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高考数学一轮复习——计数原理直接法
例1．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）
A．240种 B．360种 C．480种 D．600种
例2．有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
例3．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有
A．16种 B．18种 C．20种 D．24种
例4．年月日，某地援鄂医护人员，，，，，，人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例5．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．24
例6．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ）
A．144种 B．96种 C．48种 D．34种
例7．甲、乙、丙、丁四个人到，，三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到景点的方案有（ ）
A．18种 B．12种 C．36种 D．24种
例8．某城市关系要好的，，，四个家庭各有两个小孩共人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐名（乘同一辆车的名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名小孩恰有名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
例9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
例10．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )
A．18种 B．20种 C．22种 D．24种
例11．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ）
A．72 B．144 C．150 D．180
例12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ）
A． B． C． D．
例13．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B．126 C．90 D．54
例14．为了支持山区教育，某中学安排6位教师到、、、四个山区支教，要求、两个山区各安排一位教师，、两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有（ ）
A．180种 B．172种 C．168种 D．156种
例15．某篮球队有名队员，其中有名队员打前锋，有名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为名前锋，名后卫，则不同的出场阵容共有______种．
例16．有7张卡片分别写有数字从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是__________．
例17．从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按先后顺序，但大小写可以交换位置，如或都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）
例18．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有　_________　种（用数字作答）
例19．作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行，每一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作答）
例20．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法_________种. (用数字作答)
例21．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________种.
例22．甲、乙、丙、丁、戊5个人站成一排照相，其中甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是______.
例23．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.
（1）可组成多少个不同的四位数？
（2）可组成多少个不同的四位偶数？
例24．从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数．
（Ⅰ）求可以组成多少个大于500的三位数；
（Ⅱ）求可以组成多少个三位数；
（Ⅲ）若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数．高考数学一轮复习——计数原理直接法
例1．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）
A．240种 B．360种 C．480种 D．600种
【解析】
用分类讨论的方法解决．如图中的6个位置，
1 2 3 4 5 6
①当领导丙在位置1时，不同的排法有种；
②当领导丙在位置2时，不同的排法有种；
③当领导丙在位置3时，不同的排法有种；
④当领导丙在位置4时，不同的排法有种；
⑤当领导丙在位置5时，不同的排法有种；
⑥当领导丙在位置1时，不同的排法有种．
由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种．
故选C．
例2．有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
先排与老师相邻的: ,再排剩下的： ,所以共有 种排法种数，选D.
例3．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有
A．16种 B．18种 C．20种 D．24种
【解析】
任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，
若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，
选若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，
故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×（4+6）=20，
故答案为C
例4．年月日，某地援鄂医护人员，，，，，，人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【解析】
让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻
分2步进行分析：
①领导和队长站在两端，有种情况，
②中间人分种情况讨论：
若相邻且与相邻，有种安排方法，
若相邻且不与相邻，有种安排方法，
则中间人有种安排方法，
则有种不同的安排方法；
故选：D．
例5．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．24
【解析】
将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：
①甲分配到班：有种分配方案；
②甲不分配到班：有种分配方案；
由分类加法计数原理可得：共有种分配方案.
故选：.
例6．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ）
A．144种 B．96种 C．48种 D．34种
【解析】
试题分析：首先将B，C捆绑在一起作为整体，共有两种，又∵A只能出现在第一步或者最后一步，故总的编排方法为种，故选B．
例7．甲、乙、丙、丁四个人到，，三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到景点的方案有（ ）
A．18种 B．12种 C．36种 D．24种
【解析】
由题意，可分为两种请况：
（1）甲单独一个人旅游，在B、C景点中任选1个，由2种选法，
再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有种情况，
所以此时共有种方案；
（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，
先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B、C景点中任选1个，有种情况，
将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有种情况，
所以此时共有种方案，
综上，可得甲不到景点的方案有种方案.
故选：B.
例8．某城市关系要好的，，，四个家庭各有两个小孩共人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐名（乘同一辆车的名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名小孩恰有名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【解析】
若A户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有种方法.
若A户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有.
所以共有12+12=24种方法.
本题选择B选项.
例9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【解析】
由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，
剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.
故选：C.
例10．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )
A．18种 B．20种 C．22种 D．24种
【解析】
根据医院A的情况分两类：
第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同
分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，
共有种不同分配方案；
第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，
在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，
共有种不同分配方案；
共有20种不同分配方案.
故选：B
例11．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ）
A．72 B．144 C．150 D．180
【解析】
根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步；
第一步，排个位，共有种方法；
第二步，排千位，共有种方法；
第三步，排百、十位，共有种方法；
所以，可组成个四位奇数，故答案选B。
例12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ）
A． B． C． D．
【解析】
先排乙，有种，再排甲，有种，最后排剩余三人，有种
因此共有，选D.
例13．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B．126 C．90 D．54
【解析】
根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；
2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；
由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，
故选B．
例14．为了支持山区教育，某中学安排6位教师到、、、四个山区支教，要求、两个山区各安排一位教师，、两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有（ ）
A．180种 B．172种 C．168种 D．156种
【解析】
由题可知，分三种情况讨论：
（1）甲，乙两位教师均没有去山区，共有种；
（2）甲，乙两位教师只有一人去或山区，共有种；
（3）甲，乙两位教师分别去或山区，共有种，
故共有：种安排方案．
故选：D．
例15．某篮球队有名队员，其中有名队员打前锋，有名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为名前锋，名后卫，则不同的出场阵容共有______种．
【解析】
分以下三种情况讨论：
①甲、乙都不出场，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中挑选人，此时，出场阵容种数为；
②甲、乙只有一人出场，若出场的这名队员打前锋，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中挑选人；若出场的这名队员打后卫，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中挑选人.
此时，出场阵容种数为；
③甲、乙都出场，若这两名队员都打前锋，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中挑选人；若这两名队员都打后卫，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中不用挑选；若这两名队员一人打前锋、一人打后卫，则应从名打前锋的队员中挑选人，从名打后卫的队员中挑选人，此时，出场阵容种数为.
综上所述，由分类加法计数原理可知，共有种不同的出场阵容.
故答案为：.
例16．有7张卡片分别写有数字从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是__________．
【解析】
根据题意，分4种情况讨论：
(1)取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时=24种顺序,可以排出24个四位数;
(2)取出的4张卡片中有2个重复数字,则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1,在2、3、4中取出2个,有种取法,安排在四个位置中,有种情况,剩余位置安排数字1,可以排出3×12=36个四位数,同理,若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字;
(3)若取出的4张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有种情况,剩余位置安排两个2,则可以排出6×1=6个四位数;
(4)取出的4张卡片中有3个重复数字,则重复的数字为1,在2、3、4中取出1个卡片,有 种取法,安排在四个位置中,有 种情况,剩余位置安排1,可以排出3×4=12个四位数;所以一共有24+36+36+6+12=114个四位数.
故答案为:114.
例17．从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按先后顺序，但大小写可以交换位置，如或都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）
【解析】
分为四类情况：
第一类：在A、B、C、D中取四个，在a、b、c、d中取一个，共有；
第二类：在A、B、C、D中取三个，在a、b、c、d中取两个，分两种情况：形如AaBbC(大小写有两个字母相同)共有，形如AaBCd（大小写只有一个字母相同）共有 ；
第三类：在A、B、C、D中取两个，在a、b、c、d中取三个，取法同第二类情况；
第四类：在A、B、C、D中取一个，在a、b、c、d中取四个，取法同第一类情况；
所以共有：2(8++)=160
例18．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有　_________　种（用数字作答）
【解析】
按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，
因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．
当C在左边第1个位置时，有A，
当C在左边第2个位置时AA，
当C在左边第3个位置时，有AA+AA，
共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有 480种．
故答案为480．
例19．作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行，每一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作答）
【解析】
显然，紫色小方格顶多有3个.分类讨论：（1）若无紫色小方格，则只有1种结果；
（2）若有且只有1个紫色小方格，则有种结果；
（3）若有且只有2个紫色小方格，从行来看，
先选出有紫色小方格的那两行，有种选法，这两行的排法有种，
此种情况下共有18种结果；
（4）若有且只有3个紫色小方格，显然，这三行的排法有种.
综上，一共有34种结果，即一共可以传递34种信息.
故答案为：34
例20．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法_________种. (用数字作答)
【解析】
当体育课在最后一节时，此时另外节课可在其余位置任意排列，故有种排法；
当体育课不在最后一节时，此时体育课只能在第节或第节，故有种排法，
所以一共有：种排法，
故答案为：.
例21．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________种.
【解析】
根据题意,分种情况讨论:
①,从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙,甲有种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有=种选派方法;
②,从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲,乙有种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有=种选派方法;
③,从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙,
需要在剩下人中选出人,有种选法,选出人的安排方法有种,
则此时有=种选派方法;
故一共有=种选派方法;
故答案为：
例22．甲、乙、丙、丁、戊5个人站成一排照相，其中甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是______.
【解析】
当甲排第1或5位置时，排法有（种）；
当甲排第2或4位置时，排法有（种），
则甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是，
故答案为：60.
例23．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.
（1）可组成多少个不同的四位数？
（2）可组成多少个不同的四位偶数？
【解析】
（1）根据题意分步完成任务：
第一步：排千位数字，从1，2，3，4，5这5个数字中选1个来排，有种不同排法；
第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有种不同排法；
所以组成不同的四位数有种，
（2）根据题意分类完成任务：
第一类：个位数字为0，则从1，2，3，4，5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位，有种不同排法；
第二类：个位数字为2或4，则0不能排在千位，有种不同排法；
所以组成不同的四位偶数有种.
例24．从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数．
（Ⅰ）求可以组成多少个大于500的三位数；
（Ⅱ）求可以组成多少个三位数；
（Ⅲ）若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数．
【解析】
（Ⅰ）由题意大于500的三位数的个数为；
（Ⅱ）所有三位数个数为；
（Ⅲ）．

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