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高考数学一轮复习—— 函数的定义域、值域重难点题型
题型一：相同函数的判定：化简后表达式一样、定义域一样
1．（雅礼）下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．y＝x﹣1和 B．y＝x0和y＝1
C．f（x）＝x2和g（x）＝（x+1）2 D．和
2．（师大）下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数是（　　）
A．f（x）＝x﹣1， B．f（x）＝|x+1|，g（x）＝
C．f（x）＝1，g（x）＝（x+1）0 D．
3．（名校联盟）中文“函数（function）”一词最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中两个函数相等的是（　　）
A．f（x）＝与g（x）＝|x| B．f（x）＝x（x∈R）与g（x）＝x（x∈Z）
C．f（x）＝|x|与g（x）＝ D．f（x）＝x﹣1与g（x）＝
题型二：函数定义域的求法
①具体函数的定义域：被开方数≥0，分母≠0，0次幂底数≠0.
4．函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．{x|x＞0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x＜0} D．{x|0＜x≤1}
5．函数的定义域是（　　）
A．（﹣∞，3] B． C． D．（3，4）∪（4，+∞）
6．已知函数f（x）＝的定义域是R，则实数m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜4 B．0≤m≤4 C．0≤m＜4 D．m≥4
7．已知函数f（x）＝的定义域是R，则实数m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜4 B．0≤m≤4 C．0≤m＜4 D．m≥4
②抽象函数的定义域：第一类：知定义域，求定义域；
第二类：知定义域，求定义域.
8．（长郡）若函数y＝f（x）的定义域是[1，2]，则函数y＝f（）的定义域为　 　．
变式：若函数y＝f（）的定义域是[1，2]，则函数y＝f（x）的定义域为　 　．
9．（名校联盟）已知函数f（x）的定义域为（0，2），求f（x+3）的定义域．
10．已知f（x）的定义域为[﹣2，2]，函数g（x）＝，则g（x）的定义域为（　　）
A．（﹣，3] B．（﹣1，+∞）
C．（﹣，0）∪（0，3） D．（﹣，3）
题型三：函数值
11．（师大）设函数f（x）＝，则f（f（﹣1））的值为　 　．
12．（广益）已知函数f（x）＝＝　 　．
13．（一中）对于定义在实数集R上的函数f（x），如果存在实数x0，使f（x0）＝x0，那么x0叫做函数f（x）的一个好点．已知函数f（x）＝x2+2ax+1不存在好点，那么a的取值范围是（　　）
A．（﹣，） B．（﹣，）
C．（﹣1，1） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
14．（一中）设函数，若f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为　 　．
题型四：函数的值域
15．（广益）若函数f（x）＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（　　）
A．（0，4] B． C． D．
16．（师大）若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（　　）(多选)
A．2 B．3 C．4 D．5
17．（师大）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣ D．﹣3
18.（名校联盟）若不等式x2+1＞2mx在R上恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
C．[﹣1，1] D．（﹣1，1）
19．（长郡）已知a∈R，函数f（x）＝x2﹣2ax+5．
（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若不等式x[x2﹣f（x）]≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．
20.（广益）已知二次函数g（x）＝ax2+2ax+b的图象开口向上，且在区间[﹣2，2]上的最小值为0和最大值为9．
（1）求a，b的值；
（2）若k＞0，且k≠1，函数g（kx）在[﹣1，1]上有最大值9，求k的值．
题型五：函数的解析式
①求具体的一次函数、二次函数的解析式：一令、二代、三相等
21．（师大）设函数f（x）是一次函数，f[f（x）]＝4x﹣3，则f（1）＝（　　）
A．3或1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣3或1
22．（广益）根据下列条件，求f（x）的解析式．
（1）f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9；
（2）f（x+1）＝x2+4x+1；
23．（师大）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），且f（x）≤0的解集为[﹣1，2]．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式mf（x）＞2（x﹣m﹣1），其中m∈R．
24．（雅礼）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣3，且f（0）＝﹣4．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数f（x）在区间[t，t+1]，（t∈R）上的最小值为g（t），求g（t）的解析式．
②求抽象函数的解析式：换元法、赋值法
25．已知f（+1）＝2x+3，则f（x）的解析式为　 　．
26.（名校联盟）已知函数f（x+2）＝x2﹣4x+8，求f（x）的解析式，并求函数f（x）在区间[﹣2，7]上的最大值与最小值．
27．（长郡）若f（x）满足关系式f（x）+2f（）＝3x，则f（2）的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．
28．（长郡）已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a，b∈R，当时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合记为A；当x∈[﹣2，2]时，使g（x）＝f（x）﹣bx是单调函数的b的集合记为B．求A∩ RB（R为全集）．高考数学一轮复习—— 函数的定义域、值域重难点题型
题型一：相同函数的判定：化简后表达式一样、定义域一样
1．（雅礼）下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．y＝x﹣1和 B．y＝x0和y＝1
C．f（x）＝x2和g（x）＝（x+1）2 D．和
【解答】解：对于A，y＝x﹣1定义域为R，的定义域为x≠﹣1，故不是同一个函数
对于B，y＝x0定义域为x≠0，y＝1的定义域为R，故不是同一个函数
对于C，两个函数的对应法则不同，故不是同一个函数
对于D，定义域都是（0，+∞）而法则，是同一函数
故选：D．
2．（师大）下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数是（　　）
A．f（x）＝x﹣1， B．f（x）＝|x+1|，g（x）＝
C．f（x）＝1，g（x）＝（x+1）0 D．
【解答】解：A．函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠﹣1}，f（x）和g（x）的定义域不相同，所以不是同一函数．
B．函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为R，f（x）和g（x）的定义域相同，f（x）＝|x+1|＝，对应关系相同，所以两个函数是同一函数．
C．函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠﹣1}，f（x）和g（x）的定义域不相同，所以不是同一函数．
D．函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≥0}，f（x）和g（x）的定义域不相同，所以不是同一函数．
故选：B．
3．（名校联盟）中文“函数（function）”一词最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中两个函数相等的是（　　）
A．f（x）＝与g（x）＝|x| B．f（x）＝x（x∈R）与g（x）＝x（x∈Z）
C．f（x）＝|x|与g（x）＝ D．f（x）＝x﹣1与g（x）＝
【解答】解：判断两个函数是同一函数的依据是：定义域和对应关系相同，
对于A：f（x）的定义域是[0，+∞），g（x）的定义域是R，故A错误；
对于B：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是Z，故B错误；
对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是R，故C正确；
对于D：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠﹣1}，故D错误；
故选：C．
题型二：函数定义域的求法
①具体函数的定义域：被开方数≥0，分母≠0，0次幂底数≠0.
4．函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．{x|x＞0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x＜0} D．{x|0＜x≤1}
【解答】解：要使f（x）有意义，则：；解得x≥1；∴f（x）的定义域为{x|x≥1}．
故选：B．
5．函数的定义域是（　　）
A．（﹣∞，3] B．
C． D．（3，4）∪（4，+∞）
【解答】解：要使函数有意义，则，得，得x≤3且x≠，
即函数的定义域为，
故选：C．
6．已知函数f（x）＝的定义域是R，则实数m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜4 B．0≤m≤4 C．0≤m＜4 D．m≥4
【解答】解：∵函数的定义域是R，∴mx2+mx+1＞0的解集是R，
∴m＝0或．解得m＝0或0＜m＜4．∴0≤m＜4．
故选：C．
7．已知函数f（x）＝的定义域是R，则实数m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜4 B．0≤m≤4 C．0≤m＜4 D．m≥4
【解答】解：函数定义域是R，则x2+mx+m≠0，∴△＝m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4．
∴实数m的取值范围是（0，4）．
故选：A．
②抽象函数的定义域：第一类：知定义域，求定义域；
第二类：知定义域，求定义域.
8．（长郡）若函数y＝f（x）的定义域是[1，2]，则函数y＝f（）的定义域为　 　．
【解答】解：由函数y＝f（x）的定义域是[1，2]，即1≤x≤2，那么函数y＝f（）的定义域满足1≤≤2，两边平方，可得1≤x≤4，即函数y＝f（）的定义域为[1，4]．
故答案为[1，4]．
9．（名校联盟）已知函数f（x）的定义域为（0，2），求f（x+3）的定义域．
【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为（0，2），∴0＜x＜2，∴0＜x+3＜2，∴﹣3＜x＜﹣1，
即f（x）的定义域为（﹣3，﹣1）．
10．已知f（x）的定义域为[﹣2，2]，函数g（x）＝，则g（x）的定义域为（　　）
A．（﹣，3] B．（﹣1，+∞）
C．（﹣，0）∪（0，3） D．（﹣，3）
【解答】解：f（x）的定义域为[﹣2，2]，函数g（x）＝，可得，解得﹣．
函数g（x）＝，则g（x）的定义域为：{x|}．故选：A．
题型三：函数值
11.（师大）设函数f（x）＝，则f（f（﹣1））的值为　 　．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣1）＝﹣（﹣1）＝1，则f（f（﹣1））＝f（1）＝2；
故答案为：2
12．（广益）已知函数f（x）＝＝　 　．
【解答】解：∵＞1∴f（）＝﹣+3＝∵≤1∴＝f（）＝+1＝
故答案为：
13．（一中）对于定义在实数集R上的函数f（x），如果存在实数x0，使f（x0）＝x0，那么x0叫做函数f（x）的一个好点．已知函数f（x）＝x2+2ax+1不存在好点，那么a的取值范围是（　　）
A．（﹣，） B．（﹣，）
C．（﹣1，1） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
【解答】解：根据题意，得x＝x2+2ax+1无实数根，即x2+（2a﹣1）x+1＝0无实数根，∴△＝（2a﹣1）2﹣4＜0，解得：﹣＜a＜；
故选：A．
14．（一中）设函数，若f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为　 　．
【解答】解：当x≤0时f（x）＝x2+bx+c，因为f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，
所以，得：b＝4，c＝2，所以当x≤0时f（x）＝x2+4x+2，
方程f（x）＝x，即x2+3x+2＝0，解得两根为：﹣1，﹣2．当x＞0时方程f（x）＝x，即x＝2．
则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为 3．
故答案为：3．
题型四：函数的值域
15．（广益）若函数f（x）＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（　　）
A．（0，4] B． C． D．
【解答】解：f（x）＝x2﹣3x﹣4图象开口向上，对称轴为，，f（0）＝﹣4，f（3）＝﹣4，又因为所给值域中包括最小值，所以m的取值范围是，
故选：B．
16．（师大）若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：函数y＝x2﹣4x﹣4的对称轴方程为x＝2，
当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时取最大值﹣4，x＝m时有最小值m2﹣4m﹣4＝﹣8，解得m＝2．则当m＞2时，最小值为﹣8，而f（0）＝﹣4，由对称性可知，m≤4．
∴实数m的值可能为2，3，4．
故选：ABC．
17．（师大）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣ D．﹣3
【解答】解：不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，
即有﹣a≤x+对于一切x∈（0，]恒成立．
由于y＝x+的导数为y′＝1﹣，当0＜x＜1时，y′＜0，函数y递减．
则当x＝时，y取得最小值且为，则有﹣a，解得a．则a的最小值为﹣．
故选：C．
18.（名校联盟）若不等式x2+1＞2mx在R上恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
C．[﹣1，1] D．（﹣1，1）
【解答】解：一元二次不等式x2﹣2mx+1＞0在R上恒成立，等价于Δ＝（﹣2m）2﹣4＜0，即m2＜1，
解得﹣1＜m＜1，则m的取值范围是（﹣1，1）．
故选：D．
19．（长郡）已知a∈R，函数f（x）＝x2﹣2ax+5．
（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若不等式x[x2﹣f（x）]≤l对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝a＞1，所以f（x）在[1，a]上递减，
所以f（1）＝a，即6﹣2a﹣a＝a，解得a＝2；
（2）x[x2﹣f（x）]≤l，即x（2ax﹣5）≤1，对x∈[，]恒成立，可得a≤对x∈[，]恒成立，
令h（x）＝，则h（x）＝（+）2﹣，x∈[，]，所以h（x）min＝h（）＝7，则a≤7．
20．（广益）已知二次函数g（x）＝ax2+2ax+b的图象开口向上，且在区间[﹣2，2]上的最小值为0和最大值为9．
（1）求a，b的值；
（2）若k＞0，且k≠1，函数g（kx）在[﹣1，1]上有最大值9，求k的值．
【解答】解：（1）二次函数g（x）＝ax2+2ax+b的对称轴为x＝﹣1，且开口向上，
∴函数g（x）在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，在[﹣1，2]上单调递增，
∴当x＝﹣1时，g（x）min＝a﹣2a+b＝0，∴a＝b，
∴当x＝2时，g（x）max＝4a+4a+b＝9，∴8a+b＝9，
∴a＝b＝1．
（2）由（1）知，g（x）＝x2+2x+1，∴g（kx）＝（kx）2+2kx+1，
设t＝kx，则g（t）＝t2+2t+1，
①当k＞1时，t∈[，k]，∵g（t）＝t2+2t+1在t∈[，k]上为增函数，∴g（t）max＝g（k）＝k2+2k+1＝9，∴k2+2k﹣8＝0，∴k＝2或k＝﹣4，∵k＞1，∴k＝2．
②当0＜k＜1时，t∈[k，]，∵g（t）＝t2+2t+1在t∈[k，]上为增函数，
∴g（t）max＝g（）＝++1＝9，∴8k2﹣2k﹣1＝0，
∴k＝或k＝﹣，∵0＜k＜1，∴k＝．
综上所述，∴k＝2或 k＝．
题型五：函数的解析式
①求具体的一次函数、二次函数的解析式：一令、二代、三相等
21．（师大）设函数f（x）是一次函数，f[f（x）]＝4x﹣3，则f（1）＝（　　）
A．3或1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣3或1
【解答】解：设一次函数f（x）＝ax+b，则f[f（x）]＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b，
∵对一切实数x满足f[f（x）]＝4x﹣3，∴，解得 或 ，
∴f（x）＝2x﹣1或f（x）＝﹣2x+3∴f（1）＝1或f（1）＝1，
故选：B．
22．（广益）根据下列条件，求f（x）的解析式．
（1）f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9；
（2）f（x+1）＝x2+4x+1；
【解答】解：（1）设f（x）＝kx+b，（k≠0），∵3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9；
∴3（kx+k+b）＝（kx+b）＝2x+9，即2kx+3k+2b＝2x+9，所以2k＝2，3k+2b＝9，
所以k＝1，b＝3，f（x）＝x+3，
（2）∵f（x+1）＝x2+4x+1＝（x+1）2+2（x+1）﹣2，∴f（x）＝x2+2x﹣2.
23．（师大）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），且f（x）≤0的解集为[﹣1，2]．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式mf（x）＞2（x﹣m﹣1），其中m∈R．
【解答】解：（1）因为f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，所以x2+bx+c＝0的根为﹣1，2，所以；
解得，b＝﹣1，c＝﹣2；所以f（x）＝x2﹣x﹣2．
（2）mf（x）＞2（x﹣m﹣1），即（mx﹣2）（x﹣1）＞0，所以当m＝0时，不等式的解集为（﹣∞，1），
当m＜0时，不等式的解集为（，1），当0＜m＜2时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（，+∞），
当m＝2时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞），
当m＞2时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）．
24．（雅礼）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣3，且f（0）＝﹣4．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数f（x）在区间[t，t+1]，（t∈R）上的最小值为g（t），求g（t）的解析式．
【解答】解：（I）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），由二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣3，且f（0）＝﹣4，可得c＝﹣4，a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2x﹣3，即2ax+a+b＝2x﹣3，即有a＝1，a+b＝3，c＝﹣4，解得a＝1，b＝c＝﹣4，则f（x）＝x2﹣4x﹣4；
（II）f（x）＝x2﹣4x﹣4，对称轴是x＝2，t≥2时，f（x）在[t，t+1]递增，故f（x）min＝g（t）＝t2﹣4t﹣4；t＜2＜t+1即1＜t＜2时，f（x）min＝g（2）＝﹣8，t+1≤2即t≤1时，f（x）min＝g（t+1）＝t2﹣2t﹣7，
综上，g（t）＝．
②求抽象函数的解析式：换元法、赋值法
25．（名校联盟）已知f（+1）＝2x+3，则f（x）的解析式为　 　．
【解答】解：令，得到x＝（t﹣1）2，得到f（t）＝2（t﹣1）2+3＝2t2﹣4t+5（t≥1）．
∴f（x）＝2x2﹣4x+5（x≥1）．
故答案为：f（x）＝2x2﹣4x+5（x≥1）．
26.（名校联盟）已知函数f（x+2）＝x2﹣4x+8，求f（x）的解析式，并求函数f（x）在区间[﹣2，7]上的最大值与最小值．
【解答】解：令t＝x+2，则x＝t﹣2．∵f（x+2）＝x2﹣4x+8，∴f（t）＝（t﹣2）2﹣4（t﹣2）+8＝t2﹣8t+20，
∴f（x）＝x2﹣8x+20．∵f（x）的对称轴为直线x＝4，开口方向向上，
∴f（x）在[﹣2，4]上递减，在[4，7]上递增，∴当x＝4时，f（x）min＝f（4）＝4，
∵|4﹣（﹣2）|＝6＞|7﹣4|＝3，∴f（x）max＝f（﹣2），当x＝﹣2时，f（﹣2）＝40．
∴f（x）max＝40．
27．（长郡）若f（x）满足关系式f（x）+2f（）＝3x，则f（2）的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．
【解答】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）＝3x，
∴，
①﹣②×2得﹣3f（2）＝3，∴f（2）＝﹣1，
故选：B．
28．（长郡）已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a，b∈R，当时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合记为A；当x∈[﹣2，2]时，使g（x）＝f（x）﹣bx是单调函数的b的集合记为B．求A∩ RB（R为全集）．
【解答】解：（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）中，
令x＝﹣1，y＝1，可得f（0）﹣f（1）＝﹣1（﹣1+2+1），
又由f（1）＝0，则有f（0）＝﹣2；
（2）在f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）中，
令y＝0，则f（x）﹣f（0）＝x（x+1）
又由f（0）＝﹣2，则f（x）＝x2+x﹣2；
（3）不等式f（x）+3＜2x+a，等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a，
若不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，则有x2﹣x+1＜a恒成立，
又由，则＜x2﹣x+1＜1，必有a＞1；
故A＝{a|a≥1}；
g（x）＝x2+x﹣2﹣ax＝x2+（1﹣a）x﹣2，
若g（x）在[﹣2，2]上是单调函数，必有≤﹣2或≥2成立，
解可得a≤﹣3，或a≥5．
故B＝{a|a≤﹣3，或a≥5}，则 RB＝{a|﹣3＜a＜5}
故A∩ RB＝{a|1≤a＜5}．
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