ∠AOP
＝14－6cos ∠AOP，
当∠AOP＝0时，即，同向时，·＋·有最小值，最小值为14－6＝8．
答案：C
13．(多选)已知点O为△ABC所在平面内一点，2＋3＋4＝0，则下列选项正确的是(　　 )
A．＝＋
B．直线AO必过BC边的中点
C．S△ABC∶S△AOC＝3∶1
D．若||＝||＝||＝1，则cos 〈，〉＝
解析：由题意，点O为△ABC所在平面内一点，2＋3OB＋4＝ 0，
可得2＋3＋4＝2＋3(－)＋4(－)＋7＝0，
即9＋3＋4＝0，即9＝3＋4，可得＝＋，
所以A正确，B错误；
如图所示，分别延长OA，OB，OC于点D，E，F，使得＝2，＝3，＝4，
因为2＋3＋4＝0，可得＋＋＝0，所以O为△DEF的重心，
设△DEF的面积为S，
可得S△AOC＝S△ODF＝×S△DEF＝S，S△AOB＝S△ODE＝×S△DEF＝S，
S△BOC＝S△OEF＝×S△DEF＝S，
所以S△ABC＝(＋＋)S，可得＝＝3，所以C正确；
若||＝||＝||＝1，可得＝2，＝3，＝4，
因为＋＋＝0，可得＋＝－，所以＝，
可得2＋2＋2·＝2，即22＋32＋2·＝42，即·＝，
则cos 〈，〉＝cos 〈，〉＝＝，所以D正确．故选ACD．
答案：ACD

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