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高考数学一轮复习——基本不等式
题型一：不等式的性质
1．（长郡）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0
2．（名校联盟）设a﹣b＜0，c＜0，则下列结论中正确的是（　　）
A．ac2＜bc2 B．a2c＞b2c C．＜ D．＞
3．（一中）对任意实数a，b，c，下列命题中，假命题是（　　）（多选）
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B．“ac＝bc“是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
题型二：用基本不等式之无条件求和的最值
4．（雅礼）已知x＞2，则函数的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
5．（师大）已知a，b∈R，则“ab＞0”是“+＞2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.（一中）下列函数的最小值为的有( )（多选）
A. B.
C. D.
7．（明德）若﹣4＜x＜1，则f（x）＝（　　）
A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值﹣1 D．有最大值﹣1
题型三：用基本不等式之有条件求和的最值
①乘1法
8．（雅礼）已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则的最小值是（　　）
A． B．4 C． D．5
9．（雅礼）已知a，b∈R+，a+b＝1，则：的最小值是　 　.
10．（师大）设正实数a，b满足a+b＝1，则（　　）
A．有最小值 4 B．有最小值
C．最大值 1 D．a2+b2有最小值
11．（明德）正数x，y满足
（1）求xy的最小值；
（2）求x+2y的最小值．
②整体代入法
12．（周南）若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．5 D．4
13．（一中）已知a，b都是正数，且ab+a+b＝3，则a+2b的最小值为（　　）
A． B． C． D．
14．（雅礼）已知a，b∈R+，a+b＝1，则的最小值是　 　．
题型四：求ab的最值：先套公式，代入得到含的不等式，再换元令解不等式
15．（周南）若正数a，b满足ab＝a+b+3，求ab的取值范围．
16.（长郡）已知，，.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值．
题型五：基本不等式的应用
17．（长郡）已知圆的直径为2，则其内接矩形ABCD的周长的最大值为（　　）
A． B．8 C． D．12
18．（雅礼）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元．
（1）求该仓库面积S的最大值；
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？
19．（明德）某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x+1；g（x）＝．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．
20．（师大）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
题型六：不等式的证明题
21．（师大）已知a、b、c均为正实数．
（1）若ab+bc+ca＝3，求证：a+b+c≥3；
（2）若a+b+ab＝3，求ab的最大值．
22.（长郡）不等式选讲
已知a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：
（Ⅰ） ++≥8；
（Ⅱ）（1+）（1+）≥9．
23．（一中）已知a、b、c为正数．
（1）若2a+b＝2ab，证明：；
（2）若a+b+c＝1，证明：．
24．（雅礼）（1）已知a，b，c均为正数，求证：；
（2）已知正数x，y满足x+y＝2，若恒成立，求实数a的取值范围．高考数学一轮复习——基本不等式
题型一：不等式的性质
1．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0
【解答】解：A、当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3时，a+c＝﹣4，b﹣c＝1，显然不成立，本选项不一定成立；
B、c＝0时，ac＝bc，本选项不一定成立；
C、c＝0时，＝0，本选项不一定成立；
D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，
故选：D．
2．设a﹣b＜0，c＜0，则下列结论中正确的是（　　）
A．ac2＜bc2 B．a2c＞b2c C．＜ D．＞
【解答】A．当a﹣b＜0，c＜0时，由不等式的基本性质知ac2＜bc2成立，故A正确；
B．取a＝﹣2，b＝﹣1，则a2c＞b2c不成立，故B不正确；
C．取a＝﹣2，b＝1，则不成立，故C不正确；
D．取a＝1，b＝2，则不成立，故D不正确．
故选：A．
3．对任意实数a，b，c，下列命题中，假命题是（　　）（多选）
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B．“ac＝bc“是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
【解答】解：A．a＞b，若c≤0，则ac≤bc，因此“ac＞bc”不是“a＞b”的必要条件，不正确；
B．由a＝b，可得ac＝bc，反之不成立，因此“ac＝bc“是“a＝b”的必要条件，正确；
C．由“ac＞bc”，若c＜0，则a＜b，因此“ac＞bc”不是“a＞b”的充分条件，不正确；
D．”ac＝bc”，若c＝0，则“a＝b”不成立，因此ac＝bc”不是“a＝b”的充分条件，不正确．
故选：ACD．
题型二：用基本不等式之无条件求和的最值
4．已知x＞2，则函数的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵x＞2，∴2x﹣4＞0，
＝（2x﹣4）++2≥2+2＝2+，
当且仅当（2x﹣4）＝时取得最小值2+．
故选：A．
5．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“+＞2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由+＞2，得：＞0，故ab＞0且a≠b，故“ab＞0“是“+＞2”的必要不充分条件，
故选：B．
6.（一中）下列函数的最小值为的有( )（多选）
A. B.
C. D.
【解答】解选：AD．
7．若﹣4＜x＜1，则f（x）＝（　　）
A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值﹣1 D．有最大值﹣1
【解答】解：∵﹣4＜x＜1，∴5＞1﹣x＞0．
∴f（x）＝＝＝＝﹣1，当且仅当x＝0时取等号．∴函数f（x）有最大值﹣1，无最小值．
故选：D．
题型三：用基本不等式之有条件求和的最值
①乘1法
8．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则的最小值是（　　）
A． B．4 C． D．5
【解答】解：∵a+b＝2，
∴＝1∴＝（）（）＝++≥+2＝（当且仅当b＝2a时等号成立）
故选：C．
9．已知a，b∈R+，a+b＝1，则：的最小值是　 　.
【解答】解：由于a，b∈R+，a+b＝1，则（a+2）+（b+2）＝5，所以，当且仅当时等号成立；故的最小值是 ．
10．设正实数a，b满足a+b＝1，则（　　）
A．有最小值 4 B．有最小值
C．最大值 1 D．a2+b2有最小值
【解答】解：正实数a，b满足a+b＝1，即有a+b≥2，可得0＜ab≤，即有+＝≥4，即有a＝b时，+取得最小值4，故A正确；由0＜≤，可得有最大值，故B错误；由+＝＝≤＝，可得a＝b时，+取得最大值，故C错误，
由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2＝1，则a2+b2≥，当a＝b＝时，a2+b2取得最小值，故D正确．综上可得AD正确，CB均错．
故选：AD．
11．正数x，y满足
（1）求xy的最小值；（2）求x+2y的最小值．
【解答】解：（1）∵正数x，y满足，∴1≥，可得：xy≥36，当且仅当y＝9x＝18时取等号．∴xy的最小值是36．
（2）x+2y＝（x+2y）＝19+≥19+2＝19+6，当且仅当y＝3x＝3+9时取等号．∴x+2y的最小值为19+6．
②整体代入法
12．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．5 D．4
【解答】解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，则+＝+＝++3≥2×+3＝5，当且仅当b＝3a＝时等号成立，即+的最小值为5；
故选：C．
13．已知a，b都是正数，且ab+a+b＝3，则a+2b的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由ab+a+b＝3可得：a＝，∵a＞0，b＞0，∴0＜b＜3，
∴a+2b＝+2b＝+2（b+1）﹣3＝2[（b+1）+]﹣3≥2×2﹣3＝4﹣3，当且仅当时取“＝“，∴a+2b的最小值为4﹣3，
故选：B．
14．已知a，b∈R+，a+b＝1，则：
（1）的最小值是　 　；
（2）的最小值是　 　．
【解答】解：（1）由于a，b∈R+，a+b＝1，则（a+2）+（b+2）＝5
所以，当且仅当时等号成立；
故的最小值是 ．
（2）
当且仅当即，时等号成立．
的最小值是2+2．故答案为：（1）；（2）2+2．
题型四：求ab的最值
15．若正数a，b满足ab＝a+b+3，求ab的取值范围．
【解答】解：∵ab＝a+b+3，又a，b∈（0，+∞），∴ab≥2+3．设＝t＞0，∴t2﹣2t﹣3≥0．
∴t≥3或t≤﹣1（舍去）．
∴ab的取值范围是[9，+∞）．
16.（长郡）已知，，.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
【解答】解：（1）当时，，即，
∴，∴，∴，当且仅当，时，等号成立.
∴的最小值为.
（2）当时，可得，两边都除以，得，
∴，当且仅当，
即，时取等号.∴的最小值为.
题型五：基本不等式的应用
16．已知圆的直径为2，则其内接矩形ABCD的周长的最大值为（　　）
A． B．8 C． D．12
【解答】解：设矩形的边长分别为a，b，由题意可得，a2+b2＝4，
故矩形周长为2（a+b）＝4，当且仅当a＝b时取等号．
故选：A．
17．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元．
（1）求该仓库面积S的最大值；
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？
【解答】解：（1）设铁栅长为x（x＞0）米，一侧砖墙长为y（y＞0）米，则仓库面积S＝xy，
由题意可得：40x+2×45y＝3200，∴4x+9y＝320，
∵4x+9y≥2＝12，当且仅当4x＝9y时取等号，∴320≥12，
∴xy≤，即仓库的面积S的最大值为．
（2）由题意得：40x+2×45y+20xy＝3200，
由基本不等式得，当且仅当40x＝90y时取等号，
则，解得：，∴0＜S≤100，
所以S的最大值是100．此时4x＝9y且＝10，即x＝15，
即铁栅的长是15米．
18．某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x+1；g（x）＝．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．
【解答】解：设投入B商品的资金为x万元（0≤x≤5），则投入A商品的资金为5﹣x万元，设收入为S（x）万元，
①当0≤x≤3时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝，
则S（x）＝6﹣x+＝17﹣[（x+1）+]≤17﹣2＝17﹣6＝11，当且仅当x+1＝，解得x＝2时，取等号．
②当3＜x≤5时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝﹣x2+9x﹣12，
则S（x）＝6﹣x﹣x2+9x﹣12＝﹣（x﹣4）2+10≤10，此时x＝4．
∵10＜11，
∴最大收益为11万元，
答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．
19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
【解答】解：（1）由题意，得10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，
即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．
即最多调整500名员工从事第三产业．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，所以≤，所以，即恒成立．因为，
当且仅当，即x＝500时等号成立，所以a≤5，
又a＞0，所以0＜a≤5．所以a的取值范围为（0，5]．
题型六：不等式的证明题
20．已知a、b、c均为正实数．
（1）若ab+bc+ca＝3，求证：a+b+c≥3；
（2）若a+b+ab＝3，求ab的最大值．
【解答】（1）证明：∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，
三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥（ab+bc+ca）+2（ab+bc+ca）＝3（ab+bc+ca）＝9，又a，b，c均为正整数，∴a+b+c≥3成立．
（2）解：∵a+b+ab＝3，a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）∴3≥ab+2，即（）2+2﹣3≤0，解得≤1，∴ab≤1，
即ab的最大值为1．
21已知a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：
（Ⅰ） ++≥8；
（Ⅱ）（1+）（1+）≥9．
【解答】证明：（Ⅰ）∵a+b＝1，∴ab≤＝，
∴≥4，∴++＝+＝≥8；
（Ⅱ）（1+）（1+）＝+++1，由（Ⅰ）可知++≥8，∴+++1≥9，
∴（1+）（1+）≥9．
22．已知a、b、c为正数．
（1）若2a+b＝2ab，证明：；
（2）若a+b+c＝1，证明：．
【解答】证明：（1）∵2a+b＝2ab，变形得，∴＝，
∵，∴，当且仅当，即时，等号成立；
（2），，，．
即，当且仅当时，等号成立．
23．（1）已知a，b，c均为正数，求证：；
（2）已知正数x，y满足x+y＝2，若恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】（1）证明∵a，b，c均为正数，
∴，，，以上三式相加，得，
∴，
即（当且仅当a＝2b＝3c时等号成立）．
（2）解：由于正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，
∴，则
＝＝＝
＝＝，
当且仅当，等号成立，要使恒成立，只需满足即可，
故．

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