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高考数学一轮复习——幂函数重难点题型分类
题型一：幂函数的概念
1．（泰安联考）在函数y＝，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，幂函数的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（微山二中）函数y＝（m2+2m﹣2）是幂函数，则m＝（　　）
A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．2
3．（师大）已知y＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣1+3n﹣2是幂函数，则m＝　 　，n＝　 　．
题型二：求幂函数的解析式与函数值
思路：一令、二代，将题目中所给的函数上的一个点代入求出，三求值，将题目中的自变量的值代入幂函数解析式求出函数值
4．（雅礼）若幂函数y＝f（x）的图象经过点（9，），则f（25）＝（　　）
A． B． C． D．5
5.（名校联盟）已知幂函数y＝f（x）的图像过点（3，9），则＝（　　）
A． B． C． D．
6.（明德）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（9，3），则f（100）＝　　．
7.（湖湘联考）已知幂函数f（x）＝mxa的图象过点（4，），则m+a＝　　．
题型三：幂函数的图像与性质
8．（孝感一中）幂函数f（x）＝x的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
9．（三明联考）下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（　　）
A．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x﹣1
B．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x﹣1
C．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣1
D．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣1
10．（深圳）如图曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，四个值，相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（　　）
A．﹣2，﹣，2 B．2，，﹣2
C．，﹣2，2， D．2，，﹣2，﹣
11.（广益）以下说法正确的是（　　）
A．当a＝0时，函数y＝xa的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C．若幂函数y＝xa的图象关于原点对称，则y＝xa在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
题型四：幂函数与奇偶性
12.（长郡）幂函数的图象经过点，则( )
A.是偶函数，且在上单调递增 B.是偶函数，且在上单调递减
C.是奇函数，且在上单调递减 D.既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增
13．（湖北期末）有四个幂函数：①f（x）＝x﹣2；②f（x）＝x﹣1； ③f（x）＝x3；④f（x）＝．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}；（3）在（﹣∞，0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（　　）
A．④ B．③ C．② D．①
15．（青岛期末）已知幂函数f（x）＝（2m2﹣6m+5）xm+1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y＝f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．
16．（静宁一中）已知幂函数y＝f（x）＝，其中m∈{x|﹣2＜x＜2，x∈Z}，满足：
（1）是区间（0，+∞）上的增函数；
（2）y＝f（x）为奇函数．求同时满足（1），（2）的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时f（x）的值域．高考数学一轮复习——幂函数重难点题型分类
题型一：幂函数的概念
1．（泰安联考）在函数y＝，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，幂函数的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵幂函数的定义是“形如y＝xα，α∈R的函数，叫做幂函数”，
∴在函数y＝，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，只有一个y＝＝x﹣2符合定义，是幂函数；
故选：B．
2．（微山二中）函数y＝（m2+2m﹣2）是幂函数，则m＝（　　）
A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．2
【解答】解：∵函数y＝（m2+2m﹣2）是幂函数，∴m2+2m﹣2＝1，m﹣1≠0，
解得m＝﹣3．
故选：B．
3．（师大）已知y＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣1+3n﹣2是幂函数，则m＝　 　，n＝　 　．
【解答】解：∵y＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣1+3n﹣2是幂函数，∴m2﹣2m﹣7＝1，且3n﹣2＝0，
求得m＝﹣2或4，n＝，
故答案为：﹣2或4；．
题型二：求幂函数的解析式与函数值
思路：一令、二代，将题目中所给的函数上的一个点代入求出，三求值，将题目中的自变量的值代入幂函数解析式求出函数值
4．（雅礼）若幂函数y＝f（x）的图象经过点（9，），则f（25）＝（　　）
A． B． C． D．5
【解答】解：设幂函数为y＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（9，），
∴，解得：．∴幂函数解析式为．
则f（25）＝．
故选：A．
5.（名校联盟）已知幂函数y＝f（x）的图像过点（3，9），则＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵幂函数y＝f（x）＝xα的图像过点（3，9），∴f（3）＝3α＝9，解得α＝2，
∴f（x）＝x2，
则＝（）2＝．
6.（明德）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（9，3），则f（100）＝　　．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（9，3），∴3＝9α∴∴f（x）＝
∴f（100）＝＝10
故答案为10．
7.（湖湘联考）已知幂函数f（x）＝mxa的图象过点（4，），则m+a＝　　．
【解答】解：函数f（x）＝mxa是幂函数，则m＝1；又函数图象过点（4，），所以4a＝，a＝；
所以m+a＝1+＝．
故答案为：．
题型三：幂函数的图像与性质
8．（孝感一中）幂函数f（x）＝x的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，排除B，D，
且f（﹣x）＝＝＝f（x），f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除A，
故选：C．
9．（三明联考）下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（　　）
A．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x﹣1
B．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x﹣1
C．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣1
D．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣1
【解答】解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项A，B
①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除C
故选：D．
10．（深圳）如图曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，四个值，相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（　　）
A．﹣2，﹣，2 B．2，，﹣2
C．，﹣2，2， D．2，，﹣2，﹣
【解答】解：如图，作直线x＝2，分别交四条曲线依次为A，B，C，D，四点，
由于n取±2，±四个值，当x＝2时，对应的四个函数值为
∵
故四个点的纵坐标依次为
由四个点得位置关系，四个函数图象对应的n的值从下而上依次为
﹣2，﹣，，2
故选：A．
11.（广益）以下说法正确的是（　　）
A．当a＝0时，函数y＝xa的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C．若幂函数y＝xa的图象关于原点对称，则y＝xa在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
【解答】解：对于A，当a＝0时，函数y＝xa的图象是一条直线，去掉点（0，1），所以A错误；
对于B，当a＜0时，幂函数y＝xa的图象不过原点（0，0），所以B错误；
对于C，幂函数y＝x﹣1的图象关于原点对称，但y＝x﹣1在定义域内不满足y随x的增大而增大，所以D错误；
对于D，幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限，如y＝x2，所以D正确．
故选：D．
题型四：幂函数与奇偶性
12.（长郡）幂函数的图象经过点，则( )
A.是偶函数，且在上单调递增 B.是偶函数，且在上单调递减
C.是奇函数，且在上单调递减 D.既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增
【解答】解：幂函数f（x）＝xa的图象经过点（2，），∴2a＝，解得a＝，
∴函数f（x）＝，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．
故选：C．
13．（湖北期末）有四个幂函数：①f（x）＝x﹣2；②f（x）＝x﹣1； ③f（x）＝x3；④f（x）＝．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}；（3）在（﹣∞，0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（　　）
A．④ B．③ C．② D．①
【解答】解：对于①，f（x）＝x﹣2，是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，值域是{y|y＞0}，且在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足条件；
对于②，f（x）＝x﹣1，是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，且在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足条件；
对于③，f（x）＝x3，是定义域R上的奇函数，值域是R，且在（﹣∞，0）上是单调增函数，不满足条件；
对于④，f（x）＝，是定义域R上的奇函数，值域是R，且在（﹣∞，0）上是单调增函数，不满足条件．
15．（青岛期末）已知幂函数f（x）＝（2m2﹣6m+5）xm+1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y＝f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知2m2﹣6m+5＝1，
即m2﹣3m+2＝0，
解得m＝1或m＝2；
当m＝1时，f（x）＝x2，符合题意；
当m＝2时，f（x）＝x3，为奇函数，不合题意，舍去；
∴f（x）＝x2；（6分）
（2）由（1）得，y＝f（x）﹣2（a﹣1）x+1＝x2﹣2（a﹣1）x+1，
则函数的对称轴为x＝a﹣1，
由题意知函数在（2，3）上为单调函数，
∴对称轴a﹣1≤2或a﹣1≥3，
解得a≤3或a≥4．…（12分）
16．（静宁一中）已知幂函数y＝f（x）＝，其中m∈{x|﹣2＜x＜2，x∈Z}，满足：
（1）是区间（0，+∞）上的增函数；
（2）y＝f（x）为奇函数．求同时满足（1），（2）的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时f（x）的值域．
【解答】解：∵m∈{x|﹣2＜x＜2，x∈Z}，∴m＝﹣1，0，1．
∵对任意x∈R，都有f（﹣x）+f（x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．
当m＝﹣1时，f（x）＝x2只满足条件（1）而不满足条件（2）；
当m＝1时，f（x）＝x2，条件（1）、（2）都不满足；
当m＝0时，f（x）＝x3条件（1）、（2）都满足，且在区间[0，+∞）上是增函数．
所以幂函数f（x）的解析式为f（x）＝x3，
所以x∈[0，3]时，函数f（x）的值域为[0，27]．
17．已知幂函数y＝f（x）＝（其中﹣2＜m＜2，m∈Z）满足
（1）在区间（0，+∞）上为增函数
（2）对任意的x∈R，都有f（﹣x）+f（x）＝0，求同时满足（1）、（2）的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时f（x）的值域．
【解答】解：∵幂函数y＝f（x）在区间（0，+∞）为增函数，
则﹣2m2﹣m+3＞0，
即2m2+m﹣3＜0，
解得：m∈（﹣，1），
又∵m∈Z，
∴m＝﹣1，或m＝0，
当m＝﹣1时，y＝f（x）＝x2为偶函数，不满足f（﹣x）+f（x）＝0；
当m＝0时，y＝f（x）＝x3为奇函数，满足f（﹣x）+f（x）＝0；
当x∈[0，3]时，f（x）∈[0，27]，
即函数f（x）的值域为[0，27]．

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