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圆幂定理
【知识点讲解】
1、相交弦定理
圆O的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，则
2、（切）割线定理
如图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则：
(1)（切割线定理）;
(2)
相交弦定理与割线定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.
3、证明
相交弦定理：AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B
与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同
理∠A=∠C，所以 △PAD∽△PCB。所以有：PA/PC=PD/PB，即：PA×
PB=PC×PD 。
割线定理：连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，
所以有△PAD∽△PCB，同上证得 PA×PB=PC×PD。
切割线定理：连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，
因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，
所以有△PAC∽△PDA ，易证PA =PC×PD。
【例题讲解】
【例1】“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为定值
C．的取值范围是[-2，0] D．当时，为定值
【答案】ABD
【详解】如图，连接，设的中点为，连接，则.
故，故A正确；
如图，设直线PO与圆O交于E，F，
则
，故B正确；
取AC的中点M，连接OM，
则
，
而，故的取值范围是，故C错误；
当时，
，
【跟踪训练1】“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值 B．的取值范围是
C．当时，为定值 D．的最大值为12
【答案】AC
【详解】
如图，设直线与圆于，.
则,
故A正确.
取的中点为，连接，则
，
而，故的取值范围是，故B错误.
当时，
，故C正确.
因为，故，故D错误.
【对点训练】
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可得，设＜＞＝θ，θ∈[0，π]
则∵
两边同时平方可得，即
∴cosθ= ∵∴且＞0∴
设圆心O到直线x+y-2=0的距离为d，则，即
2．在平面直角坐标系中，圆，若圆上存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】为的中点，且，
为直角三角形，，
若，为切线，且，则，
在中，，，，
则，
过点向圆引的两条切线的夹角不小于时，满足题意，
则圆心到的距离不大于，
即，解得.
故选：C.
二、填空题
3．在平面直角坐标系中，直线与圆：交于，，则__________．
【答案】2020
【详解】．
4．在平面直角坐标系中，已知点在圆：内，若存在过点的直线交圆于两点，且的面积是的面积的倍，则实数的取值范围为____．
【答案】
【详解】解：点在圆：内，
所以
解得；
又圆化为标准方程是，圆心；
的面积是的面积的倍，
，
设直线的方程为：．
圆心到直线的距离．
∴，可得：，
∴，解得：．
当时，四点共线没有三角形，实数的取值范围为．
故答案为：.
5．在平面直角坐标系中，圆：.若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是__________．
【答案】(或)
【详解】由于原C存在以G位中点的弦AB，且AB=2GO，故 ， 如图所示，过点O作圆C的两条切线，切点分别为B,D，圆上要存在满足题意的点A，只需 ，即 ，连结CB，由 可得： ，
.
三、解答题
6．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，以线段为直径的圆经过点，线段与轴交于点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆交于两点，且．求证：动直线与圆相切．
【答案】（1）（2）见解析
【详解】
解：（1）由双曲线和圆的性质，可知：
设椭圆的方程为，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
由已知得，解得，
由，得，
∴椭圆的方程为．
（2）证明：①当动直线的斜率不存在时，
设的方程为，，，
由，得，
∵直线与椭圆交于两点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵，且，
∵，
∴，即，
∵圆心到直线的距离，
∴直线与圆相切；
②当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
，，
由得，
即，
∵动直线与椭圆交于两点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
且，
∵，
∴
．
化简得，
∵圆心即原点到直线的距离，
∴直线与圆相切，
综上所述，动直线与圆相切．圆幂定理
【知识点讲解】
1、相交弦定理
圆O的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，则
2、（切）割线定理
如图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则：
(1)（切割线定理）;
(2)
相交弦定理与割线定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.
3、证明
相交弦定理：AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B
与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同
理∠A=∠C，所以 △PAD∽△PCB。所以有：PA/PC=PD/PB，即：PA×
PB=PC×PD 。
割线定理：连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，
所以有△PAD∽△PCB，同上证得 PA×PB=PC×PD。
切割线定理：连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，
因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，
所以有△PAC∽△PDA ，易证PA =PC×PD。
【例题讲解】
【例1】“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为定值
C．的取值范围是[-2，0] D．当时，为定值
听课笔记：
【跟踪训练1】“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值 B．的取值范围是
C．当时，为定值 D．的最大值为12
听课笔记：
【对点训练】
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，圆，若圆上存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
3．在平面直角坐标系中，直线与圆：交于，，则__________．
4．在平面直角坐标系中，已知点在圆：内，若存在过点的直线交圆于两点，且的面积是的面积的倍，则实数的取值范围为____．
5．在平面直角坐标系中，圆：.若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
6．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，以线段为直径的圆经过点，线段与轴交于点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆交于两点，且．求证：动直线与圆相切．圆幂定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
圆幂定理
【知识点讲解】
1、相交弦定理
圆 O的两条弦 AB、CD 相交于圆内一点 P，则 PA PB PC PD
2、（切）割线定理
如图，PT 为圆 O的切线，PAB、PCD 为割线，则：
(1) PT 2 PA PB（切割线定理）;
(2) PA PB PC PD
相交弦定理与割线定理可以统一为 PA PB PO 2 R 2 (其中 R是半径)，统称
为圆幂定理.
3、证明
相交弦定理：AB、CD 为圆 O的两条任意弦。相交于点 P，连接 AD、BC，由于∠B
与∠D同为弧 AC 所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同
理∠A=∠C，所以 △PAD∽△PCB。所以有：PA/PC=PD/PB，即：PA×
PB=PC×PD 。
割线定理：连接 AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，
所以有△PAD∽△PCB，同上证得 PA×PB=PC×PD。
切割线定理：连接 AC、AD。∠PAC 为切线 PA 与弦 AC 组成的弦切角，
因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，
所以有△PAC∽△PDA ，易证 PA =PC×PD。
【例题讲解】
【例 1】“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其
中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
如图，已知圆 O的半径为 2，点 P是圆 O内的定点，且OP 2，弦 AC BD均
过点 P，则下列说法正确的是（ ）
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
圆幂定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义

A． OD OB DB 0 B．PA PC为定值

C．OA OC的取值范围是[-2，0] D．当 AC BD时， AB CD为定值
听课笔记：
【跟踪训练 1】“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结
论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等.如图，已知圆 O的半径为 2，点 P是圆 O内的定点，且OP 2，弦 AC、
BD均过点 P，则下列说法正确的是（ ）

A．PA PC为定值 B．OA OC的取值范围是 2,0

C．当 AC BD时， AB CD为定值 D． AC BD的最大值为 12
听课笔记：
第 2 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
圆幂定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练】
一、单选题
1．在平面直角坐标系 xOy中，设直线 y x 2与圆 x2 y2 r2(r 0)交于 A,B两点，

O为坐标原点，若圆上一点C
5 3
满足OC OA OB，则 r
4 4
A． 2 2 B．5 C．3 D． 10
2．在平面直角坐标系 xOy中，圆O : x2 y2 3,T (2,m)，若圆O上存在以M 为中点
的弦 AB，且 AB 2MT ，则实数m的取值范围是
A．[ 2,0] B． (0, 2] C．[ 2, 2] D． ( 2, 2)
二、填空题
3 2 2．在平面直角坐标系 xOy中，直线 y kx与圆C： x 27 y 36 5交于A，B，
则 OA OB __________．
4．在平面直角坐标系 xOy中，已知点P 0，1 在圆C：x2 y2 2mx 2y m2 4m 1 0
内，若存在过点 P的直线交圆C于 A、B两点，且 PBC的面积是△PAC的面积的 2倍，
则实数m的取值范围为____．
5．在平面直角坐标系 中，圆 ： .若圆 存在以 为中
点的弦 ，且 ，则实数 的取值范围是__________．
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圆幂定理（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
三、解答题
6 E O x 3．已知椭圆 的中心为坐标原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，F1、F2分别为
2
椭圆 E的左、右焦点，点 P在椭圆 E上，以线段F1F2为直径的圆经过点 P，线段 F1P
与 y轴交于点 B，且 F1P F1B 6．
（1）求椭圆 E的方程；

（2）设动直线 l与椭圆 E交于M、N两点，且OM ON 0．求证：动直线 l与
x2 4 y2 圆相切．
5
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