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有关切线的问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
有关切线的问题
【知识点讲解】
1、圆
(1)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点 P(x0，y0)的
圆的切线方程为(x 20－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r .
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点 P(x0，y0) 作圆的两条切线，
则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y
2
0－b)(y－b)＝r ；
(3)圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.
(4)圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.
2、抛物线

AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过 A,B分别作准线l:x=- 的垂线,垂足分别为
2
A1,B1,E 为 A1B1的中点.
(1)如图①所示,以 AB 为直径的圆与准线 l相切于点 E.
(2)如图②所示,以 A1B1为直径的圆与弦 AB 相切于点 F,且 EF
2=A1A·BB1.
(3)如图③所示,以 AF 为直径的圆与 y轴相切.
已知点M (x0 , y0 ) ,抛物线C : y
2 2px(p 0)和直线 l : y0 y p(x x0 ) .
(1)当点M (x0 , y0 )在抛物线C上时,直线 l与抛物线C相切,其中M 为切点, l为切线.
(2)当点M (x0 , y0 )在抛物线C外时,直线 l与抛物线C相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切
线,即直线 l为切点弦所在的直线.
(3)当点M (x0 , y0 )在抛物线C内时,直线 l与抛物线C相离.
3、椭圆
x2 y2 1 P(x , y ) x x y y过椭圆 2 2 上一点 0 0 的切线方程为
0 02 2 1.a b a b
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有关切线的问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
4、导数
①切点满足切线方程也满足原函数方程②切线的斜率等于在切点处导数的数值
注意：要仔细读题
①如果是过一点的切线可能这一点不是切点②公切线可能共切点，有可能切点不同
【例题讲解】
【例 1】已知M x , y 为圆C : x2 y 21 1 1上一点，则过C上点M 的切线方程为________，若
2 2
N x2 , y2 为椭圆 E : x y2 2 1(a b 0) 上一点，则过 E上点M 的切线方程为_____________.a b
听课笔记：
【例 2】过点 A 3,0 作抛物线 y2 4x的切线，则切点的横坐标为______．
听课笔记：
x2 y2
【跟踪训练 1】设双曲线C : 1的右焦点为 F，P2 2 为双曲线外一点，过点 P作双曲线的两a b
条切线，切点分别为A、 B．若 AB PF，求点 P的轨迹．
独立试做：
2 2
【跟踪训练 2 x y】设 P为双曲线 P x Q F
a2
2 1上任一点，双曲线在 处的切线与 轴交于点 ， 1 、b
F2为焦点.证明： PQ平分 F1PF2.
独立试做：
题后反思：
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有关切线的问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练】
一、单选题
1．已知圆O1 : x2 y2 4，圆O : x2 y22 2x 2y 4 0，则同时与圆O1和圆O2相切的直线有（ ）
A．4 条 B．2 条 C．1条 D．0 条
2．若圆 x a 2 2 y 1 4 a 0 与单位圆恰有三条公切线，则实数 a的值为（ ）
A． 3 B．2 C．2 2 D． 2 3
2 2
3．函数 y ln x在P 3,f 3 x y处的切线与双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的一条渐近线平行，则双曲a b
线的离心率是
A 10． 2 B． 5 C． 7 D．
2 3
4 ．已知双曲线D : x 2 y 2 1，点M 在双曲线D上，点N在直线 l : y kx上，l的倾斜角 ,4 2 ，
|ON |2 cos
2
且 2 ，双曲线D在点M 处的切线与 l平行，则 OMN的面积的最大值为（ ）1 cos
A 3 5 B 3- 5． ． C． 3 2 D． 3 2
4 2 2
二、多选题
5．已知圆C : x2 y2 4，直线 l : 3 m x 4y 3 3m 0, m R ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 l恒过定点 3,3
B．当m 0时，圆C上有且仅有三个点到直线 l的距离都等于 1
C．圆C与曲线 x2 y2 6x 8y m 0 恰有三条公切线，则m 16
D．当m 13时，直线 l上.个动点 P向圆C引两条切线 PA,PB，其中 A,B为切点，则直线 AB经过
16 4
点 ,
9 9
三、填空题
6．若直线 y mx是 +1的切线，则m ______．
7． y kx是曲线 y ex的切线，则切线的斜率 k __________．
8．从点 P(1, 2)引圆 (x 1)2 (y 1)2 4的切线，则切线长是__________．
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有关切线的问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
9．曲线 y e2x x在 x 0处的切线的斜率是_____
10．曲线 y ln ax 1 在点 0,0 处的切线过点 4,8 ，则a ___________.
x
11 e．函数 f x aln x在 x 1处的切线与 y 2x 3平行，则a ________.
x
12．曲线 y x ln x在 x e处的切线的斜率 k ___________．
13．曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线与 2x y 1 0平行，则 f (1)= ____.
14 x．曲线 f x x 1 e ln x在 1,a 处的切线与直线bx y 2 0平行，则b a ___________.
15．已知直线 l : y kx(k 0)为圆C : (x 3)2 y2 1的切线，则 k __________．
16．已知曲线 y xex在 x x0处的切线经过点 (1, 2)，则 (x2 x00 x0 1)e __________．
17．已知曲线 y 2x 1在点 t, 2t 1 处的切线过点 0, 1 ，则 t ______．
18．曲线 y x sin x在点M ,0 处的切线的斜率是_______.
19．经过点 P(2, 3)作圆 (x 6)2 y2 4的切线，切线长是_____________．
20． y
ln x
在点 1,0x 处的切线斜率为________.e
21．圆C1： x2 y2 2x 4y 1 0与圆C ： x22 y2 4x 4y 1 0的公切线有___________条.
22．若圆 x2 y2 1与圆 x a 2 y 4 2 16有 3 条公切线，则正数 a=___________.
23．写出与圆 x2 y2 1和圆 x 4 2 2 y 3 16都相切的一条切线方程___________.
24．写出与圆 x2 y2 1和 (x 3)2 (y 4)2 16 都相切的一条直线的方程________________．
25．过椭圆 上一点 （ ）的切线的斜率为_____________．
2 2 3
26 x y ．设椭圆 1，点 P 1,

2 在椭圆上，求该椭圆在 P处的切线方程______.4 3
2
27．已知椭圆 E : x2 y 1，圆C : x2 y2 r2 (1 r 2)4 ，则椭圆 E与圆C的公切线段
PQ长的最大值为
__________.
2 2
28．圆 x2 y2 r2 x y上点 P（ x0，y0）处的切线方程为 x0x y0 y r 2．类比此结论，椭圆 aa2

b2
1（
＞b＞0）上点 P（ x0， y0）处的切线方程为________________．
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有关切线的问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
29 x2 y2 r2 x , y x x y y r 2 x
2 y2
．圆 在点 0 0 处的切线方程为 0 0 ，类似地，可以求得椭圆 1在8 2
点 (2,1)处的切线方程为________.
x 2 y230．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的右焦点为 F，过点 F作圆 x
2 y 2 b2 的切线，若两条切线互
a b
a
相垂直，则 _____________．
b
2 2
31．已知圆O： x2 y2 1 x y经过椭圆C： 2 1(a b 0)的右焦点 F2，且经过点 F2作圆O的切a b2
线被椭圆C截得的弦长为 2．则椭圆C的方程为________．
x2 232 C : y．椭圆 1的左、右焦点分别为 F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的点，椭圆在点 P4 3
1 1
处切线斜率为 k，则 k kPF k k
______.
1 PF2
x2 y233．已知椭圆 2 1(0 b 2) ，其左右焦点为 F1,F2，过点M (2, 2)作椭圆的切线，切点为 P，4 b
且点 P不在 x轴上，则 S PMF S1 PMF 2 _______．
x234．从椭圆外一点 P作椭圆 y2 1的两条切线 l1和 l2，若 l1 l2，则点 P轨迹方程为2
____________．
x2 235 y．已知椭圆 1(a b 0)的右焦点 F在圆 x2 y 2 b22 2 外，过 F作圆的切线 FM 交 y轴于点 P，a b

切点为M ，若 2OM OF OP ，则椭圆的离心率为__________．
2 1
36 x．过双曲线M ： y2 1的右焦点 F作圆C：x2 (y 1)2 的切线，此切线与M 的右支交于
3 2
A， B两点，则 | AB | ___________.
37 x
2 y2 1
．若双曲线 1的两条渐近线恰好是曲线 y ax 2 的两条切线，则 a的值为__________．
9 4 3
x2 y2 P(x , y ) x0x y y38．椭圆 2 2 1(a b 0)在其上一点
0
a b 0 0
处的切线方程为 a2

b2
1．类比上述结论，
x2 y2
双曲线 2 2 1(a 0,b 0)在其上一点P(x0 , y0 )处的切线方程为______a b ．
39．已知圆 x2 y2 r2上任意一点 x0 , y0 处的切线方程为 x0x y y r 20 ，类比以上结论：双曲线
x2 y2
2 2 1上任意一点 x0 , y0 处的切线方程为__________.a b
y240．设 P是双曲线 x2 1的右支上一点，过点 P分别作圆 (x 4)2 y2 4和 (x 4)2 y 2 1的切线，
15
2 2
切点分别为M ,N，则 PM PN 的最小值为_________.
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有关切线的问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
x2 y241．如图所示，已知P x ,y0 0 是双曲线C : 14 3 右支上任意一点，双曲线C在点 P处的切线
y 3

分别与两条渐近线 x交于 A,B两点，则OA OB __________.
2
2 2
42．圆 x2 y2 9 MT x y的切线 过双曲线 1的左焦点 F，其中T为切点，M 为切线与双曲线
9 12
右支的交点， P为MF的中点，O为坐标原点，则 PO PT ___________．
43．若直线 2x cy 1 0是抛物线 x2 y的一条切线，则c __________．
44．若直线 2x y c 0是抛物线 x2 4y的一条切线，则c __________．
45．曲线 f x axex在点 0, f 0 处的切线与抛物线 y x2 2x 4相切，则a __________.
46．过点 P 2,2 作抛物线 y2 2x的切线 l，切线 l在 y轴上的截距为___．
47．抛物线 在点 处的切线方程为______________.
48．抛物线 y 2x2在点 (1, 2)处的切线方程为__________．

49．已知抛物线C : x2 4y ，过点 P(0, 1)作抛物线的切线 PA, PB , A, B为切点，则 PA PB _________．
第 6 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint有关切线的问题
【知识点讲解】
1、圆
(1)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的
圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0) 作圆的两条切线，
则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(3)圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.
(4)圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.
2、抛物线
AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.
(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.
(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.
(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.
已知点,抛物线:和直线:.
(1)当点在抛物线上时,直线与抛物线相切,其中为切点,为切线.
(2)当点在抛物线外时,直线与抛物线相交,其中两交点与点的连线分别是抛物线的切线,即直线为切点弦所在的直线.
(3)当点在抛物线内时,直线与抛物线相离.
3、椭圆
过椭圆上一点的切线方程为.
4、导数
①切点满足切线方程也满足原函数方程②切线的斜率等于在切点处导数的数值
注意：要仔细读题
①如果是过一点的切线可能这一点不是切点②公切线可能共切点，有可能切点不同
【例题讲解】
【例1】已知为圆上一点，则过上点的切线方程为________，若为椭圆上一点，则过上点的切线方程为_____________.
听课笔记：
【例2】过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为______．
听课笔记：
【跟踪训练1】设双曲线的右焦点为，为双曲线外一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为、．若，求点的轨迹．
独立试做：
【跟踪训练2】设为双曲线上任一点，双曲线在处的切线与轴交于点， 、为焦点.证明：平分.
独立试做：
题后反思：
【对点训练】
一、单选题
1．已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条
2．若圆与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．函数在处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是
A． B． C． D．
4．已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1
C．圆与曲线恰有三条公切线，则
D．当时，直线上.个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点
三、填空题
6．若直线是+1的切线，则______．
7．是曲线的切线，则切线的斜率__________．
8．从点引圆的切线，则切线长是__________．
9．曲线在处的切线的斜率是_____
10．曲线在点处的切线过点，则___________.
11．函数在处的切线与平行，则________.
12．曲线在处的切线的斜率___________．
13．曲线在点处的切线与平行，则____.
14．曲线在处的切线与直线平行，则___________.
15．已知直线为圆的切线，则__________．
16．已知曲线在处的切线经过点，则__________．
17．已知曲线在点处的切线过点，则______．
18．曲线在点处的切线的斜率是_______.
19．经过点作圆的切线，切线长是_____________．
20．在点处的切线斜率为________.
21．圆：与圆：的公切线有___________条.
22．若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.
23．写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.
24．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
25．过椭圆上一点（）的切线的斜率为_____________．
26．设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程______.
27．已知椭圆，圆，则椭圆与圆的公切线段长的最大值为__________.
28．圆上点P（，）处的切线方程为．类比此结论，椭圆（＞＞0）上点P（，）处的切线方程为________________．
29．圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为________.
30．已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则_____________．
31．已知圆：经过椭圆：的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为．则椭圆的方程为________．
32．椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的点，椭圆在点处切线斜率为，则______.
33．已知椭圆，其左右焦点为，过点作椭圆的切线，切点为P，且点P不在x轴上，则_______．
34．从椭圆外一点作椭圆的两条切线和，若，则点轨迹方程为____________．
35．已知椭圆的右焦点在圆外，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则椭圆的离心率为__________．
36．过双曲线：的右焦点作圆：的切线，此切线与的右支交于，两点，则___________.
37．若双曲线的两条渐近线恰好是曲线的两条切线，则的值为__________．
38．椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．
39．已知圆上任意一点处的切线方程为，类比以上结论：双曲线上任意一点处的切线方程为__________.
40．设是双曲线的右支上一点，过点分别作圆和的切线，切点分别为，则的最小值为_________.
41．如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则__________.
42．圆的切线过双曲线的左焦点，其中为切点，为切线与双曲线右支的交点，为的中点，为坐标原点，则___________．
43．若直线是抛物线的一条切线，则__________．
44．若直线是抛物线的一条切线，则__________．
45．曲线在点处的切线与抛物线相切，则__________.
46．过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为___．
47．抛物线在点处的切线方程为______________.
48．抛物线在点处的切线方程为__________．
49．已知抛物线，过点作抛物线的切线为切点，则_________．有关切线的问题
【知识点讲解】
1、圆
(1)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的
圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0) 作圆的两条切线，
则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(3)圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.
(4)圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.
2、抛物线
AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.
(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.
(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.
(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.
已知点,抛物线:和直线:.
(1)当点在抛物线上时,直线与抛物线相切,其中为切点,为切线.
(2)当点在抛物线外时,直线与抛物线相交,其中两交点与点的连线分别是抛物线的切线,即直线为切点弦所在的直线.
(3)当点在抛物线内时,直线与抛物线相离.
3、椭圆
过椭圆上一点的切线方程为.
4、导数
①切点满足切线方程也满足原函数方程
②切线的斜率等于在切点处导数的数值
注意：要仔细读题
①如果是过一点的切线可能这一点不是切点
②公切线可能共切点，有可能切点不同
【例题讲解】
【例1】已知为圆上一点，则过上点的切线方程为________，若为椭圆上一点，则过上点的切线方程为_____________.
【答案】
【详解】解：因为，切线与直线，所以所求切线的斜率为，
所以所求的切线方程为，即，
得，因为点为圆上一点，所以，
所以过上点的切线方程为；
当时，设，由得
∴ ∴
∴
∴过点的切线的斜率为
∴过点的切线的方程为
∵点在椭圆上，∴，
∴，
∴， 即
，
，
∴，
∴所求的切线方程为，
当时，同理可得其切线方程为
所以过上点的切线方程为，
【例2】过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为______．
【答案】3
【详解】设切线方程为，与抛物线方程联立可得，由，解得或代入得．
【跟踪训练1】设双曲线的右焦点为，为双曲线外一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为、．若，求点的轨迹．
【答案】点的轨迹为直线与线段（）．
【详解】设点，切点，，右焦点
由切点弦公式知．
当时，由对称性，知、关于轴对称，，满足题意．
此时，点的轨迹为线段（）．
当时，，．
由．
综上，点的轨迹为直线与线段（）．
【跟踪训练2】设为双曲线上任一点，双曲线在处的切线与轴交于点， 、为焦点.证明：平分.
【答案】见解析
【详解】不妨设为双曲线
左支上任一点.于是，.则点.故.
由焦半径公式得.
由内角平分线定理的逆定理知平分.
【对点训练】
一、单选题
1．已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条
【答案】B
【详解】
圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，因为，所以，即圆和圆相交，则同时与圆和圆相切的直线有2条.
2．若圆与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切线），因此圆心距，结合解得．
3．函数在处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
切线与一条渐近线平行，
4．已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，不妨设在第一象限，
则双曲线在点处的切线方程为，所以，即
又因为，所以联立可得，
所以点到直线的距离，
因为，所以，
所以．
令，则，因为，所以，所以，
可得，
当且仅当，即时，面积取得最大值．
二、多选题
5．已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1
C．圆与曲线恰有三条公切线，则
D．当时，直线上.个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点
【答案】CD
【详解】对于A，直线，整理得，
所以，得，所以直线恒过定点，所以A错误，
对于B，当时，直线为，则
圆心到直线的距离为，而圆的半径为2，所以圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1，所以B错误，
对于C，当时，曲线为，整理得，则圆心为，半径为3，
圆的圆心，半径为2，
所以两圆的圆心距为，
所以两圆相外切，所以两圆恰有3条公切线，所以C正确，
对于D，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为，即，
因为圆，所以两圆的公共弦的方程为，
整理得，所以，得，
所以直线经过点，所以D正确，
三、填空题
6．若直线是+1的切线，则______．
【答案】1
【详解】∵+1，∴y'=，设切点为（m，lnm+1），得切线的斜率为，
所以曲线在点（m，lnm+1）处的切线方程为：
y-lnm－1=（x-m）．
它过原点，∴lnm=0，∴m=1，故答案为1.
7．是曲线的切线，则切线的斜率__________．
【答案】
【详解】设切点坐标为A ，直线过原点O（0,0），， 所以斜率 ，所以 ，所以斜率．
8．从点引圆的切线，则切线长是__________．
【答案】
【详解】因为圆的方程为，所以圆心，半径，
所以，所以切线长，故答案为．
9．曲线在处的切线的斜率是_____
【答案】3
【详解】，当时，导数为，也即切线的斜率为.
10．曲线在点处的切线过点，则___________.
【答案】2
【详解】因为函数的导函数为，所以曲线在点处的切线为，而点在切线上，所以，解得．
11．函数在处的切线与平行，则________.
【答案】2
【详解】
因为函数在处的切线与平行，所以，故
12．曲线在处的切线的斜率___________．
【答案】2
【详解】因为，所以，所以它在处的切线的斜率.
13．曲线在点处的切线与平行，则____.
【答案】2
【详解】∵曲线在点处的切线与平行∴
14．曲线在处的切线与直线平行，则___________.
【答案】
【详解】由题意，函数，可得，
可得，，
因为曲线在处的切线与直线平行，
可得，所以.故答案为：
15．已知直线为圆的切线，则__________．
【答案】
【详解】因为直线为圆的切线，所以圆心到直线的距离为，又，所以，故填.
16．已知曲线在处的切线经过点，则__________．
【答案】
【详解】由，得，
∴，∴
17．已知曲线在点处的切线过点，则______．
【答案】
【详解】，则，所以曲线在点处的切线为．又曲线在点处的切线过点，则，解得．故答案为：.
18．曲线在点处的切线的斜率是_______.
【答案】
【详解】求导数可得， 所以时，，
所以曲线在点处的切线的斜率是．
19．经过点作圆的切线，切线长是_____________．
【答案】
【详解】设切点为T,圆心为C（6，0），半径为2，
所以切线长，填．
20．在点处的切线斜率为________.
【答案】
【详解】解：由，得，
所以在点处的切线斜率为，
21．圆：与圆：的公切线有___________条.
【答案】3
【详解】圆：化为标准方程为：，
则圆心坐标为，半径为2，
圆：化为标准方程为：，
则圆心坐标为，半径为3，
∴圆心距，
即两圆的圆心距等于两圆的半径的和，∴两圆相外切，∴两圆的公切线有3条.
22．若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.
【答案】3
【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴
23．写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.
【答案】或或
【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，
易得切线的方程为，
因为，且，所以，设，即，
则到的距离，解得（舍去）或，所以，
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上任取一点，设其关于的对称点为，
则，解得，
则，所以直线，即，
综上，切线方程为或或.
故答案为：或或.
24．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
25．过椭圆上一点（）的切线的斜率为_____________．
【答案】
【详解】由，两边求导：
26．设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程______.
【答案】
【详解】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，
将代入中得，，
化简整理得，
令，
化简整理得，即，解得，
所以切线方程为，即，
27．已知椭圆，圆，则椭圆与圆的公切线段长的最大值为__.
【答案】1.
【详解】解：设直线的方程为，，，，，
联立，得.由△，
得，.
联立，得.由△，
得，.
.
，
，当时，，
当时，.
28．圆上点P（，）处的切线方程为．类比此结论，椭圆（＞＞0）上点P（，）处的切线方程为________________．
【答案】
【详解】类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：用代x2，用代y2，即可得过椭圆上一点的切线方程为．
29．圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为________.
【答案】
【详解】在点处的切线方程为，
类比得到在点处的切线方程为，
故椭圆在点处的切线方程为，即.
30．已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则_____________．
【答案】
【详解】设切点为，根据已知两切线垂直，四边形是正方形，
，根据，可得.
31．已知圆：经过椭圆：的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为．则椭圆的方程为________．
【答案】
【详解】因为圆：经过椭圆的右焦点，所以，则，且过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为，所以在椭圆上，
即，所以，故椭圆的方程为.
32．椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的点，椭圆在点处切线斜率为，则______.
【答案】
【详解】椭圆中，，，设点，
椭圆在点处切线：，由消去y得
，
则有，
整理得，即，而，
即，，于是有，
则有，即，又，
所以.
33．已知椭圆，其左右焦点为，过点作椭圆的切线，切点为P，且点P不在x轴上，则_______．
【答案】
【详解】依题意可知，切线的斜率存在，设为，则切线方程为，
联立，消去并整理得，
依题意可知，
整理得，代入到，
得，代入得，所以，
又，所以，所以，，
，
到直线的距离，
到直线的距离，
因为，所以，
所以，因为在直线的同侧，所以，
所以，，
，
所以.
34．从椭圆外一点作椭圆的两条切线和，若，则点轨迹方程为____________．
【答案】
【详解】设点为 ，则方程为 ，与联立方程组得 ，所以 ，由题意得的两根乘积为-1，所以，当的斜率不存在时也满足，因此点轨迹方程为
35．已知椭圆的右焦点在圆外，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【详解】
由于，且，故三角形为等腰直角三角形，故直线的斜率为，即直线的方程为，，根据圆心到直线的距离等于，有，代入得，故离心率为.
36．过双曲线：的右焦点作圆：的切线，此切线与的右支交于，两点，则___________.
【答案】
【详解】因为直线过双曲线的右焦点且与圆相切，所以直线的斜率存在，
设直线方程为()，由直线与圆相切知，解得或，
当时，双曲线的一条渐近线的斜率是，，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去；所以直线方程为，联立双曲线方程，消元得.
设，，则，，
所以.
37．若双曲线的两条渐近线恰好是曲线的两条切线，则的值为__________．
【答案】
【详解】因为，又双曲线的两条渐近线为且时，所以.
38．椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．
【答案】
【详解】由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.
39．已知圆上任意一点处的切线方程为，类比以上结论：双曲线上任意一点处的切线方程为__________.
【答案】
【详解】解：圆：上任意一点，处的切线方程为：．
可以看作是圆的方程中的用代，用代而得．
故类比过圆上一点的切线方程，可合情推理，得出：
过双曲线：上一点，处的切线方程为．故答案为：．
40．设是双曲线的右支上一点，过点分别作圆和的切线，切点分别为，则的最小值为_________.
【答案】13
【详解】圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，
设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，
可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2 2c﹣3＝2 8﹣3＝13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．
41．如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则__________.
【答案】1
【详解】如下图所示，设双曲线渐近线上的点，点，
当时，过点的切线方程为，
当时，设过点的切线方程为，即，
代入双曲线方程化简为，
则且，
因为，所以，所以，
在点处的切线方程为，当也符合；
且点A，B又在切线l上，
42．圆的切线过双曲线的左焦点，其中为切点，为切线与双曲线右支的交点，为的中点，为坐标原点，则___________．
【答案】
【详解】根据题意，圆的半径，双曲线的
设双曲线右焦点为
因为为切点，所以
又因为是中点，是中点，
所以,
所以．
43．若直线是抛物线的一条切线，则__________．
【答案】
【详解】联立直线和抛物线得到．
44．若直线是抛物线的一条切线，则__________．
【答案】-4
【详解】联立直线和抛物线得到
45．曲线在点处的切线与抛物线相切，则__________.
【答案】或
【详解】解：，，
则曲线在点处的切线的斜率为，又切点为，切线方程为，联立得，
，解得或.
46．过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为___．
【答案】1
【详解】设切线斜率为，则切线方程，
联立方程可得，
则，解得，即切线方程为，
取，得．∴切线在轴上的截距为1．
47．抛物线在点处的切线方程为______________.
【答案】4x－y－2=0
【详解】，故所求切线的斜率k=4,由点斜式得:y－2=4（x－1）,整理得4x－y－2=0.
48．抛物线在点处的切线方程为__________．
【答案】4x－y－2=0
【详解】∵，∴所求切线的斜率k=4,由点斜式得:y－2=4(x－1),整理得4x－y－2=0．
49．已知抛物线，过点作抛物线的切线为切点，则_________．
【答案】
【详解】切线过点，且交抛物线于两点，
切线斜率存在，设切线斜率为,则过的切线方程为,
联立，则，令，，
切线的方程分别为：和，
联立，则，，，同理可知;
,,.

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