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圆锥曲线
一、椭圆及其性质
第一定义 平面内一动点P与两定点F1、F2距离之和为常数(大于 F1F2 )的点轨迹
MF1 = MF第二定义 平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹 2 = e
d1 d2
焦点 焦点在x轴上 焦点在 y轴上
y y y= a
2
B2 c
2 2 A
x=- a b a
2
c x=
a
c F1a
图形 A b1 F c1 O F2 A2 x
B1 c B2 x
B1 F2 a2A1 y=- c
x2 y2 y2 x2标准方程 2 + 2 = 1 a> b> 0 2 + 2 = 1 a> b> 0a b a b
范围 -a≤ x≤ a且-b≤ y≤ b -b≤ x≤ b且-a≤ y≤ a
顶点 A1 -a,0 ，A2 a,0 ，B1 0,-b ，B2 0,b A1 0,-a ，A2 0,a ，B1 -b,0 ，B2 b,0
轴长 长轴长= 2a，短轴长= 2b，焦距= F1F 2 22 = 2c，c = a - b2
焦点 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0,-c 、F2 0,c
焦半径 PF1 = a+ ex0， PF2 = a- ex0 PF1 = a- ey0， PF2 = a+ ey0
焦点弦 左焦点弦 |AB| = 2a+ e(x1+ x2)，右焦点弦 |AB| = 2a- e(x1+ x2).
c 2
离心率 e= a = 1-
b
2 0< e< 1a
a2x=± y=± a
2
准线方程 c c
x x y0y x x y0y
切线方程 0 02 + 2 = 1 2 + 2 = 1a b b a
2
通径 过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长 AB = 2ba (最短焦点弦 )
(1)由定义可知：|PF1|+|PF2| = 2a，周长为：2a+ 2c
(2)焦点三角形面积：S 2 θ△F1PF = b × tan2 2
(3)当P在椭圆短轴上时，张角 θ最大，cosθ≥ 1- 2e2
2 2
焦点 (4)焦长公式： PF1 = b ba- 、 MF =ccosα 1 a+ ccosα
三角形
MP = 2ab
2 2ab2 y P
a2- 2 =c cos2α b2+ c2sin2α θ
( + ) α
β
sin α β
(5)离心率：e= F1 O F2 x
sinα+ sinβ M
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二、双曲线及其性质
第一定义 平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于 F1F2 ）的点轨迹
MF1 = MF第二定义 平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹 2 = e
d1 d2
焦点 焦点在x轴上 焦点在 y轴上
y y
F 虚轴1
虚轴 a b 实轴
图形
F c1 F2 x x
F2
实轴
x2 - y
2
= y
2 2
标准方程 2 2 1 a> 0,b> 0 -
x = 1 a> 0,b> 0
a b a2 b2
范围 x≤-a或x≥ a，y∈R y≤-a或 y≥ a，x∈R
顶点 A1 -a,0 、A2 a,0 A1 0,-a 、A2 0,a
轴长 虚轴长= 2b，实轴长= 2a，焦距= F1F2 = 2c，c2= a2+ b2
焦点 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0,-c 、F2 0,c
焦半径 |PF1| = a+ ex0，|PF2| =-a+ ex0左支添“-”
2
离心率 e= ca = 1+
b
2 e> 1a
2 2
准线方程 x=± ac y=±
a
c
渐近线 y=± b x y=± aa b x
x x y0y x x y0y
切线方程 0 - = 1 02 2 2 - 2 = 1a b b a
2
通径 过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长 AB = 2ba (最短焦点弦 )
(1)由定义可知：|PF1|-|PF2| = 2a
(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；
(3)焦点三角形面积：S 2 θ△F1PF = b ÷ tan = c y 2 2
F F sin(α+ β)
(4) 1 2离心率：e= - =
sinθ =
PF1 PF2 sinα- sinβ sinα- sinβ
焦点
y
三角形
P
θ
α β
F1 F2 x
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三、抛物线及其性质
定义 平面内与一个定点F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．
方程 y2= 2px p> 0 y2=-2px p> 0 x2= 2py p> 0 x2 =-2py p> 0
y y y y
F
y= p
图形 2
F x F x p x x
p y=-
x=- p2 x=
2
2 F
顶点 0,0
对称轴 x轴 y轴
p
焦点 F 2 ,0 F -
p , p p2 0 F 0, 2 F 0,- 2
=- p = p p p准线方程 x 2 x 2 y=- 2 y= 2
离心率 e= 1
范围 x≥ 0 x≤ 0 y≥ 0 y≤ 0
切线方程 y0y= p x+ x0 y0y=-p x+ x0 x0x= p y+ y0 x0x=-p y+ y0
通径 过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦 AB = 2p(最短焦点弦 )
AB为过 y2= 2px p> 0 焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，倾斜角为 α.则：
( ) p p1 AF = x1+ 2 BF = x2+ 2 AB = x1+ x2+ p,
( ) = p
2
2 x 21x2 4 y1y2=-p
( p p3) AF = - BF
= 1 + 1 = 2
1 cosα 1+ cosα |FA| |FB| P
2
(4) AB = 2p S p
sin2α △AOB
=
2sinα
AB为过 x2= 2py(p> 0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，倾斜角为 α.则：
( p p1) AF = BF =
1- sinα 1+ sinα
(2) 2p AB = S = p
2
cos2α △AOB 2cosα
焦点弦
( AF 3) = λ，则：sinα= λ- 1
BF λ+ 1
y A y
A
F
B
α α
O F x O x
B
x=- p2
y2= 2px(p> 0) y2= 2px(p> 0)
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四、圆锥曲线的通法
y y
M yP P
F1 F2 F1 F2
O x O F x O x
P
椭圆 双曲线 抛物线
点差法与通法
1、圆锥曲线综述：
联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；
弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.
★ 2、直线与圆锥曲线的位置关系
（1）直线的设法：
1 若题目明确涉及斜率，则设直线：y= kx+ b，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；
2 若题目没有涉及斜率或直线过 (a,0)则设直线：x=my+ a,可避免对斜率进行讨论
（2）研究通法：联立 y= kx+ b 得：ax2+ bx+ c= 0F(x,y) = 0
判别式：Δ= b2 4ac,韦达定理：x b c1+ x2= a，x1x2= a
（3）弦长公式： AB = (x - x )21 2 + (y 2 21- y2) = 1+ k |x1- x2|
= (1+ k2) [(x1+ x )22 - 4x1x2] = 1+ 12 (y1+ y 22) 4yk 1y2
3、硬解定理
2 y2
设直线 y= kx+ φ与曲线 xm + n = 1相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)
y= kx+ φ由： ,可得：(n+mk2)x2+ 2kφmx+m(φ2-n) = 0nx2+my2=mn
2
判别式：△= 4mn( + 2- 2) + = -2kmφn mk φ 韦达定理：x1 x2 + 2 , =
m(φ -n)
x1xn mk 2 n+mk2
由：|x 21- x2| = (x1+ x2) - 4x1x2,代入韦达定理：|x1- x2| = △n+mk2
★ 4、点差法：
若直线 l与曲线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN中点，MN的斜率为 kMN，
x2 + y
2 2
则：在椭圆 2 2 = 1(a> b> 0) ,
y
中 有 k 0 b
a b MN x
= 2 ;
0 a
x2 y
2
= ( > > ) , y在双曲线 1 a b 0 中 有 k 0 = b
2
a2 b2 MN x
；
0 a2
在抛物线 y2= 2px(p> 0)中 ,有 kMN y0= p.
(椭圆 )
设M、N两两点的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2)，
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x2 y2 1 1 ya2 + b2 = 1, (1) N
则有 x2 y22 2
2 + = 1. (2) Pa b2
F1 O F2
( ) ( ) x
2
1 x2 y2 y2 x1 2 ，得 2 1 2
a2
+ = 0.
b2 M
y y y + y b2∴ 2 1 2 1x x x + x = 2 .2 1 2 1 a
∵ = y2 y1 y1+ y2 2y y y b
2
又 kMN x2 x ,1 x + x = 2x = x .∴ kMN x = 2 .1 2 a
圆锥曲线的参数方程
1、参数方程的概念
x= f(t)
在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数 t的函数 y= g(t)
并且对于 t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x,y)都在这条曲线上，该方程
就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x,y的变数 t叫做参变数，简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
※ 2、直线的参数方程
π x= x + tcosα( ) 01 过定点P(x0,y0)、倾斜角为 α(α≠ 2 )的直线的参数方程 (t为参数 )y= y0+ tsinα
(2)参数 t的几何意义：
参数 t表示直线 l上以定点M0为起点，任意一点M (x,y)为终点的有向线段的长

度再加上表示方向的正负号，也即 |M0M | = |t|， y
|t|表示直线上任一点M到定点M0的距离. M1
当点M在M0上方时，t> 0；
α
当点M在M0下方时，t< 0； O t M0 x
当点M与M0重合时，t= 0；
x= x
( ) = ( ) 0+ tcosα3 直线方程与参数方程互化：y yo tanα x xo (t为参数 )y= y0+ tsinα
x= x0+ at(4)直线参数方程： (t为参数 )，y= y0+ bt
当 a2+ b2= 1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.
x= x + a 0 2 2 t2 2 a + b当 a + b ≠ 1时，将参数方程化为 然后在进行计算.y= y0+ b ta2+ b2
★ 3、圆的参数方程
x= a+ rcosθ
（1）圆心 (a,b)，半径 r的圆 (x- a)2+ (y- b)2= r2参数方程 (θ为参数 )；y= b+ rsinθ
x= rcosθ
特别：当圆心在原点时，半径为 r的圆 x2+ y2= r2的 y 参数方程为： (θ是y= rsinθ
参数 ). P(x,y)
r
(2)参数 θ的几何意义：θ表示 x轴的正方向到圆心 α
x
和圆上任意一点的半径所成的角.
(3)消参的方法：利用 sin2θ+ cos2θ= 1，
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可得圆方程：(x- a)2+ (y- b)2= r2
★ 4、椭圆的参数方程
x2 y2 x= acosφ(1)椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的参数方程为 (φ为参数 )；a b y= bsinφ
y2 x2 x= bcosφ椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的参数方程为 (φ为参数 )；a b y= asinφ
(2)参数 θ的几何意义：参数 θ表示椭圆上某一点的离心角. y Q
P
如图所示，点P对应的离心角为 θ=∠QOx(过P作 α
O
PQ⊥ x轴，交大圆即以 2a x为直径的圆于Q)，
切不可认为是 θ=∠POx.
5、双曲线的参数方程
2 y2 x= asecφ
（1）双曲线 x2 - 2 = 1(a> b> 0)的参数方程 (φ为参数 )；secφ=
1
a b y= btanφ cosφ
y2
双曲线 - x
2 x= bcotφ
2 2 = 1(a> b> 0)的参数方程 (φ为参数 )；cscφ=
1
a b y= acscφ sinφ
（2）参数 θ的几何意义：参数 θ表示双曲线上某一点的离心角.
※ 6、抛物线的参数方程
x= 2pt2
（1）抛物线 y2= 2px参数方程 (t为参数，t=
1
tanα )；y= 2pt
（2）参数 t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. t= 1kOP
仿射变换与齐次式
1、仿射变换：
在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.
※ 2、椭圆的变换：
椭圆 b2x2+ a2y2= a2b2
x
= x x= x x b
a
= ax x=

b x
变换内容 y = a y y= b y y b a = y y= y
x2 2 2 2 2 2圆方程 + y = a x + y = b
图示 y y y y
C B C
C B C
B
B
O x O x
O x O x AA
A
A
a b
点坐标 A(x0,y0)→A'(x0, b y0) A(x0,y0)→A'( a x0,y0)
k' = ab k，由于 kA'C ' kB'C '= 1． k' =
a
b k，由于 kA'C ' kB'C '= 1．
斜率变化 2 2
kAC k bBC= a k
b b
A'C ' a kB'C '= 2 kAC kBC=
b b b
a a
kA'C ' a kB'C '= a2
则AB= 1+ k2 x1- x2
弦长变化 A'B' = 1+ k'2 x1- x2
= 1+ ( a )2b k
2 x1- x2
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S b a△ABC= a S△A'B'C ' (水平宽不变，铅 S△ABC= b S△A'B'C '(水平宽扩大，铅面积变化
锤高缩小) 垂高不变)
2 k 2 c2x c2y
3、中点弦问题，k k = b ，中垂线问题 OP b 0 0OP AB a2 k = a2 ，且 xM= 2 yN=- 2 ，MP a b
拓展 1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C '为 120°的等
腰三角形；△A'B'C '为等边三角形；
拓展 2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B'
4、面积问题：
2 y2 2
（1）若以椭圆 x2 +
b
a b2
= 1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且 kOA kOB= ,a2
则经过仿射变换后 kOA' kOB'= 1，所以S△AOB为定值.
x2 y2 2（2）若椭圆方程 2 + 2 = 1上三点A，B，M，满足：① kOA k
b
a b OB
=
a2
ab ②S△AOB= 2 ③OM = sinαOA+ cosαOB α∈ 0,
π
2 ，三者等价
※ 5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）
（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA
和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.
（2）步骤：①将公共点 平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.
②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny= 1
③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny= 1，构造出齐次式.
④在齐次式中，同时除以 x2,构建斜率 k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.
圆锥曲线考点归类
(一 )条件方法梳理
1、椭圆的角平分线定理
x2 y2（1）若点A、B是椭圆 2 + = 1(a> b> 0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴a b2
上一定存在一个点M，当仅当则 xM x = a2N 时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；
2 y2
（2）若点A、B是椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴a b
上一定存在一个点M，当仅当则 yM yN= b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；
※ 2、关于角平分线的结论：
若直线AO的斜率为 k1,直线CO的斜率为 k2,EO平分∠AOC
则有：k1+ k2= tanα+ tan(π- α) = 0
角平分线的一些等价代换条件：作 x轴的对称点、点到两边的距离相等.
3、四种常用直线系方程
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(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为 y- y0= k(x- x0) (除直线 x= x0) ,其中 k是待定
的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x- x0) +B(y- y0) = 0,其中A,B是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线 l1 : A1x+B1y+C1= 0 ,l2 : A2x+B2y+C2= 0 的交点的直线系方程为
(A1x+B1y+C1) + λ(A2x+B2y+C2) = 0(除 l2)，其中 λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线 y= kx+ b中当斜率 k一定而 b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax+By+
C= 0平行的直线系方程是Ax+By+ λ= 0(λ≠ 0)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C= 0(A≠ 0，B≠ 0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+ λ= 0,λ是参变
量．
4、圆系方程
(1)过直线 l :Ax+By+C= 0与圆C : x2+ y2+Dx+Ey+F= 0的交点的圆系方程是 x2+ y2+Dx+Ey+
F+ λ(Ax+By+C) = 0,λ是待定的系数．
(2)过圆C : x21 + y2+D1x+E1y+F1= 0与圆C 22 : x + y2+D2x+E2y+F2= 0的交点的圆系方程是 x2+ y2+
D 2 21x+E1y+F1+ λ(x + y +D2x+E2y+F2) = 0,λ是待定的系数．
★ (二 )圆锥曲线过定点问题
1、直线过定点的背景：
（1）直线过定点模型：A,B是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中 α,β分别为MA,MB的倾斜角，则：

①、MA MB为定值 直线AB恒过定点；
②、kMA kMB为定值 直线AB恒过定点；
③、α+ β= θ(0< θ< π) 直线AB恒过定点.
（2）抛物线中直线过定点：A,B是抛物线 y2= 2px(p> 0)上的两动点，α,β分别为OA,OB的倾斜角，则：
OA⊥OB k πOA kOB=-1 α- β = 2 直线AB恒过定点 (2p,0).
x2 y2（3）椭圆中直线过定点模型：A,B是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上异于右顶点D的两动点，其中 α,β分别a b
为DA,DB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：
2
DA⊥DB kDA kDB=-1 α- β = π2 直线AB恒过定点 (
ac
2+ 2 ,0)a b
2、定点的求解方法：
1 含参形式简单的直线方程，通过将直线化为 y- y0= k(x- x0)可求得定点坐标 (x0,y0)
2 含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.
h(x,y) = 0
变换主元法：将直线化为 h(x,y) + λf(x,y) = 0,解方程组： 可得定点坐标.f(x,y) = 0
eg :直线方程（：2m+ 1）x+ (m- 5)y+ 6= 0,将m看作主元，按照降幂排列（：2x+ y）m
+ = 62x y 0 x=-
+x- 5y+ 116= 0,解方程组： 6 12 ,解得： ,求得直线过定点（- , ）.x- 5y+ 6= 0 y= 12 11 1111
3、关于以AB为直径的圆过定点问题：
(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.
圆的直径式方程：（x- x1）(x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0
(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，
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该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为 0证明点恒在圆上.
★ (三 )圆锥曲线面积问题
1、面积的求解方法：
（1）S 1△ABC= 2 MN d，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.
（2）S 1△ABC= 2 ×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.
（3）S 1△AOB= 2 x1y2- x2y1
例题1.在平面直角坐标系 xOy中，已知点O 0,0 ，A x1,y1 ，B x2,y2 不共线，
证明：△AOB的面积为S 1△AOB= 2 x1y2- x2y1 .
2、面积中最值的求解
2
(1)f(x) = αx + βx+ φx+n 型：令 t= x+n x= t-n进行代换后裂项转化为：y= at+
b
t
(2)f(x) = x+n2+ + 型：先在分母中配出分子式 f(x) =
x+n
αx βx φ α(x+n)2+ λ(x+n) + υ
令 t= x+n，此时：y= t2+ + ，分子分母同时除 t，此时 y=
1
+ υ + ，再利αt λt υ αt t λ
用对勾函数或不等式分析最值.
( ) ( ) = αx+ β3 f x 型：令 t= x+n x= t2+ -n进行代换后裂项，可转化为：y= at+
b
x n t
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五、椭圆的二级结论
1. PF1 + PF2 = 2a
2 y2
2.标准方程 x2 + = 1a b2
PF
3. 1

d = e< 11
4.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2
(或A1).
x2 + y
2
9.椭圆 2 2 = 1(a> b> 0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与 y轴平行的直线交椭圆于 Pa b 1、P2时
2 y2
A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
x - = 1.
a2 b2
2 y2 x x y y
10.若点P0(x0,y0)在椭圆 x2 + 2 = 1 a> b> 0 上，则在点P0处的切线方程是
0 0
a b a2
+ 2 = 1.b
2 y2
11.若P0(x0,y0)在椭圆 x + = 1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦P P 的直线方a2 b2 1 2 1 2
x x y y
程是 0 0
a2
+ 2 = 1.b
x2 + y
2 2
12.AB是椭圆 2 2 = 1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则 kOM kAB=-
b
2 .a b a
2 2 2 2
13.若P0(x0,y0)
y x x y y x y
在椭圆 x2 + 2 = 1内，则被PO所平分的中点弦的方程是
0 + 0 = 0 + 0 .
a b a2 b2 a2 b2
x2 y2 x2 y2( , ) x x y y14.若P0 x0 y0 在椭圆 2 + 2 = 1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是 2 + 2 =
0
2 +
0 .
a b a b a b2
x2 y215.若 PQ是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上对中心张直角的弦，则
1
2 +
1 = 1 + 12 2 2 (r1= |OP|,r =a b r1 r2 a b 2
|OQ|).
2 2
16.若椭圆 x2 +
y
2 = 1(a> b> 0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By= 1(AB≠ 0),则 (1)
1
2 +a b a
1 4 2 4 2
2 =A2+B2; (2)L=
2 a A + b B
b a2A2+ b2B2 .
第 10页 共 29页
2 2 2
17.给定椭圆C ：b2x2+ a2y2= a2 21 b (a> b> 0),C 2 22：b x + a2y2= a - b2+ 2 ab ,则a b
2 2 2 2
(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a - b a - ba2+ b2 x0,- a2+ yb2 0 .
(ii)对C2上任一点P (x 0,y 0)在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.
2 y2
18.设P(x ,y )为椭圆(或圆)C : x0 0 2 + 2 = 1(a> 0,. b> 0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PPa b 2
2
斜率存在，记为 k1, k2,则直线P1P2通过定点M (mx0,-my0) (m≠ 1)的充要条件是 k k =- 1+m1 2 1-m
b
a2
.
x2 y219.过椭圆 2 + 2 = 1(a> 0,b> 0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两a b
b2x
点，则直线BC有定向且 k 0BC= 2 (常数).a y0
2 y2
20.椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2= γ，则椭圆的a b
2
焦点三角形的面积为S = b2 γ γ γ△F PF tan 2 ，P ± a c2c - b2tan2 ,± b2 c tan 2 .1 2
2 y2
21.若P为椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2= α,∠PFa b 2F1= β，
β
则 a- ca+ c = tan
α
2 tan 2 .
2 y2
22.椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的焦半径公式：|MF1| = a+ ex0, |MF2| = a- ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M (xa b 0
,y0)).
2 y2
23.若椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当a b
2- 1≤ e< 1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项.
2 y2
24.P为椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)上任一点, F1, F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则 2a - |AF2| ≤a b
|PA|+|PF1| ≤ 2a+ |AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
x2 y2 2 2 225.椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)
(a - b )
上存在两点关于直线 l：y= k(x- x )对称的充要条件是 x2
a b 0 0
≤
a2+ b2 .k2
26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切
线垂直.
27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
x= acos 28.P是椭圆 = (a> b> 0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是 e
2= 1 .
y bsin 1+ sin2
2 y2 2 y2
29.设A,B为椭圆 x + = k(k> 0,k≠ 1)上两点，其直线AB与椭圆 x2 2 2 + 2 = 1相交于P,Q,则APa b a b
=BQ.
第 11页 共 29页
30.在 椭 圆 x
2 y2
2 + 2 = 1 中 ，定 长 为 2 m ( o < m ≤ a ) 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 m 2 =a b
x2 2
1- 2 + y2 a2cos2α+ b2sin2α ,其中 tanα=- bxay ,当 y= 0时, α= 90 . a b
2 y2
31.设 S为椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的通径，定长线段 L的两端点A,B在椭圆上移动，记 |AB| = l，Ma b
2
(x0,y0)是AB中点，则当 l≥ ΦS时，有 (x ) = a l 2 2 2 c0 max c - 2e c = a - b ,e= a ;当 l< ΦS时，有 (x0)max=
a
2b 4b
2- l2, (x0)min= 0.
2 y2
32.椭圆 x 2 2 2 2 2
a2
+ 2 = 1与直线Ax+By+C= 0有公共点的充要条件是A a +B b ≥C .b
(x- x 2 2
33.椭圆 0
) + (y- y0)2 2 = 1与直线Ax+By+C= 0有公共点的充要条件是A2a2+B2b2≥ (Axa b 0+
By0+C)2.
2 y2
34.设椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF1Fa b 2
中，记∠F1PF2= α,∠PF1F2= β,∠F sinα c1F2P= γ，则有 sinβ+ sinγ = a = e.
35.经过椭圆 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于
P1和P2，则 |P1A1| |P 22A2| = b .
2 y2
36.已知椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP⊥OQ.a b
(1) 1 1| + =
1 + 1 ;
OP|2 |OQ|2 a2 b2
2 2
(2)|OP|2+ |OQ|2的最小值为 4a b ;
a2+ b2
2 2
(3)SΔOPQ的最小值是 a b .a2+ b2
37.MN是经过椭圆 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的
弦，则 |AB|2= 2a|MN |.
38.MN是经过椭圆 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OP⊥MN，则
2 1 1 1
a| +MN | | |2 = 2 + .OP a b2
x2 y239.设椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0),M (m,o)或 (o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条a b
2
直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线 l：x= am
2
(或 y= bm )上.
40.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应
于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
第 12页 共 29页
41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，
A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
2 y2
42.设椭圆方程 x2 + 2 = 1,则斜率为 k(k≠ 0)的平行弦的中点必在直线 l：y= kx的共轭直线 y= k x上,a b
2
而且 kk =- b2 .a
2 y2
43.设A、B、C、D为椭圆 x2 + 2 = 1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为 α, β，直线AB与CD相a b
PA PB b2cos2β+ a2sin2β
交于P,且P不在椭圆上,则 = 2 2 + 2 2 . PC PD b cos α a sin α
2 y2
44.已知椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为a b
l，作 F 1、F 2 分别垂直 l 于 R、S，当 P 跑遍整个椭圆时，R、S 形成的轨迹方程是 x 2 + y 2 =
2 2 2
2 2 2= a y + b x x± c
2
a c y
a2y2+ b2 . x± c 2
45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于
E和F，又D为 l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.
x2 y246.过椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M ,N两点，弦MN的垂直平分线交a b
|PF|
x轴于P，则 | | =
e
2 .MN
2 2 2
47.设A(x1,y1) x +
y b x
是椭圆 2 = 1(a> b> 0)上任一点，过A作一条斜率为-
1 的直线 L，又设 d是原
a b2 a2y1
点到直线L的距离, r1, r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则 r1r2d= ab.
2 y2 2 y2
48.已知椭圆 x + x2 2 = 1(a> b> 0)和 2 + 2 = λ(0< λ< 1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四a b a b
点，则│AB│= |CD│.
2 y2
49.已知椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与 x轴相交于点a b
2 2 2 2
P(x ,0),则- a - b0 a < x <
a - b
0 a .
2 y2
50.设P点是椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2= θ，则a b
(1)|PF ||PF | = 2b
2
1 2 1+ cosθ .
(2)S 2 θΔPF F = b tan 2 .1 2
51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和
a2
AQ
n-m 2
分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN= 90 a-ma+m = b2(n+ a)2 .
第 13页 共 29页
x2 y252. L是经过椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离a b
心率,点P∈L，若∠EPF= α，则 α是锐角且 sinα≤ e或 α≤ arcsine (当且仅当 |PH | = b时取等号).
2 y2
53. L是椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈ L，e是离心率，∠EPF=a b
α，H是 L与X轴的交点 c是半焦距，则 α是锐角且 sinα≤ e或 α≤ arcsine (当且仅当 |PH | = abc 时取等
号).
2 y2
54. L是椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的准线，E、F是两个焦点，H是 L与 x轴的交点，点P∈ L，∠EPF=a b
α,离心率为 e，半焦距为 c，则 α为锐角且 sinα≤ e2或 α≤ arcsine2(当且仅当 |PH | = b a2+ c2c 时取等号).
x2 y255.已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆a b
2 2 2
左焦点F1连结起来，则 b2≤ |F1A| | | ≤
(2a - b )
F1B 2 (当且仅当AB⊥ x轴时右边不等式取等号，当且仅a
当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).
x2 y256.设A、B是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB= α,∠PBA= β,a b
∠BPA= γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
2
( )| | = 2ab |cosα|1 PA
a2- c2 .cos2α
(2)tanαtanβ= 1- e2.
2 2
(3)S 2a bΔPAB= 2- 2 cotγ.b a
2 2
57.设A、B是椭圆 x2 +
y
2 = 1(a> b> 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且 xA、xa b B的
横坐标 xA xB= a2，
(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；
(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB= 180 .
x2 + y
2
58.设A、B是椭圆 2 2 = 1(a> b> 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，a b
(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于 x轴对称)，且
∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标 xA、xB满足 x 2A xB= a ；
(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB= 180 ,则点A、B的横坐标满足 xA
x 2B= a .
59.设A,A 是椭圆 x
2 2
2 +
y = 1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P
a b2
x2 y2的轨迹是双曲线 2 - 2 = 1.a b
2 y2 2
60.过椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的左焦点 F作互相垂直的两条弦AB、CD则
8ab
2+ 2 ≤ |AB|+|CD| ≤a b a b
2(a2+ b2)
a .
第 14页 共 29页
x2 y261.到椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)两焦点的距离之比等于
a- c
a b b
(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆
(x± a)2+ y2= b2.
2 y2
62.到椭圆 x + = 1(a> b> 0)的长轴两端点的距离之比等于 a- c2 2 b (c为半焦距)的动点M的轨迹是a b
2 2
姊妹圆 x± ae + y
2= be .
x2 y263.到椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的两准线和 x轴的交点的距离之比为
a- c
b (c为半焦距)的动点的轨迹a b
2 2
是姊妹圆 x± a + y22 = b2 (e为离心率).e e
2 y2
64.已知P是椭圆 x 2 + 2 = 1(a> b> 0)上一个动点，A ,A是它长轴的两个端点,且AQ⊥AP,A Q⊥a b
A P，则Q点的轨迹方程是 x
2
+ b
2y2
2 4 = 1.a a
65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.
x2 y2 b2x66.设椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)长轴的端点为A,A ,P(x1,y1)是椭圆上的点过P作斜率为-
1
a b a2
的直
y1
线 l，过A,A 分别作垂直于长轴的直线交 l于M ,M ,则 (1)|AM ||A M | = b2. (2)四边形MAA M 面积的最
小值是 2ab.
2 y2
67.已知椭圆 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的右准线 l与 x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于a b
A、B两点,点C在右准线 l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中点.
(x- a)2 + y
2
68.OA、OB是椭圆 2 2 = 1(a> 0,b> 0)的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则 (1)直线ABa b
2ab2 ab2 2必经过一个定点 2+ 2 ,0 . (2)以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 x-a b a2+ b2
2 2
+ y2= aba2+ 2 (x≠ 0).b
( , ) (x- a)
2 y2
69.P m n 是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则 (1)直线AB必a b
2ab2 +m(a
2- b2) n(b2- a2)
经过一个定点 2+ 2 , 2+ 2 . (2)以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程a b a b
是
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
x- ab + a ma2+ b2 + -
b n = a [b +n (a - b )]y a2+ b2 (a2+ 2)2 (x≠m且 y≠n).b
70.如果一个椭圆短半轴长为 b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为 d1、d2，那么
(1)d1d 22= b ，且F1、F2在L同侧 直线L和椭圆相切.
(2)d 21d2> b ，且F1、F2在L同侧 直线L和椭圆相离，
(3)d1d 22< b ，或F1、F2在L异侧 直线L和椭圆相交.
x2 + y
2
71.AB是椭圆 2 2 = 1(a> b> 0)的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、a b
第 15页 共 29页
2 4y2
D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是 x2 + 2 = 1(y≠ 0).a b
2 2 2 2
72.设点P(x0,y x0)为椭圆 2 +
y
2 =
y
1(a> b> 0)的内部一定点，AB是椭圆 x2 + 2 = 1过定点P(x0,y0)a b a b
a2b2- (a2y2+ b2x2)
的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时 (|PA| |PB|) = 0 0max 2 .当弦ABb
2 2 2 2 2 2
垂直于长轴所在直线时, (|PA| | |) = a b - (a y0 + b x0)PB min 2 .a
73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.
75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+ c与 a- c.
76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a- c.
77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心率).(注 :在椭圆
焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. )
78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.
79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成
比例.
81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成
比例.
82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径
所在直线平行.
83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴
的长.
84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和
椭圆长轴为直径的圆的切点.
85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e.
86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.
87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.
88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦
点.
89.已知椭圆 x
2 y2
2 + 2 = 1(a> 0,b> 0) (包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线 y=
b
a x及 y=-
b
a xa b
第 16页 共 29页
的平行线，与 x轴于M ,N，与 y轴交于R,Q.,O为原点，则：(1)|OM |2+ |ON |2= 2a2；(2)|OQ|2+ |OR|2=
2b2.
90.过平面上的P点作直线 l : y= b1 a x及 l2 : y=-
b
a x的平行线，分别交 x轴于M ,N，交 y轴于R,Q. (1)
2 2
若 |OM |2+ | yON |2= 2a2，则P的轨迹方程是 x2 + 2 = 1(a> 0,b> 0). (2)若 |OQ|2+ |OR|2= 2b2，则P的a b
2 2
轨迹方程是 x2 +
y
2 = 1(a> 0,b> 0).a b
2 y2
91.点P为椭圆 x2 + 2 = 1(a> 0,b> 0) (包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P引 x轴、y轴的a b
平行线，交 y轴、x轴于M ,N，交直线 y=- ba x于Q,R，记ΔOMQ与ΔONR的面积为S1,S2，则：S1+S2=
ab
2 .
92.点P为第一象限内一点，过P引 x轴、y轴的平行线，交 y轴、x轴于M ,N，交直线 y=- ba x于Q,R，
2 y2
记△OMQ与△ONR的面积为S1,S ，已知S +S = ab2 1 2 2 ，则P的轨迹方程是
x
2 + 2 = 1(a> 0,b> 0).a b
2
93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为 2ba ，过焦点最长弦为长轴．
94.过原点最长弦为长轴长 2a，最短弦为短轴长 2b.
x2 y2 2 295.与椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)
y
有共焦点的椭圆方程为 x2+ + 2+ = 1 (a> b> 0，λ>-b
2)．
a b a λ b λ
y2 x2 y2 296.与椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)有共焦点的椭圆方程为 +
x = 1 (a> b> 0，λ>-b22+ 2+ )．a b a λ b λ
97.焦点三角形：椭圆上的点P (x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若 r1= |PF1|，r2
= |PF2|，∠F1PF2= θ，△PF1F2的面积为S，则
2 y2
在椭圆 x
a2
+ 2 = 1(a> b> 0)中：b
①当 r1= r2时，即点P为短轴端点时，θ最大；
r2+ r2- 4c2= 1 2 = r1+ r2
2- 2r1r2- 4c2cosθ 4b
2 2b2
2r1r2 2r
=
1r2 2r1r
- 1=
2 r
- 1
1r2
2b2 2b2- a2 b2- c2≥ - 1= =
r1+ r2
2
a
2 a2
2
当且仅当 r1= r2时，等号成立.
②S= 1 |PF sinθ 2 2 θ2 1||PF2|sinθ= c|y0| = 1+ cosθ b = b tan 2 ，当 |y0| = b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，
最大值为 bc；
③△PF1F2的周长为 2(a+ c)．
98.AB为过F的焦点弦，则 1 1 2aFA + FB = b2
x2 y299.已知椭圆 Γ : 2 + 2 = 1 a> b> 0 的左右焦点分别为F1、F2.椭圆 Γ在点P处的切线为 l，Q∈ l.且满a b
第 17页 共 29页
足∠AQF1= θ 0< θ< π2 ，则点Q在以C 0,±ccotθ 为圆心，
a 为半径的圆上.
sinθ
第 18页 共 29页
六、双曲线的二级结论
1. PF1 - PF2 = 2a
2 2
2.标准方程 x2 -
y
2 = 1a b
PF
3. 1

d = e> 11
4.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实
轴的两个端点.
6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.
x2 29.双曲线 2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与 y轴平行的直线交双曲线于P1、Pa b 2
2 y2
时A x1P1与A2P2交点的轨迹方程是 a2
+ 2 = 1.b
( , ) x
2
- y
2
= ( > , > ) x x y y10.若点P0 x0 y0 在双曲线 2 2 1 a 0 b 0 上，则在点P0处的切线方程是
0 - 0 = 1.
a b a2 b2
2 y2
11.若P0(x0,y0)在双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为Pa b 1、P2，则切点
x x y y
弦P1P2的直线方程是
0 - 02 2 = 1.a b
2 y2
12.若AB是双曲线 x2 - = 1(a> 0,b> 0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则 k a b2 OM
2
kAB= ba2 .
13.若P (x ,y )在双曲线 x
2
- y
2
= ( > x x y y x
2
0 0 0 1 a 0,b> 0)内，则被P 0 0 0a2 b2 0所平分的中点弦的方程是 2 -a b2 = a2
- y
2
0
b2
.
x2 y2 2 2( , ) - = ( > , > ) x - y = x0x14.若P0 x0 y0 在双曲线 2 2 1 a 0 b 0 内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 2 2 2 -a b a b a
y0y
2 .b
x2 - y
2
15.若PQ是双曲线 2 2 = 1(b> a> 0)上对中心张直角的弦，则
1
2 +
1
2 =
1 1
2 - 2 (r1= |OP|,r =a b r1 r 22 a b
|OQ|).
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x2 y216.若双曲线 2 - 2 = 1(b> a> 0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By= 1(AB≠ 0),则 (1)
1
a b a2
4 2 4 2
- 12 =A2+B2; (2)L=
2 a A + b B
b |a2A2- b2B2| .
2
17.给定双曲线C ：b2x2- a2y2= a2b2(a> b> 0),C ：b2x2- a2y2= a + b
2 2
1 2 2- 2 ab ,则a b
2 2 2 2
(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C 上一定点M a + b2 x ,- a + ba2- b2 0 a2- 2 yb 0 .
(ii)对C 上任一点P (x 2 0,y 0)在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.
2 y2
18.设P(x0,y0)为双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，a b
2
记为 k1, k2,则直线P1P2通过定点M (mx 1+m b0,-my0) (m≠ 1)的充要条件是 k1 k2= 1-m a2 .
2 y2
19.过双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> o)上任一点A(xa b 0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C
b2x
两点，则直线BC有定向且 k 0BC=- 2 (常数).a y0
2 y2
20.双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2= γ，则a b
γ b2 a 2双曲线的焦点角形的面积为S = b2cot = ，P ± c2+ b2cot2 γ ,± b γ△F PF 2 γ c 2 c cot 2 .1 2 tan 2
2 y2
21.若P为双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2= α,a b
∠ β βPF2F1= β，则 c- a α c- a αc+ a = tan 2 cot 2 (或 c+ a = tan 2 cot 2 ).
x2 y222.双曲线 2 - 2 = 1(a> 0,b> o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)a b
当M (x0,y0)在右支上时，|MF1| = ex0+ a, |MF2| = ex0- a.
当M (x0,y0)在左支上时，|MF1| =-ex0- a, |MF2| =-ex0+ a.
2 y2
23.若双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为Fa b 1、F2，左准线为 L，则当 1< e≤ 2 + 1时，可
在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离 d1与PF2的比例中项.
2 y2
24.P为双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上任一点, F1, F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则a b
|AF2|-2a≤ |PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.
x2 y225.双曲线 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上存在两点关于直线 l：y = k(x - x0)对称的充要条件是 x 2a b 0 >
(a2+ b2)2 a
a2- b2 2 k≠ 0且 k≠±k b .
26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必
与切线垂直.
第 20页 共 29页
27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直.
x= asec 28.P是双曲线 = (a> 0，b> 0)上一点，则点 P对双曲线两焦点张直角的充要条件是 e
2=
y btan
1
1- tan2 .
29.设A,B为双曲线 x
2 y2 2- = ( y
2
2 k a> 0, b> 0，k> 0, k≠ 1)上两点，其直线AB与双曲线
x - = 1相
a b2 a2 b2
交于P,Q,则AP=BQ.
2 y2
30.在双曲线 x2 - 2 = 1中，定长为 2m(m> 0)的弦中点轨迹方程为a b
21- x - y
2
a2cosh2t+ b2sinh2t ,cotht=- ay 2 2 bx ,x= 0时 t= 0，弦两端点在两支上a b
m2= x2 y2
- - 1 2 2 a2sinh2t+ b2cosh2t ，cotht=-
bx
ay ,y= 0时 t= 0，弦两端点在同支上a b
2 y2
31.设 S为双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的通径，定长线段 L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记a b
2
|AB| = l，M (x0,y0)是AB中点，则当 l≥ΦS时，有 (x0) a l 2 2 2 cmin= c + 2e c = a + b ,e= a ;当 l<ΦS时，有
(x0)min= a2b 4b
2+ l2.
x2 - y
2
32.双曲线 2 2 = 1(a> 0,b> 0)与直线Ax+By+C= 0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C 2.a b
(x- x )2 (y- y )2
33.双曲线 0 - 02 2 = 1(a> 0,b> 0)与直线Ax+By+C= 0有公共点的充要条件是A2a2-a b
B2b2≤(Ax0+By0+C)2.
2 2
34.设双曲线 x2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)的两个焦点为 F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在a b
△PF1F2中，记∠F1PF2= α,∠PF1F2= β,∠F F P= γ，则有 sinα c1 2 ± ( = = e.sinγ- sinβ) a
2 y2
35.经过双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交a b
于P1和P2，则 |P1A1| |P2A2| = b2.
36.已知双曲线 x
2 2
2 -
y
2 = 1(b> a> 0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ. (1)
1
a b |OP|2
+ 1 = 1
2
- 1 ; (2)|OP|2+ |OQ|2的最小值为 4a b
2 a2b2
|OQ|2 a2 b2 b2- ; (3)Sa2 ΔOPQ的最小值是 b2- 2 .a
2 y2
37.MN是经过双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心Oa b
且平行于MN的弦，则 |AB|2= 2a|MN |.
x2 238.MN是经过双曲线 2 -
y
2 = 1(a> b> 0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥a b
第 21页 共 29页
MN，则 2 1| | - | |2 =
1 - 1
a MN OP b2 a2
.
2 y2
39.设双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0),M (m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条a b
2
直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1,A2为两顶点)的交点N在直线 l：x= am 上.
40.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别
交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
41.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于
点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
2 y2
42.设双曲线方程 x2 - 2 = 1,则斜率为 k(k≠ 0)的平行弦的中点必在直线 l：y= kx的共轭直线 y= k xa b
2
上,而且 kk = b
a2
.
2 y2
43.设A、B、C、D为双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> o)上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为 α, β，直a b
|PA| |PB| b2cos2β- a2sin2β
线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则 | = .PC| |PD| b2cos2α- a2sin2α
2 y2
44.已知双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0),点P为其上一点F1,F2为双曲线的焦点，∠F1PF2的内(外)角平a b
分线为 l，作 F1、F2分别垂直 l于 R、S，当 P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是 x 2+ y 2=
2 2 2
2 2 2= a y - b x x± ca c y
2
a2y2- b2 x± c 2 .
45.设△ABC三顶点分别在双曲线 Γ上，且AB为 Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直
线AC、BC于E和F，又D为 l上一点，则CD与双曲线Γ相切的充要条件是D为EF的中点.
2 y2
46.过双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M ,N两点，弦MN的垂直a b
|PF|
平分线交 x轴于P，则 e| | = 2 .MN
2 2 2
47.设A( y b xx1,y1)是双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上任一点，过A作一条斜率为
1
2 的直线 L，又设 d是a b a y1
原点到直线L的距离, r1, r2分别是A到双曲线两焦点的距离，则 r1r2d= ab.
2 y2 2 y2
48.已知双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)和
x
2 - 2 = λ(0< λ< 1)，一条直线顺次与它们相交于A、B、a b a b
C、D四点，则│AB│= |CD│.
x2 - y
2
49.已知双曲线 2 2 = 1(a> 0,b> 0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与 x轴相交于a b
2 2 2 2
点P(x a + b a + b0,0),则 x0≥ a 或 x0≤- a .
第 22页 共 29页
2 2
50.设P点是双曲线 x2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)上异于实轴端点的任一点,Fa b 1、F2为其焦点记∠F1PF2= θ，
2b2则 (1)|PF1||PF2| = 1- cosθ . (2)S
2
ΔPF F = b cot θ2 .1 2
51.设过双曲线的实轴上一点B(m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结
AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN ：x = n 于 M ，N 两点 ,则 ∠MBN = 90 a-ma+m =
a2- n-m
2
b2(n+ .a)2
x2 y252. L是经过双曲线 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线的两个顶点，ea b
是离心率,点P∈L，若∠APB= α，则 α是锐角且 sinα≤ 1e 或 α≤ arcsin
1
e (当且仅当 |PF| = b时取等号).
2 y2
53. L是经过双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的实轴顶点A且与 x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线a b
与 x轴交点,点P∈ L，e是离心率，∠EPF= α，H是 L与X轴的交点 c是半焦距，则 α是锐角且 sinα≤ 1e
或 α≤ arcsin 1 abe (当且仅当 |PA| = c 时取等号).
54. L是双曲线 x
2 2
2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)焦点F1且与 x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与 x轴交点，Ha b
是L与 x轴的交点，点P∈L，∠EPF= α,离心率为 e，半焦距为 c，则 α为锐角且 sinα≤ 12 或 α≤ arcsin
1
e e2
(当且仅当 |PF1| = bc a
2+ c2时取等号).
2 y2
55.已知双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)，直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、a b
(2a2+ b2)2
B与双曲线左焦点F1连结起来，则 |F1A| |F1B| ≥ 2 (当且仅当AB⊥ x轴时取等号).a
2 y2
56.设A、B是双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，∠PAB= α,∠PBAa b
= 2ab
2|cosα|
β,∠BPA= γ，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1)|PA| = 2|a2- 2 2 | . (2)tanαtanβ= 1- e .c cos α
2 2
(3)SΔPAB= 2a b2+ 2 cotγ.b a
2 y2
57.设A、B是双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)、外部的两a b
点，且 xA、xB的横坐标 xA x 2B= a ，(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q两点，则∠PBA=
∠QBA；(2)若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则∠PBA+∠QBA= 180 .
2 y2
58.设A、B是双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)，外部的两a b
点，
(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，(若BP交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于 x
轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标 xA、xB满足 xA xB= a2；
(2)若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且∠PBA+∠QBA= 180 ,则点A、B的横坐标满
足 xA xB= a2.
第 23页 共 29页
59.设A,A 是双曲线 x
2 y2- = 1的实轴的两个端点，QQ 是与AA 2 2 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点a b
2 y2
P的轨迹是双曲线 x2 + 2 = 1.a b
2 y2
60.过双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的右焦点 F作互相垂直的两条弦 AB、CD,则 |AB |+|CD| ≥a b
8ab2
| 2- 2| a≠ ba b ；
|AB|+|CD| ≥ 2c
2
a = 4a a= b
2 y2
61.到双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)两焦点的距离之比等于
c- a
b (c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹a b
圆 (x± ec)2+ y2= (eb)2.
2 y2
62.到双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的实轴两端点的距离之比等于
c- a
b (c为半焦距)的动点M的轨a b
迹是姊妹圆 (x± c)2+ y2= b2.
63.到双曲线 x
2 y2
2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的两准线和 x轴的交点的距离之比为
c- a
b (c为半焦距)的动点的a b
轨迹是姊妹圆 (x± a)2+ y2= b
2
e (e为离心率).
2 y2
64.已知P是双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上一个动点，A ,A是它实轴的两个端点,且AQ⊥AP,A Qa b
2 2 2
⊥ b yA P，则Q点的轨迹方程是 x2 - 4 = 1.a a
65.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.
2 y2 2
66.设双曲线 x2 - 2 = 1(a>
b x
0,b> 0)实轴的端点为A,A ,P(x1,y1)是双曲线上的点过P作斜率为 1a b a2y1
的直线 l，过A,A 分别作垂直于实轴的直线交 l于M ,M ,则
(1)|AM ||A M | = b2.
(2)四边形AMA M 面积趋近于 2ab.
2 y2
67.已知双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的右准线 l与 x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲a b
线相交于A、B两点,点C在右准线 l上，且BC⊥ x轴，则直线AC经过线段EF的中点.
(x- a)2 2
68.OA、OB是双曲线 2 -
y
2 = 1(a> 0, b> 0,且 a≠ b)的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则a b
2
(1)直线AB必经过一个定点 2ab2- 2 ,0 . (2)以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是b a
x- ab
2 2 2 2
b2- a2 + y
2= ab2- 2 (除原点)。b a
2 2
69.P( (x- a) ym,n)是双曲线 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则 (1)直线a b
2ab2 -m(b
2+ a2) n(a2+ b2)
AB必经过一个定点 2- 2 , 2- 2 . (2)以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨b a b a
第 24页 共 29页
迹方程是
ab2- a2m 2 b2n 2 2 4 - + - = a [b +n
2(a2+ b2)]
x 2- 2 yb a b2- a2 (b2- 2)2 (除P点).a
70.如果一个双曲线虚半轴长为 b，焦点F1、F2到直线 L的距离分别为 d 21、d2，那么 (1)d1d2= b ，且F1、F2在
L异侧 直线 L和双曲线相切,或 L是双曲线的渐近线. (2)d1d 22> b ，且F1、F2在 L异侧 直线 L和双曲
线相离，(3)d d < b21 2 ，或F1、F2在L同侧 直线L和双曲线相交.
x2 - y
2
71.AB是双曲线 2 2 = 1(a> 0,b> 0)的实轴，N是双曲线上的动点，过N的切线与过A、B的切线交a b
2 4y2
于C、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是 x2 - 2 = 1(y≠ 0).a b
2 y2
72.设点P(x0,y0)为双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的内部 ( (含焦点的区域) )一定点，AB是双曲线过a b
定点P(x0,y0)的任一弦.
( ) ≥ (b
2x2- a2y2) - a2b2
1 如 a b,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时 (|PA| |PB|) 0 0min= .a2
(b2x2- a2y2) - a2b2(2)如 a< b,则当弦AB平行(或重合)于双曲线实轴所在直线时, (|PA| |PB|) = 0 0min b2 .
73.双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.
74.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.
75.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值 a+ c与 c- a.
76.双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值 c- a.
77.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心率).注 :在双
曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.
78.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.
79.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
80.双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距
离成比例.
81.双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线
段成比例.
82.双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦
半径所在直线平行.
83.双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实
半轴的长.
84.双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆
和双曲线实轴为直径的圆的切点.
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85.双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e.
86.双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.
87.双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.
88.双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过
两焦点.
89.已知双曲线 x
2 2
2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)上有一点P，过P分别引其渐近线的平行线，分别交 x轴于M ,a b
N，交 y轴于R,Q，O为原点，则：(1)|OM | |ON | = a2；(2)|OQ| |OR| = b2.
90.过平面上的P点作直线 l b b1 : y= a x及 l2 : y=- a x的平行线，分别交 x轴于M ,N，交 y轴于R,Q. (1)
2 2
若 |OM | |ON | = a2 y，则P的轨迹方程是 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0). (2)若 |OQ| |OR| = b2，则P的轨迹方a b
2 y2
程是 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0).a b
2 y2
91.点P为双曲线 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)在第一象限的弧上任意一点，过P引 x轴、y轴的平行线，交 ya b
轴、x轴于M ,N，交直线 y=- ba x于Q,R，记ΔOMQ与ΔONR的面积为S1,S2，则：|S1-S2| =
ab
2 .
92.点P为第一象限内一点，过P引 x轴、y轴的平行线，交 y轴、x轴于M ,N，交直线 y=- ba x于Q,R，
2 y2
记ΔOMQ与ΔONR的面积为 S , S ，已知 |S - S | = ab1 2 1 2 2 ，则P的轨迹方程是
x
2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)或a b
y2 - x
2
= 1(a> 0,b> 0)
b2 a2
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七、抛物线的二级结论
已知抛物线 y2= 2px，(p> 0) p，焦点为F 2 ,0
p
；准线为 l：x = - 2 ，AA 1 l，BB 1 l；A x1,y1 ，
B x2,y2 ，x1≠
p
x2为抛物线上两点，直线AB过焦点 F，倾斜角为 α，方程可看为 y= k x- 2 .P，Q x3,y3
分别是A1B1，AB的中点，PQ交抛物线于点M；
y
l
A1 A
P M Q
α
K O J F H x
B1 B
1. AF = x1+
p p
2 ， BF = x2+ 2 ， AB = x1+ x2+ p
p 2p
2. AB = x1+ x2+ p= 2 x3+ 2 = sin2α
3.以AB为直径的圆与准线 l相切
4.∠APB= 90°
5.∠A1FB1= 90°
6.PF= 12 A1B1
7.AP垂直平分A1F
8.AP平分∠A1AF
9.PF⊥AB
p p
10. AF = - ， BF =1 cosα 1+ cosα
11. 1 + 1 = 2
AF BF p
12.在A点处的切线为 yy1= p x+ x1
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13.AP是切线，切点为A
14.过抛物线准线上任一点P作抛物线的切线，则过两切点D1、D2的弦必过焦点;并且PD1 PD1.
15.A,O,B1三点共线；B,O,A1三点共线
2
16. y1y2=-
p
p2；x1x2= 4
17. AB = x1+
2p
x2+ p= sin2α
p2
18. S△AOB= 2sinα；
S2 p 3
19. △AOB =
AB 2 (定值)；
2p
20. kAB= y1+ y2
y y
21. tanα= 1 = 2
x p1- 2 x -
p
2 2
22. A B 21 1 = 4 AF BF ;
23.设CC 交抛物线于点M，则点M是CC 的中点
当抛物线 y2= 2px p> 0 的弦AB不过焦点，交 x轴于点D m,0 (m> 0)，设分别以A，B为切点的切线相
交于点P，则
24.点P在直线 x=-m上
25.设PC交抛物线于点M，则点M是PC的中点
26.设点 A、B在准线上的射影分别是 A1，B1，则 PA垂直平分 A1F，PB垂直平分 B1F，从而 PA平方
∠A1AF，PB平分∠B1BF
27.∠PFA=∠PFB

28. FA 2FB = PF
p p
12. AF = 1- cosα； BF = 1+ cosα；
13.BC 垂直平分B F；
14.AC 垂直平分A F；
16. AB ≥ 2p；
17. CC = 12 AB =
1
2 AA
+ BB ；
P
18.kAB= y ；3
C F = 121. 2 A
B .
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22.切线方程 y0y=m x0+ x
23、AB是抛物线 y2= 2px p> 0 焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1⊥ l，BB1⊥ l，过
A,B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有
结论 6PA⊥PB
结论 7PF⊥AB．
结论 8M平分PQ．
结论 9PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．

结论 10 FA FB = 2PF
结论 11 S 2ΔPAB min= p
二)非焦点弦与切线
思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，
也有与上述结论类似结果：
结论 12①xP=
y1y2 y1+ y2
2p ，yP= 2
结论 13PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．
结论 14∠PFA=∠PFB
结论 15点M平分PQ

结论 16 FA 2FB =PF
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