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第一章 空间向量与立体几何
1.3.1　空间直角坐标系
学案
一、学习目标
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标，会用坐标表示空间向量.
2.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题.
3.掌握平行向量，垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行，向量的垂直问题.
4.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
二、基础梳理
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴．它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz．
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3. 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标单位向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标．z叫做点A的竖坐标．
4. 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
三、巩固练习
1.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为( )
A.(-3,4,5) B.(-3,-4,5) C.(3,-4,-5) D.(-3,4,-5)
2.点关于平面的对称点为，则坐标为( )
A． B． C． D．
3.点在空间直角坐标系中的( )
A.轴上 B.平面内
C.平面内 D.平面内
4.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.点关于坐标原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6.空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点坐标为_________.
7.空间中点关于轴的对称点,点,则连线的长度为___________.
8.点在平面内的射影为,则_____________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：关于平面对称,则对应的值不变.故选A.
2.答案：A
解析：由题意可得：点关于平面的对称点的坐标是.
故选：A.
3.答案：C
解析：点的纵坐标为0,所以该点在平面内.
4.答案：A
解析：过点向平面作垂线,垂足为,则就是点与其关于平面对称的点连线的中点.又,所以.
5.答案：A
解析：点关于坐标原点对称的点的坐标是：．
故选：A．
6.答案：
解析：设所求的点为，点与点关于平面xOz的对称，这两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，即，，，得点的坐标为.故答案为：
7.答案：
解析：由题意可得，则，故答案为：.
8.答案：3
解析：点在平面内的射影为.

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