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第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系　
[课标要求]　①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实和定理；②能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．基本事实1－3
基本事实1 基本事实2 基本事实3
文字 语言 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形 语言
符号 语言 A，B，C三点不共线 有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
作用 ①确定平面； ②证明点、线共面； ③证明两个平面重合 判断直线是否在平面内 ①判断两个平面是否相交； ②证明点共线和线共点问题
2．基本事实3的三个推论
自然语言 图形语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
3．空间中直线与直线的位置关系
(1)位置关系分类
(2)异面直线的画法：(通常用平面衬托)
(3)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：．
(4)基本事实4
自然语言 图形语言 符号语言 作用
平行于同一条直线的两条直线平行 a∥b且b∥c a∥c 判断两条直线是否平行
(5)等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外
直线a与 平面α相交 直线a与 平面α平行
公共点 有无数个 公共点 有且只有 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
5．空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点 (在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
(一)必背常用结论
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的2个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
(二)盘点易错易混
1．对异面直线的概念理解不到位，错认为分别在两个平面内的两条直线异面．
2．对等角定理条件认识不全，忽略方向而致错．
3．忽视异面直线所成角的范围致误．
4．要注意各个基本事实的前提条件，如确定平面时，三点不共线，一条直线以及直线外的一点等．
5．在判断空间中线线、线面、面面位置关系时，要根据定理全面考虑所有可能情况．
【小题热身】
1．下列命题正确的是(　　 )
A．三点确定一个平面
B．三条相交直线确定一个平面
C．对于直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a∥c
D．对于直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c
解析：对A，不在一条直线上的三点确定一个平面，故A错误；
对B，如正方体一个顶点出发的三条棱所在直线确定三个平面，故B错误；
对C，根据空间中平行线间的传递性可得若a∥b，b∥c，则a∥c，故C正确；
对D，若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面，故D错误．
答案：C
2．空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的(　　 )
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件
解析：平行四边形中无任何三点共线，但是四点共面；反过来，若四点不共面，连接四点，构成空间四边形，一定无任何三点共线，所以“无任何三点共线”是“四点不共面”的必要不充分条件．
答案：C
3．
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：
连接A1D，如图所示．则A1D∥B1C，故∠A1DE为异面直线DE与B1C所成角的平面角或其补角，连接DC1，则A1D＝DC1，因为E为A1C1的中点，故DE⊥A1E．
在Rt△A1ED中，因为A1E＝A1C1，而A1C1＝A1D，所以在Rt△A1ED中，A1E＝A1D，
故∠A1DE＝．
答案：C
4．
如图，在三棱锥A BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
解析：(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD．
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD．
答案：(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
5．[易错题]已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝________________．
解析：已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，
当角的方向相同时，∠B′A′C′＝30°；当角的方向相反时，∠B′A′C′＝150°．
答案：30°或150°
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__平面基本事实的应用[典例引领]
【例1】
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[思维点拨](1)若四点共面，则它们构成的两条直线必定共面，即这两条直线平行或相交；(2)由第(1)问的结果，可先说明直线CE，D1F相交于一点P，再证点P在直线DA上．
证明：
(1)如图，连接EF，CD1，A1B．
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1．又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE 平面ABCD，
得P∈平面ABCD．同理可得P∈平面ADD1A1．
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，
∴CE，D1F，DA三线共点．
[思维升华]　点线共面、点共线、线共点问题的证明方法
1．证明点或线共面问题的2种方法
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的2种方法
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
[对点练]　(2022·山东烟台招远一中月考)
如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点．
(1)求证：E，F，B，D四点共面；
(2)若AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P，Q，R三点共线．
证明：
(1)连接B1D1，如图：
在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，
∴EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥B1D1，
又因为B1D1∥BD，∴EF∥BD，
∴B，D，E，F四点共面；
(2)在正方体ABCD A1B1C1D1中，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，
∴PQ是平面AA1C1C与平面BDEF的交线，又因为AC1交平面BDEF于点R，
∴R是平面AA1C1C与平面BDEF的一个公共点．
∵两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，
∴P，Q，R三点共线．
考点2__空间两直线位置关系的判定[典例引领]
【例2】
(1)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　 )
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面 D．平行
(2)
如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　 )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
解析：
(1)如图，连接D1E并延长，与AD交于点M．
由A1E＝2ED，可得M为AD的中点．
连接BF并延长，交AD于点N．
因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，
所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，
所以＝，所以EF∥BD1．
(2)
如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE．
∵点N为正方形ABCD的中心．
∴点N在BD上，且为BD的中点．
∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD．
∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．
∴EF⊥FN．
不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝，
∴EN＝＝2．
∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，
∴MG⊥平面ABCD，
∴MG⊥BG．
∵MG＝EF＝，BG＝＝＝，
∴BM＝＝．∴BM≠EN．∴BM，EN是△DBE的中线，
∴BM，EN必相交．
答案：(1)D　(2)B
[思维升华]　空间两直线位置关系的判定方法
[对点练]　在下列各图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的序号是________．
解析：图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G，M，N共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面．
所以在图②④中，GH与MN异面．
答案：②④
考点3__两条异面直线所成的角[多维讲练]
【例3】
　如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：
连接BC1，易证BC1∥AD1，
则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角．
连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，
A1B＝BC1＝，故cos ∠A1BC1＝＝，
即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．
答案：D
[思维引申]　(1)(变条件)将本例条件“AA1＝2AB＝2”变为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，其他条件不变，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
解析：
由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，得AA1＝1．
此时正四棱柱变为正方体ABCD A1B1C1D1．
由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1或其补角，连接A1C1，
则△A1BC1为等边三角形，∴∠A1BC1＝60°，
∴cos ∠A1BC1＝，
故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．
答案：
(2)(变条件、变结论)将本例条件“AA1＝2AB＝2”变为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，其他条件不变，则的值为________．
解析：设＝t，则AA1＝tAB．∵AB＝1，∴AA1＝t．
∵A1C1＝，A1B＝＝BC1，
∴cos ∠A1BC1＝＝．
∴t＝3，即＝3．
答案：3
[思维升华]　用平移法求异面直线所成的角的步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
[对点练]　(2021全国高考乙卷)在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：如图，连接BC1，PC1，PB，因为AD1∥BC1，
所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，
所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，
设正方体棱长为2，则BC1＝2，PC1＝D1B1＝，
sin ∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝．
答案：D
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
空间几何体的截面问题
用平面去截一个几何体，所截出的面叫做截面．我们可以想象，类似于用刀去切(截)几何体，把几何体分成两部分，刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状，截面是一个平面图形．空间几何体的截面问题涉及平面的基本事实、空间线面的位置关系、点线共面、线共点等问题，综合性较强，对直观想象和逻辑推理的数学素养有着较高的要求．
【典例】　(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
解析：法一　
正方体ABCD A1B1C1D1的所有棱与截面α所成角相等，则过顶点B1的三条棱B1A1，B1B，B1C1与平面α所成的角都相等，如右图所示，因此截面α∥平面A1BC1或者α与平面A1BC1重合．
根据图形的对称性选择恰当的截面进行探索，分别设AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点为E，F，G，H，K，L，则正六边形EFGHKL平行于平面A1BC1，
由KH綊A1C1得KH＝，正六边形EFGHKL的面积S＝6·＝．
因为>>>，选项B、C、D错误，故选A．
法二　B1A，B1B，B1C1与平面A1BC1所成的角都相等，如图所示，在AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A上分别取点E，F，G，H，K，L，设BE＝BF，则EF∥AC，所以EF∥A1C1．同理可证得FG∥BC1，GH∥A1B，…，LE∥A1B．六边形EFGHKL平行于平面A1BC1，设BE＝BF＝x(0同理可得EL＝FG＝(1－x)，GH＝LK＝x，KH＝(1－x)．
连接LG，可得EF∥AC，AC∥LG，所以LG∥EF，LG∥KH，
则六边形EFGHKL的面积为梯形EFGL与梯形KLGH的面积之和．
即为S＝·h1＋·h2．
点E到LG的距离h1＝(1－x)，点H到LG的距离h2＝x．
则S＝·(1－x)＋·x＝(－2x2＋2x＋1)．
当x＝时，Smax＝．
法三　
由于B1A1，B1B，B1C1与平面A1BC1所成的角都相等，故可在AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，AA1上分别取点E，F，G，H，K，L，如右图所示，使BE＝BF＝x，CF＝CG＝1－x，
C1C＝C1H＝x，HD1＝D1K＝1－x，
KA1＝A1L＝x，AL＝AE＝1－x．
角为θ，则cos θ＝．六边形EFGHKL在平面ABCD上的射影为六边形EFCH1K1A，它们的面积分别记为S1和S0，则＝cos θ．因为S0＝1－x2－(1－x)2＝，
所以S＝(－2x2＋2x＋1)．
当x＝时，Smax＝．
答案：A
[思维升华]　作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理．
[对点练]　
(2021·湖南雅礼中学检测)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC A1B1C1所得截面图形的面积为(　　)
A． B．
C． D．
解析：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC A1B1C1所得截面图形，由题意解三角形可得NE＝ME＝，
AM＝AN＝，MN＝．
∴△AMN中MN边上的高h1＝＝．
△EMN中MN边上的高
h2＝＝．
∴AMN截“堑堵”ABC A1B1C1所得截面图形的面积S＝S△AMN＋S△EMN
＝MN·(h1＋h2)
＝×＝．
答案：A
课下巩固培优卷(三十三)
【A/基础巩固题组】
1．下列命题正确的是(　　 )
A．空间任意三点确定一个平面
B．两条垂直直线确定一个平面
C．一条直线和一点确定一个平面
D．两条平行线确定一个平面
解析：对于A，若三点共线，则此三点无法确定一个平面，A错误；
对于B，两条直线垂直，有可能两条直线为异面直线，此时无法确定一个平面，B错误；
对于C，若点在直线上，则这条直线和这个点无法确定一个平面，C错误；
对于D，两条平行直线可确定唯一的一个平面，D正确．
答案：D
2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(　　 )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
答案：A
3．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a α，b β，则“a，b相交“是“a，c相交”的(　　 )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：①若a，b相交，a α，b β，则其交点在交线c上，故a，c相交，
②若a，c相交，可能a，b为相交直线或异面直线．
综上所述：a，b相交是a，c相交的充分不必要条件．
答案：C
4．(2021·广东珠海检测)
如图所示，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是(　　 )
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
解析：由题意知，D∈l，l β，∴D∈β，又∵D∈AB，∴D∈平面ABC，即D在平面ABC与平面β的交线上，又C∈平面ABC，C∈β，∴点C在平面ABC与平面β的交线上，∴平面ABC∩平面β＝CD，故选C．
答案：C
5．在四面体ABCD中，BC＝BD＝CD＝2，AB＝2，N是棱AD的中点，CN＝，则异面直线AB与CN所成的角为(　　 )
A． B．
C． D．
解析：
取BD的中点为M，连接MN，又N是AD的中点，则MN∥AB，所以∠MNC(或其补角)就是异面直线AB与CN所成的角．
在△MNC中，MN＝AB＝，CN＝，CM＝＝，所以△MNC为等边三角形，故∠MNC＝，即异面直线AB与CN所成的角为．
答案：A
6．(多选)(2022·河北保定模拟)在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　 )
A．C1、M、O三点共线
B．C1、M、O、C四点共面
C．C1、O、B1、B四点共面
D．D1、D、O、M四点共面
解析：∵O∈AC，AC 平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1．
∵O∈BD，BD 平面C1BD，∴O∈平面C1BD，
∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点；
同理可得，点M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，
即C1，M，O三点共线．故A正确．
∵AA1∥BB1，BB1∥CC1，∴AA1∥CC1，AA1，CC1确定一个平面，
又M∈A1C，AC 平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1，故B正确．
根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1、O、B1、B四点不共面，故C不正确．
根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1、D、O、M四点不共面，故D不正确．
答案：AB
7．
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°．
其中正确的结论为________(把你认为正确结论的序号都填上)．
解析：
由异面直线的定义AM与CC1是异面直线，BN与MB1为异面直线，故①错，③对；
取D1D的中点K，连接AK，由异面直线的定义AM与BN是异面直线，故②错；
因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为60°，故④对．
答案：③④
8．
(2021·山东滕州检测)如图，已知圆柱的上底面圆心为O，高和底面圆的半径相等，AB是底面圆的一条直径，点C为底面圆周上一点，且∠ABC＝45°，则异面直线AC与OB所成角为____________．
解析：
如图，设底面圆心为O′，则OO′⊥底面ABC，OO′⊥O′B，
过点B作BD∥AC，交圆O′于D，连接OD，AD，则∠OBD即为直线AC与OB所成角，
设底面圆半径为1，由圆柱高和底面圆的半径相等，得圆柱高为1，
在Rt△OO′B中，OB＝，∵∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝，
由圆的对称性可知BD＝AC＝，OB＝OD＝，所以△OBD为等边三角形，
则∠OBD＝，故直线AC与OB所成角的余弦值为．
答案：
9．空间四边形ABCD，E，F点分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足＝＝2．
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)证明：EH，FG，BD三线共点．
证明：(1)由题意，E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，
又由＝，根据平行线段成比例，可得GH∥AC，
所以EF∥GH，所以四点E，F，G，H在同一平面内，即E，F，G，H四点共面．
(2)由题意，E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，且＝，
假设直线EH和FG交于点M，即EH∩FG＝M，
因为EG 平面ABD，可得点M∈平面ABD，
同理可得M∈平面BCD，又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，即点M∈直线BD，
所以直线EH，FG，BD三线共点．
【B/能力提升题组】
10．(多选)(2022·辽宁实验中学月考)
如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，下列叙述正确的有(　　 )
A．AH⊥FC
B．AC∥BG
C．BD与FC所成的角为60°
D．AC∥平面BEG
解析：
将平面展开图以ABCD为下底面，折起还原为正方体，各顶点的字母标记如图所示，连接DE，则AH⊥DE，FC∥DE，∴AH⊥FC，故选项A正确；
AC∥EG，EG与BG相交，∴AC与BG显然不平行，故选项B错误；
∵DE∥CF，△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°，故异面直线BD与FC所成角为60°，故选项C正确；
∵AC∥EG，AC 平面BEG，EG 平面BEG，∴AC∥平面BEG，故选项D正确．
答案：ACD
11．
(2021·山东泰安模拟)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1＝，AB＝2，当阳马B A1ACC1的体积最大时，堑堵ABC A1B1C1中异面直线A1C，AB所成角的大小是(　　 )
A． B．
C． D．
解析：在堑堵ABC A1B1C1中， AA1⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以AA1⊥BC，又AC⊥BC，且AA1∩AC＝A，所以BC⊥平面ACC1A1，
所以阳马B A1ACC1的体积为V＝SACC1A1×BC＝×AC×AA1×BC＝AC×BC，
在直角三角形ABC中，4＝AB2＝AC2＋BC2≥2AC×BC，
即AC×BC≤2，当且仅当AC＝BC＝时取得等号．
所以当AC＝BC＝时，阳马B A1ACC1的体积取得最大值，
又A1B1∥AB，所以∠CA1B1(或其补角)为异面直线A1C，AB所成角．
B1C＝＝＝2，A1C＝＝＝2，
即A1B1＝B1C＝A1C＝2，所以∠CA1B1＝．
答案：C
12．平面α过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的大小为________．
解析：
如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，
∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，
∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n．
故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．
又∵B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，∴∠CD1B1＝．
答案：
13．在棱长为4的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD A1B1C1D1截成两部分，则截面与BCC1B1的交线段长为________．
解析：
如图，连接AE并延长交DC延长线于M，连接FM交CC1于G，连接EG并延长交B1C1延长线于N，连接NF并延长交A1D1于H，连接AH，则五边形AEGFH为经过点A，E，F的正方体的截面，
因为E为BC的中点，所以CE＝BC＝2，
因为CE∥AD，所以△MCE∽△MDA，所以＝＝，所以CM＝CD＝4，
因为DM∥C1D1，所以△MCG∽△FC1G，所以＝＝2，所以CG＝×4＝，
所以EG＝＝＝，
所以截面与BCC1B1的交线段长为．
答案：
14．
如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝AD，BE∥FA且BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH∥AD且GH＝AD．
又BC∥AD且BC＝AD，∴GH∥BC且GH＝BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)∵BE∥AF且BE＝AF，G为FA的中点，
∴BE∥FG且BE＝FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG．
由(1)知BG∥CH．∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．

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