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抛物线有关结论
【知识点讲解】
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
α为弦AB的倾斜角，则：
（1）x1x2＝，y1y2＝－p2.
（2）|AF|＝，|BF|＝ (其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧) .
（3）弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
（4）S=
（5）＋＝.
（6）以弦AB为直径的圆与准线相切．
（7）以AF为直径的圆与y轴相切
（8）以BF为直径的圆与y轴相切
（9）A、B在准线上的投影对F的张角为直角
【真题讲解】
【例1】(2020新高考II卷(海南卷)·第14题)斜率为直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且
与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．
故答案为：
【例2】(2022新高考全国II卷·第10题)已知O为坐标原点，过抛物线焦点
F的直线与C交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则 (　　)
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
解析：对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，
则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，又，则，D正确．
【跟踪训练1】(2022新高考全国I卷·第11题)已知O为坐标原点，点在抛物线
上，过点的直线交C于P，Q两点，则 (　　)
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
解析:将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确．
故选：BCD
【跟踪训练2】(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第10题)已知为抛物线的焦点,
过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则
的是小值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一:设,,直线方程为
取方程,得 ∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知
当且仅当(或)时,取得等号．
法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为
根据焦点弦长公式有:
．
故选A．
法三:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为,而
则,代入抛物线中,可得
设对应的参数分别为,则有
所以
同理可得
所以．
故选A．
法四:设点,则
设直线的方程为
联立直线与抛物线方程消去可得
所以,所以 ，同理
所以(当且仅当时等号成立)
【对点训练】
一、多选题
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值是4
B．
C．若，则直线的斜率为
D．的最小值是9
【答案】ABD
【详解】由题意知，C的准线方程为，焦点F（1，0），过点A作C的准线的垂线，垂足为，则，故的最小值是点Q到C的准线的距离，即为4，故A正确；
设直线AB的方程为，，，由得．
所以，，，，
所以，故B正确；
若，又，，所以，解得，则直线AB的斜率为，故C错误；
，所以，当且仅当，时，等号成立，故D正确，
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为 B．F是的重心
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，由在抛物线上可得，即抛物线方程为，错误；
对于B，分别取的中点，则，，即在中线上，同理可得也在中线上，所以是的重心，正确；
对于C，由抛物线的定义可得，
所以.
由是的重心，所以，即，
所以，正确；
对于D，，；
同理,，
所以，正确.
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点为F，准线为l.设准线l与x轴的交点为K，P为抛物线C上异于点O的任意一点，P在准线l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过点Q作QN⊥PE交EP的延长线于点N，作QM⊥PF交线段PF于点M，则（　　）
A．|PE|＝|PF| B．|PF|＝|QF| C．|PN|＝|MF| D．|PN|＝|KF|
【答案】ABD
【详解】解：由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以由题意可得，即A正确；为的外角平分线，所以，
又，所以，
所以，所以，所以B正确；
连接，由上面可得：，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，在中，，
中，，
所以；所以D正确；
C中，若，而，所以是的中点，，所以，由上面可知为等边三角形，即，而为抛物线上任意一点，所以不一定为，所以C不正确；故选：ABD．
4．已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ）
A．若为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2
【答案】AD
【详解】解：抛物线的准线为，焦点，
若为中点，所以，所以，故A正确；
若，则，所以，故B错误；
设，则，所以，，
所以，所以与不垂直，故C错误；
，
当且仅当，即时，取等号，
所以面积的最小值为2，故D正确.
5．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，，则（ ）
A．的准线方程为
B．若，则
C．若，则的斜率为
D．过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
【答案】BCD
【详解】解：因为抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，所以，
所以抛物线方程为，则焦点，准线为，故A错误；
若，则，所以，所以，故B正确；
可设，，，，
直线的方程为，与抛物线联立，
消去，可得，可得，，
由抛物线的定义可得
即，即，
解得，则直线的斜率为，故C正确；
对于D，若轴平分，则，又轴，
所以，所以，
所以，即，所以，故D正确；
6．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到点的距离是2，是抛物线的准线与轴的交点，，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，则（ ）
A． B．若直线过点，则
C．若直线过点，则 D．若直线过点，则
【答案】BCD
【详解】由题意得，则，故抛物线的方程为，
将代入抛物线的方程，得，解得，
所以A不正确；
设，，易知直线的斜率不为零，当直线过点时，
可设直线的方程为，与抛物线方程联立，得，
化简得：，则，，
所以，所以，
所以B正确；
易知，则由选项B得
，
所以直线平分，所以，
选项C正确；
因为直线过点，且斜率不为零，
所以设直线的方程为，与抛物线方程联立，
易得，所以．
因为，，且，
所以，又，所以，所以D正确．
7．已知抛物线C：，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．线段AB长度的最小值为4 B．以AB为直径的圆与直线y=-1相切
C．的取值范围为[-3，+∞） D．∠AMO=∠BMO
【答案】ABD
【详解】如图，过A、B作准线y=-1的垂线，垂足分别为H、G，设线段AB的中点为C，C在准线上的射影为D.
当线段AB为通径时长度最小为，故A正确；
因为直线为抛物线准线，由抛物线定义可知弦AB的中点到准线的距离CD等于，故圆与直线相切，故B 正确；
由题意，设，，直线方程为，
则可得，所以，
，
故的取值范围为[0，+∞），故C错误；
由C中解答知，,，
所以直线与直线的斜率互为相反数，直线倾斜角互补，所以∠AMO=∠BMO，故D正确.
8．已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于，两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则面积的最小值为 D．四点共圆
【答案】ACD
【详解】
对于A，由抛物线焦半径公式得：，解得：，A正确；
对于B，由题意知：直线斜率存在，设，
由得：，；
由得：，则，
，B错误；
对于C，若，则，不妨设，
则（当且仅当时取等号），即面积的最小值为，C正确；
对于D，直线的斜率为，
直线的方程为，令得：，
点的横坐标为，即，
则直线的斜率，，，
同理可得：，四点共圆，D正确．
9．设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（ ）
A． B．是等边三角形
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
【答案】BC
【详解】根据题意，作出示意图,
因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交于B，D两点，∠ABD＝90°，
由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，
所以是等边三角形，故B正确；
所以∠FBD＝30°.
因为的面积为|BF|2＝9，
所以|BF|＝6.故A错误；
又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，故C正确；
则该抛物线的方程为y2＝6x.故D错误.
10．已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．若为抛物线上的点，则
【答案】ABC
【详解】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与联立整理可得：
3x2﹣20x+12=0，解得：x或6，则P（6，4），Q（，）；
所以|PQ|=64，选项A正确；
因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2），（，），
所以A（0，），B（0，），所以|AB|=2，
选项B正确；
如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，
|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；
对于选项D，若为抛物线上的点，则，又，
所以，选项D错误.
11．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32 D．当最小时，
【答案】BCD
【详解】设，，，， ，
直线的方程为，则直线的方程为,
将直线的方程代入，化简整理得，
则，，
故,
所以，,
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，
点M到直线l的距离，
又，所以，故A错误；
因为，
所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，
即以为直径的圆与l相切，故B正确；
同理，，所以，，，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
.
设，则，，.
当时，即时，最小，这时，故D正确,
12．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．时， B．时，的最小值为9
C．时， D．时，的最小值为8
【答案】BC
【详解】当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，
不妨取 ，则，故A错误；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
则 ，则 ，
故 ，
令 ，则，
令 ，则 ，
当时， ， 递增，当时， ， 递减，故 ，
故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
则，
即，
故，
，
所以，故C正确；
由C的分析可知：，
当 时，取到最小值16，即最小值为16，故D错误；
13．已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（ ）
A．对于任意直线m，均有AE⊥PF B．不存在直线m，满足
C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切 D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
【答案】AC
【详解】A选项，如图1，由抛物线知O为DF的中点，轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知，所以，所以A正确；
B选项，如图2，设，，，，，E为线段PF的中点，则，，
由得，解得，，又，故， ，又，
可得，，故存在直线m，满足 ，选项B不正确．
C选项，由题意知，E为线段PF的中点，从而设，则，
直线AE的方程：，与抛物线方程联立可得：
，由代入左式整理得：，
所以，所以直线AE与抛物线相切，所以选项C正确．
D选项，如图3，设直线m的方程，
，，，
由，得．当
，即且时，由韦达定理，得
，．
因为，，所以，
又，，所以成立，故D不正确．
14．设抛物线的焦点为F，准线为l，为C上一动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，抛物线C在点P处的切线方程为 B．当时，的值为6
C．的最小值为3 D．的最大值为
【答案】BCD
【详解】
当时，，又，所以，
所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，A错误；
当时，，故，B正确；
如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，C正确；
由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，D正确.
15．已知为坐标原点，抛物线的方程为，的焦点为，直线与交于，两点，且的中点到轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为 B．的最大值为6
C．若，则直线的方程为
D．若，则面积的最小值为16
【答案】BCD
【详解】
由题意知的标准方程为，故的准线方程为， A错误；
设的中点为，分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
因为到轴的距离为2，所以.
由抛物线的定义知，，所以.
因为，所以，所以B正确；
由得直线过点，直线的斜率存在，
设直线的方程为，联立方程得化简得，
则.由于，所以，得，
得，所以，
所以，直线的方程为，故C正确；
设，，由，得，又
所以，由题意知，所以.
又，故直线的方程为.
由于，所以，
则直线恒过点，所以，
所以面积的是小值为16，故D正确.
16．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，分别过作抛物线的切线交于点则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线AB的倾斜角为 B．点P在直线上
C． D．的最小值为
【答案】BC
【详解】由题可得，抛物线的焦点坐标为，
对于选项A，设，则与抛物线联立方程消元化简得，所以，所以，所以解得，所以可知当时，直线AB的倾斜角为或，所以选项A错误；
设，由，所以，所以，即为，同理可得,由,解得，由上知，，所以,所以点P在直线上，所以选项B正确；
因为，所以，所以，所以选项C正确；
因为，即为，所以，因为，所以，令，则原式.因为函数在上单调递增，所以当，即时取到最小值，其最小值为.所以选项D错误.
17．已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（ ）
A． B．
C．A，，三点共线 D．
【答案】AC
【详解】因为抛物线过点，所以，所以抛物线方程为
设设过点的直线方程为，代入整理得：
则，，即或
又，由定义可知，，
所以，故A正确；
所以
又，故B错误；记
设直线NF方程为，代入整理得：
则，，同理可得
因为，
，所以A，，三点共线，C正确；
因为，，所以
由上可知，直线AM的斜率，所以，所以，D错误.
二、填空题
18．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
【答案】6
【详解】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
19．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．
【答案】
【详解】设F到直线AB的距离为d，则设AB：代入中易得，从而可得.
20．抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．
21．如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.
【答案】
【详解】设直线AC和x轴的夹角为由焦半径公式得到
面积之和为：
通分化简得到
原式子化简为根据二次函数的性质当t=1时有最小值，此时抛物线方程为：
故答案为.抛物线有关结论（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
抛物线有关结论
【知识点讲解】
设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
α为弦 AB 的倾斜角，则：
p2
（1）x1x2＝ ，y1y2＝－p
2.
4
p p
（2）|AF|＝ ，|BF|＝ (其中点 A在 x轴上侧，点 B在 x轴下侧) .
1－cos α 1＋cos α
2p
（3）弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ .
sin2α
=
2
（4）S ABC
2 sin
1 1 2
（5） ＋ ＝ .
|AF| |BF| p
（6）以弦 AB 为直径的圆与准线相切．
（7）以 AF 为直径的圆与 y轴相切
（8）以 BF 为直径的圆与 y轴相切
（9）A、B在准线上的投影对 F的张角为直角
【真题讲解】
【例 1】(2020新高考 II 卷(海南卷)·第 14题)斜率为 3的直线过抛物线 C：y2=4x的焦点，且
与 C交于 A，B两点，则 AB =________．
听课笔记：
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
抛物线有关结论（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【例 2】(2022新高考全国 II卷·第 10题（) 多选）已知O为坐标原点，过抛物线C : y2 2px(p 0)
焦点 F的直线与 C交于 A．B两点，其中 A在第一象限，点M ( p,0)，若 | AF | | AM |，则( )
A．直线 AB的斜率为2 6 B． |OB | |OF |
C． | AB | 4 |OF | D． OAM OBM 180
听课笔记：
【跟踪训练 1】(2022新高考全国 I卷·第 11题)（多选）已知 O为坐标原点，点 A(1,1)在抛物
线C : x2 2py(p 0)上，过点B(0, 1)的直线交 C于 P，Q两点，则 ( )
A．C的准线为 y 1 B．直线 AB与 C相切
2
C． OP OQ |OA D． | BP | | BQ | | BA |2
独立试做：
【跟踪训练 2】(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第 10题)已知F 为抛物线C : y2 4x的焦点,
过F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,直线 l1与C交于 A,B两点,直线 l2 与C交于D,E两点,则
AB DE 的是小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
独立试做：
第 2 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
抛物线有关结论（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练】
一、多选题
1．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C：y2 4x的焦点为 F，过点 F的直线 l交C于不同的A，
B两点，则下列说法正确的是（ ）

A．若点Q 3,1 ，则 AQ | AF |的最小值是 4 B．OA OB 3
C．若 AF BF 12，则直线 AB的斜率为 2 D．4 AF | BF |的最小值是 9
2 2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y 2px p 0 的焦点为 F，点M 1,2 ，A x1, y1 ，
uur uur uuur rB x2 , y2 都在抛物线上，且 FA FB FM 0，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为 y2 2x B．F是 ABM 的重心

C． FA FM FB 6 D． S 2 2 2△AFO S△BFO S△MFO 3
3．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C：y2＝2px（p>0）的焦点为 F，准线为 l.设准线 l与 x
轴的交点为 K，P为抛物线 C上异于点 O的任意一点，P在准线 l上的射影为 E，∠EPF的外
角平分线交 x轴于点 Q，过点 Q作 QN⊥PE交 EP的延长线于点 N，作 QM⊥PF交线段 PF于
点 M，则（ ）
A．|PE|＝|PF| B．|PF|＝|QF| C．|PN|＝|MF| D．|PN|＝|KF|
4．已知抛物线 y2 4x的焦点为 F，过原点O的动直线 l交抛物线于另一点 P，交抛物线的准线
于点Q，下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段 PQ中点，则 PF 2 B．若 PF 4，则 OP 2 5
C．存在直线 l，使得PF QF D．△PFQ面积的最小值为 2
5．已知抛物线C： y2 2px（ p 0）的焦点 F到准线的距离为 2，过 F的直线 l交抛物线C于两
点A， B，则（ ）
第 3 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
抛物线有关结论（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
A．C的准线方程为 x 2
B．若 AF 4，则 OA 21
C．若 AF BF 4 p2 3，则 l的斜率为
3
D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若 x轴平分 HFB，则 AF 4
6 2．已知抛物线C : y 2 px p 0 的焦点为 F，抛物线C上的点M 1,m 到点 F的距离是 2， P是
抛物线C的准线与 x轴的交点，A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，则（ ）

A．m 2 B．若直线 AB过点 F，则OA OB 3
PA FA
C．若直线 AB过点 F，则 P AF BF 2 PFPB FB D．若直线 AB过点 ，则
7．已知抛物线 C： x2 4y，焦点为 F，过点 F的直线与抛物线交于 A B两点，该抛物线的准
线与 y轴交于点 M，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．线段 AB长度的最小值为 4 B．以 AB为直径的圆与直线 y=-1相切

C．MA MB的取值范围为[-3，+∞） D．∠AMO=∠BMO
8 2．已知点 F为抛物线C : x 2py p 0 的焦点，直线 l过点D 0,m m 0 交抛物线C于 A x1, y1 ，
B x2 , y
x x
2 两点， FA y1 1.设O为坐标原点， P 1 2 , m

2 ，直线
PA,PB与 x轴分别交于M ,N两

点，则以下选项正确的是（ ）

A． p 2 B．若m 1，则OA OB 0
C．若m p，则 OAB面积的最小值为4 2 D．M ,N ,P,F四点共圆
9 2．设抛物线C： y 2px p 0 的焦点为 F，准线为 l，A为C上一点，以 F为圆心， FA为半
径的圆交 l于 B，D两点，若 ABD 90 ，且 ABF的面积为9 3，则（ ）
A． BF 3 B． ABF是等边三角形
C．点 F到准线的距离为 3 D．抛物线C的方程为 y2 12x
10．已知直线 l过抛物线C : y2 8x的焦点 F，且斜率为 3，l与抛物线交于P,Q两点（ P在第一
象限），以PF ,QF 为直径的圆分别与 y轴相切于 A,B两点，则下列结论正确的是（ ）
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抛物线有关结论（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
| PQ | 32A． B 8 33 ． AB 3
C．若M 为抛物线C上的动点， N (2,1)，则 (|MF | |MN |)min 4
D．若M (x0 , 2 10)为抛物线C上的点，则 MF 9
11．已知 F是抛物线C : y2 8x的焦点，过点 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，l1与 C相交于 A，
B两点，l2与 C相交于 E，D两点，M为 A，B中点，N为 E，D中点，直线 l为抛物线 C的准
线，则（ ）
A．点 M到直线 l的距离为定值 B．以 AB 为直径的圆与 l相切
C． AB DE 的最小值为 32 D．当 MN 最小时，MN // l
12．已知抛物线C : y2 4x的焦点为 F，抛物线 C上存在 n个点 P，P，L ，P（n 2且 n N*1 2 n ）
2
满足 P1FP2 P2FP3 Pn 1FPn Pn FP1 n ，则下列结论中正确的是（ ）
1 1
A． n 2时， 2 PF P F PFPF P F B．n 3时， 1 2 3 的最小值为 91 2
1 1 1
C．n 4时， P1F P3F P2F P4F 4
D． n 4时， P1F P2F P3F P4F 的最小值为 8
13．已知抛物线 C : y2 4x的焦点为 F，准线 l交 x轴于点 D，直线 m过 D且交 C于不同的 A，
B两点，B在线段 AD上，点 P为 A在 l上的射影．线段 PF交 y轴于点 E，下列命题正确的是
（ ）
uuur uur
A．对于任意直线 m，均有 AE⊥PF B．不存在直线 m，满足BF 2EB
C．对于任意直线 m，直线 AE与抛物线 C相切 D．存在直线 m，使|AF|+|BF|=2|DF|
14．设抛物线C : x2 8y 的焦点为 F，准线为 l，P x ,y 为 C上一动点， A(2,1)0 0 ，则下列结论正
确的是（ ）
A．当x 20 时，抛物线 C在点 P处的切线方程为 x 2y 2 0 B．当 x0 4时， | PF |的值为 6
C． | PA | | PF |的最小值为 3 D． | PA | | PF |的最大值为 5
15 1．已知O为坐标原点，抛物线 E的方程为y x 2， E的焦点为 F，直线 l与 E交于A， B两
4
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抛物线有关结论（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
点，且 AB的中点到 x轴的距离为 2，则下列结论正确的是（ ）
1
A． E的准线方程为 y B． AB16 的最大值为 6

C 2．若 AF 2FB，则直线 AB的方程为 y x 1
4
D．若OA OB，则 AOB面积的最小值为 16
16．过抛物线 x2 8y的焦点 F的直线交抛物线于 A，B两点，分别过 A，B作抛物线的切线交于
点P.则下列说法正确的是（ ）
A．若 AB 16

，则直线 AB的倾斜角为 B．点 P在直线 y 2上
4
AB 1
C． AP BP D． PF 的最小值为 2
17 2．已知抛物线C : y 2px p 0 过点B 1,2 ，过点 A 1,0 的直线交抛物线于M ，N两点，点N
在点M 右侧，若 F为焦点，直线NF，MF分别交抛物线于 P，Q两点，则（ ）
A 2． MF NF 4 B． OM ON OB
C．A， P，Q 三点共线 D． AMP 4
二、填空题
18．已知F是抛物线C : y2 8x的焦点， 是C上一点，F 的延长线交 y轴于点 ．若 为F 的
中点，则 F ____________．
19．设抛物线 y2 2x的焦点为 F，过点M ( 3,0)的直线与抛物线相交于 A,B两点，与抛物线的
S
准线相交于点C， | BF | 2，则 BCF BCF与 ACF的面积之比 S __________． ACF
2 1320．抛物线 x 2py(p 0)上一点 A( 3,m)(m 1)到抛物线准线的距离为 4 ，点
A关于 y轴的对称点

为 B，O为坐标原点， OAB的内切圆与OA切于点 E，点 F为内切圆上任意一点，则OE OF的
取值范围为__________．
21．如图，过抛物线 y2 2px ( p 0)的焦点 F作两条互相垂直的弦 AB、CD，若 ACF与 BDF面
积之和的最小值为 16，则抛物线的方程为______.
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抛物线有关结论（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
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【知识点讲解】
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
α为弦AB的倾斜角，则：
（1）x1x2＝，y1y2＝－p2.
（2）|AF|＝，|BF|＝ (其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧) .
（3）弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
（4）S=
（5）＋＝.
（6）以弦AB为直径的圆与准线相切．
（7）以AF为直径的圆与y轴相切
（8）以BF为直径的圆与y轴相切
（9）A、B在准线上的投影对F的张角为直角
【真题讲解】
【例1】(2020新高考II卷(海南卷)·第14题)斜率为直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且
与C交于A，B两点，则=________．
听课笔记：
【例2】(2022新高考全国II卷·第10题)（多选）已知O为坐标原点，过抛物线
焦点F的直线与C交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则(　　)
A．直线的斜率为 B．
C． D．
听课笔记：
【跟踪训练1】(2022新高考全国I卷·第11题)（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则 (　　)
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
独立试做：
【跟踪训练2】(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第10题)已知为抛物线的焦点,
过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则
的是小值为(　　)
A． B． C． D．
独立试做：
【对点训练】
一、多选题
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值是4 B．
C．若，则直线的斜率为 D．的最小值是9
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为 B．F是的重心
C． D．
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点为F，准线为l.设准线l与x轴的交点为K，P为抛物线C上异于点O的任意一点，P在准线l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过点Q作QN⊥PE交EP的延长线于点N，作QM⊥PF交线段PF于点M，则（　　）
A．|PE|＝|PF| B．|PF|＝|QF| C．|PN|＝|MF| D．|PN|＝|KF|
4．已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ）
A．若为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2
5．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，，则（ ）
A．的准线方程为
B．若，则
C．若，则的斜率为
D．过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
6．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到点的距离是2，是抛物线的准线与轴的交点，，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，则（ ）
A． B．若直线过点，则
C．若直线过点，则 D．若直线过点，则
7．已知抛物线C：，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．线段AB长度的最小值为4 B．以AB为直径的圆与直线y=-1相切
C．的取值范围为[-3，+∞） D．∠AMO=∠BMO
8．已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于，两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则面积的最小值为 D．四点共圆
9．设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（ ）
A． B．是等边三角形
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
10．已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．若为抛物线上的点，则
11．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32 D．当最小时，
12．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．时， B．时，的最小值为9
C．时， D．时，的最小值为8
13．已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（ ）
A．对于任意直线m，均有AE⊥PF B．不存在直线m，满足
C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切 D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
14．设抛物线的焦点为F，准线为l，为C上一动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，抛物线C在点P处的切线方程为 B．当时，的值为6
C．的最小值为3 D．的最大值为
15．已知为坐标原点，抛物线的方程为，的焦点为，直线与交于，两点，且的中点到轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为 B．的最大值为6
C．若，则直线的方程为
D．若，则面积的最小值为16
16．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，分别过作抛物线的切线交于点则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线AB的倾斜角为 B．点P在直线上
C． D．的最小值为
17．已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（ ）
A． B．
C．A，，三点共线 D．
二、填空题
18．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
19．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．
20．抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．
21．如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.

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