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第4节　椭　圆　
[课标要求]　①了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；③通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；④了解椭圆的简单应用．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；
(3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
几 何 性 质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 坐标 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴长|A1A2|＝2a；短轴长|B1B2|＝2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0，1)
a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2
(一)必背常用结论
1．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝；最长的焦点弦是长轴．
2．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－．　　
3．与椭圆 ＋＝1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ>－b2)．
(二)盘点易错易混
1．忽视椭圆定义中的限制条件，只满足|MF1|＋|MF2|＝2a的点M的轨迹不一定是椭圆．
2．求椭圆的标准方程时，一定要注意判断焦点位置，若不能确定则需分类讨论．
3．要注意椭圆方程中a，b，c的关系及范围．
4．研究直线与椭圆位置关系时，要注意题目中的隐含条件，如确保其有两个不同交点等．
5．研究椭圆离心率时要注意其范围．
【小题热身】
1．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为(　　 )
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a．
∵在椭圆＋＝1中，a2＝25，即a＝5，
∴△F1AB的周长为4a＝20．
答案：C
2．[易错题]椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　 )
A．4 B．8
C．4或8 D．12
解析：当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4．
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8．
∴m＝4或8．
答案：C
3．2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：20，6－m>0，但当m＝4时，m－2＝6－m＝2，方程表示圆．不是充分条件；
方程表示椭圆时，即2答案：B
4．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图(1)所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图(2)所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图(3)所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图(1)、(2)、(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为、、，设图(1)、(2)、(3)中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则(　　 )
A．e1>e3>e2 B．e2>e3>e1
C．e1>e2>e3 D．e2>e1>e3
解析：因为椭圆的离心率e＝＝＝＝＝ ，
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大．
因为≈1．44，≈1．24，≈1．43，则>>，所以e1>e3>e2．
答案：A
5．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　 )
A． B．
C． D．2
解析：由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0，1)，，所以|AB|＝．
答案：B
第1课时　椭圆及其性质　
对应学生用书P191
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__椭圆的定义及其应用[典例引领]
【例1】　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
解析：(1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．
因为2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b2＝a2－c2＝48．
故所求的轨迹方程为＋＝1．
(2)椭圆的方程可化为＋＝1，a＝3，c＝＝2．
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋．
答案：(1)D　 (2)6＋　6－
[思维引申]　(变条件)例1(1)条件中“和圆C2相外切”改为“和圆C2也内切”，其余不变，动圆圆心M的轨迹方程为_______________．
解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(r－3)＝10＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．
因为2a＝10，2c＝8，所以a＝5，c＝4，b2＝a2－c2＝9．
故所求的轨迹方程为＋＝1．
[思维升华]　椭圆定义的应用
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)当点P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可建立|PF1|＋|PF2|＝2a与|PF1|·|PF2|的联系，通过整体代入可求其面积等．
[对点练]　
如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　 )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
解析：由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|．
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
答案：A
考点2__椭圆的标准方程[典例引领]
【例2】　如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＋＝1　　　　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
(2)(一题多法)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为______________．
解析：(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C．
(2)法一(定义法)　椭圆＋＝1的两个焦点分别为(0，－4)，(0，4)，即c＝4．
由椭圆的定义，知2a＝＋＝4，得a＝2．
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
法二(待定系数法)
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意得c2＝25－9＝16，即a2－b2＝16．①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，即＋＝1．②
由①②得a2＝20，b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．
法三(待定系数法)　由题意可设所求椭圆方程为＋＝1(k＜9)．
∵点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，解得k＝5或k＝21(舍去)．
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．
答案：(1)C　(2)＋＝1．
[思维升华]　根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
[对点练]　(一题多法)若椭圆经过两点(，－2)和(－2，1)，则椭圆的标准方程为______________．
解析：法一　当椭圆的焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过两点(，－2)，(－2，1)，
∴ 解得
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．
当椭圆的焦点在y轴上时，
设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过两点(，－2)，(－2，1)，
∴ 解得与a>b矛盾，故舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
法二　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
∵椭圆过(，－2)和(－2，1)两点，
∴ 解得
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．
考点3__椭圆的几何性质[多维讲练]
高考时椭圆的几何性质主要考查离心率、长轴、短轴、焦距等，多为选择或填空题，有时也在解答题中作为求椭圆方程的条件出现，还可能与椭圆定义及标准方程综合，考查有关最值问题，难度中等．解题时要注意a，b，c的关系，重视数形结合思想的运用．
角度1　离心率问题
【例3】　(2021·河北秦皇岛二模)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，已知·AF1＝0，AF1＝F1B，则椭圆C的离心率为(　　 )
A． B．
C． D．
[思维点拨]　根据条件，利用向量运算和椭圆的定义可得关于a，c的齐次方程，构造关于椭圆离心率的方程求解，要注意椭圆离心率的范围．
解析：设＝2c，因为·AF1＝·＝|AF22|－|F1F22|＝0，
所以＝＝2c，所以＝2a－2c，
因为AF1＝F1B，所以＝(a－c)，所以＝＋，
设AF1中点为H，则F2H⊥AB，＝a－c，＝(a－c)，
－|AH|2＝－|BH|2代入数据并整理得7c2－12ac＋5a2＝0，
等式两边同除以a2得7e2－12e＋5＝0，解得e＝或e＝1(舍)．
答案：A
[对点练]　1．(2021·广东东莞模拟)已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O′，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE＝3．若光线与地面所成角为θ，则sin θ＝________，椭圆的离心率e＝__________．
解析：连接OO′，则∠O′OE＝θ，因为O′E＝4，OE＝3，
所以OO′＝＝＝5，所以sin θ＝＝．
在照射过程中，椭圆的短半轴长b是圆的半径R，∴b＝4，如图．
椭圆的长轴长2a是AC，过A向BC做垂线，垂足是B，
由题意得，AB＝2R＝8，sin ∠ACB＝sin θ＝，
又sin ∠ACB＝＝，所以AC＝10，即2a＝10，a＝5，
∴椭圆的离心率为e＝＝＝＝．
答案：　
【例4】　过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，
以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝．
因为圆与直线l有公共点，
所以≤，化简得2c≤b，得a2≥5c2，
所以e＝≤．又0＜e＜1，所以0＜e≤．
答案：A
[思维升华]　求椭圆离心率的值(取值范围)的方法
(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．
(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e的值(取值范围)．
[对点练]　2．已知椭圆＋＝1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
解析：因为|PT|＝(b>c)，
而|PF2|的最小值为a－c，
所以|PT|的最小值为．
依题意，有≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0．
所以e≥或e≤－1(舍去)．
又b>c，所以b2>c2，即a2－c2>c2，
所以2e2<1，0＜e＜．
综上，得≤e<．
答案：
角度2　与椭圆有关的最值(范围)问题
【例5】　(一题多法)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0，1]∪[9，＋∞)
B．(0，3]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞)
D．(0，3]∪[4，＋∞)
解析：法一　设椭圆的焦点在x轴上，
则0过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x，0)．
故tan ∠AMB＝tan (∠AMN＋∠BMN)
＝＝．
又tan ∠AMB＝tan 120°＝－，且由＋＝1，
可得x2＝3－，
则＝＝－．
解得|y|＝．
又0<|y|≤，即0<≤，结合0解得0对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9．
则m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)．故选A．
法二　当0要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得0当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9．
故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)．
答案：A
[思维升华]　与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．此时常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等．
2．利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
4．利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　
[对点练]　3．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　 )
A．1 B．
C．2 D．2
解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，
即长轴长2a的最小值为2．
答案：D
4．已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，
与直线l的方程联立消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，
所以e＝＝≤，所以e的最大值为．
答案：A
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
椭圆中的焦点三角形
焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc．
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
题型一　焦点三角形的边长与周长
【例1】　(1)(2021·甘肃天水一中期末)设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为______．
(2)椭圆C：＋y2＝1(a＞1)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为8，则a为________．
解析：(1)根据题意，椭圆C：＋＝1，其中a＝＝5，b＝＝3，则c＝＝4，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝18．
(2)椭圆C：＋y2＝1(a＞1)的焦点在x轴上，由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a．
∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝8＝4a，解得a＝2．
答案：(1)18　　(2)2
[对点练]　1．设椭圆中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，点P在椭圆上．若椭圆的离心率为，△PF1F2的周长为12，则椭圆的标准方程是(　　 )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：因为△PF1F2的周长＝2a＋2c＝12，e＝＝，
所以a＝4，c＝2，b2＝12，
所以椭圆的标准方程是＋＝1．故选B．
答案：B
2．椭圆C：＋y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意的点，PF1，PF2的中点分别为 M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是(　　)
A．2(＋) B．＋2
C．＋ D．4＋2
解析：依题意，椭圆C：＋y2＝1(a＞0)的焦点在x轴上，如图所示．
∵点M，N分别为PF1，PF2的中点，
∴|OM|＝|PF2|，|ON|＝|PF1|，
又四边形OMPN的周长为2，
∴2＝|PF2|＋|PF1|＝2，
即2a＝2，∴a＝．
又b＝1，∴c＝，即|F1F2|＝2c＝2，
∴△PF1F2的周长为|PF2|＋|PF1|＋|F1F2|＝2＋2＝2，故选A．
答案：A
题型二　焦点三角形的面积
【例2】　(2021·广东深圳一模)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线与椭圆交于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|QF1|＝2|PF1|，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为(　　)
A．2－ B．－1
C．＋1 D．2＋
解析：可设|PF1|＝t，|QF1|＝2|PF1|＝2t，由椭圆的定义可得|PF2|＝2a－t，|QF2|＝2a－2t，|PQ|＝4a－3t．由|PQ|2＋|PF1|2＝|QF1|2，即(4a－3t)2＋t2＝4t2，即有4a－3t＝t，解得t＝，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为＝
＝＝2＋，故选D．
答案：D
[思维升华]　若F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P(xP，yP)是椭圆上的动点，设∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积为S＝c|yP|＝b2tan ．
[对点练]　(2021·浙江温州模拟)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
解析：法一　∵F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a，
|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|·|PF2|＝9，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝4c2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，
∴36＝4(a2－c2)＝4b2，∴b＝3．
法二　在△F1PF2中，∠F1PF2＝，
则S△F1PF2＝b2tan ＝b2＝9，又b＞0，则b＝3．
答案：3
题型三　焦点三角形的内切圆
【例3】　已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则PF1·PF2的值为__________．
解析：因为P是椭圆＋＝1上的一点，所以|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝2，△PF1F2的周长C＝2＋4＝6．
由于△PF1F2的内切圆半径为，所以S△PF1F2＝Cr＝×6×＝＝|F1F2||yP|，所以|yP|＝，|xP|＝1．
不妨取P为，
则PF1·PF2＝·＝．
答案：
[思维升华]　若F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆上的动点，△PF1F2的内切圆半径为r，则S△PF1F2＝r(a＋c)．
[对点练]　已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　　)
A． B．1
C． D．
解析：不妨设A点在B点上方，由题意知F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以由S＝Cr得内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)．
答案：D
题型四　焦点三角形的顶角
【例4】　已知F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，当∠F1PF2＞60°时，则点P横坐标的取值范围是(　　)
A．∪
B．
C．
D．∪
解析：∵存在点P为椭圆上的点，使得∠F1PF2＝60°，设点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，
∴根据椭圆的定义可得m＋n＝4，令m＞n，
由余弦定理可得
cos ∠F1PF2＝
＝
＝＝＝，
∴mn＝，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝16－＝．
∵m2＋n2＝(2cos θ＋)2＋sin2θ＋(2cosθ－)2＋sin2θ＝6cos2θ＋8，
∴6cos2θ＋8＝，解得cosθ＝±，
故P点横坐标的取值范围是．
答案：C
[思维升华]　
如图，已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝θ，则当点P为短轴端点B时角θ最大，并且此时(cos θ)min＝－1＝1－2e2．
[对点练]　(2021·四川眉山模拟)已知椭圆C：＋＝1，其左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，则满足∠F1PF2为45°的点P有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
解析：
根据题意，椭圆C：＋＝1中，a＝2，b＝，则c＝＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)．
如图，设M是椭圆的上端点，其坐标为(0，)，在△MF1F2中，|MF1|＝|MF2|＝a＝2，|F1F2|＝2c＝2，则∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，则∠F1PF2≤∠F1MF2＝60°，则满足∠F1PF2为45°的点P有4个，故选D．
答案：D
题型五　焦点三角形的中位线
【例5】　已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF2|∶|PF1|＝(　　)
A．3∶5 B．3∶4
C．4∶3 D．5∶3
解析：∵O是F1F2的中点，∴PF2平行于y轴，即PF2垂直于x轴．∵c＝＝2，∴|F1F2|＝4．设|PF1|＝t，根据椭圆定义可知|PF2|＝8－t，∴(8－t)2＋16＝t2，解得t＝5，∴|PF2|＝3，
∴|PF2|∶|PF1|＝3∶5，故选A．
答案：A
[思维升华]　在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中，F1，F2分别是左、右焦点，O为椭圆中心，P是椭圆上的一点，若E为PF1的中点，则OE綊PF2．
[对点练]　(2021·贵州贵阳一模)已知点F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，P为E上一点，直线l为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作l的垂线，垂足为M，则|OM|＝(　　)
A．10 B．8
C．5 D．4
解析：
如图，设F1P的延长线与F2M的延长线交于Q．由直线l为∠F1PF2的外角平分线，l⊥F2Q，可得|PQ|＝|PF2|．
由椭圆E：＋＝1知a＝5，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|＝10．
由OM为△F1F2Q的中位线，可得|OM|＝·|F1Q|＝5．
答案：C
课下巩固培优卷(四十二)
【A/基础巩固题组】
1．已知椭圆的焦点在x轴上，右焦点到短轴的上端点的距离为4，右焦点到左顶点的距离为6，则椭圆的标准方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意可得解得a＝4，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝12．因此椭圆的方程为＋＝1．
答案：C
2．已知椭圆E：＋＝1过点P，椭圆E的离心率为，则椭圆E的焦距为(　　)
A．1 B．2
C． D．2
解析：因为椭圆E的离心率为，所以＝．
不妨设a＝2x，则c＝x，b2＝2x2．
因为椭圆过点P，所以＋＝1，即＋＝1，解得x＝．
所以焦距为2c＝2x＝2．
答案：B
3．(2021·河北保定二模)已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若∶|AB|∶＝3∶4∶5，则该椭圆的离心率为(　　 )
A． B．2－
C． D．
解析：如图所示，设＝3t，则＝4t，＝5t，所以＋＝，
所以∠F1AF2＝90°，
由椭圆定义可得＋＋＝12t＝4a，∴t＝，∴＝3t＝a，
所以＝2a－＝a，
所以△AF1F2为等腰直角三角形，可得＋＝，∴2a2＝4c2，
所以该椭圆的离心率为e＝＝．
答案：D
4．(2021·广东湛江二模)已知F是椭圆C：＋＝1的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：过椭圆C的下顶点且斜率为的直线方程为y＝x－b，x－y－b＝0，
F，由点到直线距离公式，得c＝，
即c2＝－bc＋b2，＝0，则2c－b＝0，b＝2c．
又a2＝b2＋c2，即a2＝＋c2＝5c2，解得＝．
答案：A
5．(多选)(2021·河北唐山一模)已知F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B为E的两个顶点．若|AF|＝5，|BF|＝3，则E的方程为(　　 )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：∵|AF|＝5>|BF|＝3，
∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；
∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时|AF|＝a＋c＝5，|BF|＝a－c＝3，
解得a＝4，c＝1，b＝＝，椭圆方程为＋＝1，故D正确；
②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时|AF|＝a＋c＝5，|BF|＝a＝3，解得a＝3，c＝2，b＝＝，椭圆方程为＋＝1，故A正确；
③A为上顶点时，B为左顶点时，此时|AF|＝a＝5，|BF|＝a－c＝3，解得a＝5，c＝2，b＝＝，椭圆方程为＋＝1，故C正确；
故选ACD．
答案：ACD
6．(多选)(2021·广东汕头二模)2021年2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米、远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是(　　 )
A．a1＋c1＝a2＋c2
B．a1－c1＝a2－c2
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长2
D．a2c1解析：由已知得a1>a2，b1>b2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故A错误；
由＝a1－c1＝a2－c2，故B正确；
轨道Ⅱ的短轴长2b2＝2＝2＝2，故C正确；
由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c1，两边平方得a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1，
即b＋2a1c2＝b＋2a2c1，由于b1>b2>0，故b>b，∴a1c2答案：BC
7．(多选)(2021·山东淄博二模)设椭圆C：＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．离心率e＝
B．的最大值为3
C．△PF1F2面积的最大值为2
D．的最小值为2
解析：因为椭圆C：＋y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝＝，所以F1，F2，e＝＝，故A正确；
设P(x，y)，所以PF2＝，所以＝＋y2＝＋1－＝－2x＋4＝，因为－2≤x≤2，所以当x＝－2时＝7＋4，即＝2＋，故B错误；
因为S△PF1F2＝|y|·2c＝|y|×2＝|y|，
又－1≤y≤1，所以当y＝±1时，即P在短轴的顶点时△PF1F2的面积取得最大值，＝×1＝，故C错误；
对于D：＝2＝2＝2，因为－2≤x≤2，所以1≤＋1≤4，所以2≤≤4，故D正确．
答案：AD
8．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为＋＝1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且＝，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则∶＝__________．
解析：由椭圆的光学性质得到直线l′平分∠F1PF2，所以＝，
由＝，＋＝4得到＝，故∶＝3∶5．
答案：3∶5
9．椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________．
解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10．
则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25．∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0)．
答案：(－3，0)或(3，0)
10．已知＋＝6，则复数z在复平面内所对应点P的轨迹方程为______________．
解析：∵复数z在复平面内所对应的点P，
又＋＝6，∴＋＝6，
即点P到点A，和B的距离之和为6，且两定点的距离为2<6，
故点P的运动轨迹是以点A，B为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝2，
故b＝＝2，∴复数z在复平面内所对应的点P的轨迹方程为＋＝1．
答案：＋＝1
【B/能力提升题组】
11．(2021·广东高州模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若·BF2＝0，且|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：因为·BF2＝0，所以∠ABF2＝90°．
由|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设＝x，公差为d，|AB|＝x＋d，＝x＋2d，
在Rt△ABF2中，x2＋(x＋d)2＝(x＋2d)2，解得x＝3d，
即＝3d，|AB|＝4d，＝5d，
由椭圆的定义得△ABF2的周长为＋＋＋＝2a＋2a＝4a，
即3d＋4d＋5d＝4a，a＝3d，
在直角三角形BF1F2中，＝a＝，＝2c，则a2＋a2＝(2c)2，
故a＝c，即e＝＝．
答案：A
12．已知点F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q满足F1P·＝|F1P|·||且||＝|PF2|，其中F1P≠0，≠0，若||的最小值为1，最大值为9，则椭圆的方程为(　　 )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
解析：由F1P·＝|F1P|·||知点F1，P，Q共线，且F1P与同向．由椭圆的定义知|F1P|＋|PF2|＝2a，又|PF2|＝||，所以|F1P|＋||＝|F1Q|＝2a，所以动点Q在以F1为圆心，2a为半径的圆上．由平面几何知识知当点P位于左顶点时，||取得最大值a＋c，当点P位于右顶点时，||取得最小值a－c，所以解得所以b＝3，所以椭圆的方程为＋＝1，故选A．
答案：A
13．(多选)(2021·山东泰安模拟)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：＋＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若－的最小值为2－6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是(　　 )
A．椭圆C的焦距为2
B．椭圆C的短轴长为
C．＋的最小值为2
D．过点F的圆E的切线斜率为
解析：圆E的圆心为E，半径长为2，
由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则2a＝4，可得a＝2，
设椭圆的左焦点为点F1，由椭圆的定义可得＋＝2a＝4，∴＝4－，
所以，－＝－＝＋－4≥＋－2－4≥－6＝2－6，
当且仅当P、Q、E、F1四点共线，且当P、Q分别为线段EF1与椭圆C、圆E的交点时，等号成立，
则＝＝＝2，∵0所以，椭圆C的焦距为2c＝2，A选项正确；
椭圆C的短轴长为2b＝2＝2，B选项错误；
＋≥＋－2≥－2＝－2＝4－2，
当且仅当P、Q、E、F四点共线，且当P、Q分别为线段EF与椭圆C、圆E的交点时，等号成立，C选项错误；
若所求切线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，圆心E到该直线的距离为＝4>2，则直线x＝1与圆E相离，不合乎题意；
若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为y＝k，即kx－y－k＝0，
由题意可得＝＝2，整理得3k2＋8k＋3＝0，解得k＝．D选项正确．
答案：AD
14．(2021·河北石家庄一模)4已知椭圆C：＋＝1的左右焦点分别为F1、F2，长轴长为4，点P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　 )
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，＋的最大值为2a＋
C．存在点Q使得QF1·QF2＝0
D．＋的最小值为1
解析：由题意可得2a＝4，所以a＝2，
由点P在椭圆内部可得＋<1，可得2对A，e＝，所以0对B，当e＝时，c＝，F2，
＋＝2a－＋≤2a＋＝4＋，故B正确；
对C，由A知0由0答案：BD
15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是________．
解析：设右焦点为F′，由题意可得直线l的方程为y＝x，
设M，N，连接MF′，NF′，因为∠MFN＝，
所以四边形FMF′N为平行四边形，则∠FMF′＝，
所以4c2＝＋－
2cos ，
整理得到4c2＝－
3，即＝，
故S△MFF′＝××＝b2＝×2c×，
所以可得y0＝，代入直线l的方程可得x0＝，
将M的坐标代入椭圆的方程可得＋＝1，
整理可得4a4－14a2c2＋c4＝0，即e4－14e2＋4＝0，
解得e2＝7±3，由椭圆的离心率e∈(0，1)，所以e＝＝．
答案：
16．如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：
①P到F1(－4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和为定值；
②曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称；
③曲线C所围区域的面积必小于36；
④曲线C的总长度不大于6π．
其中正确命题的序号为________．
解析：若点P在椭圆＋＝1上，不在椭圆＋＝1上，则P到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故①错；
联立两个椭圆的方程得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故②正确；
曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；
曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故④错．
所以正确命题的序号为②③．
答案：②③

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