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第5节　双曲线　
[课标要求]　①了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用；②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质；③通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；④了解双曲线的简单应用．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
其数学表达式：集合P＝{M||MF1-MF2||=2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若a>c，则集合P为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
几 何 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
(一)必背常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2．
5．等轴双曲线
(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)性质：①a＝b；②e＝；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
6．共轭双曲线
(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1．
(二)盘点易错易混
1．应用双曲线定义判断动点轨迹时，要注意：(1)2a<2c，否则不是双曲线；(2)不能丢掉绝对值，否则表示的是双曲线的一支；(3)差的绝对值常数必须大于0，若等于0，则表示一条直线．
2．求双曲线的标准方程时，要先确定焦点所在位置，如果位置不能确定，需分类讨论．
3．注意双曲线中a，b，c的关系，不要与椭圆中混淆．
【小题热身】
1．已知双曲线－＝1(m>0)的渐近线方程为x±y＝0，则m＝(　　 )
A． B．－1
C． D．2
解析：由渐近线y＝±x＝±x，结合双曲线方程，
∴＝，则＝＝，可得m＝．
答案：A
2．曲线－＝1与曲线－＝1的(　　 )
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
解析：由双曲线－＝1可知，a2＝5，b2＝3，c2＝5＋3＝8，
由双曲线－＝1可知a′2＝3，b′2＝5，c′2＝5＋3＝8，
所以焦距相等，实半轴长不相等，虚半轴长不相等，离心率不相等．
答案：A
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，则双曲线的离心率为(　　 )
A．2 B．
C． D．
解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，
所以由－＝－，所以＝＝e2－1＝，
解得e＝．
答案：D
4．[易错题]已知双曲线C：－＝1的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若＝5，则＝(　　 )
A．1 B．1或9
C．3或9 D．9
解析：由题意知＝2，所以a＝2，所以c＝＝2，
所以＝5<2＋2＝a＋c，所以点P在双曲线C的左支上，
所以－＝4，所以＝9．
答案：D
5．双曲线C的焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则该双曲线的标准方程为________________．
解析：由题意得2a＝|－|＝4，所以a＝2，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，
所以该双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__双曲线的定义及其应用[典例引领]
【例1】　(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________．
解析：
(1)如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点．
又O为F1F2的中点，
∴|MF2|＝2．
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
∴＝＝|MF2|＝2<|F1F2|，
∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
(2)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2．
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos ∠F1PF2＝＝＝．
答案：(1)B　(2)
[思维引申]　(1)(换条件)本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝，∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2．
(2)(换条件)本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2．
[思维升华]　双曲线定义的应用策略
（1）利用双曲线的定义可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线．
（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
（3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
[对点练]　1．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是______．
解析：由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2．
∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－4＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝8．
∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝8＋4＝12．
答案：12
2．(易错题)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B．
根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|．
∵|MA|＝|MB|，
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
∴点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6．
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8．
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
答案：x2－＝1(x≤－1)
考点2__双曲线的标准方程[典例引领]
【例2】　(1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
(2)(一题多法)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
解析：(1)由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)法一　椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．
设双曲线标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为双曲线过点P(2，1)，所以－＝1，
又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，
所以所求双曲线标准方程是－y2＝1．
法二　设所求双曲线标准方程为＋＝1(1＜λ＜4)，
将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为－y2＝1．
答案：(1)B　(2)B
[思维升华]　求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
(2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．
①当焦点位置不确定时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
②与－＝1有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
③与－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2[对点练]　根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3)经过两点P(－3，2)和Q(－6，－7)．
解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝，又∵c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8．
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．
(2)∵双曲线经过点M(0，12)，
∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，a＝12．
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25．
∴双曲线的标准方程为－＝1．
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
则解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
考点3__双曲线的几何性质[多维讲练]
高考对双曲线几何性质经常考查，一般为选择或填空题，重点是双曲线的离心率、渐近线、实轴、虚轴、焦距等，难易程度各级都有．尤其离心率几乎必考，常结合最值范围等命题，有一定的综合性．
角度1　双曲线的渐近线问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
【例3】　(1)已知双曲线mx2＋y2＝1的一条渐近线方程为2x＋y＝0，则m的值为(　　)
A．－ B．－1
C．－2 D．－4
(2)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为____________________．
解析：(1)由题意知，m<0，
所以渐近线方程是y2＝－mx2，即y＝±x，
所以＝2，解得m＝－4．
(2)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距等于实轴长的倍，
所以2c＝2a，即c＝a，＝，又因为 ＝＝，
所以C的渐近线方程为y＝±x．
答案：(1)D　(2)y＝±x
[思维升华]　求双曲线渐近线方程的方法
(1)求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x．
(2)已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
[对点练]　1．(多选)已知一组直线为x±2y＝0，则以该组直线为渐近线的双曲线有(　　 )
A．x2－4y2＝1 B．4y2－x2＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
解析：对于A，令x2－4y2＝0可得渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，A正确；
对于B，令4y2－x2＝0可得渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0, B正确；
对于C，令x2－＝0得渐近线方程为y＝±2x，即2x±y＝0, C不正确；
对于D，令－y2＝0得渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，D正确．
答案：ABD
2．已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)，则双曲线的方程为________________．
解析：由双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
可设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点P(，2)，所以4×6－9×4＝λ，λ＝－12，故所求双曲线方程为－＝1．
答案：－＝1
角度2　双曲线的离心率问题
【例4】　(1)已知双曲线E的左右焦点分别为F1，F2，M，N是以F1为圆心，为半径的圆与E的两交点．若＝＋，则E的离心率是(　　 )
A． B．
C．2 D．
(2)(2021·河北邯郸二模)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c＝a，则C的离心率的取值范围是(　　 )
A． B．
C． D．
[思维点拨]　(1)根据题意及双曲线的定义建立关于a，c的方程，进而由定义可求得双曲线的离心率；
(2)先将c＝a变形为＝，利用合分比性质和双曲线定义转化为＝，求出，利用 ≥c－a建立关于a，c的齐次不等式求解．需注意双曲线离心率本身的范围限制．
解析：(1)∵＝＋，
∴>＝，
∴点M在双曲线的左支上，又由＝＋≠，
根据对称性可得点N在双曲线的右支上，
不妨设点M在第二象限，点N在第四象限，如图所示，
根据双曲线的定义可得－＝2a，－＝2a，
又∵M，N在以F1为圆心，为半径的圆上，∴＝＝2c，
∴＝2a＋2c，＝2c－2a，
又∵＝＋，∴2a＋2c＝2c－2a＋2c，
∴c＝2a，即E的离心率是＝2．
(2)由条件得＝，所以＝，即＝，
又因为≥c－a，所以＝≥c－a，即a2＋2ac－c2≥0，得e2－2e－1≤0，
又e>1，所以1答案：(1)C　(2)C
[思维升华]　求双曲线离心率(取值范围)的方法
(1)求出a，b，c，代入公式e＝＝求解．
(2)列出关于a，b，c的齐次方程(不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后等式(不等式)两边同时除以a或a2，转化成关于e的方程(不等式)求解．
[对点练]　3．(2021·山东滨州二模)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin ∠PF2F1＝3sin ∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：在△PF1F2中，sin ∠PF2F1＝3sin ∠PF1F2，由正弦定理得|PF1|＝3|PF2|，
又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，
由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，
得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝<2，又e>1，所以1答案：A
4．(一题多法)(2019·全国卷Ⅰ) 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A＝，F1B·F2B＝0，则C的离心率为________．
解析：法一　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
∵F1B·F2B＝0，∴F1B⊥F2B，∴点B在⊙O：x2＋y2＝c2上，如图所示，
不妨设点B在第一象限，
由
∵F1A＝，∴点A为线段F1B的中点，
∴A，将其代入y＝－x得＝×．解得c＝2a，故e＝＝2．
法二　如图，由F1A＝知A为线段F1B的中点，
∵O为线段F1F2的中点，∴OA∥F2B，
∵F1B·F2B＝0，∴F1B⊥F2B，
∴OA⊥F1A且∠F1OA＝∠OF2B，
∵∠BOF2＝∠AOF1，∴∠BOF2＝∠OF2B，
又易知|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形，
可知＝tan 60°＝，∴e＝＝ ＝2．
法三　如图，设∠AOy＝α，则∠BOy＝α，
∵F1A＝，∴A为线段F1B的中点，
又∵O为线段F1F2的中点，∴OA∥BF2，
∴∠OBF2＝2α．
过B作BH⊥OF2，垂足为H，
则BH∥y轴，则有∠OBH＝α，∴∠HBF2＝α，
易得△OBH≌△F2BH，∴|OB|＝|BF2|，
∵F2B·F1B＝0，∴BF1⊥BF2，又O为F1F2的中点，
∴|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形．
∴∠BOF2＝60°，则＝tan 60°＝，
∴e＝＝＝2．
答案：2
角度3　与双曲线有关的取值范围问题
【例5】　已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
[思维点拨]　求出焦点坐标，利用向量的数量积公式建立不等关系，由点M在双曲线上，将x0用y0表示，转化为关于y0的函数，代入不等关系求解y0范围．
解析：由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F1(－，0)，F2(，0)，
则MF1＝(－－x0，－y0), MF2＝(－x0，－y0)．
∵MF1·MF2＜0，
∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，即x－3＋y＜0．
∵点M(x0，y0)在双曲线C上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜．
答案：A
[思维升华]　求解与双曲线有关的取值范围问题的方法
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．
[对点练]　5．已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．
解析：对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的焦点(±c，0)到渐近线bx±ay＝0的距离为＝b．本题中，双曲线＋＝1的焦点在x轴上，则解得4答案：(0，2)
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
求曲线轨迹方程的方法
圆锥曲线试题中，尤其在解答题中，经常涉及求满足某些条件的动点的轨迹方程问题．求曲线轨迹方程的常用方法有直接法、定义法、相关点法等．
求动点的轨迹方程的基本步骤如下：
题型一　直接法求轨迹方程
【例1】　(1)已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　 )
A．x2＝4y B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
(2)已知A(－1，0)，B(1，0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2＝λ·，则当λ<0时，动点M的轨迹为(　　 )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：(1)设点P(x，y)，则Q(x，－1)，
∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y．
(2)设M(x，y)，则N(x，0)，所以2＝y2，
λ·＝λ(x＋1，0)·(1－x，0)＝λ(1－x2)，
所以y2＝λ(1－x2)，即λx2＋y2＝λ，变形为x2＋＝1，所以当λ<0时，动点M的轨迹为双曲线．
答案：(1)A　(2)C
[思维升华]　利用直接法求轨迹方程的关键及注意事项
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．
(2)利用直接法求轨迹方程的注意事项
①在化简的过程中，有时可能破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点．
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
[对点练]　在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为(　　 )
A．x2－3y2＝－2
B．x2－3y2＝－2(x≠±1)
C．x2－3y2＝2
D．x2－3y2＝2(x≠±1)
解析：∵点B与点A(－1，1)关于原点O对称，
∴B(1，－1)．
设P(x，y)，∵直线AP与BP的斜率之积等于，
∴·＝，即·＝＝，整理得x2－3y2＝－2．
∵直线AP与BP的斜率存在，∴x≠±1，
∴动点P的轨迹方程为x2－3y2＝－2(x≠±1)．
答案：B
题型二　 定义法求轨迹方程
【例2】　(1)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________________．
(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M，圆N都外切，则圆心P的轨迹方程为________________．
(3)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－3)2＋y2＝1，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹方程为__________________．
(4)已知圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，则圆心P的轨迹方程为____________________．
解析：(1)由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3．
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2．
由椭圆的定义可知，圆心P的轨迹是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3．
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．
因为圆P与圆M，圆N都外切，
所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，
即|PN|－|PM|＝2．
又|MN|＝2，所以点P的轨迹方程为y＝0(x<－2)．
(3)由已知条件可知圆M和圆N外离．
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，
则|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，
故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝4．
由双曲线的定义知，点P的轨迹是双曲线的右支，其方程为x2－＝1(x>1)．
(4)由于点P到定点N(1，0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x．
答案：(1)＋＝1(x≠－2)　(2)y＝0(x<－2)
(3)x2－＝1(x>1)　(4)y2＝4x
[思维升华]　利用定义法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立直角坐标系，结合图形确定动点满足的几何条件；
(2)依据几何条件和曲线方程的定义确定轨迹的形状；
(3)确定曲线方程中的参数并直接写出方程；
(4)验证所求方程中是否有要去掉的点．
[对点练]　△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是____________．
解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝|AD|－|BF|＝6<|AB|＝|AE|＋|BE|＝10．
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
答案：－＝1(x>3)
题型三　代入(相关点)法求轨迹方程
【例3】　已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　 )
A．＋＝1(y≠0) 　B．＋y2＝1(y≠0)
C．＋3y2＝1(y≠0) 　D．x2＋y2＝1(y≠0)
解析：依题意知F1(－1，0)，F2(1，0)．
设P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，则
即
代入椭圆C：＋＝1，得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．
答案：C
[思维升华]　“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设所求点坐标为(x，y)，相关点坐标为(x0，y0)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入相关点满足的曲线方程，便可得到所求点的轨迹方程．
[对点练]　设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为______________．
解析：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)．
由＝2，得即
因为⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，
所以x0＋y＝0，即－x＋y2＝0，
所以点N的轨迹方程为y2＝4x．
答案：y2＝4x
课下巩固培优卷(四十四)
【A/基础巩固题组】
1．(2021·山东青岛一模)已知双曲线－＝1的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为(　　 )
A． B．
C． D．2
解析：因为双曲线－＝1的一条渐近线的倾斜角为，所以tan ＝＝ ＝，所以e＝＝＝．
答案：C
2．“m＝5”是“双曲线C：＋＝1的虚轴长为2”的(　　 )
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若双曲线C：＋＝1的虚轴长为2，
则当m>0且4－m<0时，即m>4时，2＝2，解得m＝5，
当m<0且4－m>0时，即m<0时，2＝2，解得m＝－1，
所以“双曲线C：＋＝1的虚轴长为2”对应的m值为m＝5或m＝－1，
故“m＝5”是“双曲线C：＋＝1的虚轴长为2”的充分但不必要条件．
答案：A
3．(2021·广东高州二模)已知点P是双曲线C：－＝1右支上一点，F1、F2为双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的周长为16，点O为坐标原点，则·F1F2＝(　　 )
A．20 B．－20
C．40 D．－40
解析：因为＝2c＝6，△PF1F2的周长为16，所以＋＝10，
因为－＝2a＝4，所以＝7，＝3，
所以·F1F2＝·＝＝
＝－20．
答案：B
4．设F1，F2是双曲线C：－y2＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，且|OP|＝．则△PF1F2的面积为(　　 )
A． B．2
C． D．1
解析：由已知，不妨设F1(－2，0)，F2(2，0)，
则a＝，c＝2，因为|OP|＝＝，所以点P在以F1F2为直径的圆上，
即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，
故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，又＝2a＝2，
所以12＝＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝16－2|PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|＝2，所以S△F1F2P＝|PF1||PF2|＝1．
答案：D
5．(多选)(2021·山东潍坊一模)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y＝x，P为C上一点，则以下说法正确的是(　　 )
A．C的实轴长为8
B．C的离心率为
C．－＝8
D．C的焦距为10
解析：由双曲线方程知：渐近线方程为y＝±x，而一条渐近线方程为y＝x，
∴a＝4，故C：－＝1，
∴双曲线实轴长2a＝8，离心率为e＝＝＝，由于P可能在C不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝8，焦距为2c＝2＝10．
∴A、D正确，B、C错误．
答案：AD
6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　 )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：因为－＝1(a>0，b>0)，所以渐近线方程为y＝±x，即 ax±by＝0，
又因为e＝＝ ＝2，解得＝，即＝，
所以渐近线方程为y＝±x．
答案：B
7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的中心为O，圆M：(x－a)2＋y2＝b2与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点．若＝＋，则双曲线C的离心率为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：如图，由已知＝＋，得＝．由圆M：＋y2＝b2，
得M为双曲线C的右顶点．过点M作MN⊥PQ，垂足为N，
则点M(a，0)到渐近线bx－ay＝0的距离|MN|＝．因为圆M的半径为b，
所以|NQ|＝＝．由＝，可得＝5|NQ|＝．
又因为＝a．所以a2＝＋，整理得a2(c2－b2)＝25b4，
所以a2＝5b2＝5c2－5a2，即6a2＝5c2，a＝c．故双曲线的离心率为．
答案：C
8．写一个离心率是椭圆＋＝1的离心率4倍且焦点在x轴上的双曲线标准方程：_________________．
解析：由椭圆方程可知a2＝16，b2＝12，则c2＝16－12＝4，
所以椭圆的离心率e＝＝＝，则双曲线的离心率e＝2，
则双曲线中＝2 c＝2a，即c2＝4a2＝a2＋b2，得b2＝3a2，令a2＝1，则b2＝3，
所以满足条件的一个双曲线方程是x2－＝1．
答案：x2－＝1(答案不唯一)
9．(2021·广东珠海二模)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，P为曲线C上一点，∶∶＝5∶4∶2，则曲线C的离心率为___________．
解析：依题意：令焦距2c＝＝2m(m>0)，则＝5m，＝4m，
当曲线C是椭圆时，长轴长2a＝＋＝9m，其离心率e＝＝，
当曲线C是双曲线时，实轴长2a＝－＝m，其离心率e＝＝2，
所以曲线C的离心率为或2．
答案：或2
10．如图，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转得到的曲面．已知塔的总高度为137．5 m，塔顶直径为90 m，塔的最小直径(喉部直径)为60 m，喉部标高112．5 m，则双曲线的标准方程为______________．
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
如图所示，AB为喉部直径，故a＝30，故双曲线方程为－＝1．
而M的横坐标为塔顶直径的一半，为45，
其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差，即137．5－112．5＝25，
故M(45，25)．故－＝1，所以b2＝500，
故双曲线方程为－＝1．
答案：－＝1
【B/能力提升题组】
11．(2021·广东揭阳模拟)已知双曲线C：－＝1的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线上的点到点A的最小距离为(　　 )
A．1 B．
C．2 D．
解析：由已知可得＝，c－a＝－3，可得c＝，a＝3，b2＝c2－a2＝1，
所以双曲线的方程为－y2＝1，
设P是双曲线－y2＝1上的点，则y2＝－1，且x≤－3或x≥3，
则＝＝＝＝，
所以当x＝时，＝＝．
答案：B
12．(多选)(2021·山东聊城二模)已知双曲线C：－＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则(　　 )
A．双曲线C的离心率为
B．焦点到渐近线的距离为3
C．点P到两条渐近线的距离之积为
D．当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为3
解析：对于A，a＝，b＝3，c＝＝2，e＝＝2，故A错误；
对于B，双曲线的右焦点F2(2，0)到渐近线y＝x＝x的距离为d＝＝3，故B正确；
对于C，设P，满足－＝1，即3x－y＝9，则点P到两条渐近线的距离之积为d1·d2＝·＝＝，故C正确；
对于D，设P，由C得3x－y＝9，kPA＝，kPB＝，kPA·kPB＝＝＝3，故D正确．故选BCD．
答案：BCD
13．(2021·山东临沂一模)双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为－＝1，F1，F2为其左右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD＝90°，tan ∠ABC＝－，则该双曲线的离心率为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：易知F1，A，D共线，F1，B，C共线，如图，设＝m，＝n，则m－n＝2a，
由tan ∠ABC＝－得，tan ∠ABF1＝，又∠F1AB＝∠F2AD＝90°，
所以tan ∠ABF1＝＝，＝m，则＝－＝m－n，
所以＝2a＋＝2a＋m－n＝4a＋m，
由＋＝得m2＋＝(4a＋m)2，因为m>0，故解得m＝3a，
则n＝3a－2a＝a，
在△AF1F2中，m2＋n2＝(2c)2，即9a2＋a2＝4c2，所以e＝＝．
答案：C
14．(多选)设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若(　　 )
A．＝2，则＋＝
B．＝2，则＋＝2
C．＝4，则e1e2的取值范围是
D．＝4，则e1e2的取值范围是
解析：如图，设＝m，＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m＋n＝2a，
由双曲线定义可得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1，
当＝2时，则∠F1MF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2，
即a2＋a＝2c2，由离心率的公式可得＋＝2，故B正确．
当＝4时，可得n＝c，即a－a1＝c，可得－＝，
由01，可得>，即1可设2＋e2＝t(3由f＝t＋－4在上单调递增，可得f∈，则e1e2∈，故D正确．
答案：BD
15．已知动点P在圆＋＝4上，双曲线C：－＝1的右焦点为F，若C的渐近线上存在点Q满足＋＝2，则C的离心率的取值范围是___________．
解析：设Q′，P，满足＋＝2，
所以＋(2，0)＝(2x，2y)，所以x0＝2x－2，y0＝2y，
又因为P在圆上满足＋＝4，
所以(2x－2＋2)2＋(2y－4)2＝4，整理得x2＋＝1，
所以点Q′的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图所示：
当渐近线与圆有交点时，说明渐近线上存在点Q，使得＋＝2，
当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：
圆心到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝1，
因为c＝2，即a2＋b2＝4，所以a＝1，此时b＝，＝，
当≥时，渐近线与圆有交点，则＝＝≥＝2．
答案：
16．已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±x(a>0)，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
解析：由题意得双曲线C1的方程为－y2＝t(a>0，t>0)，
双曲线C2的方程为y2－＝λ(a>0，λ>0)，
所以e1＝＝，e2＝＝，
所以e1＋e2＝＋≥2＝2≥2(当且仅当a＝1时等号成立)．
答案：2

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