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第二节　排列与组合　
[课标要求]　通过实例，理解排列组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识
1．排列与组合
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2．排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝ eq \f(A,A) ＝＝
性质 0！＝1，A＝n！
C＝C，C＝C＋C
盘点易错易混
1．要注意区分排列与组合，元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．
2．熟练记忆与应用排列数和组合数公式，避免混淆．
3．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．
4．对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．
【小题热身】
1．小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为(　　 )
A．6 B．12
C．24 D．48
解析：将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则AA＝12，故所求的坐法种数为12．
答案：B
2．某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是(　　 )
A．15 B．45
C．60 D．75
解析：从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有C24C26＝90种选法．语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中的有C23C25＝30 ，
所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有90－30＝60．
答案：C
3．计算C＋C＋C＋C69的值为________(用数字作答)．
解析：原式＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C610＝C410＝210．
答案：210
4．[易错题]六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　 )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
解析：第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；
第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．
所以共有120＋96＝216(种)排法．
答案：B
5．现有甲、乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，则甲、乙两类均被选到的方法共有___________种．(用数字填写答案)
解析：甲、乙两类均被选到分两种情况：
(1)甲类选2个，乙类选1个，即C26C12；
(2)甲类选1个，乙类选2个，即C16C22；
所以总数共有C26C12＋C16C＝36．
答案：36
　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力
考点1__组合问题[典例引领]
【例1】　男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
解：(1)分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有C种选法；
第二步，选2名女运动员，有C种选法．由分步乘法计数原理可得，共有C·C＝120(种)选法．
(2)法一　“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得总选法共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．
法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．
从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．
(3)法一　(直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为C；“只有女队长”的选法种数为C；
“男、女队长都入选”的选法种数为C，
所以共有2C＋C＝196(种)选法．
法二　(间接法)从10人中任选5人有C种选法，
其中不选队长的方法有C种．所以“至少有1名队长”的选法有C－C＝196(种)．
(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(C－C)种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．
[思维升华]　组合问题的两类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
[对点练]　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解：(1)从余下的34种商品中选取2种，有C＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种)．
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100(种)．
∴恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．
∴至少有2种假货在内的不同取法有2 555种．
(5)选取3种的总数为C种，选取3种假货有C种，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种)．
∴至多有2种假货在内的不同取法有6 090种．考点2__排列与组合的综合问题[多维讲练]
应用排列组合解决生活中的实际问题是高考热点，常涉及“在与不在”、“邻与不邻”等问题，多采用特殊元素(位置)优先安排、捆绑、插空等方法．题目难度中低高均有可能，多为选择或填空题，考查逻辑推理素养，对分类讨论思想运用较多．
角度1　特殊元素(位置)问题
【例2】　(2021·山东枣庄高三期末)甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？(　　 )
A．27种 B．36种
C．54种 D．72种
[思维点拨]　本题实际上是特殊元素(人)与特殊位置(名次)问题，由题意知乙的限制最多，其次是甲．故先排乙，再排甲，余下的三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．
解析：由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A种排法．故共有3×3×A＝3×3×3×2×1＝54种不同的情况．
答案：C
[思维升华]　“特殊”优先原则
常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先．
当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分布解决．
[对点练]　1．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有(　　 )
A．18种 B．24种
C．36种 D．48种
解析：根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，
有C×C×C＝12(种)乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B．
答案：B
角度2　相邻问题
【例3】　(2021·山东青岛模拟)某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同一天．化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为(　　 )
A．36 B．48
C．144 D．288
[思维点拨]　分三步完成，先排语数外，再将需要排在同一天的“捆绑”，将捆绑后的三个元素排列，即可求出．
解析：先将语文、数学、英语排在第二节，有A＝6种排法，将物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有AAA＝8种排法，将捆绑后的三个元素排在三天，有A＝6种排法，则不同的排课方案的种数为6×8×6＝288种．
答案：D
[思维升华]　解决相邻问题一般用“捆绑法”，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
[对点练]　2．(2022·辽宁大连模拟)已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工，再由高级技师完成精加工．其中粗加工要完成A、B、C、D四道工序且不分顺序，精加工要完成E、F、G三道工序且E为F的前一道工序，则完成该工艺不同的方法有(　　 )
A．144种 B．96种
C．48种 D．112种
解析：由题意可知，粗加工工序的排法种数为A，将E、F进行捆绑，且E为F的前一道工序，精加工工序的排法种数为2种，由分步乘法计数原理可知，完成该工艺不同的方法的种数为2A＝2×24＝48．
答案：C
角度3　相间问题
【例4】　(2022·湖北武钢三中模拟)六个人排成一排，若甲、乙、丙均互不相邻，且甲、乙在丙的同一侧，则不同的排法有________________．
[思维点拨]　利用插空法求得三人互不相邻的排法种数，根据定序情况可确定三人互不相邻的排法数的种情况满足题意，由此可计算得到结果．
解析：六个人排成一排，甲、乙、丙互不相邻，先将其余3人全排列，再在形成的4个空里把甲、乙、丙排列，共有排法AA＝144种；
将甲、乙、丙三人进行排序，共A＝6种排法，其中甲、乙在丙的同一侧有4种，
∴满足题意的排法种数有×144＝96种．
答案：96
[思维升华]　对不相邻问题，一般用“插空法”．先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
[对点练]　3．在大课间风采展示中，某班级准备了2个舞蹈，2个独唱，1个小品，共5个节目．要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有______种．
解析：5个节目的出场顺序共有A＝120种，
其中舞蹈节目相邻出场的有AA＝48种，独唱节目相邻出场的有AA＝48种，
舞蹈节目相邻出场且独唱节目也相邻出场的有AAA＝24种，
所以相同类型的节目不能相邻的出场顺序有120－48－48＋24＝48种．
答案：48考点3__分组、分配问题[多维讲练]
分组与分配问题是排列组合常见的考点，一般为选择题，难度中等．解题时要注意审题，弄清楚是均匀分组还是部分均匀分组，同时要注意是分组还是分配．经常涉及分类讨论的数学思想．
角度1　整体均分问题
【例5】　数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　)
A． eq \f(CCC,A) A种 B．CCC34种
C． eq \f(CCC,A) 43种 D．CCC43种
解析：方法一：首先将12名同学平均分成四组，有 eq \f(CCC,A) 种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有 eq \f(CCC,A) ·A·34＝CCC34(种)，故选B．
方法二：根据题意可知，第一组分3名同学有C种分法，第二组分3名同学有C种分法，第三组分3名同学有C种分法，第四组分3名同学有C种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计算原理可知，满足条件的不同分配方案有CCCC34种，故选B．
答案：B
[思维升华]　(1)平均分配给不同小组的分法种数等于平均分堆的分法种数乘堆数的全排列．
(2)对于分堆与分配问题应注意三点：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的；③分堆时要注意是否均匀．
[对点练]　1．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6名免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
解析：先把6个毕业生平均分成3组，有 eq \f(CCC,A) 种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有 eq \f(CCC,A) A＝90种分配方法．
答案：90
角度2　部分均分问题
【例6】　(2021·安徽淮南一模)2020年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的选派方法数有种(　　)
A．25 B．60
C．90 D．150
[思维点拨]　法一(分组分配): 5＝1＋1＋3或5＝2＋2＋1，利用组合数可得25组，再利用排列即可求解；法二(排除法)：分别求出5个工作人员仅去一个村子的方法或仅去两个村子的方法，利用间接法可求解．
解析：法一(分组分配)：把5名工作人员分成3组，有两类分法：
①：5＝1＋1＋3，则有 eq \f(CCC,A) ＝10种，
②：5＝2＋2＋1，则有 eq \f(CCC,A) ＝15种，
所以共有10＋15＝25种分组方法，根据题意，所求方法数有25A＝150个．
法二(排除法)：∵5个工作人员仅去一个村子的方法数有15C＝3个，
5个工作人员仅去两个村子的方法数有C＝90个．
∴5个工作人员去三个村子的方法数有35－90－3＝150个．
答案：D
[思维升华]　对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！．另外也可以应用组合的方法通过先分堆再排列的方法解决．
[对点练]　2．(2021·浙江高三二模)7个人分乘三辆不同的汽车，每辆车最多坐3人，则不同的乘车方法有______种(用数字作答)．
解析：先分好组，三组人数分别为2、2、3或1、3、3，再将三组分配给三辆车，
由分步乘法计数原理可知，不同的乘车方法种数为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CC,A)＋\f(CC,A))) A＝1 050．
答案：1050
角度3　不等分问题
【例7】　将8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到1本，若三名同学所得书的数量各不相同，且甲同学分到的书比乙同学多，则不同的分配方法种数为(　　)
A．1 344 B．1 638
C．1 920 D．2 486
解析：8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到1本，若三名同学所得书的数量各不相同，则有(1，2，5)，(1，3，4)两种分组的方法，由于甲同学分到的书比乙同学多，当乙分到1本时，不同的分配方案种数为C(C＋C)A＝896，当丙分到1本时，不同的分配方案种数为C(C＋C)＝448，故不同的分配方法种数为896＋448＝1 344，故选A．
答案：A
[思维升华]　对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题．
[对点练]　3．(2021·山东德州二模)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种
C．80种 D．60种
解析：首先安排甲场馆的3名同学，即C＝20；再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即C＝3；最后2名同学安排到丙场馆，即C＝1．
所以不同的安排方法有：20×3×1＝60种．
答案：D
　备考第3步——拓展创新应用，培优学科素养
其他排列组合模型
题型一　定序问题
在有些排列问题中，某些元素的先后顺序是固定的(但不一定相邻)．
解决这类问题的基本方法有两个：一是等几率法，若有(m＋n)个元素排成一列，其中有m个元素之间的顺序固定不变，则将这(m＋n)个元素排成一列，共有A种不同的排法，然后任取一个排列，固定其他的n个元素的位置不动，把这m个元素变换顺序，共有A种排法，其中只有一个排列是我们所需要的排列，因而共有 eq \f(A,A) 种不同的排法．
类似地还可以推广到一般情形，如有(m＋n＋k)个元素排成一列，其中有m个元素之间的排序一定，而另外k个元素之间的顺序也一定，则共有 eq \f(A,AA) 种不同的排法，即第二种方法“逐步插空法”．
【例1】　(一题多法)有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有______种(用数字作答)．
解析：法一(等几率法)　7名学生的排列共有A种，其中女生的排列共有A种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有 eq \f(A,A) ＝A＝840(种)排法．
法二(逐步插空法)　设想有7把椅子让4名男生就坐，共有A种方法，3名女生从左到右，从矮到高的排列只有一种，故有A＝840(种)排法．
答案：840
题型二　圆形排列问题
n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中．
【例2】　小明及朋友小张去参加一个聚会，8个人围着圆桌随机坐下，每个人坐在任何一个位置的概率相等．在这种情况下小明同其朋友坐在一起所有可能情况有________种(用数字作答)．
解析：小明及其朋友坐在一起时总的坐法可以这样考虑：第一步：将除去小明及其朋友外6个人排好，有(6－1)！种坐法；第二步，把小明及其朋友作为一个整体插到6个人形成的空隙中，6个人围在一起时，会形成6个空隙，故有6种情况．第三步，小明及其朋友内部可以全排列．由分步乘法计数原理，小明及其朋友坐在一起的坐法有 (6－1)！×6×A＝1440种．
答案：1440
题型三　“隔板法”解分组与分配问题
“隔板法”也称“挡板法”，是解决相同元素的分配问题的常用方法．
(1)凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”解：
①当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N＝C种，即给n个元素的中间n－1个空格中加入m－1个“隔板”．
②任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有N＝C种，即将n个相同元素与m－1个相同“隔板”进行排序，在n＋m－1个位置中选m－1个安排“隔板”．
【例3】　将组成篮球队的10个名额分配给7所学校，每校至少1名，问名额的分配方式共有多少种？
[思维点拨]“名额”是不加区分的，相当于将10个相同的元素分配到7个不同的单位，每个单位至少一个，求分配的种数，因此可考虑分类(不均匀分配)处理或用“隔板法”．
解析：法一　问题等价于将排成一行的10个相同元素分成7份的方法数，相当于在10个相同元素的9个间隔(除去两端)中插入6块隔板分成7份，共有C＝84(种)．
所以名额分配方式有84种．
法二　由于每校至少1名，先将每个学校分配1名，还剩下3名，将这3名分配给7所学校，共有以下三类分法：
全部分给一校有C种(此时该校共有4名，另外六校各1名)；分给两校，一校2名，另一校1名有C·C(或列式为A)种；均分给三校有C种．
由分类加法计数原理知共有分配方式C＋C·C＋C＝84(种)．
[对点练]　1．小明去文具店购买中性笔，现有黑色、红色、蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元．小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有(　　 )
A．10种 B．15种
C．21种 D．28种
解析：根据题意，小明只有6元钱且要求全部花完，则小明需要买6支中性笔，
将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，6个小球、2个挡板共8个位置，在其中任选6个安排小球，剩下2个安排挡板，有C＝28种．
答案：D
2． 7名同学坐圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有________种．
解析：把任意一名同学固定在任意一个位置，再把其他6名同学往其他位置里全排列，有A种方法，则一共有A＝720种方法．
答案：720
3．某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
解析：添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有 eq \f(A,A) ＝720(种)．
答案：720

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