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3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
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课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
约公元820年，中亚细亚的数学家阿尔- 花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消” 与“还原”
是什么意思呢？我们先讨论
下面的内容，然后再回答这
个问题.
新课精讲
探索新知
1
知识点
系数化为1
某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的 2倍.前年这个学校购买了多少台计算机？
设前年购买计算机x台.
可以表示出：去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台.根据问题中的相等关系：前年购买量+去年购买量 + 今年购买量=140台，列得方程x+2x+4x= 140.把含有x的项合并同类项，得7x=140.
探索新知
下面的框图表示了解这个方程的流程：
由上可知，前年这个学校购买了 20台计算机.
合并同类项
x +2x+4x=140
7x=140
系数化为1
x=20
探索新知
1.系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，使一元一次方程ax＝
b(a≠0)变形为x＝ (a≠0)的形式，变形的依据是等式的性质2.
2.易错警示：系数化为1时，常出现以下几种错误：
(1)颠倒除数与被除数的位置；
(2)忽略未知数系数的符号；
(3)当未知数的系数含有字母时，不考虑系数是不是等于0的情况．
探索新知
例1 解下列一元一次方程：
(1)－x＝3 (2)2x＝－4
(3) x＝－3.
导引：根据等式的性质2将方程两边同时除以未知数的系数．
解：(1)系数化为1，得x＝－3.
(2)系数化为1，得x＝－2.
(3)系数化为1，得x＝－6.
探索新知
总 结
将系数化为1是解一元一次方程的最后一步，解答时注意两点：一是未知数的系数是1而不是“－1”；二是未知数的系数是分数时，可以将方程两边同时乘以未知数系数的倒数．
典题精讲
1.把方程－ x＝3的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是(　　)
A．给方程两边同时乘－3
B．给方程两边同时除以－ .
C．给方程两边同时乘－ .
D．给方程两边同时除以3.
C
2.一元一次方程2x＝4的解是(　　)
A．x＝1　　　　　　 B．x＝2
C．x＝3 D．x＝4
B
探索新知
2
知识点
合并同类项
1.合并同类项：将一元一次方程中含未知数的项 与常数项分别合并，
使方程转化为ax＝b(a≠0)的形式．
要点精析：
(1)要把不同的同类项分别进行合并；
(2)解方程中的合并同类项和整式加减中的合并同类项一样，它们的
根据都是乘法分配律，实质都是系数的合并．
典题精讲
1.对于方程2y＋3y－4y＝1，合并同类项正确的是(　　)
A．y＝1 B．－y＝1
C．9y＝1 D．－9y＝1
A
2.下列各方程合并同类项不正确的是(　　)
A．由4x－2x＝4，得2x＝4 B．由2x－3x＝3，得－x＝3
C．由5x－2x＋3x＝12，得x＝12 D．由－7x＋2x＝5，得－5x＝5
C
典题精讲
3.下列说法正确的是(　　)
A．由x－3x＝1，得2x＝1
B．由 m－0.125m＝0，得m＝0
C．x＝－3是方程x－3＝0的解
D．以上说法都不对
B
探索新知
3
知识点
用合并同类项法解方程
例2 解下列方程：
解：合并同类项，得 化为1，得x=4.
解： 合并同类项，得6x=－78.
系数化为1，得x=－13.
探索新知
总 结
(1)合并同类项的目的是将原方程转化成ax＝b(a≠0) 的形式，依据
是合并同类项的法则；
(2)系数化为1的依据是等式的性质2：将方程ax＝b(a≠0)的两边同
时除以a，当a为分数时，可将方程两边同时乘a的倒数．
典题精讲
1.方程 ＋x＋2x＝210的解为(　　)
A．x＝20 B．x＝40 C．x＝60 D．x＝80
2.解下列方程：
(1)5x－2x=9 (2) －3x+0.5x=10
C
x=3
x=－4.
典题精讲
3.下面解方程的结果正确的是(　　)
A．方程4＝3x－4x的解为x＝4
B．方程 x＝ 的解为x＝2
C．方程32＝8x的解为x＝
D．方程1－4＝ x的解为x＝－9
D
探索新知
例3 有一列数，按一定规律排列成1，－3， 9， －27， 81，－243， …，
其中某三个相邻数的和是－1701， 这三个数各是多少？
分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数它前面的数与－3的乘积.如果三个相邻数中的第1个记为x，则后两个数分别是－3x，9x.
解：设所求三个数分别是x，－3 x ，9 x.
由三个数的和是－1 701，得x－3x+9x= －1 701.
合并同类项，得7x=－1701. 系数化为1，得x= －243.
所以－3x=729 ，9x= － 2 187. 答：这三个数是－243， 729， － 2 187.
知道三个数中 的某个，就能知道 另两个吗？
探索新知
总 结
2.设未知数的方法：直接设未知数和间接设未知数．直接设未知数是
问题中求什么就设什么；间接设未知数是设要求问题的相关未知量．
1.用简易方程解实际问题的步骤：
实际问题
— —
实际问题的解
数学问题简易方程
数学问题的解x=a
归纳建模
分析设元
检验
解方程
探索新知
例4 某中学的学生自己动手整修操场，如果让八年级学生单独工
作，需要6小时完成；如果让九年级学生单独工作，需要4小
时完成. 在由八、九年级学生一起工作，需多少小时才能完
成任务？
解：设需x小时才能完成任务．
由题意，得 x＋ x＝1，解得x＝
答：需 小时才能完成任务．
探索新知
总 结
一般在工程问题中的等量关系为：工作效率×工作时间＝工作总量．一般地，若一件工作用a天全部完成，则工作效率为
典题精讲
1.某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，
这三年的总产值为550万元.前年的产值是多少？
2.如果x＝m是方程 x－m＝1的解，那么m的值是(　　)
A．0　　　　 B．2　　　　
C．－2　　　 　 D．－6
设前年的产值是x万元.
x＋1.5x＋2×1.5x＝550
x＝100
C
典题精讲
3.若一件服装以120元销售，可获利20%，则这件服装的进价是(　　)
A．100元
B．105元
C．108元
D．118元
A
学以致用
小试牛刀
1.合并同类项解方程：一般是把方程左边含未知数的项合并，把右边的常
数项合并，从而把方程化简为________(a≠0，a、b是常数)的形式．
2.有关“总量＝_______________”的实际问题：解决这类问题一般是先设
其中一部分量为x，再用x表示其他各部分量，然后根据等量关系列出方
程即可．
3.某人把360cm长的铁丝分成两段，每段分别做成一个正方形，已知两个
正方形的边长之比是4︰5，则这两个正方形的边长分别是_______________．
ax＝b
各部分量的和
40cm、50cm
小试牛刀
4.若整式3x＋5与4x－5的和为35，则x＝________．
5.某筐内有橘子、梨、苹果共400个，它们的数量比为1︰2︰5，则苹果
有________个．
5
250
6.等腰三角形的边长如图所示，若等腰三角形的周长为24，则a＝______．
3
3a
3a
2a
小试牛刀
7.下列各方程中，合并正确的是( )
A．由3x－x＝－1＋3，得2x＝4
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由6x－2－4x＋1＝－1，得2x＝0
D
小试牛刀
8.方程2x－1＝3的解是( )
A．＝－1 B． C．x＝1 D．x＝2
D
9.对于方程－x＋6x－2x＝10，下列合并同类项正确的是( )
A．5x＝10 B．4x＝10
C．3x＝10 D．2x＝10
C
小试牛刀
10. 某班学生共40人，外出参加植树活动，根据任务不同，要分成三个小
组且使甲、乙、丙三个小组人数之比为1︰2︰5，则甲组有( )
A．5人 B． 10人
C．20人 D． 25人
C
11.解方程.
（1）7x＋6x＝39
（2）－2x－4x＋5x＝7
x=3
x=-7
小试牛刀
（3）
（4）
（5）0.25y－0.75y＝8＋3
（6）
（7）
（8）
x=3
x=2
x=2
小试牛刀
12.甲、乙两站相距336千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶72千米，
一列快车从乙站开出，每小时行驶96千米．
（1）若两车同时相向而行，则几小时后相遇？几小时后相距84千米？
（2）若两车同时反向而行，则几小时后相距672千米？
2小时后相遇 1.5小时或2.5小时后相距84千米
2小时后相距672千米
小试牛刀
13.某中学七年级学生参加一次公益活动，其中10％的同学去做保护环境
的宣传，55％的同学去植树，剩下的70名同学去清扫公园内的垃圾，
七年级共有多少名同学参加这次公益活动？
解：设七年级共有x名同学参加这次公益活动．
由题意知：
x－10％x－55％x＝70
x＝200
所以七年级共有200名同学参加这次公益活动.
小试牛刀
14.有人问小明的生日是几号，小明说：“在日历表上，我的生日连同上、
下、左、右5个日期之和是21．”小明撒谎了吗？为什么？
小明撒谎了。
解：设小明的生日为x号．
由题意得：
(x－7)＋(x－1)＋x＋(x＋1)＋(x＋7)＝21
因为人的生日只能为正整数，所以
不合题意．所以小明撒谎了 .
小试牛刀
15.现有一些分别标有－1，2，－4，8，－16，32，…的卡片，这些卡片
上的数字是按一定规律排列的，小明拿到了相邻的三张卡片，且卡片
上的数字之和为96，则小明拿到的三张卡片上分别标有什么数字？
解：设小明拿到的三张卡片中第一张上标的数字为x，则另外两张上标的
数字分别为－2x，－2×(－2x)＝4x．
根据题意，列方程得x－2x＋4x＝96，
解得x＝32，
所以－2x＝－64，4x＝128．所以三张卡片上分别标有32，－64，128.
课堂小结
课堂小结
利用合并同类项法解方程的步骤：
它经历合并同类项，系数化为1这两步；合并同类项是化简、解方程的主要步骤，系数化为1，即在方程两边同时除以未知数的系数．
注意：系数为1或－1的项，合并时不能漏掉．
同学们，
下节课见！
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