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苏教版（2019）高中数学一轮复习第25讲《概率、随机变量与分布列》(解析版）
【知识梳理】
概率 定义 如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即
事件关系 基本关系 ①包含关系；②相等关系；③和事件；④积事件 类比集合关系
互斥事件 事件和事件在任何一次实验中不会同时发生
对立事件 事件和事件，在任何一次实验中有且只有一个发生
性质 基本性质 ， ，
互斥事件 事件互斥，则
对立事件 事件与它的对立事件的概率满足
古典概型 特征 基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性
计算公式 ， 基本事件的个数、事件所包含的基本事件个数
随机变量及其分布 随机变量及其分布列 概念 随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫做离散型随机变量
分布列 离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格
性质 （1）；（2）
事件的独立性 条件概率 概念：事件发生的条件下，事件发生的概率，
性质：． 互斥， ．
独立事件 事件与事件满足，事件与事件相互独立
次独立 重复试验 每次试验中事件发生的概率为，在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为
典型 分布 超几何 分布 ，，其中，且，且
二项分布 分布列为：， 数学期望、方差【时为两点分布】
正态分布 图象称为正态密度曲线，随机变量满足，则称的分布为正态分布．正态密度曲线的特点
数字 特征 数学期望
方差和 标准差 方差：，标准差：
二、【真题再现】
1、（2022全国甲卷文）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）
A. B. C. D.
2、（2022全国甲卷理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
3、（2022全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
4、（2022上海卷）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　．
5、（2022新高考1卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）
A. B. C. D.
6、（2022浙江卷）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
7、（2022北京卷）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
8、（2022新高考1卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
9、（2022新高考2卷）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
10、（2022全国甲卷理）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
三、【考点精讲】
考点1 古典概型
【例1-1】（2021·全国高三月考）哥德巴赫猜想作为数论领域存在时间最久的未解难题之一，自年提出至今，已经困扰数学界长达三个世纪之久哥德巴赫猜想是“任一大于的偶数都可写成两个质数的和”，如．根据哥德巴赫猜想，拆分的所有质数记为集合，从中随机选取两个不同的数，其差大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2021·贵州高三月考）象棋，亦作“象暮” 中国象棋，中国传统棋类益智游戏，在中国有着悠久的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021·广西高三开学考试（理））观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取其中两个面的点数，点数之和正好等于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（多选）（2021·湖南高三）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
【变式1-3】（多选）（2021·湖南高三）某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，，则下列判断不正确的是（ ）
A． B． C．， D．，
考点2 条件概率
【例2-1】（2021·全国高三月考（理））某公司为方便员工停车，租了个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（2021·四川省资阳中学高三月考）为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体仿伪能力，保持人民币系列化，中国人民银行发行了2019年版第五套人民币元、元、元、元纸币和元、角、角硬币，同时升级了原有的验钞机现从混有张假钞的张元钞票中任取两张，在其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2021·广东汕头·高三）现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021·全国高三专题练习（理））甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2021·福建高三）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（ ）
A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1
【变式2-3】（2022·全国高三专题练习（理））从含甲、乙在内的5名全国第七次人口普查员中随机选取3人到某小区进行人口普查，则在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2022·全国高三专题练习（理））已知事件A与B独立，当时，若，则 （ ）
A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1
考点3 超几何分布
【例3-1】（2021·重庆高三开学考试）北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.
若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优秀.
（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；
（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望.
【变式3-1】（2021·广西柳州）为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；
（2）若从第一 五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.
考点4 二项分布
【例4-1】（2021·渤海大学附属高级中学高三月考）随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 50 100 250 60 40
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
【例4-2】（2021·湖北武汉·高三月考）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
【变式4-1】（2021·天水市第一中学高三开学考试）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.
附：，
0.05 0.01
3.841 6.635
【变式4-2】（2021·广东高三月考）某地为了解高三学生运动量是否达标，随机抽取了200名同学进行调查，得到数据如下：在120名男生中，运动量达标的有60人；在80名女生中，运动量未达标的有50人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为运动量达标与性别有关.
运动量达标 运动量未达标 合计
男生人数
女生人数
合计
（2）以上述数据样本来估计总体，现从该地的所有高三学生（人数众多）中逐一随机抽取3人，记这3人中运动量达标的男生人数为随机变量X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.
参考公式与数据：
，其中.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【变式4-3】（2021·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲 乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.
考点5 独立重复实验
【例5-1】（2021·常州市西夏墅中学高三开学考试）某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得-10分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得-10分.规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功.若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；
（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列 期望和闯关成功的概率.
【例5-2】（2021·河北高三月考）某企业计划招聘新员工，现对应聘者关于工作的首要考虑因素进行调查﹐所得统计结果如下表所示：
男性 女性
以月薪作为主要考虑因素
以发展前景作为主要考虑因素
（1）是否有的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；
（2）若招聘考核共设置个环节，应聘者需要参加全部环节的考核，每个环节设置两个项目，若应聘者每通过一个项目积分，未通过积分.已知甲第环节每个项目通过的概率均为，第环节每个项目通过的概率均为，各环节 各项目间相互独立.求甲经过两个环节的考核后所得积分之和的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
【变式5-1】（2021·全国）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为．
（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；
（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望．
【变式5-2】（2021·广东深圳·高三月考）甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲蠃的概率为，输的概率为.
（1）求甲最终获胜的概率；
（2）记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望.
考点6 正态分布
【例6-1】（2021·扬州市邗江区蒋王中学高三月考）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
【例6-2】（2021·海南高三）某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答道题，第一题为教育心理学知识，答对得分，答错得分，后两题为专业知识，每道题答对得分，答错得分．
（Ⅰ）若一共有人应聘，他们的工作经历评分服从正态分布，分及以上达标，求进面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；
（Ⅱ）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列及数学期望．
附：若随机变量，则，，．
【例6-3】（2021·湖南高三）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．
（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；
（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位）
解题中可参考使用下列数据：，，．
【变式6-1】（2021·贵州贵阳一中（理））已知随机变量，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
【变式6-2】（2021·广东高三月考）绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球、个黄球、5个黑球（），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．
（1）经统计，每人的植树棵数服从正态分布，现有100位植树者，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？
附参考数据：若，则，．
【变式6-3】（2021·全国高三）中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）求；
（ii）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.
参考数据：若，则，，，，，.苏教版（2019）高中数学一轮复习第25讲《概率、随机变量与分布列》(解析版）
【知识梳理】
概率 定义 如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即
事件关系 基本关系 ①包含关系；②相等关系；③和事件；④积事件 类比集合关系
互斥事件 事件和事件在任何一次实验中不会同时发生
对立事件 事件和事件，在任何一次实验中有且只有一个发生
性质 基本性质 ， ，
互斥事件 事件互斥，则
对立事件 事件与它的对立事件的概率满足
古典概型 特征 基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性
计算公式 ， 基本事件的个数、事件所包含的基本事件个数
随机变量及其分布 随机变量及其分布列 概念 随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫做离散型随机变量
分布列 离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格
性质 （1）；（2）
事件的独立性 条件概率 概念：事件发生的条件下，事件发生的概率，
性质：． 互斥， ．
独立事件 事件与事件满足，事件与事件相互独立
次独立 重复试验 每次试验中事件发生的概率为，在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为
典型 分布 超几何 分布 ，，其中，且，且
二项分布 分布列为：， 数学期望、方差【时为两点分布】
正态分布 图象称为正态密度曲线，随机变量满足，则称的分布为正态分布．正态密度曲线的特点
数字 特征 数学期望
方差和 标准差 方差：，标准差：
二、【真题再现】
1、（2022全国甲卷文）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
故选：C.
2、（2022全国甲卷理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
【答案】.
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
3、（2022全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
4、（2022上海卷）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　．
【分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果．
【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有+ 种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为＝＝，
故答案为：．
5、（2022新高考1卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
6、（2022浙江卷）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
【答案】 ①. ， ②.
【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，，，
所以,
故答案为：，.
7、（2022北京卷）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】（1）0.4 （2） （3）丙
【分析】(1)由频率估计概率即可
(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【小问1详解】
由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
【小问2详解】
设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
【小问3详解】
丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
8、（2022新高考1卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（2）（i）证明见解析；(ii)；
【分析】 (2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
【小问2详解】
(i)因为，
所以所以，
(ii) 由已知，，又，，
所以
9、（2022新高考2卷）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】（1）岁；（2）；（3）．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【小问1详解】
平均年龄
（岁）．
【小问2详解】
设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以
．
小问3详解】
设任选一人年龄位于区间，任选一人患这种疾病，
则由条件概率公式可得
．
10、（2022全国甲卷理）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【小问1详解】
设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
【小问2详解】
依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望.
三、【考点精讲】
考点1 古典概型
【例1-1】（2021·全国高三月考）哥德巴赫猜想作为数论领域存在时间最久的未解难题之一，自年提出至今，已经困扰数学界长达三个世纪之久哥德巴赫猜想是“任一大于的偶数都可写成两个质数的和”，如．根据哥德巴赫猜想，拆分的所有质数记为集合，从中随机选取两个不同的数，其差大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，所以，
所以从中任取两个不同的数的基本事件共有种，
满足差大于的基本事件为，，，，共4种，
所以，
故选：B．
【例1-2】（2021·贵州高三月考）象棋，亦作“象暮” 中国象棋，中国传统棋类益智游戏，在中国有着悠久的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，
相当于“横横横竖竖”五个汉字排成一列，有条路线.
其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，分两步，第一步，“横横竖”三个汉字排成一列；
第二步，“横竖”两个汉字排成一列，共有条路线.故所求概率为.
故选：C
【变式1-1】（2021·广西高三开学考试（理））观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取其中两个面的点数，点数之和正好等于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取其中两个面的点数的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种取法，其中和为5的取法有(1，4)，(2，3)，共2种取法，由古典概型概率公式可得事件点数之和正好等于5的概率,
故选：C.
【变式1-2】（多选）（2021·湖南高三）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
【答案】ACD
【解析】由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，设其前项和为，
则，得．因为，均为正整数，所以有如下几种情况：
，，，共4种情况，每种情况各位诸侯分到领地的处数如下表所列：
男 子 伯 侯 公
， 8 9 10 11 12
， 6 8 10 12 14
， 4 7 10 13 16
， 2 6 10 14 18
由表中数据可知：为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是；故选项A正确；
为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是；故选项B不正确；
为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是；故选项C正确；
为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是，故选项D正确；
故选：ACD．
【变式1-3】（多选）（2021·湖南高三）某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，，则下列判断不正确的是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】ABD
【解析】记“车况好、中、差”分别为，，，方案一包含的基本事件数为，方案二包含的基本事件数为，列表如下由表中所列事件数可知，，，所以选项C正确．
1 2 3
A B C √
A C B √
B A C √
B C A √
C A B √
C B A
故选：ABD.
考点2 条件概率
【例2-1】（2021·全国高三月考（理））某公司为方便员工停车，租了个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据条件概率可得：．故选：D.
【例2-2】（2021·四川省资阳中学高三月考）为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体仿伪能力，保持人民币系列化，中国人民银行发行了2019年版第五套人民币元、元、元、元纸币和元、角、角硬币，同时升级了原有的验钞机现从混有张假钞的张元钞票中任取两张，在其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件A表示“两张都是假钞”，事件B表示“两张中至少有一张是假钞”，则
，，
所以，所以所求概率为，
故选：B
【例2-3】（2021·广东汕头·高三）现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，
则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；所以，故选：C.
【变式2-1】（2021·全国高三专题练习（理））甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设甲获得冠军为事件A，比赛进行了三局为事件B，
则P(AB)=，P(A)=，所以
故选：A.
【变式2-2】（2021·福建高三）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（ ）
A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1
【答案】A
【解析】设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，
由题意知：，，，
则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为.
故选：A.
【变式2-3】（2022·全国高三专题练习（理））从含甲、乙在内的5名全国第七次人口普查员中随机选取3人到某小区进行人口普查，则在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，则由题意可得
，，
所以,
故选：B
【变式2-4】（2022·全国高三专题练习（理））已知事件A与B独立，当时，若，则 （ ）
A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1
【答案】C
【解析】因事件A与B独立，且，则，即
由对立事件概率公式得.
故选：C
考点3 超几何分布
【例3-1】（2021·重庆高三开学考试）北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.
若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优秀.
（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；
（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望.
【答案】（1）考核等级为优秀的男志愿者人数为5，考核等级为优秀的女志愿者人数为7；（2）分布列见解析，期望为.
【解析】（1）由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为.
因为，所以，
所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为.
因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是.
由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为，
则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为.
（2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故
【变式3-1】（2021·广西柳州）为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；
（2）若从第一 五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为
【解析】(1)由题意知，共选出50名学生参加预赛，
由频率分布直方图可得，成绩在[100,120]内的人数为：
人，
所以该班成绩良好的人数为27人；
(2)由题意，第一组有3人，第五组有4人，
从这两组随机取两个成绩，
所以，
，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以.
考点4 二项分布
【例4-1】（2021·渤海大学附属高级中学高三月考）随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 50 100 250 60 40
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．
【解析】（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为，
则，
随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为，则，
所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为．
（2）用分层抽样的方法从500个水果中抽取10个，
则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．
现从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．
则，，
，．
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以．
【例4-2】（2021·湖北武汉·高三月考）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，2.
【解析】解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．设其打破世界纪录的项目数为随机变量，
“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有
（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，
则,,
,，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以期望．
【变式4-1】（2021·天水市第一中学高三开学考试）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.
附：，
0.05 0.01
3.841 6.635
【答案】（1）没有的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析；，.
【解析】（1）由频率分布直方图可得100名观众中体育迷的人数为，
故男性中体育迷为15人，故可得列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
所以，
故没有的把握认为“体育迷”与性别有关.
（2）由（1）可得任取一人为体育迷的概率为，
故，
所以，，
，.
故分布列为：
0 1 2 3
又，.
【变式4-2】（2021·广东高三月考）某地为了解高三学生运动量是否达标，随机抽取了200名同学进行调查，得到数据如下：在120名男生中，运动量达标的有60人；在80名女生中，运动量未达标的有50人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为运动量达标与性别有关.
运动量达标 运动量未达标 合计
男生人数
女生人数
合计
（2）以上述数据样本来估计总体，现从该地的所有高三学生（人数众多）中逐一随机抽取3人，记这3人中运动量达标的男生人数为随机变量X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.
参考公式与数据：
，其中.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【答案】（1）列联表见解析，没有把握；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）列联表如下：
运动量达标 运动量未达标 合计
男生人数 60 60 120
女生人数 30 50 80
合计 90 110 200
∵，
∴没有95%的把握认为运动量达标与性别有关.
（2） 根据样本估计总体的思想，从众多学生中随机抽取1人，其为运动量达标的男生概率为，易知可能的取值是0，1，2，3， 且，
∴， ，
， ，
∴分布列为：
0 1 2 3
∴.
【变式4-3】（2021·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲 乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）.
【解析】（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，
所以，
从而，，
所以，随机变量的分布列为：
P 0 1 2 3 4 5
X
所以；
（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为，则，
且事件，
由题意知，事件之间互斥，
且与相互独立，
由（1）可得.
考点5 独立重复实验
【例5-1】（2021·常州市西夏墅中学高三开学考试）某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得-10分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得-10分.规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功.若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；
（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列 期望和闯关成功的概率.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：，成功的概率：．
【解析】（1）设事件为参赛者甲回答正确第个问题，
所以；
（2）由题意，所有可能取值为
所以的分布列为：
-20 -10 0 10 20 30
由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为．
【例5-2】（2021·河北高三月考）某企业计划招聘新员工，现对应聘者关于工作的首要考虑因素进行调查﹐所得统计结果如下表所示：
男性 女性
以月薪作为主要考虑因素
以发展前景作为主要考虑因素
（1）是否有的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；
（2）若招聘考核共设置个环节，应聘者需要参加全部环节的考核，每个环节设置两个项目，若应聘者每通过一个项目积分，未通过积分.已知甲第环节每个项目通过的概率均为，第环节每个项目通过的概率均为，各环节 各项目间相互独立.求甲经过两个环节的考核后所得积分之和的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”；（2）分布列答案见解析，数学期望：（分）.
【解析】（1）补充列联表如下表：
男性 女性 总计
以月薪作为主要考虑因素
以发展前景作为主要考虑因素
总计
，
有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”.
（2）的所有可能的取值为.
’
的分布列为
（分）
【变式5-1】（2021·全国）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为．
（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；
（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为3．
【解析】（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A，
可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以；
（2）易知X的取值为0，1，2，3，4，且，
，，
，，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望．
【变式5-2】（2021·广东深圳·高三月考）甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲蠃的概率为，输的概率为.
（1）求甲最终获胜的概率；
（2）记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望是.
【解析】（1）设甲最终获胜的概率为P，比赛四局甲获得胜利的概率为，比赛五局甲获得胜利的概率为，
比赛六局甲获得胜利的概率为，比赛七局甲获得胜利的概率为，于是得，
所以甲最终获胜的概率为；
（2）X的可能取值为4，5，6，7，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
X 4 5 6 7
P
于是得，
所以的数学期望为.
考点6 正态分布
【例6-1】（2021·扬州市邗江区蒋王中学高三月考）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
【答案】C
【解析】随机变量服从正态分布，且，
由对称性可知，，又，，
故选：C．
【例6-2】（2021·海南高三）某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答道题，第一题为教育心理学知识，答对得分，答错得分，后两题为专业知识，每道题答对得分，答错得分．
（Ⅰ）若一共有人应聘，他们的工作经历评分服从正态分布，分及以上达标，求进面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；
（Ⅱ）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列及数学期望．
附：若随机变量，则，，．
【答案】（Ⅰ）159；（Ⅱ）分布列见解析，7.9.
【解析】 （Ⅰ）因为服从正态分布，
所以，
因此进入面试的人数为．
（Ⅱ）由题可知，Y的可能取值为，，，，，，
则；
；
；
；
；
．
故的分布列为：
所以．
【例6-3】（2021·湖南高三）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．
（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；
（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位）
解题中可参考使用下列数据：，，．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）50．
【解析】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为．因此，的可能值为0，1，2，3，4，则
，，，，．
故的分布列为
0 1 2 3 4
所以的数学期望．
（2）由题意可知，．
，所以．
由服从正态分布，得，
则，，．所以此次竞赛受到奖励的人数为50．
【变式6-1】（2021·贵州贵阳一中（理））已知随机变量，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
【答案】D
【解析】因为随机变量X服从正态分布，所以曲线关于对称，
因为，所以.
故选：D
【变式6-2】（2021·广东高三月考）绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球、个黄球、5个黑球（），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．
（1）经统计，每人的植树棵数服从正态分布，现有100位植树者，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？
附参考数据：若，则，．
【答案】（1）人；（2）第二种方法所得奖金期望值大.
【解析】（1）由题设，，而，
∴100位植树者中植树的棵数在内的人数为人.
（2）摸甲箱：由题设知，故中100元、50元、没中奖的概率分别为、、；
摸乙箱：中100元、50元的概率分别为、，
∴甲箱内一次摸奖，奖金可能值为，且，，，则，
∴三次摸奖的期望为，而可能取值为，即.
两次乙箱内摸奖，所得奖金可能值为，
，，，
此时，期望奖金为元.
综上，，故第二种方案摸奖期望值大.
【变式6-3】（2021·全国高三）中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）求；
（ii）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.
参考数据：若，则，，，，，.
【答案】（1），；（2）（i）；（ii）.
【解析】（1）由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，
则平均数；
方差
.
（2）（i）由（1）得，，故学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，
则
.
（ii），
故随机抽取一名学生，测试分数在90.8分以上的概率为0.0228.
设“这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上”为事件，
则，
故这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上的概率为0.13.

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