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第五章　数　列
第一节　数列的概念　
[课标要求]　通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
若已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
(3)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
3．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间 的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N*
递减数列 an＋1常数列 an＋1＝an
4．数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
盘点易错易混
1．忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}；
2．求数列前n项和Sn的最值时，忽视项可能为零的情况；
3．根据Sn求an时，注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2，容易忽视对n＝1的验证而致错．
【小题热身】
1．已知数列{an}的前4项分别为2，0，2，0，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是(　　 )
A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝2sin
C．an＝1－cos nπ D．an＝
解析：根据数列的前4项验证．
答案：B
2．在数列{an}中，已知a1＝－，an＋1＝1－，则a3＝(　　 )
A．－3　　　B．　　　C．5　　　D．
解析：a2＝1－＝5，a3＝1－＝1－＝．
答案：D
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　 )
A．15　　　B．16　　　C．49　　　D．64
解析：因为Sn＝n2，所以a1＝S1＝1．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1．
当n＝1时符合上式，
所以an＝2n－1，所以a8＝2×8－1＝15．
答案：A
4．[易错题]已知数列a1＝2，an＝1－(n≥2)．则a2 022＝________．
解析：a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，所以数列{an}满足an＝an＋3，
所以a2 022＝a3＝－1．
答案：－1
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn＋1，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
解析：由题意得an＋1>an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n2－λn＋1．
化简得，λ<2n＋1，n∈N*，∴λ<3．
答案：(－∞，3)
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__由数列的前几项求数列的通项公式[自主演练]
1．(2020·河南郑州二模)已知Sn是数列{an}的前n项和，an＋4Sn＝n2(n2＋3n－3)－2n＋1，通过计算得a1＝0，a2＝5，a3＝22，a4＝57，根据通项的规律可以归纳得出a10＝(　　)
A．981　　　　　　　　　　　B．979
C．980 D．978
解析：由an＋4Sn＝n2(n2＋3n－3)－2n＋1可以猜想，an，Sn的通项公式均为关于n的多项式，且Sn中n的次数最高次为4次，则an中n的次数最高次为3次，
则13－a1＝2×1－1，a1＝13－2×1＋1＝0，
23－a2＝2×2－1，a2＝23－2×2＋1＝5，
33－a3＝2×3－1，a3＝33－2×3＋1＝22，
43－a4＝2×4－1，a4＝43－2×4＋1＝57，
∴根据通项的规律可以归纳得出an＝n3－2n＋1．
故a10＝981．故选A．
答案：A
2．数列，，，，…的一个通项公式an＝__________．
解析：这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n．
答案：(－1)n
3．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________．
解析：数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝．
答案：
4．数列{an}的项为－1，，－，，－，，…，则{an}的一个通项公式是____________．
解析：奇数项为负，偶数项为正，
故通项公式中含因子(－1)n．
各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；
而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1．
所以an＝(－1)n．
也可写为an＝
答案：an＝(－1)n或an＝
5．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)，，，，，…；
(2)－1，7，－13，19，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)5，55，555，5 555，…．
解：(1)这是一个分数数列，其分子是相邻的偶数，依次为2，4，6，8，10，…，构成偶数数列；而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为an＝．
(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n·(6n－5)．
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察，即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝．
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
[思维升华]　求数列的通项公式要注意的几个特征
(1)分式中分子、分母的特征．
(2)相邻项的变化特征．
(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征．
(4)各项符号特征和绝对值的特征．
(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式．
(6)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．
(7)对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*来处理．
考点2__由an与Sn的关系求通项公式[典例引领]
【例1】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．
(3)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝________．
解析：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5．
(2)当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，
因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
所以an＝(n≥2)．
显然当n＝1时不满足上式，
所以an＝
(3)根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4＝a1q3＝34＝81．
答案：　(1)4n－5　(2)　(3)81
[思维升华]　已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值．
(2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式．
(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an．
(4)写出an的完整表达式．
[对点练]　1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝______________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1．
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝
答案：
2．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是_______．
①an＝
②an＝
③Sn＝－
④数列是等差数列
解析：∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得－＝－1．∴是以－1为首项，d＝－1的等差数列，
即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，
又a1＝－1不适合上式，∴an＝
答案：②③④
考点3__由数列的递推关系求通项公式[多维讲练]
由数列的递推公式求通项公式是高考的热点，考查形式有选择题、填空题，也可能以解答题的第一问出现，难度中等，对逻辑推理能力和运算能力有一定要求．
角度1　累加法
【例2】　设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝．
又因为a1＝1，所以an＝(n≥2)．
因为当n＝1时也满足上式，
所以an＝(n∈N*)．
答案：(n∈N*)
[思维升华]　根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．
[对点练]　1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an等于(　　 )
A．2＋ln n　　　　 B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n　　　　D．1＋n＋ln n
解析：因为an＋1－an＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
……
an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)，
把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，
因此an＝2＋ln n(n∈N*)．
答案：A
角度2　累乘法
【例3】　(一题多法)若a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则通项公式an＝________．
解析：法一　因为an＝an－1(n≥2)，所以an－1＝·an－2，…，a2＝a1，以上(n－1)个式子的等号两端分别相乘得an＝a1···…·＝＝．
法二　因为an＝···…···a1＝···…·1＝．
答案：
[思维升华]　形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项．
[对点练]　2．设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝________．
解析：由an＋1＝2nan，得＝2n－1(n≥2)，
所以an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝．
又a1＝1适合上式，故an＝．
答案：
角度3　构造法
【例4】　在数列{an}中，
(1)若a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
(2)若a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝________．
(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为an＝________．
解析：(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0，
得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，
∴n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，
将以上各式累加得
an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，
∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足)．
(2)对an＋1＝两边取倒数，
得＝＋3，
所以数列是首项为＝1，公差为3的等差数列，
所以＝3n－2，an＝．
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列且公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1(n∈N*)．
答案：(1)3·2n－1－2　(2)　 (3) 2·3n－1－1(n∈N*)
[思维升华]　(1) 根据形如an＋1＝pan＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公式．
(2)根据形如an＋1＝(A，B，C为常数)的递推关系式求通项公式时，一般对递推式两边同时取倒数，当A≠C时，化为＋x＝的形式，可构造公比为的等比数列，其中用待定系数法求x是关键，当A＝C时，可构成一个等差数列．
(3)对an＋2＝pan＋1＋qan型，可化为an＋2＋xan＋1＝(p＋x)，令x＝，求得x来解决．
考点4__数列的函数特性[多维讲练]
数列是定义域为正整数的特殊函数，利用此函数特征可以从函数的角度来研究数列的单调性、最值以及周期性，对此性质的考查常以选择题、填空题出现，难度中等偏下，凸显逻辑推理和数学运算素养．
角度1　数列的单调性
【例5】　(多选)已知数列满足a1＝3，当n≥2时，an＝(＋1)2－1，则关于数列说法正确的是(　　)
A．a2＝8　　　　　
B．数列为递增数列
C．数列为周期数列
D．an＝n2＋2n
解析：由an＝(＋1)2－1得an＋1＝(＋1)2，∴＝＋1，
即数列是首项为＝2，公差为1的等差数列．∴ ＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝n2＋2n，得a2＝8，由二次函数的性质得数列为递增数列，所以ABD正确．
答案：ABD
[思维升华]　解决数列的单调性问题的3种方法
(1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)作商比较法：根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断．
(3)函数法：结合相应函数的图象或性质解决．
[对点练]　1．已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　 )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：(单调性)因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝<0，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．
答案：D
角度2　数列的周期性
【例6】　(2022·湖南长沙质检)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，则S2 020＝________．
解析：∵a1＝0，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝＝－，
a4＝＝0．
故数列{an}的取值具有周期性，周期为3，
且a1＋a2＋a3＝0，
则S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0．
答案：0
[思维升华]　解决数列周期性问题
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
[对点练]　2．(2021·浙江义乌一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2a1＝1，an＋1an－1＝an(n≥2)，则下列结论不正确的是(　　 )
A．a2 020＝2 B．a4＝a100
C．S3＝ D．S30＝6S6
解析：因为an＋1an－1＝an(n≥2)，所以对任意的n∈N*有an＋6＝＝，＝＝an，所以数列{an}是周期为6的周期数列，又a2＝2a1＝1，所以a3＝2，a4＝2，a5＝1，a6＝，所以a2 020＝a4＝2，a100＝a4，故A，B正确；易知S3＝＋1＋2＝，故C正确；易知S30＝5S6，所以D不正确．故选D．
答案：D
角度3　数列的最值
【例7】　(2021·山东枣庄模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为(　　)
A．－3　　B．－5　　C．－6　　D．－9
解析：由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3．
设等差数列{an}的公差为d，则d＝1．
∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2，
则an＝n－3，Sn＝，nSn＝．
设f(x)＝，x>0，则f′(x)＝x2－5x，x>0，
∴f(x)的极小值点为x＝．
∵n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，
∴f(n)min＝－9．
答案：D
[思维升华]　求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用函数求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋1[对点练]　3．在数列{an}中，an＝(n＋1)，则数列{an}的最大项是第________项．
解析：＝＝×．
令≥1，得n≤6，即当n≤6时，an＋1≥an，
令<1，得n>6，即当n>6时，an＋1答案：6或7
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
神奇的斐波那契数列
斐波那契数列，又称黄金分割数列，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)提出的，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被递推的方法定义：F(0)＝0，F(1)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥2，n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用．
【典例】　(1)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，
它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形(斐波那契数列由1和1开始，之后的数就是由之前的两数相加而得出)，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等，如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的高为(　　 )
A．2　B．4　C．5　D．6
[思维点拨]　根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，即可求出圆锥的底面半径与高．
解析：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，
即接下来的圆弧对应的圆面半径是3＋5＝8，对应的弧长是l＝2π×8×＝4π，
设圆锥底面半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，
所以圆锥的高为h＝＝＝2．
答案：A
(2)(2021·陕西汉中模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前n项和为Sn，则下列结论错误的是(　　 )
A．S8＝54
B．a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a2 019＝a2 020
C．a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2 020＝a2 021
D．S2 020＋S2 019－S2 018－S2 017＝a2 022
[思维点拨]　斐波那契数列满足递推关系an＋2＝an＋1＋an，列举出前8项可知A正确；利用累加的方式可确定BC的正误；根据递推关系可确定D正确．
解析：斐波那契数列满足递推关系：an＋2＝an＋1＋an，
对于A，斐波那契数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，
∴S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，A正确；
对于B，a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 019＝a2 020－a2 018，
各式相加得：a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a2 019＝a2 020，B正确；
对于C，a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，a6＝a7－a5，…，a2 020＝a2 021－a2 019，
各式相加得：a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2 020＝a2 021－a1＝a2 021－1，C错误；
对于D，S2 020＋S2 019－S2 018－S2 017＝＋＝＋＝a2 021＋a2 020＝a2 022，D正确．
答案：C
[思维升华]　处理斐波那契数列问题的关键是把握其递推关系an＝an－1＋an－2(n≥3)．针对此数列常围绕其几个常见性质出题，如“黄金分割”、“矩形面积”、“斐波那契螺旋线”等．
[对点练]　1．(2021·山西太原模拟)已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列(即a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an)的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为(　　 )
A．　　B．　　C．　　D．4π
解析：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前两个数之和，从而可知斐波那契数的前七个数分别是：1，1，2，3，5，8，13．
即第7项为13，所以第7项所构成的扇形的半径为13，
所以其对应的扇形的弧长为2π×13×＝．
答案：C
2．(多选)(2021·福建福州一中模拟)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，
是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例．作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列．现将斐波那契数列记为，a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2，边长为斐波那契数an的正方形所对应扇形面积记为bn，则(　　 )
A．3an＝an－2＋an＋2
B．a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝a2 021＋1
C．＝a2 018·a2 021
D．b1＋b2＋b3＋…＋b2 020＝a2 020·a2 021
解析：由递推公式an＝an－1＋an－2，可得an＋2＝an＋1＋an＝2an＋an－1，an－2＝an－an－1，
所以an－2＋an＋2＝2an＋an－1＋an－an－1＝3an，A选项正确；
又由递推公式可得a1＝1，a2＝a3－a1，a3＝a4－a2，类似的有an＝an＋1－an－1，
累加得a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋an＋1－a2＝an＋2－1，
故a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝a2 021＋1错误，B选项错误；
由题可知扇形面积bn＝a，
故bn－bn－1＝＝ ＝an＋1·an－2，
故＝a2 018·a2 021错误，C选项错误；
由an＝an－1＋an－2，
a＝a2·a1，
a＝a2·a2＝a2·＝a3·a2－a2·a1，
a＝a3·a3＝a3·＝a4·a3－a3·a2，
类似的有a＝an·an＝an·＝an＋1·an－an·an－1，
累加得a＋a＋a＋…＋a＝a2·a1＋＋＋…＋＝an＋1·an，
又bn＝a，所以b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＝an＋1·an，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b2 020＝a2 020·a2 021正确，D选项正确．
答案：AD
课下巩固培优卷(二十四)
【A/基础巩固题组】
1．(2021·江西南昌调研)在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的(　　 )
A．第16项　B．第24项　C．第26项　D．第28项
解析：数列可化为，，，，，…，
所以an＝＝．
由＝2＝，解得n＝26，
所以2是这个数列的第26项，故选C．
答案：C
2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于(　　 )
A．3×44　　B．3×44＋1　　C．45　　D．45＋1
解析：当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44．
答案：A
3．在一个数列中，如果 n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 021等于(　　 )
A．4 711　　B．4 712　　C．4 714　　D．4 715
解析：由题意可知anan＋1an＋2＝8，
则对任意的n∈N*，an≠0，
则a1a2a3＝8，∴a3＝＝4，
由anan＋1an＋2＝8，得an＋1an＋2an＋3＝8，
∴anan＋1an＋2＝an＋1an＋2an＋3，
∴an＋3＝an，
∵2 021＝3×673＋2，
因此a1＋a2＋…＋a2 021＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2
＝673×7＋1＋2＝4 714．
答案：C
4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为(　　 )
A．2　　　 B．1　　　
C．　　　 D．
解析：因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝，
由a4＝1，a5＝，得a6＝，
由a5＝，a6＝，得a7＝1，
由a6＝，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得数列{an}是周期为6的周期数列，
所以a2 020＝a4＝1，故选B．
答案：B
5．(多选)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Sn，则(　　 )
A．an＝　B．an＝n　C．Sn＝　D．Sn＝
解析：由题意得an＝＋＋…＋＝＝，
∴bn＝＝＝4，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4[＋＋＋…＋]
＝4＝．故选AC．
答案：AC
6．五角星魅力无穷，一动点从A处按图中的数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束，回到A处时，数字为6，按此规律，无限运动，则数字2 016应在(　　)
A．A处　　B．B处　　C．C处　　D．D处
解析：由点的运动路径和数字顺序可知每一次循环增加5个数字．
∵2 016＝403×5＋1，且数字1对应A处，
∴2 016应在A处，故选A．
答案：A
7．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列{an}的通项公式为an＝
答案：
8．设数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________．
解析：由题意知an＋1－an＝＝－，
∴a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2，n∈N*)，逐项相加得an＝a1＋1－＝4－．经检验，a1＝3也符合上式．故an＝4－．
答案：4－
【B/能力提升题组】
9．已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝(　　 )
A．2n－1　　B．　　C．n　　D．n2
解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，∴为常数列，即＝＝1，故an＝n．故选C．
答案：C
10．已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　 )
A．4　　　B．4－1　　　C．8　　　D．9
解析：由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，
…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，
当n＝1时，a1＝20符合上式，
所以＝n＋－1，n∈N*，
所以当n≤4时，单调递减，当n≥5时，单调递增，
因为＝，所以的最小值为＝＝8，故选C．
答案：C
11．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
解析：法一(定义法)　因为{an}是递增数列，
所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，
即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理得
2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，
要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3．
法二(函数法)
设f(n)＝an＝n2＋λn，其图象的对称轴为直线n＝－．
要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，
故只需满足f(1)－3．
答案：(－3，＋∞)
12．(2021·安徽阜阳联考)十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列{an}满足以下关系：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，记其前n项和为Sn，设a2 020＝m(m为常数)，则S2 018－a2 020＝________；a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝________．
解析：因为an＋2＝an＋1＋an＝an＋an－1＋an－1＋an－2＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－3＋an－4＝…＝Sn＋1，所以a2 020＝S2 018＋1，所以S2 018－a2 020＝－1．a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝a1＋a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2 017＋a2 018＝a1＋S2 018＝1＋S2 018＝a2 020＝m．
答案：－1　m
13．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．
解：(1)依题意，当f(x)＝0时，Δ＝a2－4a＝0，
所以a＝0或a＝4．
又由a>0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4．
所以Sn＝n2－4n＋4．
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5．
所以an＝
(2)由题意得cn＝
由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn>0．
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，
即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，
所以数列{cn}的变号数为3．

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