资源简介

2.3 直线的交点坐标与距离公式
考纲要求
1．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标
2．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式
3．会求两条平行直线间的距离
知识解读
知识点①两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则l1与l2的交点坐标就是方程组的解
1．相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
2．平行 方程组无解；
3．重合 方程组有无数组解．
知识点②两点间的距离公式
条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
结论 |P1P2|＝
特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝
知识点③点到直线的距离公式
1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
知识点④两平行直线间的距离
1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
知识点⑤关于对称的几个结论
1．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
2．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
3．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
4．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
5．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
题型讲解
题型一、两直线的交点问题
例1．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为(　　)
A． B．
C． D．
例2．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
例3．若三条直线，和交于一点，则的值为　　
A． B． C．2 D．
例4．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．
题型二、两点间的距离问题
例1．在平面直角坐标系中，已知点A，B，则＝(　　 )
A．1 B．
C． D．2
例2．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则这个三角形是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
例3．若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为(　　)
A．　　　 B．　　　
C．2　　　 D．2
例4．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　)
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
题型三、点到直线的距离
例1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　)
A．3　 B．
C．1 D．
例2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　)
A．0 B．
C．3 D．0或
例3．已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________．
例4．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
题型四、两平行线间的距离
例1．直线与直线平行，则它们的距离为　　
A． B． C． D．2
例2．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．
例3．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
例4．直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
例5．已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为，则直线l1的方程为________．
题型五、对称问题
例1．过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
例2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．
例3．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．
例4．直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为(　　)
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
达标训练
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)
A．(4,1) B．(1,4)
C． D．
2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为(　　)
A．6 B．
C．2 D．不能确定
3．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．2 B．4
C．5 D．
4．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是(　　)
A．(1，－1) B．(－1,1)
C． D．(－2,2)
5．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
6．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是(　　)
A． B．
C．4 D．2
7．已知，，直线．若点到直线的距离等于点到直线的距离，则　　
A．或6 B． C．0 D．0或
8．点在直线上，是坐标原点，则的最小值是　　
A．1 B． C．2 D．
9．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为(　　)
A．2 B．
C． D．2
10．已知，，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为　　
A． B．， C．， D．
11．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．
12．已知，两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则　　 ．
13．在平面直角坐标中，已知，，，平面内的点满足，则点的坐标为　　 ．
14．已知的三个顶点坐标为，，．
(1)求边的中线所在直线方程的一般式方程；
(2)求的面积．
15．已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试分别确定m，n的值，满足下列条件：
(1)l1与l2相交于一点P(m,1)；
(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；
(3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.
课后提升
1．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　)
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是
2．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤2，若将军从点A处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(　　 )
A． B．－
C．2 D．
4．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．
5．已知在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值　 　．
6．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．
7．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．2.3 直线的交点坐标与距离公式
考纲要求
1．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标
2．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式
3．会求两条平行直线间的距离
知识解读
知识点①两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则l1与l2的交点坐标就是方程组的解
1．相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
2．平行 方程组无解；
3．重合 方程组有无数组解．
知识点②两点间的距离公式
条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
结论 |P1P2|＝
特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝
知识点③点到直线的距离公式
1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
知识点④两平行直线间的距离
1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
知识点⑤关于对称的几个结论
1．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
2．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
3．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
4．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
5．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
题型讲解
题型一、两直线的交点问题
例1．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解方程组得
所以两直线的交点为．
例2．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
【答案】5x－15y－18＝0
【解析】由方程组得
又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，
∴直线方程为y＋＝，
即5x－15y－18＝0.
例3．若三条直线，和交于一点，则的值为　　
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】依题意，，解得，
两直线和的交点坐标为．
直线，和交于一点，，．
例4．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】法一：由题意知直线l过定点P(0，－)，
直线2x＋3y－6＝0与x，y轴的交点分别为A(3,0)，B(0,2)，
如图所示，要使两直线的交点在第一象限，
则直线l在直线AP与BP之间，
而kAP＝＝，∴k>.
法二：解方程组得
由题意知x＝>0且y＝>0.
由>0可得3k＋2>0，
∴6k－2>0，解得k>.
题型二、两点间的距离问题
例1．在平面直角坐标系中，已知点A，B，则＝(　　 )
A．1 B．
C． D．2
【答案】A
【解析】∵点A，B，
∴＝＝
＝
＝＝＝1．
例2．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则这个三角形是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】的三个顶点的坐标分别为，，，
，
，
，
，
是直角三角形．
例3．若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为(　　)
A．　　　 B．　　　
C．2　　　 D．2
【答案】A　
【解析】由解得x＝1，y＝2．把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，∴m＝－5－2n．∴点(m，n)与原点之间的距离d＝＝≥，当且仅当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)与原点之间的距离的最小值为.
例4．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　)
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
【答案】B　
【解析】设P(x，y)，则，即3x＋y＋4＝0.
题型三、点到直线的距离
例1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．
C．1 D．
【答案】B　
【解析】点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝．
例2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　)
A．0 B．
C．3 D．0或
【答案】D　
【解析】点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，选D.
例3．已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________．
【答案】4x－y－2＝0或x＝1
【解析】若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
由题设有＝，
即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.
此时直线方程为4x－y－2＝0.
若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件．
故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
例4．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
【答案】[0，10]
【解析】点P到直线的距离为＝，
又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10]．
题型四、两平行线间的距离
例1．直线与直线平行，则它们的距离为　　
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】直线，即，
它与直线平行，
，求得，
则它们的距离．
例2．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．
【答案】2x－y＋1＝0
【解析】由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
例3．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
【答案】
【解析】因为＝≠，所以两直线平行．
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，为＝，所以|PQ|的最小值为．
例4．直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
【答案】(0,5]
【解析】当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，
dmax＝＝5；
当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合．
所以0＜d≤5.
例5．已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为，则直线l1的方程为________．
【答案】2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0　
【解析】∵l1∥l2，∴＝≠，
∴或
(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－22或18.
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
l2的方程为4x－8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－18或22.
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
题型五、对称问题
例1．过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
【答案】x＋4y－4＝0
【解析】设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
例2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．
【答案】2x－3y－9＝0
【解析】在直线l上取两点B(1，1)，C(10，7)，B，C两点关于点A的对称点为B′(－3，－5)，C′(－12，－11)，所以直线m的方程为＝，即2x－3y－9＝0．
例3．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．
【答案】(－4，－1)
【解析】设对称点坐标是(a，b)，则，解得a＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是
(－4，－1)．
例4．直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为(　　)
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
【答案】A
【解析】设直线2x－4y－1＝0上一点P(x0，y0)关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为P′(x，y)，
则
整理可得
∴－2y＋4x－1＝0，
即直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为4x－2y－1＝0.
达标训练
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)
A．(4,1)　　　　　　　　 B．(1,4)
C． D．
【答案】C　
【解析】由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为(　　)
A．6 B．
C．2 D．不能确定
【答案】B　
【解析】由kAB＝1，得＝1，
∴b－a＝1.
∴|AB|＝ ＝＝.
3．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．2 B．4
C．5 D．
【答案】D　
【解析】根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
4．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是(　　)
A．(1，－1) B．(－1,1)
C． D．(－2,2)
【答案】C　
【解析】点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B的方程为y＝x－，与x＋y＝0联立方程组并解得所以点P.
5．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C　
【解析】设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝ ＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.
6．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是(　　)
A． B．
C．4 D．2
【答案】B　
【解析】∵l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝.
7．已知，，直线．若点到直线的距离等于点到直线的距离，则　　
A．或6 B． C．0 D．0或
【答案】D
【解析】由题可知，
解得或．
8．点在直线上，是坐标原点，则的最小值是　　
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】解：点在直线上，是坐标原点，
的最小值是点到直线的距离，
则的最小值是．
9．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为(　　)
A．2 B．
C． D．2
【答案】B　
【解析】将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，即点P到直线l的距离的最大值为.
10．已知，，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为　　
A． B．， C．， D．
【答案】C
【解析】解：点，在轴的同侧，如图所示；
则点关于轴的对称点的坐标为，
此时的值最小，
此时直线的方程为，
令，解得，
所以取最小值时，点，．
11．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．
【答案】
【解析】设P点的坐标是(a，a＋4)，
由题意可知|PM|＝|PN|，
即＝，
解得a＝－，故P点的坐标是.
12．已知，两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则　　 ．
【答案】
【解析】由已知两直线互相垂直可得：，
解得，
线段中点为，且为直角三角形的斜边，
联立，得，
，
直角三角形斜边的中线的长为斜边的一半，且，
。
13．在平面直角坐标中，已知，，，平面内的点满足，则点的坐标为　　 ．
【答案】
【解析】设点，由，
得，
化简得，解得，
所以点的坐标为．
14．已知的三个顶点坐标为，，．
(1)求边的中线所在直线方程的一般式方程；
(2)求的面积．
【答案】(1) (2)26
【解答】解：（1）设的中点的坐标为，
所以，，即点的坐标为．
由两点式得：．
所以边的中线所在直线方程的一般式方程为：；
（2）直线的方程为：．
，，
．
15．已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试分别确定m，n的值，满足下列条件：
(1)l1与l2相交于一点P(m,1)；
(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；
(3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.
【答案】(1)m＝，n＝－ (2) m＝－4，n＝20 (3)m＝0，n＝8
【解析】(1)把P(m,1)的坐标分别代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0,2m＋m－1＝0，解得m＝，n＝－.
(2)显然m≠0.∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，
∴解得或
(3)由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.当m＝0时，l1的方程为8y＋n＝0，l2的方程为2x－1＝0.∴－8＋n＝0，解得n＝8.∴m＝0，n＝8.
而m≠0时，直线l1与l2不垂直．
综上可知，m＝0，n＝8.
课后提升
1．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　)
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，
所以l1恒过定点A(0,1)；
l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，
所以l2恒过定点B(－1,0)，故B正确；
对于C，在l1上任取点，
其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，
代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不恒等于0，故C不正确；
对于D，联立解得
即M，
所以|MO|＝＝≤，
所以|MO|的最大值是，故D正确．
2．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
【答案】BCD
【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
对于A，若d1＝d2＝1，
则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，
即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤2，若将军从点A处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(　　 )
A． B．－
C．2 D．
【答案】B
【解析】设点A关于直线x＋y＝3的对称点A′，
AA′的中点为，kAA′＝，故解得
要使从点A到军营总路程最短，即为点A′到军营最短距离，“将军饮马”的最短总路程为－＝－．
4．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．
【答案】6　
【解析】以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设B(a，－2)，C(b,3)．∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝. Rt△ABC的面积S＝·
＝· ＝
≥＝6(当且仅当a2＝4时取等号)．所以△ABC的面积的最小值为6.
5．已知在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值　 　．
【答案】
【解析】在中，顶点，点在直线上，点在轴上，
设点，点关于直线对称的点为
则点与点的中点在直线上
且直线一定垂直于直线，
，解得，，点坐标为
根据对称原理，的周长的最小值为：
，即的最小值，
设点关于轴的对称为点，
直线与轴交于一点，当点处在这个点时，取得最小值
此时，
的周长的最小值为．
6．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．
【答案】≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13
【解析】由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，则|PQ|＝，于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值．
如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，即＝.
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则Q点到直线AB的距离d＝＝＝，
∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.
7．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
【答案】(1)a＝3 (2)见解析
【解析】(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，
又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．
若点P满足条件②，则点P在与l1，
l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，
即c＝或，
所以直线l′的方程为2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝×，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)；
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
所以存在点P同时满足三个条件．

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