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第二节　等差数列及其前n项和
　
[课标要求]　1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义；
2．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题；
4．体会等差数列与一元一次函数的关系．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差中项
如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A＝a＋b．
温馨提示：
(1)a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．
(2)数列{an}是等差数列 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
3．等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
4．等差数列的常用性质和结论
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等差数列，公差为n2d．
(7)若是等差数列，则也是等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
(8)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝．
(9)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d．
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n．
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm．
(一)必背常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p．
2．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
3．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝(bn≠0，Tn≠0)．
(二)盘点易错易混
1．忽视等差数列中项为0的情况；
2．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列．
3．利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数．
4．要注意性质应用的条件和结论，如Sn为等差数列{an}的前n项和，不能错认为数列Sm，S2m，S3m，…是等差数列．
【小题热身】
1．已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝________．
解析：d＝a3－a2＝－2，∴a9＝a3＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17．
答案：－17
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．
解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180．
答案：180
3．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
解析：因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0．又a7＋a10＝a8＋a9＜0，
所以a9＜0．故当n＝8时，其前n项和最大．
答案：8　
4．(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
解析：法一　设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25．
法二　设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25．
答案：25
5．[易错题]已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由|a3|＝|a9|，得|a1＋2d|＝|a1＋8d|，解得a1＝－5d或d＝0(舍去)，则a1＋5d＝a6＝0，a5>0，故使前n项和Sn取最大值的正整数n是5或6．
答案：5或6
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__等差数列的基本量运算[自主演练]
1．(2021·内蒙古模拟)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝(　　 )
A．13　　　B．14　　　C．15　　　D．16
解析：因为所以解得则a7＝a1＋6d＝15．故选C．
答案： C
2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5　　　　B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
解析：设首项为a1，公差为d．
由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n．
答案：A
3．(2022·江西五校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a6＝23，S5＝35，则{an}的公差为(　　 )
A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．9
解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得
答案：B
[思维升华]　等差数列运算问题的通性方法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式， 共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程思想解决问题的方法．
考点2__等差数列的判定与证明[典例引领]
【例1】　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由＝＝＝＋1，得－＝1，
又a1＝2，∴＝1，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知，＝n，∴an＝，
∴数列{an}的通项公式为an＝．
[思维升华]
方法 解读 适合题型
定义法 对于数列，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 是等差数列 解答题中的证明问题
等差 中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 是等差数列
通项 公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 是等差数列 选择、 填空题中的判定问题
前n项 和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 是等差数列
[对点练]　记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且当n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)当n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S，
即(Sn－Sn－1)·(2Sn－1)＝2S，即2S－Sn－2Sn·Sn－1＋Sn－1＝2S，
故－Sn＋Sn－1＝2Sn·Sn－1，故－＝2，
易知＝＝1，故是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)可知，＝2n－1，故Sn＝，
所以an＝Sn－Sn－1＝－＝(n≥2)，
当n＝1时，上式不成立，
所以an＝
考点3__等差数列的性质[多维讲练]
高考对等差数列的考查常为选择、填空题的形式，难度较小，主要考查等差数列项的性质及等差数列前n项和的性质，凸显逻辑推理和数学运算素养．
角度1　等差数列项的性质
【例2】　(2022·山东淄博模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于(　　 )
A．72　　　B．36　　　C．18　　　D．9
解析：∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，
∴S9＝＝9a5＝36．
答案：B
[思维升华]　等差数列项的性质的关注点
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；
(2)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质；
(3)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合命题．
[对点练]　1．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　 )
A．4　　　B．6　　　C．8　　　D．10
解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，又a6＋a8＝2a7，
∴a7＝a6＋a8，即a7－a8＝a6＝8，选C．
答案：C
角度2　等差数列和的性质
【例3】(1)已知等差数列的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9等于(　　 )
A．63 B．71
C．99 D．117
解析：由等差数列的前n项和性质，
得：S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，
即2＝S3＋S9－S6，
又因S3＝9，S6＝63，则解得S9＝162，
因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99．
答案：C
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 018，－＝6，则S2 022＝________．
解析：由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1．故＝＋2 021d＝－2 018＋2 021＝3，
所以S2 022＝3×2 022＝6 066．
答案：6 066
[思维升华]　等差数列前n项和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：
(1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，构成等差数列；
(2)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(3)S2n－1＝(2n－1)an．
[对点练]　2．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且＝，则loga3b3＝(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：设正项等比数列{an}的公比为q，正项等比数列{bn}的公比为p，
数列{lg an}为等差数列，公差为lg q，{lg bn}为等差数列，公差为lg p，
loga3b3＝＝＝＝．
答案：D
3．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为________．
解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d．
由已知条件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5．
答案：5
考点4__等差数列的前n项和及其最值[典例引领]
【例4】　(一题多法)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
解：法一　∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，
∴d＝－．
∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋．
当n≤12时，an＞0；n＝13时，a13＝0；n≥14时，an＜0．
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130．
法二　同法一求得d＝－．
∴Sn＝20n＋·
＝－n2＋n
＝－＋．
∵n∈N*，
∴当n＝12或13时，Sn有最大值，
且最大值为S12＝S13＝130．
法三　同法一得d＝－．
由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0．
∴5a13＝0，即a13＝0．
∴当n＝12或13时，Sn有最大值，
且最大值为S12＝S13＝130．
[思维升华]　求等差数列前n项和Sn及最值的2种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm．
[对点练]　1．(多选)设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列选项正确的有(　　 )
A．a1>0，d<0
B．a7＋a8>0
C．S6与S7均为Sn的最大值
D．a8<0
解析：因为S14>0，S15<0，
所以S14＝＝7(a1＋a14)＝7(a7＋a8)>0，即a7＋a8>0，
因为S15＝＝15a8<0，
所以a8<0，所以a7>0，
所以等差数列{an}的前7项为正数，从第8项开始为负数，
则a1>0，d<0，S7为Sn的最大值．
答案：ABD
2．设等差数列{an}满足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是________．
解析：设数列{an}的公差为d，依题意得2＝＋，
∴2＝＋，
把a1＝1代入求得d＝2，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n＋×2＝n2，
∴＝＝
＝
＝≤121，当n＝1时最大值为121．∴的最大值是121．
答案：121
课下巩固培优卷(二十五)
【A/基础巩固题组】
1．在等差数列中，a11＝2a8＋6，则a2＋a6＋a7＝(　　 )
A．－18　　　B．－6　　　C．8　　　D．12
解析：∵a11＝2a8＋6＝a11＋a5＋6，所以，a5＝－6，
设等差数列的公差为d，则a2＋a6＋a7＝＋＋＝3＝3a5＝－18．
答案：A
2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男、子、伯、侯、公．现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：设男、子、伯、侯、公各分得x－2m，x－m，x，x＋m，x＋2m个橘子，
∴由题意有：5x＝80，即x＝16，又16－2m>0且m为正整数，
∴m＝{1，2，3，4，5，6，7}，若“子”恰好分得13个橘子，则16－m＝13，即m＝3．
∴“子”恰好分得13个橘子的概率为．
答案：B
3．等差数列的前15项和S15＝30，则a7＋a8＋a9＝(　　 )
A．－2　　　B．6　　　C．10　　　D．14
解析：等差数列的前15项和S15＝30，
∴S15＝＝15a8＝30，解得a8＝2，
∴a7＋a8＋a9＝3a8＝6．
答案：B
4．已知数列、都是等差数列，设的前n项和为Sn，的前n项和为Tn．若＝，则＝(　　 )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解析：∵＝，∴＝＝＝＝＝＝，
答案：A
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________．
解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d．又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200．
答案：200
6．(2022·湖北武汉测试)等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则an＝________，S10＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵－＝2，∴4d－3d＝2，
∴d＝2，∵a1＝－9，∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，
S10＝10×(－9)＋×2＝0．
答案：2n－11　0
7．(2021·山东济南一模)已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝．
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，
∴{bn}是等差数列．
(2)由(1)及b1＝＝＝1，
知bn＝n＋，
∴an－1＝，∴an＝．
【B/能力提升题组】
8．(2021·湖北襄阳四中联考)已知数列{an}为等差数列，a1＋a2＋a3＝165，a2＋a3＋a4＝156，{an}的前n项和为Sn，则使Sn达到最大值时n的值是(　　 )
A．19　　　B．20　　　C．21　　　D．22
解析：设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a3＋a4)－(a1＋a2＋a3)＝3d＝156－165＝－9，所以d＝－3．因为a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝3a1－9＝165，所以a1＝58．所以an＝a1＋(n－1)d＝58＋(n－1)·(－3)＝61－3n．令an＝61－3n>0，得n<．因为n∈N*，所以当n＝20时，Sn达到最大值．故选B．
答案：B
9．(多选)设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则(　　 )
A．a2a9的最大值为10
B．a2＋a9的最大值为2
C．＋的最大值为
D．a＋a的最小值为200
解析：因为正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，
所以(a2＋a9)2＝2a2a9＋20，
即a＋a＝20．
①a2a9≤＝＝10，当且仅当a2＝a9＝时成立，故A选项正确；
②由于≤＝10，所以≤，a2＋a9≤2，当且仅当a2＝a9＝时成立，故B选项正确；
③＋＝＝≥＝＝，当且仅当a2＝a9＝时成立，所以＋的最小值为，故C选项错误；
④结合①的结论，有a＋a＝(a＋a)2－2a·a＝400－2a·a≥400－2×102＝200，当且仅当a2＝a9＝时成立，故D选项正确．
答案：ABD
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝10，S9＝72，数列{bn}中，b1＝2，bnbn＋1＝－2，则a7b2 020＝________．
解析：法一　设数列{an}的公差为d，则由题意得解得所以a7＝a1＋6d＝10．因为b1＝2，bnbn＋1＝－2，所以b2＝－1，b3＝2，…，由此可知数列{bn}是周期为2的周期数列，所以b2 020＝－1，所以a7b2 020＝－10．
法二　因为a1＋a3＝2a2＝10，所以a2＝5．又S9＝＝9a5＝72，所以a5＝8，设数列{an}的公差为d，则d＝＝1，所以a7＝a5＋2d＝10．因为b1＝2，bnbn＋1＝－2，所以b2＝－1，b3＝2，…，由此可知数列{bn}是周期为2的周期数列，所以b2 020＝－1，所以a7b2 020＝－10．
答案：－10
11．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，且an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前9项之和为________．
解析：∵an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，
∴当n为奇数时，a2n＋1－a2n－1＝0，
则数列{a2n－1}是常数列，a2n－1＝a1＝2；
当n为偶数时，a2n＋2－a2n＝2，
则数列{a2n}是以a2＝3为首项，2为公差的等差数列，
∴a1＋a2＋…＋a9＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a8)
＝2×5＋＝34．
答案：34
12．等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
解：(1)∵等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，
∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5，
解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
∴解得a1＝5，d＝－3．
∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8．
(2)由(1)知{an}的前n项和Sn＝5n＋×(－3)＝－n2＋n．
∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，
当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8，
当n<3时，T1＝5，T2＝7，
当n≥3时，Tn＝－Sn＋2S2＝－＋14．
∵Tn≥1 464，∴Tn＝－＋14≥1 464，
即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥，
∴n的最小值为34．

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