资源简介

阿波罗尼斯圆
【知识点讲解】
1、定义
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“啊波罗尼斯圆” （又称之为圆的第二定义）.
2、性质
不妨设 ，，，再设 ，则有，化简得：，轨迹为圆心的圆.
满足上面条件的啊波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分和外分所得的两个分点（如图，有）.
（3）设是圆上的一点（不与重合），则是三角形的内、外角平分线，．
（4）逆向运用：给定圆和定点（不在圆上且不与重合），则一定存在唯一一个定值和一个定点，使得对于圆上的任意一点都有．
3、解题导语
对于线段之间成倍数关系（但不为“1”）时可以使用阿波罗尼
斯圆的知识，从而化简结果。同时对于一些比值一定的复杂问题也可以使用阿波罗尼斯圆的相
关知识，但是如果没有学习过相关知识，做起来就比较复杂。但对于一些比较隐蔽的表达时需
要学生了解并熟悉此种做法，以防造成遗漏。
【例题讲解】
【例1】已知两定点，（），动点与、的距离比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则最小值为
C． D．若满足点的轨迹方程，则
听课笔记：
【跟踪训练1】被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点到两个不同定点的距离之比为常数，则点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，简称“阿氏圆”据此请回答如下问题：
已知中，A为一动点，为两定点，且，，面积记为，若时，则______若时，则取值范围为______．
独立试做：
【例2】在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______．
听课笔记：
【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，， ，动点满足，的轨迹方程为____，的轨迹与圆有公共点，则实数的取值范围是____．
独立试做：
【跟踪训练3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10
C．在C上存在点M，使得
D．C上的点到直线的最大距离为9
独立试做：
题后反思：比值为一个定值轨迹为圆，可由坐标轴上两点确定圆心坐标，进而确定半径。最后求出圆的方程而对题目做出求解。
【对点训练】
一、单选题
1．已知两定点，，动点与 的距离之比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
2．平面内到两定点的距离之比等于常数的动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.已知，，，则点的轨迹围成的平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．若平面内动点P到两点A,B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为
A．x2+y2-12x+4=0 B．x2+y2+12x+4=0
C．x2+y2-x+4=0 D．x2+y2+x+4=0
4．已知平面内与两定点距离的比为常数(且）的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆，、为长轴端点，、为短轴端点，动点满足，，面积的最大值为，面积的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，当，，不共线时，的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为，动点满足，当不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
11．在平面内，已知动点P与两定点A，B的距离之比为，那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱中，平面ABC，，，，点M为AB的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且，动点P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线，，.动点满足，则动点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴，短轴，动点满足，若面积的最大值为，面积的最小值为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．若平面上两点A（ 2，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹与直线l：的公共点的个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．与实数k的取值有关
二、填空题
16．以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数的动点M的轨迹，若已知，，动点M满足，此时阿波罗尼斯圆的方程为______．
17．若平面内动点到两定点的距离之比（其中为常数，）,则动点的轨迹为圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称作阿波罗尼斯圆.若已知,则此阿波罗尼斯圆的方程为_____.
18．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值______
19．在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为___________.
20．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0， 3)，圆.若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是_____．
21．阿波罗尼斯（约公元前262—公元前190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______．
22．古希腊数学家同波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.若，，动点满足，则该圆的圆心坐标为_______.
23．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足，（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点和，是圆上的动点，则的最小值为________
24．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值（）的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为__________．
25．古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为“阿氏圆”若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，记动点P的轨迹为圆C，若过定点B的直线l与圆C交于M、N两点，则MN的最小值是__________．
26．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为2，动点P满足，当不共线时，三角形面积的最大值是_______________.
27．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为______．
28．已知 ，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________.
29．正方形ABCD边长为3，P为正方形ABCD边界及内部的动点，且，则动点P的轨迹长度为______．
30．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2）.若存在点P，使得|PA|=|PB|，|PC|=|PD|，则实数a的取值范围是____.
三、解答题
31．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点、间的距离为，动点满足， 求的最小值．
32．一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足．
（1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程；
（2）过作该圆的切线，求的方程．
33．阿波罗尼斯（约公元前262190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆. 若平面内两定点，动点满足.
（1）求点的轨迹方程；（2）求的最大值.
34．已知直线：，，为坐标原点，动点满足，动点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值；
(3)若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点．
35．已知点，动点满足，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)设直线与轴的交点为，过的两条直线都不垂直于轴，与交于点，，与交于点，直线与分别交于两点，证明：．
四、双空题
36．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点的距离之满足为常数，则点的轨迹为圆．已知圆：和，若定点（）和常数满足：对圆上任意一点，都有，则_________， ___________ .
37．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点的距离之满足为常数，则点的轨迹为圆．已知圆：和，若定点（）和常数满足：对圆上任意一点，都有，则_____，面积的最大值为______ ．
38．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，已知点，若动点满足，则动点的轨迹方程是___________；若直线与轨迹交于，当取最小值时，则___________.
39．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为4，动点满足，则动点的轨迹所围成的图形的面积为___________；最大值是___________.阿波罗尼斯圆
【知识点讲解】
1、定义
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“啊波罗尼斯圆” （又称之为圆的第二定义）.
2、性质
不妨设 ，，，再设 ，则有，化简得：，轨迹为圆心的圆.
满足上面条件的啊波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分和外分所得的两个分点（如图，有）.
（3）设是圆上的一点（不与重合），则是三角形的内、外角平分线，．
（4）逆向运用：给定圆和定点（不在圆上且不与重合），则一定存在唯一一个定值和一个定点，使得对于圆上的任意一点都有．
3、解题导语
对于线段之间成倍数关系（但不为“1”）时可以使用阿波罗尼
斯圆的知识，从而化简结果。同时对于一些比值一定的复杂问题也可以使用阿波罗尼斯圆的相
关知识，但是如果没有学习过相关知识，做起来就比较复杂。但对于一些比较隐蔽的表达时需
要学生了解并熟悉此种做法，以防造成遗漏。
【例题讲解】
【例1】已知两定点，（），动点与、的距离比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则最小值为
C． D．若满足点的轨迹方程，则
【答案】ABD
【详解】设,由(且),得
所以,所以
又的轨迹方程为,所以且,
解得(舍去)或,所以,所以,所以,故A正确C错误
对于B，
连接交圆于
当且仅当、、三点共线时取等号，故B正确
对于D，
的判别式
因为满足，故设
则
（其中为第四象限角，）
所以
所以在上恒成立
【跟踪训练1】被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点到两个不同定点的距离之比为常数，则点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，简称“阿氏圆”据此请回答如下问题：
已知中，A为一动点，为两定点，且，，面积记为，若时，则______若时，则取值范围为______．
【答案】 3
【详解】解：以作为原点，所在的直线作为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
若，即，则不妨设在正半轴上，则，
设的顶点，而，则，化简可得：，
根据条件可知A不在直线上，则，即且，
所以A点的轨迹为圆除去点与，可得，
所以面积的最大值为，即，
同样的，当，，则的顶点满足，
化简可得，可得，
又，则，即，所以，解得，即取值范围为．
故答案为：；．
【例2】在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______．
【答案】
【详解】设，由题意得，
化简得的方程为，；
直线的方程可化为，由
解得， 所以直线过定点，
又 ，所以点在圆的内部；作直线，垂足为，
设，易求，所以，
所以，
所以，
所以当，即时，
【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，， ，动点满足，的轨迹方程为____，的轨迹与圆有公共点，则实数的取值范围是____．
【答案】
【详解】设，由得，化简得；
的轨迹与圆有公共点，两圆心分别为，圆心之间的距离为4，故，解得.
【跟踪训练3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10
C．在C上存在点M，使得
D．C上的点到直线的最大距离为9
【答案】AD
【详解】解：由题意可设点，由，，，得，
化简得，即，故A正确；
点（1，1）到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误.
设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，故C错误；
C的圆心（-4，0）到直线的距离为，且曲线C的半径为4，
则C上的点到直线的最大距离，故D正确
【对点训练】
一、单选题
1．已知两定点，，动点与 的距离之比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】B
【详解】解：设，则，即，又，所以，即，
整理得，所以，解得，所以，
2．平面内到两定点的距离之比等于常数的动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.已知，，，则点的轨迹围成的平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，因为，，所以，，
由题意：，整理得：，
即点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以.
3．若平面内动点P到两点A,B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为
A．x2+y2-12x+4=0 B．x2+y2+12x+4=0
C．x2+y2-x+4=0 D．x2+y2+x+4=0
【答案】D
【详解】设，由题意，化简得：．
4．已知平面内与两定点距离的比为常数(且）的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆，、为长轴端点，、为短轴端点，动点满足，，面积的最大值为，面积的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设、、，
动点满足，则，化简得
面积的最大值为，面积的最小值为，
所以，，解得，，因此，该椭圆的离心率为.
5．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，
则、，设，，，
两边平方并整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
则有，如下图所示：
当点为圆与轴的交点（靠近原点）时，此时，取最小值，且，
因此，，故选A.
6．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】以中点为原点，所在直线为轴，则，，
设，所以由，可得，
整理得，，
其中看作是圆上的点到点的距离的平方，
所以其最大值为，所以的最大值为
7．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，当，，不共线时，的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示：设，，，则，
化简得，
当点到（轴）距离最大时，的面积最大，
∴面积的最大值是.
8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，如图：
则、，设，
∵，∴，
两边平方并整理得：，所以圆的半径为，
∴面积的最大值是.
9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为，动点满足，当不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图，
则，，设，
，，
整理得，
点P到AB（x轴）的距离最大值为，
所以面积的最大值为.
10．阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，设，
因，则，化简整理得：，
因此，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形，当点P到直线(轴)的距离最大时，的面积最大，
显然，点P到轴的最大距离为，此时，，
所以面积的最大值是．
11．在平面内，已知动点P与两定点A，B的距离之比为，那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱中，平面ABC，，，，点M为AB的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且，动点P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图，在平面PAB中，作,交AB于点N，则,
又因，所以，
所以，所以,
所以.因为，所以,
所以B、N重合且，所以点P落在以B为球心，为半径的球面上.
作于H，则，因为面ABC，所以BH，
又因为，所以面，所以B到面的距离为，
所以球面与面相切，而，所以球面不会与面相交，
则，,
所以，所以.
12．已知直线，，.动点满足，则动点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，由得：，
整理可得：，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离，动点到直线距离的最小值为.
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴，短轴，动点满足，若面积的最大值为，面积的最小值为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知：，，，，
设，则，
整理可得：，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，，
，，
即，，，离心率.
14．在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
不妨设正三角形的边长为，则，，，
设，则，，
，，
，即；
点轨迹为：，
；
当时，，；
当时，令，则表示与连线的斜率，
设直线与圆相切，
则圆心到直线距离，解得：或，，
则当时，取得最小值，；综上所述：最小值为.
15．若平面上两点A（ 2，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹与直线l：的公共点的个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．与实数k的取值有关
【答案】A
【详解】设点，由题意：得：，
整理得到点的轨迹方程为，即，
因为直线过定点，即所求圆的圆心，
故直线和圆2个交点
二、填空题
16．以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数的动点M的轨迹，若已知，，动点M满足，此时阿波罗尼斯圆的方程为______．
【答案】
【详解】设，由于，根据两点间的距离公式得，整理得.
17．若平面内动点到两定点的距离之比（其中为常数，）,则动点的轨迹为圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称作阿波罗尼斯圆.若已知,则此阿波罗尼斯圆的方程为_____.
【答案】
【详解】设点，则，
即
两边同时平方得：
即：
即故答案为：
18．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值______
【答案】
【详解】以所在直线为轴，以的垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，，设，
因为，所以，
整理得：，
所以，
因为可化为，所以，解得，
因此.即的最小值为.
故答案为：.
19．在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为___________.
【答案】
【详解】解：由题意，设，，，因为
即两边平方整理得：
所以圆心为，半径，因为的面积的最大值为3
所以，解得：，因为椭圆的离心率
即，所以，由得：
所以面积的最小值为：
20．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0， 3)，圆.若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是_____．
【答案】.
【详解】由的圆心，设，因为，
所以.
所以点M在以为圆心，2为半径的圆上，则圆C与圆D有公共点，满足：
，即.
21．阿波罗尼斯（约公元前262—公元前190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______．
【答案】
【详解】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，．
设，∵，∴，
两边平方并整理得，即．
要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，此时面积为．
22．古希腊数学家同波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.若，，动点满足，则该圆的圆心坐标为_______.
【答案】
【详解】设点为,因为,所以,
整理可得,即,则圆心为,
23．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足，（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点和，是圆上的动点，则的最小值为________
【答案】
【详解】如图，在轴上取点，
，，，，
（当且仅当为与圆交点时取等号），
.
24．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值（）的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为__________．
【答案】
【详解】依题意，，得，
即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴
建立直角坐标系，则，设，
由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
，边高的最大值为，∴.
25．古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为“阿氏圆”若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，记动点P的轨迹为圆C，若过定点B的直线l与圆C交于M、N两点，则MN的最小值是__________．
【答案】4
【详解】以线段AB的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，，设，，，
两边平方并整理得，
点B在该圆内，
若使得过定点B的弦长最短，当且仅当弦心距最大，也就是圆心与定点B的连线垂直于直线l，此时弦心距，可得MN的最小值是．
26．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为2，动点P满足，当不共线时，三角形面积的最大值是_______________.
【答案】
【详解】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
则，， ，化简为： ，
整理为：，圆是以为圆心，半径，
，当点到的距离最大时，三角形面积最大，距离的最大值是，
面积的最大值是.
27．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为______．
【答案】
【详解】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
则，设，由，
所以，两边平方并整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以，
则有，
所以的最大值为.
28．已知 ，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________.
【答案】
【详解】设，则，整理可得：；
，
当三点共线且在线段上时，取得最小值，
又直线方程为：，即，
由得：或，
又在线段上，.
29．正方形ABCD边长为3，P为正方形ABCD边界及内部的动点，且，则动点P的轨迹长度为______．
【答案】
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，设，又因为，所以，化简为：即，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
又因为P为正方形ABCD边界及内部的动点，所以动点P与轴正半轴的交点为，动点P与轴正半轴的交点为，则动点P的轨迹长度为圆弧，
在三角形中，，所以，，所以圆弧.
30．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2）.若存在点P，使得|PA|=|PB|，|PC|=|PD|，则实数a的取值范围是____.
【答案】
【详解】设P（x，y），则由|PA|=|PB|，得，
整理得，即P在以（5，0）为圆心，为半径的圆上.
又由|PC|=|PD|，知点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上
因而问题转化为直线y=a+1与圆有交点，所以|a+1|≤2，
解得
三、解答题
31．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点、间的距离为，动点满足， 求的最小值．
【答案】
【详解】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
则、，设点，
因为，即，整理可得，
即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
则，
当点为线段与圆的交点时，取得最小值，
所以，.
32．一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足．
（1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程；
（2）过作该圆的切线，求的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【详解】（1）设动点坐标为，则，，
又知，则，得．
（2）当的斜率存在为时，则的方程为：，与圆相切，
则，得：，
此时的方程为：；
当的斜率不存在时，此时的方程为：，
综上：的方程为或．
33．阿波罗尼斯（约公元前262190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆. 若平面内两定点，动点满足.
（1）求点的轨迹方程；（2）求的最大值.
【答案】（1）；（2）45.
【详解】（1）设，由题意可知即
整理得，即为点的轨迹方程 ；
（2），
由（1）得：，将其代入上式得，
又∵∴当时，最大，最大值为45.
34．已知直线：，，为坐标原点，动点满足，动点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值；
(3)若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点．
【答案】(1)(2)(3)直线过定点
【解析】（1）设点，依题意知，整理得，曲线的方程为
（2）点为圆心，∠，点到的距离，；
（3）由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上，(对角互补的四边形的四顶点共圆) 设，则圆心，半径 得即又在圆：上即 (直线是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程)由得 ，直线过定点.
35．已知点，动点满足，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)设直线与轴的交点为，过的两条直线都不垂直于轴，与交于点，，与交于点，直线与分别交于两点，证明：．
【答案】(1)曲线的方程为，是以点为圆心，半径为2的圆(2)证明见解析
【解析】(1)设，，
因为，所以，
化简得：．
所以曲线的方程为，
是以点为圆心，半径为2的圆．
(2)直线与轴的交点为，设．
设直线，
则．
联立直线和曲线的方程，得方程组，消去得，
则．
同理
三点共线，，
，得，
同理．
，
.
四、双空题
36．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点的距离之满足为常数，则点的轨迹为圆．已知圆：和，若定点（）和常数满足：对圆上任意一点，都有，则_________， ___________ .
【答案】
【详解】设，∵，∴，整理得：
，它与方程相同，则，解得．
37．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点的距离之满足为常数，则点的轨迹为圆．已知圆：和，若定点（）和常数满足：对圆上任意一点，都有，则_____，面积的最大值为______ ．
【答案】
【详解】设点，由，得，整理得
，所以解得
如图，当或时，.
38．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，已知点，若动点满足，则动点的轨迹方程是___________；若直线与轨迹交于，当取最小值时，则___________.
【答案】
【详解】设动点，因，于是得，化简整理得：，
所以动点的轨迹的方程是：；
显然轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，直线恒过定点，
点在圆内，由圆的性质知，当弦PQ长最短时，直线垂直于直线BC，
直线BC斜率，因此，，解得，
所以当取最小值时，则.
39．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为4，动点满足，则动点的轨迹所围成的图形的面积为___________；最大值是___________.
【答案】
【详解】以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图，
则，，设，，∴，
得：，点的轨迹为圆（如图），
其面积为.
，如图当位于点时，最大，最大值为，故最大值是.阿波罗尼斯圆（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
阿波罗尼斯圆
【知识点讲解】
1、定义
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 ( 1)的点的轨迹是圆，此圆被叫做“啊波
罗尼斯圆” （又称之为圆的第二定义）.
2、性质
（1） 不妨设 A a,0 ， B a,0 ， AP BP a 0, 0, 1 ，再设 P x, y ，则有
2
2
2 x a 2 y2 x a 2 y2 1 2 2 ，化简得： x 2 a y a ，轨迹为圆心
1
2 1
2 1 2 2 a，0 ，半径为 a 的圆.
1
2
1
（2） 满足上面条件的啊波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比 内分 AB和外分 AB所得的两
AM AN
个分点（如图，有 = ）.
BM BN
（3）设 P是圆上的一点（不与M、N 重合），则 PM、PN 是三角形 PAB的内、外角平分线，
PM PN ．
（4）逆向运用：给定圆O和定点 A（ A不在圆O上且不与O重合），则一定存在唯一一个定值
PA
和一个定点 B，使得对于圆O上的任意一点 P都有 ．
PB
3、解题导语
对于线段之间成倍数关系（但不为“1”）时可以使用阿波罗尼
斯圆的知识，从而化简结果。同时对于一些比值一定的复杂问题也可以使用阿波罗尼斯圆的相
关知识，但是如果没有学习过相关知识，做起来就比较复杂。但对于一些比较隐蔽的表达时需
要学生了解并熟悉此种做法，以防造成遗漏。
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阿波罗尼斯圆（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【例题讲解】
1 MQ
【例 1】已知两定点 P ,0 ，Q m, 0 （m
1
），动点M 与 P、Q的距离比 （ 02 2 MP 且
1），那么点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为 x2 y2 4，则下列说法正确的是（ ）
A．m 8 B．若T 1,2 ，则MQ 4MT最小值为10
C 2 D 2 2． ．若T a,b 满足点M 的轨迹方程，则 x bx 2 2 3 x ax 2 x R
听课笔记：
【跟踪训练 1】被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点 P到
两个不同定点 A,B的距离之比为常数 k k 0且k 1 ，则 P点的轨迹是一个圆心在 AB直线上的圆，
简称“阿氏圆” .据此请回答如下问题：
已知 ABC中，A为一动点，B,C为两定点，且 AB 2 AC ， BC a， ABC面积记为S，若 a 3
时，则 S ______ ;max 若 S 1时，则 a取值范围为______．
独立试做：
【例 2】在平面直角坐标系 xOy中，点M 3，0 ，N 3 ，02 ，直线 l : 2m 1 x (4m -1）y m 1 0 m 0 ，
动点 P满足 PM 2 PN ，则动点 P的轨迹Γ的方程为______，若Γ的对称中心为C，l与Γ交于
A，B两点，则的方程为 ABC面积的最大值为______．
听课笔记：
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阿波罗尼斯圆（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【跟踪训练 2】在平面直角坐标系 xoy中，O(0,0)， A(0, 3) ，动点M 满足 AM 2 MO，M 的轨
2 2
迹方程为____，M 的轨迹与圆 x 4 y 1 r 2 , (r 0)有公共点，则实数 r的取值范围是____．
独立试做：
【跟踪训练 3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到
两个定点 A、B的距离之比为定值 （ 0且 1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个
圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 xOy中，A 2,0 ，
PA
1B 4,0 .点 P满足 PB 2，设点 P所构成的曲线为 C，下列结论正确的是（ ）
A．C 2的方程为 x 4 y2 16
B．在 C上存在点 D，使得 D到点（1，1）的距离为 10
C．在 C上存在点 M，使得 MO 2 MA
D．C上的点到直线3x 4y 13 0的最大距离为 9
独立试做：
题后反思：比值为一个定值轨迹为圆，可由坐标轴上两点确定圆心坐标，进而确定半径。最后
求出圆的方程而对题目做出求解。
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阿波罗尼斯圆（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练】
一、单选题
MQ
1．已知两定点 P
1
,0
1
，Q m,0 m ，动点M 与 P Q的距离之比 （ 02 MP 且 1）， 2
那么点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为 x2 y2 4，则 m的值为（ ）
A． 8 B． 4 C．0 D．4
2．平面内到两定点 A,B的距离之比等于常数 ( 0, 1)的动点 P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.已
知 A(0,0)， B(3,0)， | PA |
1
| PB |，则点 P的轨迹围成的平面图形的面积为（ ）
2
3
A．2 B 9． 4 C． D．
4 2
3．若平面内动点 P到两点 A,B 的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点 P的轨迹叫作阿波罗
1
尼斯圆.已知 A(-2,0),B(2,0),λ= 2 ,则此阿波罗尼斯圆的方程为
A．x2+y2-12x+4=0 B．x2+y2+12x+4=0
20 20
C．x2+y2- 3 x+4=0 D．x2+y2+ 3 x+4=0
4．已知平面内与两定点距离的比为常数 k ( k 0且 k 1）的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗
x2 y2 MA
尼斯圆.现有椭圆 2 2 1 a b 0 ，A、B为长轴端点，C、D为短轴端点，动点M 满足， 2a b MB ，
△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A 2 B 3 C 2 3． ． ． D．
3 3 2 2
5．阿波罗尼斯（约公元前262 190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数
k k 0,k 1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A、 B间的距
PA
离为 2，动点 P满足 2PB ，则 PA
2 PB2 的最小值为（ ）
A．36 24 2 B．48 24 2 C．36 2 D． 24 2
6．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k（ k 0，
k 1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点 A、B 间的距离为 2，
PA PA 2 PB 2
动点 P 满足 3PB ，则 的最大值为（ ）2
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阿波罗尼斯圆（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
A．3 3 B．7 4 3 C．8 4 3 D．16 8 3
7．阿波罗尼斯（约公元前 262~190 年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数
k k 0,k 1 的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A， B间的距离为 2，
动点 P与A B
2
， 的距离之比为 ，当 P，A， B不共线时， PAB的面积的最大值是（ ）
2
A． 2 2 B 2 2 2． 2 C． D．
3 3
8．阿波罗尼斯(约公元前 262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
k ( k 0且 k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为 2，
动点 P与A、 B距离之比为 2，当 P、A、 B不共线时，△PAB面积的最大值是（ ）.
A 2 B 2 2． ． C． 2 D．2 2
3 3
9．阿波罗尼斯（约公元前 262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常
数 k(k 0,k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 A、B间的距离为4，
PA
动点 P满足 3PB ，当P、A、B不共线时，△PAB面积的最大值是（ ）
A 4 3． B． 3 C． 4 3 D 3．
3 3
10．阿波罗尼斯 (约公元前262 190年 )证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
k(k 0且 k 1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点 A，B间的距离为
2，动点 P与 A，B距离之比满足：| PA | 3 |PB |，当 P、A、B三点不共线时，△PAB面积的最
大值是（ ）
A． 2 2 B．2 C． 3 D． 2
11．在平面内，已知动点 P与两定点 A，B的距离之比为 0, 1 ，那么点 P的轨迹是圆，
此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，A1A 平面
ABC， AB BC 2，BB1 2 ， ABC 90 ，点 M为 AB的中点，点 P在三棱柱内部或表面上
运动，且 PA 2 PM ，动点 P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为V1，V2 V1 V2 ，
V1
则 V （ ）2
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阿波罗尼斯圆（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
A 1 1
1 1
． 2 B． 3 C． D．4 5
12．已知直线 l : x y 3 0， A 1,0 ， B 1,0 .动点 P满足 PA 2 PB ，则动点 P到直线 l距离的
最小值为（ ）
A． 2 B．2 2 C．3 2 D．1
2 2
13 x y．已知椭圆 2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为 F1,F2，长轴 A1A2，短轴B1B2，动点M 满足a b
MF1 2，若 MA1AMF 2面积的最大值为8 2，
△MB1B2面积的最小值为 2，则该椭圆的离心率为
2
（ ）
A 6． B 3 2 3． C． D．
3 3 2 2
PA
14．在正三角形 ABC中，M 为 BC中点， P为三角形内一动点，且满足 PA 2PM，则 最小
PB
值为（ ）
A 1 B 6 C 2 3． ． ． D．
4 2 2
15．若平面上两点 A（ 2，0），B（1，0），动点 P满足|PA|＝2|PB|，则动点 P的轨迹与直
线 l： y k x 2 的公共点的个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．与实数 k的取值有关
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二、填空题
16．以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数
MA
( 0, 1)的动点 M的轨迹，若已知 A 2,0 ，B 2,0 ，动点 M 满足 2MB ，此时阿波罗
尼斯圆的方程为______．
| PA |
17．若平面内动点 P到两定点 A,B的距离之比 （其中 为常数， 0, 1 P| PB | ）,则动点 的
轨迹为圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称作阿波罗尼斯圆.若已知
A( 1,0),B(1,0), 2 ,则此阿波罗尼斯圆的方程为_____.
18．阿波罗尼斯（约公元前262 190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常
数 k k 0,k 1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A、 B间的
PA 2 2
距离为 2，动点 P满足 2 PA PBPB ，则 的最小值______
| PA |
19．在平面上给定相异两点 A，B，点 P满足 ，则当 0且 1| PB | 时，P点的轨迹是一个
x2. y
2 3
圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆已知椭圆 2 1(a b 0)的离心率 e ，A，B为椭圆a b2 2
| PA |
的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点 P满足 3| PB | ，若△PAB的面积的最大值为 3，
则 PCD面积的最小值为___________.
20．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值 （ 0且 1）
的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0， 3)，
圆C : (x a) 2 (y 2a 4) 2 1 .若圆 C上存在点 M，使 |MA | 2 |MO |，则实数 a的取值范围是_____．
21．阿波罗尼斯（约公元前 262—公元前 190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距
离之比为常数 k（ k 0， k 1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点
PA
A，B间的距离为 2，动点 P满足 2PB ，当 P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是______．
22．古希腊数学家同波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上
给定两点 A( a, 0),B(a, 0)
| PA |
，动点 P满足 | PB | （其中
a和 是正常数，且 1），则 P的轨迹是
| PA | 1
一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.若 A( 1,0)， B(1,0)，动点 P满足 | PB | 2 ，则该圆的圆心
坐标为_______.
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阿波罗尼斯圆（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
23．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上
PA
给定两点 A,B，动点 P满足 ，（其中 a和 是正常数，且 1PB ），则 P的轨迹是一个圆，
这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点M 1,0 和N 2,1 ， P是圆O : x2 y2 3上的动点，
则 3 PM PN 的最小值为________
24．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨
匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值 （ 0, 1）的动
点的轨迹.已知在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，sin A 2sinB, a cosB bcos A 2, 则 ABC
面积的最大值为__________．
25．古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
k(k 0，k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为“阿氏圆” .若平面内两定点 A、B间的距离为
| PA |
2，动点 P满足 2| PB | ，记动点 P的轨迹为圆 C，若过定点 B的直线 l与圆 C交于 M、N两
点，则 MN的最小值是__________．
26．阿波罗尼斯（约公元前 262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常
数 k k 0,k 1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 A、B间的距离为 2，
PA
动点 P 满足 3 P, A,BPB ，当 不共线时，三角形 PAB面积的最大值是_______________.
| PA | 2 2
27．若平面内两定点 A、B间的距离为 2，动点 P满足 2 PA PBPB ，则 的最大值为______．2
PA
28．已知 A 2,0 B 8,0 1 C 4,2 ，且动点 P满足 ，则 2 PC PBPB 2 取得最小值时，点 P的坐
标是___________.
29．正方形 ABCD边长为 3，P为正方形 ABCD边界及内部的动点，且 PB 2 PA，则动点 P
的轨迹长度为______．
30．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2）.
若存在点 P，使得|PA|= 2 |PB|，|PC|=|PD|，则实数 a的取值范围是____.
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阿波罗尼斯圆（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
三、解答题
31．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k k 0, k 1 的点的轨
迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、 B间的距离为 2，动点 P满足
PA
2， 求 PA
2 PB 2
PB 的最小值．
32．一动点到两定点距离的比值为非零常数 ，当 1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波
罗尼斯圆已知两定点A、 B的坐标分别为： A 4,0 、 B 1,0 ，动点M 满足 AM 2 BM ．
（1）求动点M 的阿波罗尼斯圆的方程；
（2）过 P 2,3 作该圆的切线 l，求 l的方程．
33．阿波罗尼斯（约公元前 262 190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常
数 k(k 0,k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆. 若平面内两定点
PO 1
O(0,0) , A(3,0)，动点 P满足 PA 2 .
（1）求点 P的轨迹方程；（2）求 PO2 PA2的最大值.
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阿波罗尼斯圆（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
QM
34．已知直线 l： y kx 2，M 2 , 0 , N 1 , 0 ，O为坐标原点，动点Q满足 2QN ，动点Q
的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线 l与圆O： x2

y2 2交于不同的两点 A , B，当∠ AOB 2 时，求
k的值；
1
(3)若 k ，P是直线 l上的动点，过点 P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D2 ，探究：直
线CD是否过定点．
35．已知点 A 3,0 ,B 6,0 ，动点P x, y 满足 PB 2 PA，记 P的轨迹为曲线Γ．
(1)求Γ的方程，并说明Γ是什么曲线；
(2)设直线 l : x 1与 x轴的交点为M ，过M 的两条直线 l1, l2都不垂直于 y轴，l1与Γ交于点A，B，
l2与Γ交于点C,D，直线 AC ,BD与 l分别交于 E,G两点，证明： ME MG ．
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四、双空题
36．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他
|PA|
的代表成果之一：平面上一点 P到两定点 A,B的距离之满足 t (t 0且 t 1)|PB| 为常数，则
P点
1
的轨迹为圆．已知圆O：x2 y2 1和 A( ,0)，若定点B(b,0) b
1
（ 2 2）和常数
满足：对圆O上
任意一点M ，都有 |MB | |MA |，则 = _________， b =___________ .
37．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他
| PA |
的代表成果之一：平面上一点 P到两定点 A,B的距离之满足 t (t 0且 t 1)| PB | 为常数，则 P点
的轨迹为圆．已知圆O：x2 y2 1和 A(
1
,0)，若定点B(b,0) b
1

2 （ 2）和常数
满足：对圆O上
任意一点M ，都有 |MB | |MA |，则 = _____， MAB面积的最大值为______ ．
38．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值 ( 0且 1)的
点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A 0,3 ，若动点
M 满足 MA 2 MO ，则动点M 的轨迹Γ方程是___________；若直线 l : x my 1 0与轨迹Γ交于
P,Q，当 PQ 取最小值时，则m ___________.
39．阿波罗尼斯（约公元前 262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常
数 k k 0,k 1 的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、 B间的距离为 4，
PA
动点 P满足 3 PPB ，则动点 的轨迹所围成的图形的面积为___________； PA PB最大值是
___________.
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