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第6节　抛物线
[课标要求]　①了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用；②了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质；③通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；④了解抛物线的简单应用．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)．
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性 质 顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 (其中 P(x0， y0)) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋
(一)必背常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
(7)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：
S△AOB＝＝|AB|·|d|＝|OF|·|y1－y2|．
(二)盘点易错易混
1．应用抛物线定义时，一定要注意定点F不能在定直线l上，否则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线．
2．抛物线的标准方程有四种形式，要判断焦点位置，牢记方程形式．
3．理解抛物线标准方程中参数p的几何意义，熟记焦点坐标和准线方程中数值与p的关系．
4．直线与抛物线相切，有且只有一个交点；但直线与抛物线只有一个交点时，却不一定相切．如一条平行于抛物线对称轴的直线与抛物线相交，此时只有一个交点．
【小题热身】
1．[易错题]抛物线y＝－x2的焦点坐标为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：∵y＝－x2，∴x2＝－16y，
因此焦点坐标为．
答案：D
2．已知点在抛物线C：y2＝2px上，则C的焦点到其准线的距离为(　　)
A． B．
C．1 D．2
解析：由点在抛物线上，易知1＝2p，p＝，故焦点到其准线的距离为．
答案：B
3．若抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，且过点(2，1)，则C的标准方程是___________．
解析：因为抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，故设抛物线方程为x2＝my，
又抛物线过点(2，1)，所以22＝m，即m＝4，所以抛物线方程为x2＝4y．
答案：x2＝4y
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
解析：抛物线y2＝4x中，p＝2，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)，
故根据抛物线定义可知＝＋＝＋＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．
答案：8
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．
解析：Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，
故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，
消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1．
答案：[－1，1]
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__抛物线的定义及应用[典例引领]
【例1】　(1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为(　　 )
A．2 B．4
C．3 D．5
(2)已知抛物线y2＝4x，P是抛物线上任意一点，则P到直线l：x＝－1的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________．
解析：(1)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|．则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4．
(2)易知直线l：x＝－1为抛物线的准线，抛物线y2＝4x与直线3x＋4y＋7＝0相离，
由抛物线的定义可知，点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，
∴点P到直线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2．
答案：(1)B　 (2)2
[思维引申]　(换条件)本例(1)中的B点坐标改为(3，4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
解析：由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2．
答案：2
[思维升华]　抛物线定义的应用
(1)由抛物线定义，可把抛物线上点到焦点的距离与点到准线的距离相互转化．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋．
[对点练]　1．(2022·山东淄博一模)若抛物线y2＝2px上的点A到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于___________．
解析：抛物线y2＝2px开口向右，准线为x＝－，
将A的坐标代入抛物线方程得4＝2px0，x0＝，
由于抛物线y2＝2px上的点A到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，
根据抛物线的定义有x0＋＝3x0，所以＋＝3×，＝，p2＝8，p＝2．
答案：2
2．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________．
解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，K为直线l与y轴的交点．
根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，
|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°．在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，
所以|MF|＝|FK|．而|FK|＝1．所以|MF|＝．
答案：
考点2__抛物线的标准方程[典例引领]
【例2】　(1)(2022·贵州毕节质检)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝16，则抛物线的方程为(　　 )
A．y2＝2x B．y2＝3x
C．y2＝4x D．y2＝8x
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的标准方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
解析：(1)抛物线的焦点为，直线的斜率为tan ＝，
则直线方程为y＝，代入抛物线方程并整理得x2－7px＋＝0．
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则x1＋x2＝7p．
由弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p＝16，解得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x．
(2)由题意知，F，抛物线的准线方程为x＝－，
则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直径的圆的圆心为，
所以圆的方程为＋＝，又因为圆过点(0，2)，所以yM＝4，
又因为点M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x．
答案：(1)C　(2)C
[思维升华]　求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，a的正负由题设来定．这样就减少了不必要的讨论．
【巧解秒解】
本例的第(1)题，过焦点且倾斜角为α的直线被抛物线截得的弦长|AB|＝，
即|AB|＝＝8p＝16，解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．
[对点练]　1．(2021·北京丰台一模)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝4x
B．y2＝36x
C．y2＝4x或y2＝36x
D．y2＝8x或y2＝32x
解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，
所以若设该点为P，则P(x0，±6)．
因为P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10．①
因为P在抛物线上，所以36＝2px0．②
由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x．
答案：C
2．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示．为了保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0．7 m，若行车道总宽度为7．2 m，则车辆通过隧道时的限制高度为(　　 )
A．3．3 m B．3．5 m
C．3．8 m D．4．5 m
解析：取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，则C，
设抛物线方程x2＝－2py，将点C代入抛物线方程得4．82＝2p×4．8，解得p＝2．4，
∴抛物线方程为x2＝－4．8y，行车道总宽度AB＝7．2，
∴将x＝3．6代入抛物线方程，得3．62＝－4．8y解得y＝－2．7，
∴限度为7．2－2．7－0．7＝3．8(米)
∴车辆通过隧道的限制高度是3．8米．
答案：C
考点3__抛物线的几何性质[典例引领]
【例3】　(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
(2)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)
A．18 B．24
C．36 D．48
解析：(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，由准线过点(－1，1)，得－＝－1，解得p＝2．
所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．
(2)以抛物线的顶点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系(图略)．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为(，0)．将x＝代入y2＝2px，可得y2＝p2．
所以|AB|＝2p，即2p＝12，所以p＝6．
因为点P在准线上，所以点P到AB的距离为p＝6，
所以△ABP的面积为×12×6＝36．
答案：(1)B　(2)C
[思维升华]　1．利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
2．要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
[对点练]　如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则△ABF的周长的取值范围是________．
解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)．
抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2，
圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为点(2，0)，半径为4，
∴△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，
由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，
∴xB∈(2，6)，∴6＋xB∈(8，12)．
∴△ABF的周长的取值范围是(8，12)．
答案：(8，12)
考点4__直线与抛物线的位置关系[典例引领]
【例4】　已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N．
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：(1)由题意知直线AB的斜率存在，
故可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p＝0，
显然方程有两个不等实根，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p．
由x2＝2py，得y′＝，则kAN·kBN＝＝－．
又kAN·kBN＝－1，∴－＝－1，∴p＝2．
(2)设切线AN为y＝x＋b．
∵切点A在抛物线y＝上，
∴y1＝，∴b＝－＝－，
∴切线AN的方程为y＝x－．
同理，可求得切线BN的方程为y＝x－．
∵N在切线AN和BN上，∴
解得N，∴N(pk，－1)．
∴|AB|＝|x2－x1|＝ ，
点N到直线AB：y＝kx＋1的距离为d＝，
∴S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，
∴2＝4，∴p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y．
[思维升华]　1．直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题，通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接
使用焦点弦公式；若不过抛物线的焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[对点练]　设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点．连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．
解：(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，
∴y1＋y2＝6，∴p＝2，
∴抛物线的标准方程是x2＝4y．
(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
由消去y得x2－4kx－24＝0，
∴　(*)
易知抛物线在点P处的切线方程为y－＝(x－x3)，
令y＝－1，得 x＝，∴R，
又Q，F，R三点共线，∴kQF＝kFR，又F(0，1)，
∴＝，
即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0，整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0，
将(*)式代入上式得k2＝，∴k＝±，
∴直线m的方程为y＝±x＋6．
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
活用抛物线焦点弦的四个结论
四个结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝．
(2)y1·y2＝－p2．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4 B．
C．5 D．6
[一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝．
[应用结论]法一　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2．则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝．又y2＝4x，
知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝．
法二　因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，
解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝．
答案：B
【例2】　设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A． B．
C． D．
[一般解法]由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，
即4x－4y－3＝0．与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6．
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝．
[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12．
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝．
答案：D
【例3】　
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　 )
A．5 B．6
C． D．
解析： [一般解法]　
如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，
由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，
所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，
所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，
所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，
所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．故选C．
[应用结论]法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝．
法二　因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝．
答案：C
课下巩固培优卷(四十五)
【A/基础巩固题组】
1．(2021·山东烟台一模)已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，直线l与C交于A，B两点，若AB中点的横坐标为4，则＋＝(　　 )
A．8 B．10
C．12 D．16
解析：抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，
若AB的中点的横坐标为4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝8，
则|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝8＋4＝12．
答案：C
2．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上的一点．若>2，则(　　 )
A．x0∈ B．x0∈(1，＋∞)
C．y0∈(2，＋∞) D．y0∈(－∞，2)
解析：由条件可知＝1，根据焦半径公式＝x0＋1>2，解得x0>1．
答案：B
3．(2021·广东茂名二模)设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，若＝6，则△POF的面积为(　　 )
A．2 B．4
C．4 D．4
解析：∵抛物线C：x2＝8y，∴F(2，0)，准线y＝－2．
由＝6，即P到准线的距离为6．设P(x0，y0)，＝y0＋2＝6，解得y0＝4，
代入抛物线方程x2＝8y，得x0＝±4．S△POF＝＝×2×4＝4．
答案：B
4．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若＝4，则∠FQP＝(　　 )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：设P，则＝y0＋1，
由抛物线的定义可得＝，即y0＋1＝4，则y0＝3，
又x＝4y0，则x＝12，不妨令P位于第一象限，则x0＝2，即P，
因此Q，所以＝＝4，所以＝＝，
因此△FQP为等边三角形，所以∠FQP＝60°．
答案：C
5．已知点P是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，且点P到点A(0，－2)的距离与到y轴的距离之和的最小值为2－2，则p＝(　　 )
A．2 B．4
C．3 D．4
解析：
如图所示，由题得准线方程为x＝－，
点P到点A(0，－2)的距离与到y轴的距离之和为|PA|＋|PF|－≥|AF|－，
(当点P在线段AF与抛物线的交点时取等号)
|AF|＝＝，所以 －＝2－2，
解得p＝4．
答案：D
6．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置．由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上．现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为2 m，灶深CD为0．5 m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为(　　 )
A．3 m B．1．5 m
C．1 m D．0．75 m
解析：
由题意建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合：
设抛物线的方程为y2＝2px，由题意可得A，
将A点坐标代入抛物线的方程可得：3＝2p×，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，
焦点的坐标为，即，
所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为＝1．5 m．
答案：B
7．(多选)(2021·河北唐山三模)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P射入，经过r上的点A反射后，再经r上另一点B反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则(　　 )
A．y1y2＝－1
B．＝
C．PB平分∠ABQ
D．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线
解析：设抛物线的焦点为F，则F．
因为P，且l1∥x轴，故A，故直线AF：y＝＝x－．
由可得y2－y－＝0，故y1y2＝－，故A错误；
又y1＝1，故y2＝－，故B，故＝1＋＋＝，故B正确；
直线AO：y＝x，由可得C，
故yC＝yB，所以C，B，Q三点共线，故D正确；
因为＝－1＝＝，故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确．
答案：BCD
8．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，
则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
根据抛物线的定义知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x．
答案：y2＝4x
9．(2021·广东佛山二模)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，过点K且倾斜角为45°的直线与C点仅有一个公共点P，则t＝__________．
解析：因为抛物线C：y2＝2px的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，所以K，
因为过点K的直线的倾斜角为45°，
所以设直线方程为y＝x＋，
由得y2－2py＋p2＝0，即＝0，
所以y＝p＝t，
又p＝3＋，交点p＝6，即t＝6．
答案：6
10．已知抛物线C：y2＝2px的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且＝4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线C交于D，E两点．记直线AD，AE的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝，求直线m的方程．
解：(1)由题意B，代入y2＝2px，得p2＝16，p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x．
(2)当直线m的斜率不存在时，k1＋k2＝0与题意不符，
所以直线的斜率一定存在，设直线m的方程为y＝k代入到y2＝8x中，
k2x2－x＋k2＝0，
设D，E，则
k1＋k2＝＋＝＋＝＝＝，
∴k＝，所以直线m的方程为4x－3y－4＝0．
【B/能力提升题组】
11．(2021·广东江门模拟)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝2，则抛物线C2的方程为(　　 )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝3x D．y2＝8x
解析：由题意得：圆与抛物线一个交点为原点，不妨设为A，过C作CD⊥AB，
如图所示．
根据圆的几何性质可得，D为AB的中点，所以＝，
又＝r＝2，所以＝＝1，
在Rt△ACD中，sin ∠CAD＝＝，所以∠CAD＝30°，所以∠BAx＝60°，
且|AB|＝2，所以B(，3)，又点B在抛物线上，
代入可得9＝2p，解得2p＝3，所以抛物线方程为y2＝3x．
答案：C
12．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F与x轴垂直的直线交C于点M，N，有下列四个命题：
甲：点F坐标为；
乙：抛物线C的准线方程为x＝－2；
丙：线段MN长为4；
丁：直线y＝x＋1与抛物线C相切．
如果只有一个命题是假命题，则该命题是(　　 )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F，
若＝1，则p＝2，F，甲正确；抛物线的准线方程为x＝－1，乙错误；
抛物线的通径为2p＝4，丙正确；抛物线方程为y2＝4x，与y＝x＋1联立，可得x2－2x＋1＝0，即x＝1，可得直线y＝x＋1与抛物线C相切于，丁正确．
若＝2，则p＝4，可得F，甲错误；准线方程为x＝－2，乙正确；
抛物线的通径为2p＝8，丙错误，不合题意．
故p＝2，甲、丙、丁正确，乙错误．
答案：B
13．(多选)(2021·河北沧州三模)已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M，满足·＝0，则(　　 )
A．p＝2
B．k＝－2
C．＝
D．△MAB的面积为
解析：由题意知，抛物线C的准线为x＝－1，即＝1，得p＝2，故选项A正确；
因为p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F．
因为直线l过抛物线的焦点F，所以直线l的方程为y＝k．
因为·＝0，所以M在以AB为直径的圆上．
设点A，B，联立方程组两式相减可得＝＝k．
设AB的中点为Q，则y0＝．因为点Q在直线l上，所以x0＝＋1，
所以点Q是以AB为直径的圆的圆心．
由抛物线的定义知，圆Q的半径r＝＝＝＝＋2．，
因为＝＋＝r2，所以＋＝，
解得k＝－2，故选项B正确；
因为k＝－2，所以弦长＝2r＝2＝2＝5，故选项C不正确；
因为k＝－2，所以直线l为y＋2＝0，由点到直线的距离公式可得，
点M到直线l的距离d＝＝，所以S△MAB＝·d·＝××5＝，
故选项D正确．
答案：ABD
14．(2021·黑龙江哈尔滨模拟)已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，M，点N为抛物线上一动点，当最小时，点N恰好在以M，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为(　　 )
A．3＋2 B．2＋2
C． D．
解析：由抛物线的对称性，设N为抛物线第一象限内的点，如图所示：
故点N作NB垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知|NF|＝|NB|，
易知NB∥x轴，可得∠NMF＝∠BNM，
∴＝＝cos ∠BNM＝cos ∠NMF．
当∠NMF取得最大值时，取得最小值，此时NM与抛物线y2＝4x相切，
设直线NM方程为y＝k，
联立整理得k2x2＋x＋k2＝0，
其中Δ＝－16k2＋16＝0，解得：k＝±1，由N为抛物线第一象限内点，则k＝1．
则x2＋x＋1＝0，解得x＝1，此时y2＝4，即y＝2或y＝－2，由N为抛物线第一象限内点，
所以点N的坐标为N(1，2)．
由题意知，双曲线的左焦点为M，右焦点为F，
设双曲线的实轴长为2a，则2a＝＝2－2，
∴a＝－1，又c＝1，则＝＝＋1，
故渐近线斜率的平方为＝＝－1＝－1＝2＋2．
答案：B
15．(2021·福建厦门一模)已知直线y＝－x－4与抛物线y2＝－12x相交于A，B两点，抛物线的焦点为F，·＝______________．
解析：联立方程组消去x得y2－12y－48＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则y1＋y2＝12，y1y2＝－48．
因为抛物线的焦点为F(－3，0)．
所以·＝(x1＋3)(x2＋3)＋y1y2
＝(－y1－1)(－y2－1)＋y1y2＝2y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－96＋12＋1＝－83．
答案：－83
16．(2021·山东青岛一模)2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线Z：x2＝4y的焦点为F，圆F：x2＋＝4与抛物线Z在第一象限的交点为P，直线l：x＝t与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F在第一象限的交点为B，则m＝______；△FAB周长的取值范围为______．
解析：如图所示：
由解得∴m＝2，
由解得所以A，
由解得
所以B，
由抛物线的定义得AF＝AC，
∴△FAB周长＝FA＋FB＋AB＝AC＋AB＋BF＝BC＋2＝＋4．∵t∈，∴＋4∈．
答案：2　

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