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高考数学一轮复习——指数函数重难点题型分类
题型一：指数与指数幂的运算
分数指数幂 正分数指数幂
负分数指数幂
指数幂的运算性质 有理数指数幂的运算性质
1.（广益）表达式可化为( )（多选）
A. B. C. D.
2.（湖湘联考）________.
3.（广益）计算________.
4.（明德）计算：；
5.(雅礼)
6.(一中)已知不等式的解集为集合，函数的定义城为集合.
(1)当时，求；
(2)若存在使得函数有意义，求实数的取值范围.
指数函数的图像和性质
图像
性质 （1）定义域为R，值域为（0，+）
（2）图像过定点（0，1）
当时，当时， 当时，当时，
在R上是增函数 在R上是减函数
题型二：指数函数过定点（0，1）
7.（明德）已知函数(且)的图象过定点，则点的坐标为________.
8.（师大）函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
题型三：指数函数的图像
9.（一中）已知函数(其中)的图象如图，则函数的图象是( )
B. C. D.
10．（雅礼）已知函数，下面说法正确的有　　（多选）
A．的图象关于原点对称 B． 的图象关于轴对称
C．的值域为 D．，，且，
11.（湖湘联考）关于函数，下列结论正确的有　　（多选）
A．若，则的图象与轴有两个交点 B．若，则的图象与轴只有一个交点C．若，则的图象与轴无交点 D．若的图象与轴只有一个交点，则
题型四：指数函数的单调性、值域
12．函数在，上最大值与最小值的和为3，则　　
A．2 B． C．4 D．
13．设函数定义在上，它的图象关于直线对称，且当时，，则有　　
A． B．
C． D．
14．（雅礼）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值域．
15.（湖湘联考）已知函数.
(1)若，判断在区间的单调性并证明；
(2)若的值域是，求的取值范围.
16.(广益)已知二次函数的图象开口向上，且在区间，上的最小值为0和最大值为9．
（1）求，的值；
（2）若，且，函数在，上有最大值9，求的值．
17.(师大)已知函数.
(1)当时，解不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的最大值；
(3)对于函数，若，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围.
题型五：指数函数与单调性、奇偶性的综合题
18.（明德）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是　　
A． B． C． D．
19.（名校联盟）已知是定义在上的奇函数，且当，，则________.
20.（长郡）若函数，分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有　　
A． B．
C．（2）（3） D．（2）（3）
21.（广益）已知函数，，若，则下列说法正确的是( )（多选）
A. B.
C. D.
22. （师大）设函数，且是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明．
23.(明德)函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
24.(雅礼)已知函数是定义域为的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式：
(2)画出函数的图象，根据图象写出的单调区间.
25.(师大)已知函数为奇函数.
(1)求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；
(2)求不等式的解集.
26.(广益)已知定在上的函数为奇函数.
(1)求的值；判断函数在定义域上的单调性(不要求证明)；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
27.(一中)已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为.
(1)写出在上的解析式；
(2)求在上的最大值.
28.(炎德联考)已知函数.
(1)若函数为奇函数，求的值，并求此时函数的值域；
(2)若存在，使，求实数的取值范围.
题型六：指数函数的应用题
29．某城市房价（均价）经过6年时间从1200元增加到了4800元，则这6年间平均每年的增长率是　　
A． B． C． D．600元
30．某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是　　
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
31.(师大)“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：
树木的高度(单位：米)与生长年限(单位：年)满足关系.
树木栽种时的高度为米；年后，树木的高度达到米.
(1)求的解析式；
(2)问从种植起，第几年树木生长最快？
32．（一中）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线．其中是线段，曲线段是函数，，，是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量关于时间的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过，该病人每毫升血液中含药量为多少？（精确到高考数学一轮复习——指数函数重难点题型分类
题型一：指数与指数幂的运算
1.（广益）表达式可化为( )（多选）
A. B. C. D.
【解析】原式=；故选AC.
2.（湖湘联考）________.
【解析】原式=.
3.（广益）计算________.
【解析】原式=.
4.（明德）计算：；
【解析】原式=
.
5.(雅礼)
【解析】原式.
6.(一中)已知不等式的解集为集合，函数的定义城为集合.
(1)当时，求；
(2)若存在使得函数有意义，求实数的取值范围.
【解析】(1) 故时，
定义域为，，故，故；
(2)令，有意义，即在成立，在时，恒成立，故应该满足条件①对称轴为时；
②时，为抛物线右半支，故,故；
故取值范围为.
题型二：指数函数过定点（0，1）
7.（明德）已知函数(且)的图象过定点，则点的坐标为________.
【解析】当，即时，，所以过定点（2，2）.
8.（师大）函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
【解析】当，即时，，所以过定点P（2，8），代入中得，所以，所以，.
题型三：指数函数的图像
9.（一中）已知函数(其中)的图象如图，则函数的图象是( )
B. C. D.
【解析】由图可知，所以选A．
10．（雅礼）已知函数，下面说法正确的有　　（多选）
A．的图象关于原点对称 B． 的图象关于轴对称
C．的值域为 D．，，且，
【解答】解：对于选项，所以函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项正确，选项错误；
对于选项：设，整理得，所以，整理得，整理得，所以函数的值域为，故选项正确．
对于选项：对，，且，，所以函数为减函数，而为增函数，故选项错误．
故选：．
11.（湖湘联考）关于函数，下列结论正确的有　　（多选）
A．若，则的图象与轴有两个交点 B．若，则的图象与轴只有一个交点C．若，则的图象与轴无交点 D．若的图象与轴只有一个交点，则
【解答】解：函数，函数的零点个数转化为函数与的图象解答的个数，在同一个坐标系中画出函数与的图象，如图：
可知：，则的图象与轴有两个交点，正确；
，则的图象与轴只有一个交点，正确；
，则的图象与轴无交点，正确；
的图象与轴只有一个交点，则或，所以不正确；
故选：．
题型四：指数函数的单调性、值域（增加两三个小题）
12．函数在，上最大值与最小值的和为3，则　　
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：根据题意，由的单调性，可知其在，上是单调函数，即当和1时，取得最值，
即，可得，则，即，
故选：．
13．设函数定义在上，它的图象关于直线对称，且当时，，则有　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数定义在上，它的图象关于直线对称，且时函数为单调递增函数，时函数为单调递减函数，且，，
，即，故选：．
14．（雅礼）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值域．
【解析】(1)由题由平方差∴
(2)令，则而∴
∴值域为
15.（湖湘联考）已知函数.
(1)若，判断在区间的单调性并证明；
(2)若的值域是，求的取值范围.
【解析】(1)时，，在单调递增.证明如下：
记，任取，则，
因为，所以，，所以，即有，
所以，所以，即，所以在上单调递增.
(2)的值域是，即，所以且取到最小值，
所以有，①时，不符合要求；
②时，则有且，解得，
综上可知：，即的取值范围是.
16.(广益)已知二次函数的图象开口向上，且在区间，上的最小值为0和最大值为9．
（1）求，的值；
（2）若，且，函数在，上有最大值9，求的值．
【解答】解：（1）二次函数的对称轴为，且开口向上，
函数在区间，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，
当时，，，．
（2）由（1）知，，，设，则，
①当时，，，在，上为增函数，，，或，，．
②当时，，，在，上为增函数，，，或，，．
综上所述，或．
17.(师大)已知函数.
(1)当时，解不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的最大值；
(3)对于函数，若，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围.
【解析】(1)当时，不等式，即为，也就是，解得，
所以，不等式的解集为；
(2)即为
化简，即对任意恒成立，记.
由于当时，，则.所以，.
(3)由于函数是“可构造三角形函数”，首先，必有才能保证；其次，必需，而当时，是上的增函数，则的值域为，由；当时，，符合题意；
而当时，是上的减函数，则的值域为，由；
综上，.
题型五：指数函数与单调性、奇偶性的综合题
18.（明德）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：对于是奇函数，对于为偶函数，且在上单调递增；
对于为偶函数，但在上单调递减；对于是减函数；
故选：．
19.（名校联盟）已知是定义在上的奇函数，且当，，则________.
【解答】∵是定义在上的奇函数，∴.
20.（长郡）若函数，分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有　　
A． B．
C．（2）（3） D．（2）（3）
【解答】解：根据题意，函数，分别为上的奇函数、偶函数，且满足，①
则，变形可得，②，
联立①②可得：，，故正确，错误；
则（2），，（3），
则有（2）（3），故错误，正确；
故选：．
21.（广益）已知函数，，若，则下列说法正确的是( )（多选）
A. B.
C. D.
【解答】，∴，∵，∴；
∵，∴选AC.
22. （师大）设函数，且是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明．
【解答】解：（1）由已知得的定义域是，且，所以，
即，解得．
（2）由（1）知，所以在上单调递增．用定义证明如下：在上任取两个数，
则，因为，所以，又，，
所以．故函数在上单调递增．
23.(明德)函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)∵函数是奇函数，∴，
故，故；
(2)当时，恒成立，即在恒成立，
令，，显然在的最小值是，
故，解得：.
24.(雅礼)已知函数是定义域为的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式：
(2)画出函数的图象，根据图象写出的单调区间.
【解析】(1)因为是定义在上的奇函数，所以.
当时，，
所以函数的解析式为：；
(2)函数图象如图所示，通过函数的图象可以知道，的单调递减区间是，.
25.(师大)已知函数为奇函数.
(1)求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；
(2)求不等式的解集.
【解析】(1)由已知，∴，
∴，.∴.
证明：，且，则，
∵，∴，∴，又，，
∴，∴，故函数在上是增函数.
(2)∵，∴，而为奇函数，∴，
∵为上单调递增函数，∴，∴，∴，
∴原不等式的解集为.
26.(广益)已知定在上的函数为奇函数.
(1)求的值；判断函数在定义域上的单调性(不要求证明)；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
【解析】(1)∵为定义在上的奇函数，∴，解得：，
由(1)知：，∵为上的增函数，
∴为上的减函数，∴为上的减函数；
(2)由得：，由(2)知：为上的减函数，∴，即，∵，
∴，即的取值范围为。
27.(一中)已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为.
(1)写出在上的解析式；
(2)求在上的最大值.
【解析】(1)∵为定义在上的奇函数，且在处有意义，∴，
即，∴.
设，则，∴，
又∵，∴；所以;
(2)当时，，∴设，则，
∵，∴.当时，取最大值，最大值为.
28.(炎德联考)已知函数.
(1)若函数为奇函数，求的值，并求此时函数的值域；
(2)若存在，使，求实数的取值范围.
【解析】(1)因为为奇函数，所以，所以，
此时在上单调递增，
又，故函数的值域为.
.
①当时，，故不成立；
②当即时，在上为增函数，且值域为，数形结合讨论.
(ⅰ)当即时，只要即可，
所以，所以.
(ⅱ)当即时，只要，
所以，综上，.
题型六：指数函数的应用题
29．某城市房价（均价）经过6年时间从1200元增加到了4800元，则这6年间平均每年的增长率是　　
A． B． C． D．600元
【解答】解：这6年间平均每年的增长率为，则，解得
故选：．
30．某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是　　
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
【解答】解：为自然对数的底数，，为常数）．
当时，，当时，，
当时，，
故选：．
31.(师大)“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：
树木的高度(单位：米)与生长年限(单位：年)满足关系.
树木栽种时的高度为米；年后，树木的高度达到米.
(1)求的解析式；
(2)问从种植起，第几年树木生长最快？
【解析】(1)由已知得，即，
解得，所以，.
(2)令，.
问题化为，当时，求函数的最大值.
而.
当且仅当，即，上式取等号，但，，
故种植之日起，第年与第年树木生长最快.
32．（一中）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线．其中是线段，曲线段是函数，，，是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量关于时间的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过，该病人每毫升血液中含药量为多少？（精确到
【解答】解：（1）当时，；
当时，把、代入，得，解得，故；
（2）设第一次服药后最迟过小时服第二次药，则，解得，即第一次服药后后服第二次药，也即上午服药；
（3）第二次服药后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：
含第二次服药量为：
所以此时两次服药剩余的量为
故该病人每毫升血液中的含药量为。

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