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第4节　复　数　
[课标要求]　(1)复数的概念：①通过方程的解，认识复数；②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；
(2)复数的运算：掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
(2)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
(3)复数相等
a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等当且仅当a＝c且b＝d，即两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．
特别地，a，b∈R, a＋bi＝0 a＝0，b＝0．
(4)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．
(5)共轭复数
实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．复数的分类
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．即复数z＝a＋bi(a，b∈R)
3．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 有序实数对(a，b) 复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义．
(2)复数z＝a＋bi一一对应平面向量，这是复数的另一种几何意义．
4．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R．
(2)几何意义：复数的加、减法可按向量的平行四边
形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2，
＝OZ1＋OZ2，
Z1Z2＝OZ2－OZ1．
(3)复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(一)必背常用结论
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i．
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n．
(5)复数z的方程在复平面上表示的图形
①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
(二)盘点易错易混
1．判定一个复数是不是实数，仅注意虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚数，如虚数不能比较大小，但两个复数都为实数时，则可以比较大小．
3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
【小题热身】
1．(2021·北京高考)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝(　　 )
A．2＋i　　B．2－i　　C．1－i　　D．1＋i
解析：由题意可得z＝＝＝＝1＋i．
答案：D
2．已知复数＝4－bi，a，b∈R，则a＋b＝(　　 )
A．2　　　B．－2　　　C．4　　　D．6
解析：因为＝4－bi，所以2＋ai＝i，所以2＋ai＝b＋4i，所以所以a＋b＝6．
答案：D
3．已知复数z满足z·i＝1＋i，，则z在复平面内对应的点位于(　　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由z·i＝1＋i，，得z＝＝＝1－i，
所以复数z在复平面内对应的点为(1，－1)，所以对应点位于第四象限．
答案：D
4．若复数z＝，则＝(　　 )
A．　　　B．2　　　C．　　　D．
解析：z＝＝＝＝2＋i，|z|＝＝．
答案：D
5．已知复数z＝＋，则z的共轭复数＝(　　 )
A．1＋i　B．1－i　C．－1＋i　D．－1－i
解析：因为＝＝＝－i，＝＝＝i，
所以z＝(－i)2 021＋i2 022＝－i－1＝－1－i，则＝－1＋i．
答案：C
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__复数的运算[典例引领]
【例1】(1)(2021·浙江高考)已知a∈R，i＝3＋i，(i为虚数单位)，则a＝(　　 )
A．－1　　　B．1　　　C．－3　　　D．3
(2)(2021·全国高考甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．－＋i D．－－i
解析：(1)i＝i－a＝－a＋i，
利用复数相等的充分必要条件可得：－a＝3，∴a＝－3．
(2)由题意得z＝＝＝－1＋i．
答案：(1)C　 (2)B
[思维升华]　复数代数形式运算问题的解题策略
复数的 加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的 乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的 除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式
[对点练]　1．(2021·天津高考)i是虚数单位，复数＝_____________．
解析：＝＝＝4－i．
答案：4－i
2．设a、b为实数，若复数＝1－i，则＝__________．
解析：因为＝1－i，则a＋bi＝＝＝＝－＋i，
所以，a＝－，b＝，因此，＝－．
答案：－
考点2__复数的有关概念[典例引领]
【例2】(1)若复数z满足z＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为(　　 )
A．2 B．2i
C．－2 D．－2i
(2)已知i为虚数单位，复数z＝(a∈R)是纯虚数，则＝(　　)．
A． B．4
C．3 D．2
解析：(1)因为z(1＋i)＝－3＋i，
所以z＝＝＝＝－1＋2i，
所以＝－1－2i，即z的共轭复数的虚部为－2．
(2)由z＝＝为纯虚数，
∴解得：a＝－2，则＝＝3．
答案：(1)C　 (2)C　
[思维升华]　解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b．
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
[对点练]　1．已知复数z＝(a－3i)(3＋2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7，则a的值为(　　 )
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析：z＝(a－3i)(3＋2i)＝3a＋2ai－9i－6i2＝3a＋6＋(2a－9)i，
所以复数z的实部与虚部分别为3a＋6，2a－9，
于是3a＋6＋2a－9＝7，解得a＝2．
答案：C
2．已知a为实数，复数z＝(a－2)＋ai(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，若z2<0，则1－＝(　　 )
A．1－2i B．1＋2i
C．2＋i D．2－i
解析：z＝(a－2)＋ai，∴z2＝＝－a2＋2ai，
∵z2<0，∴解得a＝2，
∴z＝2i，∴1－＝1－＝1＋2i．
答案：B
3．(多选)下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题为(　　 )
A．＝
B．z－z2＝1＋i
C．z的共轭复数为－1＋i
D．z的虚部为1
解析：由已知z＝＝＝＝1＋i，
∴＝，z－z2＝1＋i－＝1＋i－2i＝1－i，共轭复数为1－i，z的虚部为1．其中真命题为AD．BC为假命题．
答案：AD
考点3__复数的几何意义[典例引领]
【例3】(1)(2021·广东汕头三模)已知复数z＝＋i，是z的共轭复数，z0＝，z0在复平面内对应的点位于(　　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为(　　 )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
(3)复数z满足＝i，则复平面上表示复数z的点位于(　　 )
A．第一或第三象限
B．第二或第四象限
C．实轴
D．虚轴
解析：(1)∵z＝＋i，∴＝－i，
∴z0＝＝＝＝＝－i，
∴z0在复平面内对应的点为，∴z0在复平面内对应的点位于第四象限．
(2)复数z对应的点P的坐标为(－1，2)，所以复数z＝－1＋2i，
所以＝＝＝2＋i，所以复数的虚部为1．
(3)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
因为＝i，所以＝i，即 a－bi＝－b＋ai，所以 a＝－b，
所以在复平面上表示复数z的点位于第二或第四象限．
答案：(1)D　(2)A　 (3)B
[思维升华]　与复数的几何意义相关问题的一般步骤
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．
[对点练]　1．若复数z＝(i为复数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(　　 )
A．(－1，1) B．(－1，0)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：z＝＝＝＋i，
由复数在复平面内对应的点在第三象限，
得解得即m<－1．
答案：D
2．设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是(　　 )
A．1　　　B．　　　C．　　　D．3
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x＋(y－2)i|＝1，所以＝1，即x2＋(y－2)2＝1，
所以复数z对应的点的轨迹是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，所以|z|max＝2＋1＝3．
所以复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3．
答案：D
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
复数的三角表示式
r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
复数z＝a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)的两种表示式之间的关系为
【典例】　把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)＋i；(2)1－i．
解：根据a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)，可得a＝r cos θ，b＝r sin θ，故可解．
(1)r＝＝2，cos θ＝．因为与＋i对应的点在第一象限，所以arg(＋i)＝，
所以＋i＝2．
(2)r＝＝，cos θ＝＝．
因为与1－i对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝，所以1－i＝．
[思维升华]　1．复数的代数形式化为三角形式的一般步骤
(1)求复数的模r＝．
(2)由tan θ＝及点(a，b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下，只需求出复数的辐角的主值即可)．
(3)根据公式写出复数的三角形式．
2．将复数的三角形式化为代数形式：由z＝r(cos θ＋isin θ)＝r cos θ＋ir sin θ，可得a＝r cos θ，b＝r sin θ．
[对点练]　把下列复数表示成代数形式．
(1)4；(2)
6．
解：根据a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)，可得a＝r cos θ，b＝r sin θ，故可解．
(1)4＝4×＋4×i＝2＋2i．
(2)6＝6×＋6×i＝3－3i．
课下巩固培优卷(三十一)
【A/基础巩固题组】
1．(2021·山东德州一模)复数z＝的共轭复数的虚部为(　　)
A．－i B．i
C．－ D．
解析：因为z＝＝＝＝＝－i，
所以＝＋i，虚部为．
答案：D
2．(2021·广东汕头二模)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2＝(　　 )
A．－10 B．10
C．－8 D．8
解析：∵z1＝3－i，z1，z2所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，
∴z1z2＝－9－1＝－10．
答案：A
3．若复数z满足z·＝1＋i2 021，则z在复平面内所对应的点位于(　　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由i2 021＝(i4)505×i＝i，所以z＝＝＝＝－＋i，所以z在复平面内所对应的点位于第二象限．
答案：B
4．在复平面内，复数z＝sin θ＋icos θ对应的点位于第二象限，则角θ的终边在(　　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为复数z＝sin θ＋icos θ对应的点位于第二象限，所以sin θ<0且cos θ>0则角θ的终边在第四象限．
答案：D
5．(2021·河北沧州二模)设a∈R且a≠0，若复数(1＋ai)3是实数，则a2＝(　　 )
A．9 B．6
C．3 D．2
解析：因为(1＋ai)3＝1＋3ai＋3(ai)2＋(ai)3＝1－3a2＋i，
所以3a－a3＝0，又a≠0，所以a2＝3．
答案：C
6．复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：＝＝＝a＋i，因为对应的点位于第一象限，所以a>0．
答案：C
7．若复数(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则a的值为(　　 )
A．－4 B．－3
C．3 D．5
解析：＝＝＝＋i，因为该复数为纯虚数，所以a＋4＝0，a－4≠0，所以a＝－4．
答案：A
8．(2021·辽宁丹东质检)复数z＝cos 67．5°＋isin 67．5°，则＝(　　 )
A．－ B．－＋i
C．－－i D．1
解析：由题意，复数z＝cos 67．5°＋isin 67．5°，可得＝cos267．5°＋sin267．5°＝1，
z2＝(cos67．5°＋isin 67．5°)2＝cos 135°＋isin 135°＝－＋i，
所以＝＝
＝－－i．
答案：C
9．(2021·山东聊城二模)已知复数z1＝－2＋i，z2＝，在复平面内，复数z1和z2所对应的两点之间的距离是(　　 )
A． B．
C．5 D．10
解析：z1＝－2＋i所对应的点为，
z2＝＝＝1＋2i对应的点坐标为，
所以复数z1和z2所对应的两点之间的距离为＝．
答案：B
10．(多选)(2021·河北邯郸二模)若复数z满足(2＋i)z＋5i＝0，则(　　 )
A．z的虚部为－2
B．＝1＋2i
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．＝25
解析：由z＝＝－1－2i，虚部为－2，故A正确；
＝－1＋2i，故B错误；
z在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误；
＝|z|4＝＝25，故D正确．
答案：AD
11．(2021·山东潍坊一模)已知复数z＝cos θ＋isin θ(i为虚部单位)，则的最大值为(　　 )
A．1 B．
C．2 D．4
解析：由题意知：＝|cos θ－1＋isin θ|＝＝，
∴当cos θ＝－1时，的最大值为2．
答案：C
12．设复数z＝a＋bi(a∈Z，b∈Z)，则满足|z－1|≤1的复数z有(　　 )
A．7个 B．5个
C．4个 D．3个
解析：由|z－1|≤1得＋b2≤1，又因为a∈Z，b∈Z，当a＝0时b＝0；当a＝1时b∈；当a＝2时b＝0；所以满足条件的复数z有5个．
答案：B
13．(2022·广东深圳龙岗模拟)已知m为实数，当m变化时，z＝(2m－4)＋(m＋1)i在复平面内对应的点不可能在(　　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
又z＝＋i，所以x＝2m－4，y＝m＋1，得2y－x－6＝0，所以复数z在复平面内对应的点在直线2y－x－6＝0上．又直线2y－x－6＝0不经过第四象限，所以复数z对应的点不可能在第四象限．
答案：D
14．(2021·广东红岭中学月考)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1－i(i为虚数单位)，则＝______．
解析：因为复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1－i，
所以z2＝－1－i．所以＝＝＝．
答案：
【B/能力提升题组】
15．在复平面内，O为坐标原点，复数z，z＋1对应的点都在单位圆O上，则z的实部为(　　 )
A．－ B．－
C． D．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋1＝a＋1＋bi，由题意可得：＝1，＝1，
即a2＋b2＝1，＋b2＝1，解得：a＝－，b＝±，所以z的实部为－．
答案：B
16．(2021·山东滨州一模)棣莫弗公式＝rn(i为虚数单位，r>0)是由法国数学家棣莫弗发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内复数对应的点位于(　　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由题意＝
215＝215cos ＋
215sin ·i，
对应点坐标为，
是第一象限角，正弦，余弦都为正数，即对应点的横坐标和纵坐标均为正，故复数对应的点在第一象限．
答案：A
17．(2021·山东青岛一模)18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，＝，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．在复平面内，复数z0＝(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，其对应的点为Z0，Z为曲线＝1上的动点，则Z0与Z之间的最小距离为(　　 )
A． B．1
C． D．2
解析：由z0＝＝＝，
因为复数z0是纯虚数，所以a＋2＝0，2－a≠0，得a＝－2，所以z0＝2i，则Z0，
由于＝1，故设Z且x2＋y2＝1，－1≤y≤1,
所以＝＝＝≥1，故Z0与Z之间的最小距离为1．
答案： B
18．写出一个虚数z，使得z2＋3为纯虚数，则z＝___________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z2＋3＝a2－b2＋3＋2abi，因为z2＋3为纯虚数，所以a2－b2＝－3且ab≠0．
任取不为零的实数a，求出b即可得，答案不确定，如z＝1＋2i，
答案：1＋2i(答案不唯一)

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