资源简介

2.2 直线的方程
考纲要求
1．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）．
2．了解不同直线方程的特点和适用条件．
知识解读
知识点①直线方程的5种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 过两点 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 纵、横截距 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面内所有直线
知识点②线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则
知识点③直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
知识点④特殊直线的方程
1．直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
2．直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
3．y轴的方程为x＝0；
4．x轴的方程为y＝0.
题型讲解
题型一、求直线方程
例1．已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)
A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4)
例2．根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)过点A(－5，－4)作直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l的方程．
例3．经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为______________．
例4．经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程为________________．
例5．已知△ABC的顶点A，AC、AB边中线方程分别为x－3y＝0、5x＋6y－14＝0，求直线BC的方程．
例6．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　)
A．x＋y－3＝0　　 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0　　 D．3x＋y－6＝0
题型二、直线方程的综合应用
例1．(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
例2．求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
例3．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为__________________．
例4．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2,2]　　 B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2]　　 D．(－∞，＋∞)
例5．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
达标训练
1．已知直线l过点(－2,1)，且倾斜角是，则直线l的方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0　　 B．y＝－x
C．x＋2＝0　　 D．y－1＝0
2．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　)
A．　　 B．
C．－　　 D．－
3．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(2,1)
C．(1，－2) D．(1,2)
4．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是(　　)
5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)
6．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　 )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
7．已知直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是(　　)
A． B．
C．－ D．－
8．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为(　　)
A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1
C．y＝3x－3 D．y＝x＋1
9．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m,3)的直线与直线x＋3y＋2＝0平行，则m的值为(　　)
A．4 B．－4
C．10 D．－10
10．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc<0
B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
11．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0　　 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0　　 D．x－y－1＝0
12．(多选)垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是(　　)
A．4　　 B．－4　　
C．3　　 D．－3
13．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 ．
14．直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为 ．
15．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.
16．已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．
17．已知三角形的顶点坐标是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．
18．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
19．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
课后提升
1．(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
2．(多空题)直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P(1,1)到该直线的距离的最大值为________．
3．(多空题)已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(04．如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
5．如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，但△EFA内部为文物保护区，不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？2.2 直线的方程
考纲要求
1．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）．
2．了解不同直线方程的特点和适用条件．
知识解读
知识点①直线方程的5种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 过两点 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 纵、横截距 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面内所有直线
知识点②线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则
知识点③直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
知识点④特殊直线的方程
1．直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
2．直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
3．y轴的方程为x＝0；
4．x轴的方程为y＝0.
题型讲解
题型一、求直线方程
例1．已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)
A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4)
【答案】C
【解析】方法一　因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
方法二　设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则＝(x＋4，y－3)，
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，
即直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
例2．根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)过点A(－5，－4)作直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由已知，l的两截距不为0，
设l的方程为＋＝1，
则解得或
∴直线l的方程为－＝1或＋＝1，
即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.
例3．经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为______________．
【答案】x－y＋6＝0　
【解析】由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，所以所求直线的斜率为. 又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.
例4．经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程为________________．
【答案】x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0　
【解析】①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，此时直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0；②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，此时直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
例5．已知△ABC的顶点A，AC、AB边中线方程分别为x－3y＝0、5x＋6y－14＝0，求直线BC的方程．
【答案】x＋4y＝0
【解析】由题意可知，点B在直线x－3y＝0上，设点B，则线段AB的中点为M，
易知点M在直线5x＋6y－14＝0上，则－14＝0，
解得b＝0，所以点B的坐标为．
点C在直线5x＋6y－14＝0上，可设点C，
则线段AC的中点为点N，
易知点N在直线x－3y＝0上，则－＝0，解得c＝4，
所以点C的坐标为．
直线BC的斜率为k＝＝－，因此直线BC的方程为y＝－x，即x＋4y＝0．
例6．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　)
A．x＋y－3＝0　　 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0　　 D．3x＋y－6＝0
【答案】D
【解析】设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan＝＝－3，又点M(2,0)，
所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
题型二、直线方程的综合应用
例1．(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【答案】(1)a＝－1 (2)a＝
【解析】(1)∵l1∥l2，∴a2－2＝－1，
又2a≠2，解得a＝－1.
(2)∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
例2．求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
【答案】见解析
【解析】　证明：法一　直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)，
由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
法二　直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
例3．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为__________________．
【答案】x＋2y－4＝0　
【解析】设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
例4．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2,2]　　 B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2]　　 D．(－∞，＋∞)
【答案】C　
【解析】令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
例5．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)证明　直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有
解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
达标训练
1．已知直线l过点(－2,1)，且倾斜角是，则直线l的方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0　　 B．y＝－x
C．x＋2＝0　　 D．y－1＝0
【答案】C
【解析】由于直线l过点(－2,1)，且倾斜角是，则直线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0.
2．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　)
A．　　 B．
C．－　　 D．－
【答案】A　
【解析】设直线l的斜率为k，则k＝－＝.
3．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(2,1)
C．(1，－2) D．(1,2)
【答案】A
【解析】mx－y＋2m＋1＝0，即m(x＋2)－y＋1＝0.
令得
故定点坐标为(－2,1)．
4．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是(　　)
【答案】C　
【解析】因为x＜0时，ax＞1，所以0＜a＜1. 则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，在y轴上的截距＞1.
5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)
【答案】B
【解析】直线l1：y＝－ax－b，直线l2：y＝－bx－a．当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，故B符合．经验证其他均不符合．
6．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　 )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
【答案】C
【解析】因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C．
7．已知直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是(　　)
A． B．
C．－ D．－
【答案】C
【解析】设P(a，1)，Q(b，b－7)，
则解得所以P(－2，1)，Q(4，－3)，所以直线l的斜率k＝＝－，故选C．
8．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为(　　)
A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1
C．y＝3x－3 D．y＝x＋1
【答案】A　
【解析】将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.
9．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m,3)的直线与直线x＋3y＋2＝0平行，则m的值为(　　)
A．4 B．－4
C．10 D．－10
【答案】A　
【解析】∵kAB＝，直线x＋3y＋2＝0的斜率为k＝－，∴＝－，解得m＝4.
10．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc<0
B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
【答案】A
【解析】由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，
所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.
易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.
11．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0　　 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0　　 D．x－y－1＝0
【答案】ABC
【解析】当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1,2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
12．(多选)垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是(　　)
A．4　　 B．－4　　
C．3　　 D．－3
【答案】CD
【解析】设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－，－，所以6＝××＝.
所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
13．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 ．
【答案】3
【解析】直线AB的方程为＋＝1，
∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取最大值3.
14．直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为 ．
【答案】x＋y＝0或x－y＋4＝0
【解析】若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，
直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.
若a≠0，b≠0，则直线l的方程为＋＝1，
由题意知解得
此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.
15．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.
【答案】5　1
【解析】因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
16．已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．
【答案】x＝－或y＝(x＋)
【解析】在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)．
17．已知三角形的顶点坐标是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．
【答案】见解析
【解析】　直线AB的斜率kAB＝＝－，又过点A(－5，0)，∴直线AB的点斜式方程为y＝－(x＋5)，
即所求边AB所在直线的斜截式方程为y＝－x－.
同理，直线BC的方程为y－2＝－x，即y＝－x＋2.
直线AC的方程为y－2＝x，即y＝x＋2.
∴边AB，BC，AC所在直线的斜截式方程分别为y＝－x－，y＝－x＋2，y＝x＋2.
18．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
【答案】(1)m的值为2或－3 (2)a＝1或a＝－1
【解】　法一　(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即(－)·(－)＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二　(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
19．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，
故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．
(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则k≥0，
1＋2k≥0，
故k的取值范围是k≥0．
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，且k>0，
所以A，B(0，1＋2k)，
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
课后提升
1．(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
【答案】BD
【解析】根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin　α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确．
2．(多空题)直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P(1,1)到该直线的距离的最大值为________．
【答案】(－2,3)　　
【解析】直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)即λ(y－3)＋x＋2＝0，令，解得x＝－2，y＝3.
所以直线l恒过定点Q(－2,3)，P(1,1)到该直线的距离最大值为|PQ|＝＝.
3．(多空题)已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(0【答案】　　
【解析】两直线l1：a(x－2)＝2(y－2)，l2：2(x－2)＝－a2(y－2)，都过点C(2,2)，如图．
设它们的斜率分别为k1和k2，则k1＝∈(0,1)，k2＝－∈.∵直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2－a)，直线l2与x轴的交点B的坐标为(2＋a2,0)．∴S四边形OACB＝S△OAC＋S△OCB＝(2－a)×2＋×(2＋a2)×2＝a2－a＋4＝2＋. ∴当a＝时，四边形OACB的面积最小，其值为.
4．如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
【答案】(3＋)x－2y－3－＝0
【解析】由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
5．如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，但△EFA内部为文物保护区，不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
【答案】见解析
【解析】如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E(30,0)，F(0,20)，
∴直线EF的方程为＋＝1.
易知当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，且一个顶点在线段EF上时，可使草坪面积最大，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，
设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)，
又＋＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20－m，
∴S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)，
∴当m＝5时，S有最大值，此时＝5，
∴当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，一个顶点P在线段EF上，且|EP|＝5|PF|时，草坪面积最大．

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