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高考数学一轮复习——奇偶性重难点题型分类
题型一：判断函数的奇偶性
解题思路：首先，要看定义域是否对称，其次，再求出，并观察和的等量关系，若=则为偶函数，若=则为奇函数。
1.（长郡）下列函数是奇函数的有( )（多选）
A. B. C. D.
2.（明德）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
3.（长郡）下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.（长郡）函数的图象关于直线对称，那么下列命题正确的个数是( )
① ②
③函数是偶函数 ④函数是偶函数
A. B. C. D.
5.(一中)已知函数的定义域为.
(1)若，试比较与的大小；
(2)证明函数为奇函数，并求函数在上的最大值.
题型二：用奇偶性求具体函数的解析式
解题思路：若已知时的解析式，则当时，，代入已知解析式中求出的解析式，再利用奇偶性的性质得出的解析式。
6．（师大）已知f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（　　）
A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2）
C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）
7.（长郡）已知函数为偶函数，且当时，f（x）＝x（x+1），则时，________.
8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调递增区间．（只需写出结论）
题型三：偶函数性质在抽象函数中的应用
9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则（　　）
A．f（2021）＜f（﹣2020）＜f（2019） B．f（2019）＜f（﹣2020）＜f（2021）
C．f（﹣2020）＜f（2019）＜f（2021） D．f（﹣2020）＜f（2021）＜f（﹣2019）
10.（广益）是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
11.（雅礼）设是定义在上且图象为连续不断的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有实数之和为( )
A. B. C. D.
12.（广益）定义在上的偶函数满足：对任意，有，且，则不等式的解集为_________.
13．若函数y＝f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（1）＝0，则的解集为　 　．
题型四：奇函数性质在抽象函数中的应用
14．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（　　）（多选）
A．f（0）＝0
B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1
C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数
D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x
15.奇函数f（x）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣2，则
f（6）+f（﹣3）的值为（　　）
A．10 B．﹣10 C．9 D．15
16．定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
17.（长郡）若定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（﹣5）＝0，则满足xf（x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（0，5）
C．（﹣5，0）∪（5，+∞） D．（﹣5，0）∪（0，5）
18.若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是减函数，又f（2）＝0，则不等式
xf（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
19.（师大）已知函数的定义域为，则“无最大值”的一个充分条件是( )
A.为偶函数且关于直线对称 B为偶函数且关于点对称.
C.为奇函数且关于直线对称 D.为奇函数且关于点对称
20.（麓山）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数x1，x2，x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式（x+1）f（1﹣2x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
21．（师大）已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）＝f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）在R上是奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）若f（1）＝﹣，求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．
22.（明德）已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有．
（Ⅰ）判断函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（Ⅱ）若f（x）≤m2﹣5mt﹣5对所有x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
23．（长郡）我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．
（Ⅰ）若f（x）＝x3﹣3x2，
①求此函数图象的对称中心；
②求f（﹣2018）+f（﹣2019）+f（2020）+f（2021）的值．
（Ⅱ）类比上述推广结论，写出“函数y＝f（x）的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f（x）为偶函数”的一个推广结论．高考数学一轮复习——奇偶性重难点题型分类
题型一：判断函数的奇偶性
解题思路：首先，要看定义域是否对称，其次，再求出，并观察和的等量关系，若=则为偶函数，若=则为奇函数。
1.（长郡）下列函数是奇函数的有( )（多选）
A. B. C. D.
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x3，是幂函数，是奇函数，符合题意，
对于B，y＝x2﹣1，是二次函数，是偶函数，不符合题意，
对于C，，是对勾函数，是奇函数，符合题意，
对于D，，是偶函数，不是奇函数，不符合题意，
故选：AC．
2.（明德）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解：对于A：y＝x3是奇函数，
对于B：y＝|x|+1为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；
对于C：y＝﹣x2+1为偶函数，但在（0，+∞）上单调递减；
对于D：定义域为不对称，非奇非偶函数；
故选：B．
3.（长郡）下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：对于A，y＝的定义域为[0，+∞），关于原点不对称，为非奇非偶函数，故A错误；
对于B，，是偶函数，不是奇函数，不符合题意，故B错误；
对于C，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（x1+）﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝，
∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，当1≤x1＜x2时，f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x）是增函数，
当0＜x1＜x2≤1时，f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x）是减函数，故C错误；
对于D，y＝x5为单调递增的奇函数，故D正确．
故选：D．
4.（长郡）函数的图象关于直线对称，那么下列命题正确的个数是( )
① ②
③函数是偶函数 ④函数是偶函数
A. B. C. D.
【解答】解：由f(x)的图象关于x=1对称可知， f(2-x)=f(x)，f(1-x)=f(1+x)，∴①②正确；
把函数f(x)的图象向左平移1个单位可得y=f(x+1)的图象，关于x=0对称，即为偶函数，∴③正确；
把函数f(x)的图象向右平移1个单位可得y=f(x-1)的图象，关于x=2对称，∴④错误；
故选：C．
5.(一中)已知函数的定义域为.
(1)若，试比较与的大小；
(2)证明函数为奇函数，并求函数在上的最大值.
【解答】解：（1）任取，，所以；
，所以为奇函数，最大值=，
最小值=。
题型二：用奇偶性求具体函数的解析式：
解题思路：若已知时的解析式，则当时，，代入已知解析式中求出的解析式，再利用奇偶性的性质得出的解析式。
6．（师大）已知f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（　　）
A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2）
C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）
【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x，
设x＜0，则﹣x＞0，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[﹣（﹣x）2+2（﹣x）]＝x2+2x，
故选：D．
7.（长郡）已知函数为偶函数，且当时，f（x）＝x（x+1），则时，________.
【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∵当x≤0时，f（x）＝x（x+1），∴f（﹣x）＝﹣x（﹣x+1）x＝x2﹣x，又函数y＝f（x）是偶函数（x∈R），∴f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣x．
故答案为：x2﹣x.
8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调递增区间．（只需写出结论）
【解答】解：（I）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
当x＞0，则﹣x＜0，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x，所以f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣x2+2x，
所以f（x）＝x2﹣2x，故f（x）＝，
（II）函数的大致图像如图所示，故函数f（x）的单调递增区间（1，+∞），（﹣∞，﹣1）．
题型三：偶函数性质在抽象函数中的应用
9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则（　　）
A．f（2021）＜f（﹣2020）＜f（2019） B．f（2019）＜f（﹣2020）＜f（2021）
C．f（﹣2020）＜f（2019）＜f（2021） D．f（﹣2020）＜f（2021）＜f（﹣2019）
【解答】解：由对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，可得函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以f(2021)＜f(2020)＜f(2019)因为f(x)为偶函数，所以f(2020)=f(-2020)，所以f(2021)＜f(-2020)＜f(2019)；
故选:A.
10.（广益）是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（1）＝f（﹣1），又f（3）＞f（1），∴“一定成立的”的选项为C．
故选：C．
11.（雅礼）设是定义在上且图象为连续不断的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有实数之和为( )
A. B. C. D.
【解答】解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，又满足f（x）＝f（），
∴x＝或﹣x＝，可得，x2+3x﹣3＝0或x2+5x+3＝0，∴x1+x2＝﹣3或x3+x4＝﹣5，
∴x1+x2+x3+x4＝﹣3﹣5＝﹣8，
故选：A．
12.（广益）定义在上的偶函数满足：对任意，有，且，则不等式的解集为_________.
【解答】解：∵对任意，有，可得函数f(x)在（-∞，0)上单调递减，由，可得，或者，即和异号，又图像可知或，故选B.
13．若函数y＝f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（1）＝0，则的解集为　 　．
【解答】解：因为y＝f（x）为偶函数，所以＝＝＜0，
因为函数y＝f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（1）＝0，
所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）＝0，
所以不等式等价为或
解得x＞1或﹣1＜x＜0，
即不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．
题型四：奇函数性质在抽象函数中的应用
14．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（　　）（多选）
A．f（0）＝0
B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1
C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数
D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），当x＝0时，有f（0）＝﹣f（0），变形可得f（0）＝0，A正确，
对于B，若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x≥0时，f（x）≥﹣1，则有﹣x≤0，f（﹣x）＝﹣f（x）≤1，即f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1，B正确，
对于C，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C错误，
对于D，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2+2x）＝﹣x2﹣2x，D正确，
故选：ABD．
15.奇函数f（x）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣2，则
f（6）+f（﹣3）的值为（　　）
A．10 B．﹣10 C．9 D．15
【解答】解：根据题意，函数f（x）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣2，则f（6）＝8，f（3）＝﹣2，又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣3）＝﹣f（3）＝2，则f（6）+f（﹣3）＝10；
故选：A．
16．定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
【解答】解：根据题意，f（x）在R上为奇函数，在[0，+∞）上单调递减，且f（1）＝﹣1，
所以f（x）在R上单调递减，且f（﹣1）＝﹣f（1）＝1，则﹣1≤f（x﹣2）≤1等价于f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），所以﹣1≤x﹣2≤1，解得1≤x≤3，即x的取值范围是[1，3]．
故选：D．
17.（长郡）若定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（﹣5）＝0，则满足xf（x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（0，5）
C．（﹣5，0）∪（5，+∞） D．（﹣5，0）∪（0，5）
【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣5）＝0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（5）＝0，
∴不等式xf（x）＜0等价于或，∴0＜x＜5或﹣5＜x＜0
∴不等式xf（x）＜0的解集（﹣5，0）∪（0，5）．
故选：D．
18.若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是减函数，又f（2）＝0，则不等式
xf（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【解答】解：由做出函数的大致图象如图：
（1）当x＞0时，f（x）＜0，∴x＞2．
（2）当x＜0时，f（x）＞0，∴x＜﹣2．
综上所述：x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
故选：C．
19.（师大）已知函数的定义域为，则“无最大值”的一个充分条件是( )
A.为偶函数且关于直线对称 B为偶函数且关于点对称.
C.为奇函数且关于直线对称 D.为奇函数且关于点对称
【解答】解：根据题意，
对于C，假设f（x）有最大值，设其最大值为M，其最高点的坐标为（a，M），
f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则f（x）的图象存在最低点（﹣a，﹣M），
又由f（x）的图象关于点（1，1）对称，则（﹣a，﹣M）关于点（1，1）对称的点为（2+a，2+M），
与最大值为M相矛盾，则此时f（x）无最大值，C正确，
故选：C．
20.（麓山）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数x1，x2，x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式（x+1）f（1﹣2x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【解答】解：对任意给定的实数x1，x2，x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，
整理可得，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，所以函数f（x）在R上单调递减，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）＝0，则不等式（x+1）f（1﹣2x）＜0，
可得，或，即或，解可得，﹣1，
故选：A．
21．（师大）已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）＝f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）在R上是奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）若f（1）＝﹣，求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．
【解答】（1）证明：∵函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x）+f（y）＝f（x+y），
令x＝y＝0得f（0）＝0，令y＝﹣x得f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）在R上是奇函数；
（2）证明：在R上任取x1＞x2，则x1﹣x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2），
∵x＞0时，f（x）＜0，f（x1﹣x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是减函数．
（3）解：∵f（x）是R上减函数，∴f（x）在[﹣3，3]上也是减函数，
∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值分别为f（﹣3）和f（3），
而f（3）＝3f（1）＝﹣2，f（﹣3）＝﹣f（3）＝2，
∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为2，最小值为﹣2．
22.（明德）已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有．
（Ⅰ）判断函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（Ⅱ）若f（x）≤m2﹣5mt﹣5对所有x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数．设﹣1≤x1＜x2≤1，∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2）+f（﹣x1）．又﹣1≤x1＜x2≤1，∴x2+（﹣x1）＞0，
由题设有f（x2）+f（﹣x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）max＝f（1）＝1，∴f（x）≤m2﹣5mt﹣5对任意x∈[﹣1，1]恒成立，
只需1≤m2﹣5mt﹣5对t∈[﹣1，1]]恒成立，即m2﹣5mt﹣6≥0对t∈[﹣1，1]恒成立，
设g（t）＝m2﹣5mt﹣6，则， ， ，
解得m≤﹣6或m≥6．
∴m的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．
23．（长郡）我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．
（Ⅰ）若f（x）＝x3﹣3x2，
①求此函数图象的对称中心；
②求f（﹣2018）+f（﹣2019）+f（2020）+f（2021）的值．
（Ⅱ）类比上述推广结论，写出“函数y＝f（x）的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f（x）为偶函数”的一个推广结论．
【解答】解：（Ⅰ）①函数f（x）＝x3﹣3x2图象的对称中心为P（a，b），因为g（x）＝f（x+a）﹣b奇函数，故g（﹣x）＝﹣g（x），故f（﹣x+a）﹣b＝﹣f（x+a）+b，则f（﹣x+a）+f（x+a）＝2b，
即[（﹣x+a）3﹣3（﹣x+a）2]+[（x+a）3﹣3（x+a）2]＝2b，整理得（3a﹣3）x2+a3﹣3a2﹣b＝0，
故，解得a＝1，b＝﹣2，所以函数f（x）＝x3﹣3x2图象的对称中心为（1，﹣2）．
②因为函数f（x）＝x3﹣3x2图象的对称中心为（1，﹣2），所以f（﹣x+1）+f（x+1）＝﹣4，
故f（﹣2018）+f（﹣2019）+f（2020）+f（2021）＝[f（﹣2018）+f（2020）]+[f（﹣2019）+f（2021）]
＝[f（﹣2019+1）+f（2019+1）]+[f（﹣2020+1）+f（2020+1）]＝﹣4+（﹣4）＝﹣8．
（Ⅱ）推论：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f（x+a）为偶函数。

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