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第三节　二项式定理　
[课标要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项．
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C．
2．二项式系数的性质
(一)必背常用结论
若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0，1，2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0 Tr＋1是常数项．
(2)h(r)是非负整数 Tr＋1是整式项．
(3)h(r)是负整数 Tr＋1是分式项．
(4)h(r)是整数 Tr＋1是有理项．
(二)盘点易错易混
1．二项式的指数为n时，展开式的项数为n＋1．通项是第r＋1项，不是第r项．
2．要注意区分二项式系数与项的系数：二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
【小题热身】
1．的展开式中，含x4项的系数为(　　 )
A．4 B．6
C．10 D．15
解析：的展开式通项为Tr＋1＝C·x6－r·＝C·x6－2r，
令6－2r＝4，解得r＝1，因此，展开式中含x4项的系数为C16＝6．
答案：B
2．＋＋＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(　　 )
A．49 B．56
C．59 D．64
解析：令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝＋＋＝59．
答案：C
3．的展开式中x2y6的系数是(　　 )
A．28 B．－28
C．56 D．－56
解析：的展开式通项为Tr＋1＝Cr8··＝Cr8·2··x8－ryr，
由可得r＝6，因此，的展开式中x2y6的系数是C·2·＝56．
答案：C
4．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．
解析：由题意得2n＝32，所以n＝5．令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1．
答案：－1
5．[易错题]已知n∈N*，的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则该二项式展开式中各项系数和为________．
解析：∵n∈N*，(3x－)n的展开式中只有第7项的二项式系数C最大，
∴n＝12，令x＝1，所以该二项式展开式中各项系数和为212．
答案：212
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__二项式中的特定项及系数问题[自主演练]
求二项式中的特定项或特定项的系数问题是高考对二项式定理部分的主要考查方向，有二项展开式、两个多项式积的展开式及三项展开式等，可能求特定项，也可能根据已知特定项求参数，难度中低档，主要考查数学运算的核心素养．
角度1　二项式展开式问题
【例1】　(1)展开式中x项的系数为(　　 )
A．28 B．－28
C．112 D．－112
(2)二项式的展开式的常数项为60，则a的值为(　　 )
A．2 B．－2
C．±2 D．±3
解析：(1)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr＝C．
要求x项的系数，只需＝1，解得r＝2，
所以C＝4×＝112．
(2)Tr＋1＝C＝Ca6－rx12－3r，令12－3r＝0，所以r＝4．
令Ca2＝60，解得a＝±2．
答案：(1)C　(2)C
[思维升华]　求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．
[对点练]　1．若二项式的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(　　 )
A．6 B．10
C．12 D．15
解析：因为二项式展开式中的第5项是T5＝Cxx－4＝Cx，
因为第5项是常数，所以＝0，即n＝12．
答案：C
角度2　两个多项式积的展开式问题
【例2】　(1)的展开式中x3y3项的系数为(　　 )
A．80 B．160
C．200 D．240
(2)·的展开式中的常数项为(　　 )
A．12 B．15
C．20 D．35
解析：(1)的展开式的通项为Tr＋1＝
Cyr＝25－rCx5－ryr，
则的展开式x2y3的系数为22C＝40，x3y2的系数为23C＝80，
则的展开式中x3y3项的系数为40＋2×80＝200．
(2)的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cxk，的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx－r，
故·的展开式的通项公式为T＝CCxk－r，令k－r＝0，可得k＝r，
故展开式中的常数项为CC＋CC＋CC＋CC＝20．
答案(1)C　(2)C
[思维升华]　求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；
第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．
[对点练]　2．已知(2－mx)的展开式中的常数项为8，则实数m＝(　　 )
A．2 B．－2
C．－3 D．3
解析：展开式的通项为Tr＋1＝C＝C(－1)rx－r．
当(2－mx)取2时，常数项为2×C＝2；
当(2－mx)取－mx时，常数项为－m×C×(－1)＝3m．
由题知2＋3m＝8，则m＝2．
答案：A
3．(x2－2x－1)的展开式中的常数项是________．
解析：原式＝x2－2x－，
展开式中的常数项是x2·C21＋(－2x)·C·22＋(－1)·23＝－26．
答案：－26
角度3　三项展开式问题
【例3】　(1)(一题多法)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
(2)(x>0)的展开式中的常数项为____________．
[思维点拨](1)思路一：把x2＋x看成一个整体，用二项展开式写出通项公式，确定x5y2的来源并求指定项系数；
思路二：把原来的三项式看成5个因式的积，用组合的知识寻找x5y2的系数来源．
(2)将化成完全平方的形式，转化为二项式的展开式求解．
解析：(1)法一　(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2．
又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1．
所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30．
法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积．
所以x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，
因此x5y2的系数为CCC＝30．
(2)由题意，＝，通项为Tr＋1＝C＝C()10－2r，令10－2r＝0，则r＝5，所以展开式的常数项为C＝．
答案：(1)C　(2)
[思维升华]　求三项展开式特定项的方法
(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．
[对点练]　(x＋y－z)6的展开式中xy2z3的系数是________．
解析：∵＝，
所以展开式的通项为Ar＋1＝Cr6·x6－r·，
的展开式通项为Bk＋1＝Ckr·yr－k·＝Ckr··yr－k·zk，
所以的展开式通项可以为Tr＋1，k＋1＝Cr6Ckr·x6－r·yr－k·zk，其中0≤k≤r≤6且k、r∈N，令解得
因此，的展开式中xy2z3的系数是C56C·＝－60．
答案：－60
考点2__二项式系数的性质与各项系数的和[典例引领]
二项式定理另一类重要考向是二项式系数的和、二项展开式相关项系数的和、二项式系数的最值问题，要明确二项式系数与项的系数的区别，二项式系数的和及二项式系数的最值问题直接应用公式即可，而解项的系数和问题关键是赋值．此类问题难度不大．另外还可能涉及项的系数的最值问题，难度中档，主要考查数学运算的核心素养．
角度1　二项式系数和与各项系数和
【例4】　(1)(多选)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　 )
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
(2)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________．
解析：(1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，
令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B正确；
展开式的通项为Tk＋1＝C··＝Ck6·36－k·x6－k，
令6－k＝0，得k＝4，因此，展开式中的常数项为T5＝C46··32＝135．
故D正确．
(2)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5．②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，
所以8(a＋1)＝32，解得a＝3．
答案：(1)ABD　 (2)3
[思维升华]　1．赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．
2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则展开式中：
(1)各项系数之和为f(1)；
(2)a0＋a2＋a4＋…＝；
(3)a1＋a3＋a5＋…＝．
[对点练]　1．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|．
解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1．①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37．②
(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2．
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094．
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093．
(4)法一　∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093－(－1 094)＝2 187．
法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，
得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187．
角度2　二项式系数的最值问题
【例5】　(2021·江西南昌一模)(2－x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为________．
解析：因为(2－x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6，
所以(2－x)n＝(2－x)6，其通项公式为Tr＋1＝C·26－r·(－x)r＝(－1)r·26－r·Cxr，
所以展开式中x3的系数为(－1)3·26－3·C＝－160．
答案：－160
[思维升华]　二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．
[对点练]　2．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．
解析：由已知得C＋C＋C＝121，则n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8．
答案：C(3x)7和C(3x)8
角度3　项的系数的最值问题
【例6】　已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992．则的二项式系数最大的项为________；的展开式系数最大的项为________．
解析：由二项式的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，
可得22n－2n＝992，即＝0，解得2n＝32，可得n＝5，
由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为T6＝C··＝8064．
设第r＋1项的系数最大，因为Tr＋1＝C·(2x)10－r·＝C·210－r·x10－2r．
则满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(C·210－r≥C·210－r＋1，,C·210－r≥C·210－r－1，))) 化简得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(C≥2C，,2C≥C，)))
即解得≤r≤，
因为r∈Z，可得r＝3，
故系数最大的项是第4项T4＝C·27·x4＝15 360x4．
答案：8 064　15 360x4
[思维升华]　二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．
[对点练]　3．假如的二项展开式中x3项的系数是－84，则的二项展开式中系数最小的项是__________．
解析：由二项式知：Tr＋1＝Cxn－r(－)r＝
(－1)rCxn－2r，而x3项的系数是－84，
∴n－2r＝3时，有C＝84且r为奇数(r>0)，又由C＝＝＝84，
∴可得
∴Tr＋1＝(－1)rCx9－2r，要使系数最小，r为奇数，由对称性知r＝5，
∴T6＝(－1)5Cx－1＝－．
答案：－
考点3__二项式定理的应用[典例引领]
【例7】　(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 020＋a能被13整除，则a等于(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1．028≈__________(小数点后保留三位小数)．
解析：(1)512 020＋a＝(52－1)2 020＋a＝C·522 020－C·522 019＋…＋C·52·(－1)2 019＋C·
(－1)2 020＋a．
∵C·522 020－C·522 019＋…＋C·52·(－1)2 019 能被13整除且512 020＋a能被13整除，
∴C·(－1)2 020＋a＝1＋a也能被13整除．
又∵0≤a<13，∴a的值为12．
(2)1．028＝(1＋0．02)8＝1＋C×0．02＋C×0．022＋C×0．023＋…＋C×0．028≈1．172．
答案：(1)D　(2)1．172
[思维升华]　1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．
[对点练]　1．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82 021天后是(　　 )
A．星期二 B．星期三
C．星期四 D．星期五
解析：82 021＝＝C＋C7＋C72＋…＋C72 021，
所以82 021被7除得余数为1，故经过82 021天后是星期四．
答案：C
2．1－90C＋902C－903C＋…＋9010C除以88的余数是________．
解析：由题意得：1－90C＋902C－903C＋…＋90rC＋…＋9010C＝
＝＝C＋C×88＋C×882＋…＋C×8810，
故它除以88的余数为C＝1．
答案：1
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
构造法在解决二项式定理问题中的应用
在解决一些与正整数n有关的组合恒等式或不等式问题时，常利用构造法，通过构造不同的二项式，利用二项式的不同展开方法和二项式定理的相关知识来实现．
【典例】　求证： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＝．
[思维点拨]　此题若直接证明相当困难．不难发现＝Cn2n，因而可以考虑利用组合的知识或二项式定理来解决．
证明：法一　构造等式·＝，则C是二项式中xn的系数，于是我们考虑·中xn的系数．
若第一个因式取常数项x0，系数为C，
则第二个因式应取xn，系数为C，
此时xn的系数为CCnn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ；…；
若xr取自第一个因式，其系数为Crn，xn－r，取自第二个因式，其系数为C，此时·的展开式中xn的系数为C·C＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ．
∴ ·中xn的系数为
CC＋CC＋…＋CC＋…＋CC＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ．
∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＝C＝＝．
法二　构造组合模型如下：
某班有2n名学生，现从中选出n名学生参加某项活动．显然这样的选法有C种选法．另一方面，将2n名学生平均分成A，B两组，从A组选出0名学生，从B组选出n名学生，有CC＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) 种选法，从A组选出1名学生，从B组选出(n－1)名学生，有CC＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) 种选法……从A组中选出n名学生，从B组中选出0名学生，有CC＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) 种选法．由分类加法计数原理得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C)) eq \s\up12(2) ＝C＝．
[思维升华]　上述两种方法都用到了“算两次”的思想，所谓“算两次”的思想，就是对同一个量，用两种不同的方法去计算，所得的结果相同．
[对点练]　求证：CC＋CC＋…＋CC＝C．
证明：(1＋x)2n的展开式中xn－1的系数为C．
又(1＋x)2n＝(1＋x)n(1＋x)n＝(C＋Cx＋…＋Cxn)·(C＋Cx＋…＋Cxn)，则等式右边整理后xn－1的系数为CC＋CC＋…＋CC＝CC＋CC＋…＋CC．
∵两种形式下的展开式中xn－1的系数应该相等，
∴CC＋CC＋…＋CC＝C．
课下巩固培优卷(五十一)
【A/基础巩固题组】
1．二项式的展开式中常数项为－20，则含x4项的系数为(　　 )
A．－6 B．－15
C．6 D．15
解析：二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r
当r＝3时，为常数项．则C＝－20 a＝1，
令6－2r＝4，得r＝1，所以含x4项的系数C＝－6．
答案：A
2．(2021·广东高州二模)的展开式中的系数为(　　 )
A．15 B．－15
C．10 D．－10
解析：Tr＋1＝C＝Cx－5y5－2r，
令解得r＝3，所以展开式中的系数为C＝－10．
答案：D
3．已知的二项展开式的二项式系数和为8，所有项的系数和为－125，则实数b＝(　　 )
A．－10 B．10
C．－12 D．12
解析：∵二项式系数和为C＋C＋…＋C＝2n＝8，
∴n＝3．
令x＝1，得＝－125，即1－＝－5，
∴b＝12．
答案：D
4．(x－1)6的展开式中，含x3项的系数为(　　 )
A．45 B．－45
C．15 D．－15
解析：由二项式定理(x－1)6展开式中有Cx4和Cx2，
所以(x－1)6的展开式中含x3项的系数为C＋C×2＝45．
答案：A
5．已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b．若13a＝7b，则m＝(　　 )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由题意可知，a＝C，b＝C．
∵13a＝7b，∴13·＝7·，
即＝，解得m＝6．
答案：B
6．22 021被9除所得的余数为t，则t＝(　　 )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：22021＝4×(9－1)673＝
4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9673－9672C＋9671C－…＋9C－1))
＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9673－9672C＋9671C－…＋9C)) －4
＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9673－9672C＋9671C－…＋9C)) －9＋5，
所以22 021被9除所得的余数为5．
答案：B
7．(2021·广东广州高三一模)若(x＋a)2的展开式中x4的系数为3，则a＝(　　 )
A．1 B．
C． D．2
解析：∵(x＋a)2＝·(x2＋2ax＋a2)(a>0)，
而的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·x6－2r，
故·(x2＋2ax＋a2) 的展开式中x4的系数为C＋2a×0＋a2·(－C)＝15－6a2＝3，
则a＝．
答案：C
8．(2021·广东珠海二模)若的二项展开式中二项式系数最大项为5 670x2，则a＝____________．
解析：因为的二项展开式共有9项，所以二项式系数最大项是第5项．
T5＝Cx8－4＝Ca4x2＝70a4x2，所以70a4＝5 670，即a4＝81，解得a＝±3，又a>0，所以a＝3．
答案：3
9．(x2＋3x－4)4展开式中含有x3项的系数为______．
解析：由题意得(x2＋3x－4)4＝[(x＋4)(x－1)]4＝(x＋4)4(x－1)4，
又由(x＋4)4的通项为Tr＋1＝4rCx4－r，(x－1)4的通项为Tk＋1＝(－1)kCx4－k，
所以(x2＋3x－4)4展开式中x3的系数为：
4×C×(－1)4·C＋42×C×(－1)3·C＋43×C×(－1)2·C＋44×C×(－1)·C
＝16－384＋1 536－1 024＝144．
答案：144
10．已知(x＋1)n的展开式二项式系数和为128，则C－C2＋C4＋…＋C(－2)n＝__________．
解析：由已知可得2n＝128，解得n＝7，
所以二项式(x＋1)7＝(1＋x)7的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cxr，
令x＝－2，则二项式的展开式为C(－2)0＋C(－2)1＋C(－2)2＋…＋C(－2)7＝
C－C2＋C4＋…＋C(－2)7＝(1－2)7＝－1．
答案：－1
【B/能力提升题组】
11．(2021·河北唐山一模)记展开式的偶数项之和为P，则P的最小值为(　　 )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由已知得x≠0，x2>0，
所以P＝Cx3·＋Cx·＝2x2＋≥2＝2，
当且仅当2x2＝即x＝±等号成立．
答案：B
12．若多项式x2＋x10＝a0＋a1＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a3＝(　　 )
A．56 B．－120
C．－56 D．120
解析：x2＋x10＝[－1]2＋[－1]10，则a3由[－1]10的展开式的系数确定，
因为[－1]10的通项为Tr＋1＝C(x＋1)10－r(－1)r，
所以a3＝C(－1)7＝－120．
答案：B
13．(2021·山东潍坊三模)定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对模m同余，记作a≡b，比如：26≡16．已知n＝C010＋C110·8＋C210·82＋…＋C1010·810，满足n≡p，则p可以是(　　 )
A．23 B．21
C．19 D．17
解析：由二项式定理可得n＝＝910＝＝
＝1－C10＋C102－…＋C1010，
等号右边除了第一项1外，其余各项都是10的倍数，∴n被10除所得余数为1，
在选项中，只有21被10除所得余数为1．
答案：B
14． (多选)关于多项式的展开式，下列结论正确的是(　　 )
A．各项系数之和为1
B．各项系数的绝对值之和为212
C．存在常数项
D．x3的系数为40
解析：由题意令x＝1可得，各项系数之和为26，故A错误；
多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等，故令x＝1，得各项系数的绝对值之和为212，故B正确；
由＝，易知该多项式的展开式中一定存在常数项，故C正确；
由题中的多项式可知，若出现x3，可能的组合只有·(－x)3和·(－x)4，结合排列组合的性质可得x3的系数为C×13×C×20×(－1)3＋C×11×C×21×(－1)4＝40，故D正确．
答案：BCD
15．(多选)已知＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是(　　 )
A．a3＝－360
B．－＝1
C．a1＋a2＋…＋a6＝
D．展开式中系数最大的为a2
解析：展开式通项公式为：Tr＋1＝Cr6·26－r·，
对于A，令r＝3，则a3＝C×23×＝－480，A错误；
对于B，令x＝1，则a0＋a1＋…＋a6＝，
令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a6＝；
∴－＝
＝＝1，B正确；
对于C，令x＝0得：a0＝26，∴a1＋a2＋…＋a6＝－26，C错误；
对于D，∵a0，a2，a4，a6为正数，a1，a3，a5为负数，
又a0＝26＝64，a2＝C×24×3＝720，a4＝C×22×32＝540，a6＝33＝27，
∴展开式中系数最大的为a2，D正确．
答案：　BD
16．(2021·安徽黄山二模)若＝a0＋a1x＋…＋a2 021x2 021，则＋＋…＋的值为__________．
解析：∵＝a0＋a1x＋…＋a2 021x2 021，
∴令x＝0，可得a0＝1，
再令x＝，则1＋＋＋…＋＝0，故＋＋…＋＝－1．
答案：－1

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