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定义域 值域 对应法则 奇偶性
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单调性 幂函数 指数函数 对数函数
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本章知识框架
第一节 定义域
拨云见日
定义域
定义域：一般地，设 A，B是非空的实数集，如果对于集合 A中的任意一个数 x，按照某种确定
的对应关系 f ，在集合. B中都有唯一确定的数 y和它对应，那么就称 f : A→B为从集合 A到集
合 B的一个函数，记作：y = f (x) , x A。其中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义
域。
1
柳暗花明
方法一：分母不为 0
g (x)
对于含分母的函数 y = ，要保证 f (x) 0。
f (x)
例 1. 求 f (x) 1= 的定义域。 (1 2x)(x +1)
答案： ( , 1)∪ 1, 1 1∪ ,+
2 2
解析： 观察到函数含分母，单独拎出分母，即 (1 2x)(x +1) 0。解得定义域为
( , 1) 1, 1 1 ∪ ∪ ,+ 。
2 2
方法二：偶次方根号内大于等于 0（非负）
对于含偶次方根的函数 y = 2n f (x)，要保证 f (x) 0。
例 2. 求 f (x) = 9 x2 的定义域。
答案： 3,3
解析： 观察到函数含偶次方根号，单独拎出根号内的内容，即9 x2 0，解得定义域为 3,3 。
2
方法三：零次幂底数不为 0
0
对于含零次幂的函数 y = f (x) ，要保证 f (x) 0。
0
例 3. 求 f (x) = (2x 1) 的定义域。
x x 1答案：
2
1
解析： 观察到函数含零次幂，单独拎出底数部分，即2x 1 0，解得定义域为 x x 。
2
方法四：对数的真数大于 0
对于含对数的函数 y = loga f (x) ，要保证 f (x) 0。
例 4. 求 y = log 22 (1 x )的定义域。
答案： x 1 x 1
解析： 观察到函数含对数，单独拎出真数部分，即1 x2 0，解得定义域为 x 1 x 1 。
方法五：对数作为分母时，真数需大于 0且不等于 1
1
对于对数作为分母的函数 y = ，要保证 f (x) 0且 f ( x) 1。
loga f (x)
例 5. 求 y 1= ( )的定义域。 log2 1 x2
答案： ( 1,0)∪ (0,1)
解析： 观察到函数分母含对数，单独拎出真数部分，即1 x2 0且1 x2 1，解得定义域为
( 1,0)∪ (0,1)。
3
方法六：正切函数
对于含正切函数的函数 y = tan f (x) ，要保证 f (x) + k (k Z )。
2
例 6. 求 f (x) = tan 2x + 的定义域。
3
k
答案： x x + (k Z )
12 2
解析： 观察到函数含正切函数，得2x + + k (k Z )，解得定义域为
3 2
x x k+ (k Z ) 。
12 2
方法七：组合函数定义域——求交集
若题目所给函数需要同时注意多个取值范围，应都求出取值范围以后再求交集。
例 7. 求 f (x) 2+ x= + x2 x 2的定义域。
1 x
答案： 2, 1
解析： 观察到函数既含分母，又有偶次方根式，依次考虑定义域。首先分母1 x 0，解得 x 1。
2+ x
再有 0，解得 2 x 1。又有 x2 x 2 0，解得 x 1或 x 2。最后求交集解得
1 x
定义域为 2, 1 。
4
方法八：具体函数根据题目要求求定义域
在保证函数有意义的情况下，有时题目所给函数还需要满足其他条件，根据题目要求求出满足条
件的定义域。
例 8. 若 f (x) = (x +1)(1 x )的图像恒在 x轴上方，则 f ( x)的定义域可以为（ ）
A. ( ,1) B. ( , 1)∪( 1,1) C. (1, 2) D. (1,+ )
答案： B
解析： 观察题目条件，题目中的函数图像恒在 x轴上方，即需要保证函数值恒大于0。
当 x 0时， f (x) = ( x +1)(1 x)，此时解得0 x 1；当 x 0时，
f (x) = ( x +1)(1+ x)，此时解得 x 1或 1 x 0，综合得定义域可以为
( , 1)∪( 1,1)，故选 B。
披荆斩棘
一.抽象函数求定义域
函数定义域是会随着括号内的形式发生变化的，比如 f (x) = x，定义域为 0,+ )。此时我们可
以得到 f (x +1) = x +1，解得定义域为 1,+ )。这是因为括号内的 x变成了 x+1，这时候 x+1
的值域需要满足 x本身的定义域，但由于外层函数形式并没有发生变化，之前的 x 0就会变成
x+1 0，定义域便会发生变化。
所以求抽象函数，即没有确定解析式的函数定义域时，要注意两个原则：
①定义域会随着内层函数的解析式变化；②外层函数定义域范围不会变。所以做题时可以先求括
号整体的范围，然后再求新的定义域。
5
例 1. 已知 f (x2 1)的定义域是 (0,3 ，求 f (2x 1)的定义域。
9
答案： 0,
2
解析： 先求括号整体的范围，由于 f (x2 1)的定义域是 (0,3 ，所以此时 x (0,3 ，解得括号内
9
范围 x2 1 ( 1,8 。括号范围不变，所以 2x 1 ( 1,8 ，解得 x 0, ，即 f (2x 1)的
2
9
定义域为 0, 。
2
二.根据定义域范围求参
若题目所给函数解析式含参，要根据让函数有意义或题目给的特殊条件得到参数范围，时常结合
二次函数根的个数解题。
例 2. 已知函数 f (x) = kx2 + 2kx +1的定义域为 R，求 k的取值范围。
答案： 0 k 1
解析： 观察到函数含偶次方根号，所以根号内需要满足 kx2 + 2kx+1 0。由于函数的定义域为R
k 0
即对于任意 x R，都有 kx2 + 2kx+1 0。显然当 k = 0时，不等式成立。当 k 0，有 ，
0
解得0 k 1，综上满足题目要求的参数 k的取值范围为0 k 1。
6
本章知识框架
第二节 值 域
拨云见日
值域：
一般地，设 A， B是非空的实数集，如果对于集合 A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应
关系 f ，在集合 B中都有唯一确定的数 y和它对应，那么就称 f : A→B为从集合 A到集合B的
一个函数，记作： y = f (x) , x A。与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合
f (x) x A 叫做函数的值域。
7
柳暗花明
方法一：观察法
对于常规的诸如一次函数，二次函数，以及简单的组合函数，可以直接通过函数的定义域以及
单调性判断函数值域。
1.一次函数： f ( x) = kx + b，当定义域为 R时，值域也为 R；
2.反比例函数： f (x) k= ，当定义域为 ( ,0)∪(0,+ )时，值域也为 ( ,0)∪(0,+ )；
x
4ac b2
3.二次函数： f (x) = ax2 + bx + c，当a 0，定义域为 R时，值域为 ,+ ；当a 0，
4a
4ac b2
定义域为 R时，值域为 , ；
4a
4.对勾函数：f (x) a= x + (a 0)，当定义域为 ( ,0)∪(0,+ )时，值域为
x ( , 2 a ∪ 2 a ,+ )；
a
5.飘带函数： f (x) = x + (a 0)，当定义域为 ( ,0)∪(0,+ )时，值域为 R。
x
例1. 已知函数 f (x) = x2 6x + 5，求 f ( x)在 2,6 上的值域。
答案： 4,5
解析： f ( x)为二次函数，且开口向上，图像对称轴为 x = 3，所以函数在 ( ,3 上单调递
减，在 3,+ )上单调递增。则 f ( x)在 2,6 上的最小值为 f (3) = 4，最大值为
f (6) = 5。即 f ( x)在 2,6 上的值域为 4,5 。
8
方法二：分离常数法
ax + b
常用于齐次分式函数求值域，对于 f ( x) = 形式的函数，
cx + d
ax b a (cx d ) b ad第一步：在分子中分离出分母部分，即将 + 转化为 + + ；
c c
ad
f ( x) ax + b
b
第二步：分离常数，此时函数 = 可变为 f (x) a= + c ；
cx + d c cx + d
第三步：根据反比例函数的性质判断原函数的值域。
f ( x) 2x + 3例2. 已知 = ，求 f ( x)的值域。
x +1
答案： ( , 2)∪(2,+ )
解析： 第一步，将2x+3转化为 2( x +1) +1；
2x + 3 2(x +1) +1 1
第二步，将 f ( x) = 转化为 f (x) = = 2+ ；
x +1 x +1 x +1
第三步，显然， f ( x)的值域为 ( , 2)∪(2,+ )。
9
方法三：分式函数构造对勾/飘带函数求值域
常用于不齐次的分式函数求值域，诸如分子一次，分母二次、或是分子二次，分母一次的分式
函数。此时需要将分子或者分母中的一次式进行整体换元，再约分构造对勾或飘带函数求值
域。
2x2 + x
例3. 已知函数 f (x) = ，求 f ( x)的值域。
x +1
答案： 2 2 3,+ )∪( , 2 2 3
2(t 1)2 + t 1
解析： 第一步：换元，令 x +1= t (t 0)，有 x = t 1，则 f (t ) = ；
t
2
( ) 2(t 1) + t 1
2
第二步，约分，可得 f t 2t 3t +1= = = 2t 1+ 3；
t t t
1
第三步，利用对勾函数性质判断函数值域，当 t 0时， f (t ) = 2t + 3 2 2 3，当
t
t 0时， f (t ) = 2t 1+ 3 2 2 3，
t
则函数 f ( x)的值域为 2 2 3,+ )∪( , 2 2 3 。
方法四：换元法求单根式函数值域
对于单调性不明确的单根式函数，可以将根式换元，结合二次函数判断值域。
例4. 已知函数 f (x) = x 2+ x，求 f ( x)的值域。
9
答案： ,+
4
解析： 令 2+ x = t (t 0)，有 x = t2 2，得函数 f (t ) = t 2 t 2，开口向上，在 t 0,+ )上，
1 9 9
最小值为 f = ，则 f ( x)的值域为 ,+ 。
2 4 4
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方法五：双根式函数求值域
1.对于 y = x + a + b x形式的函数，可采用平方的形式，得
y2 = (x + a + b x) + 2 x2 + (b a) x + ab = a + b+ 2 x2 + (b a) x + ab，先求 y2的值域，再判
断 y的值域；
2.对于 y = x + a x + b形式的函数，可采用分子有理化，得
( x + a x +b )( x + a + x +b )
y a b= = ，再判断 y的值域。
x + a + x +b x + a + x +b
例5. 已知 y = x 3 + 5 x，求函数值域。
答案： 2, 2
解析： 将函数平方，得 y2 = 5 3+ 2 x2 +8x 15 = 2+ 2 x2 +8x 15。因为函数的定义域为
3,5 ，所以 x2 +8x 15 0,1 ，则 y2 2, 4 ，得函数值域为 2, 2 。
例6. 已知 y = x 1 x 3，求函数值域。
答案： (0, 2
2
解析： 将函数分子有理化，得 y = 。显然分母在 3,+ )上单调递增，所以函数
x 1+ x 3
的值域为 (0, 2 。
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方法六：分段函数求值域
对于分段函数，在求值域的时候需要在每个分段的定义域上求值域，之后求各段值域的并集得
到原函数的值域，绝对值函数也可分类讨论去绝对值之后，用分段函数求值域的方法判断值
域。
例7. 已知函数 f (x) = x 1 + x + 2 ，求 f ( x)的值域。
答案： 3,+ )
解析： 先进行分类讨论，将绝对值函数写成分段函数的形式：
2x 1, x 2
f (x) = 3, 2 x 1 ，显然函数在 x 2时单调递减，在 x 1时单调递增，故 f ( x)的
2x +1, x 1
值域为 3,+ )。
披荆斩棘
一.根据值域求参
利用二次函数相关性质以及值域的求解方法，判断含参问题的参数取值范围。
例1. 若函数 y = x2 + ax + 4的值域为 0,+ )，求 a的取值范围。
答案： 4,+ )∪( , 4
解析： 要使函数值域为 0,+ )，需满足 g (x) = x2 + ax + 4的值域包含 0,+ )，根据二次函数的
性质有a2 16 0，解得a 4或a 4。
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二.反解法利用判别式求值域
针对分子与分母的最高次项均为二次的分式函数，除了用常数分离外，也可用反解法求函数值
ax2 +bx + c
域。如求解函数 y = 2 的值域。（注：尽量用于定义域为 R的分式函数） dx + ex + f
第一步：由于分式分母不为0，式子左右两边同乘分母 dx2 + ex + f ，得到
(dx2 + ex + f ) y = ax2 +bx + c；
第二步：由于函数中 x与 y存在对应关系，所以对于值域中的 y值，关于 x的一元二次方程一定
有解，反之则无解，整理关于 x的一元二次方程得到 (a dy) x2 + (b ey) x + c fy = 0；
第三步：利用判别式 0判断方程有解，便会得到关于 y的一元二次不等式，解不等式即得原
函数值域。
y x
2 +1
例2. 已知函数 = 2 ，试用反解法求函数的值域。 x + x +1
2
答案： , 2
3
解析： 先判断定义域， x2 + x+1 0，解得定义域为 R。
第一步：等式两边同乘以 x2 + x+1，得到 (x2 + x +1) y = x2 +1；
第二步：整理得到关于 x的一元二次方程 (1 y) x2 yx +1 y = 0；
第三步：因为方程要有解，即 0，得关于 y的一元二次不等式 y2 4(1 y)2 0，解
2 y 2 2得 ，即函数值域为 , 2 。
3 3
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本章知识框架
第三节 对应法则
拨云见日
解析式：
表示函数两个变量之间的数学表达式即称为函数的解析式。
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柳暗花明
方法一：待定系数法
对于诸如一次函数，二次函数等解析式的一般形式已熟知的函数，可以利用待定系数法设函数
的解析式，然后根据题目已知信息求解系数，从而得到对应函数的解析式。
例1. 已知 f ( x)为一次函数，且函数图像经过点 (1, 2)与 (3, 4)，求 f ( x)的解析式。
答案： f (x) = x +1
解析： f ( x)为一次函数，可设 f ( x) = kx + b，根据图像过点 (1, 2)与 (3, 4)，得方程组
k +b = 2 k =1
，解得 。 f ( x)的解析式为 f (x) = x +1。
3k +b = 4 b =1
方法二：换元法
对于形如 f (g (x))的函数，根据解析式的特点可以采用换元法，将函数记为 f (t )，注意换元时
t的范围，根据题目条件求出对应的解析式，再将 f (t )记为 f ( x)，即得 f ( x)的解析式。
例2. 已知 f ( x + 2) = x，求 f ( x)的解析式。
答案： f (x) = (x 2)2 (x 2,+ ))
解析： 令 x + 2 = t (t 2)，可得 x = (t 2)2， f ( x + 2) = x2， f (t ) = (t 2)2 (t 2)，这里的
t 2只是一个符号，可以直接将 t写成 x，即得 f ( x)的解析式为 f ( x) = (x 2) ，定义域为
2,+ )。
方法三：配凑法
在使用换元法时，会碰到无法用 t唯一表示 x的时候，可以根据题目特点运用已学的公式进行配
凑求解析式。
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f x 1 x2 1例3. 已知 = + 2 ，求 f ( x)的解析式。 x x
答案： f ( x) = x2 + 2
1 t t 2 + 4
解析： 若此时采用方法二换元法，令 x = t (t R)，可得 x = ，无法用 t唯一表示
x 2
x，后续操作无法顺利进行。
1 2 1
我们观察到 x = x2 + 2 2，利用完全平方公式配凑出了括号内和最后形式之间x x
的关系，很快就可以得到 f ( x)的解析式为 f ( x) = x2 + 2。
1
注：最后一步也可写为，令 x = t (t R)，这里不用 t去表示 x，而是根据
x
1 2x = x2 1+ 2 2，得到 f (t ) = t 2 + 2，即得 f ( x) = x2 + 2。 x x
方法四：解方程组法
题目条件中出现 f (g (x))与 f (h ( x))的和的式子，同时满足 g ( x)与 h ( x)之和或之积为定值时，
可以将 g ( x)与 h ( x)互换构造类似形式的新的式子，然后构造方程组求解函数解析式。
例4. 已知 f (x) + 2 f (1 x) = 2x，求 f ( x)的解析式。
4
答案： f (x) = 2x
3
解析： 观察到 x与1 x之和为定值1，将两者互换位置可以得到
f (1 x) + 2 f (x) = 2(1 x)。将新得到的式子与题目条件联立即得方程组
f (x) + 2 f (1 x) = 2x
，解方程组的时候消去 f (1 x)，就可以得到 f ( x)的解析
f (1 x) + 2 f (x) = 2(1 x)
4
式。解得 f (x) = 2x。
3
16
披荆斩棘
分段函数求解析式
若题中的分段函数解析式中存在周期，对称或伪周期等的关系时，可以先将要求部分解析式中的
自变量采取相应的变化方式转变为已知分段解析式中自变量的范围，再根据题中的关系得到所要
求自变量范围的函数解析式。
例 1. 已知函数 f ( x)满足 f (x) = f (x +1)，当 x (0,1 时， f (x) = 2x。求当 x ( 1,0 时， f ( x)
的解析式。
解析： 观察到当 x ( 1,0 时， x +1 (0,1 ，此时 x+1整体是符合题目给的分段的自变量范围
的，可得 f (x +1) = 2(x +1)，根据题目给的条件 f (x) = f (x +1)，可得当 x ( 1,0 时，
f ( x)的解析式即 f (x) = 2(x +1)。
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本章知识框架
第四节 单调性
拨云见日
一.单调性的定义：
一般地，设函数 f ( x)的定义域为 I ，区间D I；
如果 x1， x2 D，当 x1 x2时，都有 f ( x1 ) f (x2 )，那么就称函数 f ( x)在区间D上单调递
增。
特别地，当函数 f ( x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。
如果 x1， x2 D，当 x1 x2时，都有 f ( x1 ) f (x2 )，那么就称函数 f ( x)在区间D上单调递
减。
特别地，当函数 f ( x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。
如果函数 y = f (x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）
单调性，区间D叫做 y = f (x)的单调区间。
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二.常见初等函数的单调性：
1.一次函数： f ( x) = kx + b，当 k 0时，为增函数；当 k 0时，为减函数；
k
2.反比例函数： f (x) = ，当 k 0时， f ( x)在 (0,+ ) ,( ,0)上分别都为减函数；当 k 0
x
时， f ( x)在 (0,+ ) ,( ,0)上分别都为增函数；
b
3.二次函数： f (x) = ax2 + bx + c (a 0)，当a 0时，单调递增区间为 ,+ ，单调递减区
2a
b b b
间为 , ；当a 0时，单调递增区间为 , ，单调递减区间为 ,+ 。
2a 2a 2a
柳暗花明
方法一：定义法判断单调性
根据函数单调性的定义，判断一个具体函数的单调性通常需要如下四步：
①取值：在定义域或给定区间内任取 x1， x2，不妨设 x1 x2；
②做差变形：将 f ( x1 ) f ( x2 )进行化简变形，直至出现 x1 x2这一项；
③定号：对变形的差进行判断，确定 f ( x1 ) f ( x2 )的正负号；
④判断：判断函数是否符合增、减函数的定义。
19
1
例 1. 用定义法判断函数 f (x) = x2 + 在 ( , 0)上的单调性。
x
答案： 单调递减
解析： ①取值：在 ( , 0)任取 x1， x2，不妨设 x1 x2；
②做差变形： f (x1 ) f (x2 ) = x 2
1 x 2 1 (x 2 x 2 ) 1 11 + 2 + = 1 2 + x1 x2 x1 x2
= (x1 x2 )(
1
x x x1 + x2 ) + 2 1 = (xx x 1 x2 ) x1 + x2 ； 1 2 x1x2
③定号： x1 x2， x1 x2 0， x1 ( ,0)
1
，x2 ( ,0)， x1x2 0，x1 + x2 0，x1x2
即 f (x1 ) f (x2 ) 0；
1
④判断： x1 x2， f (x1 ) f (x2 ) 0，函数 f ( x) = x2 + 在 ( , 0)上单调递减。 x
方法二：组合函数单调性
在熟知基本初等函数的单调性之后，根据以下四个性质可以快速判断函数单调性：
①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；
③增函数 减函数=增函数；④减函数 增函数=减函数。
（注意增减函数之间的乘除法单调性不能确定）
1
例 2. 判断函数 f (x) = x2 + 在 ( , 0)上的单调性。
x
答案： 单调递减
1
解析： 由于 y = x2在 ( , 0)上单调递减，y = 在 ( , 0)上也单调递减。根据减函数+减函数仍
x
f (x) x2 1为减函数，可以快速得出函数 = + 在 ( , 0)上单调递减。
x
20
方法三：复合函数“同增异减”
复合函数 f g (x) 的单调性遵循“同增异减”的法则。即先判断函数的复合形式，再根据各自在
定义域或给定区间上的单调性，如果相同，则复合函数在对应区间上单调递增，反之则单调递减。
1
例 3. 函数 y = 的单调递增区间是__________
x2 2x + 3
答案： ( 1,1)
解析： 首先我们先求出函数的定义域，根据 x2 2x+3 0解得 x ( 3,1)，再观察到题目给的
1
函数是复合函数，令 f (x) = ，g (x) = x2 2x + 3，则 f g (x) 1= 。显然
x x2 2x +3
1
对于 f (x) = ，在定义域内为单调递减函数，而对于 g (x) = x2 2x + 3，在 ( 3, 1)上
x
递增，在 ( 1,1)上递减。根据复合函数的“同增异减”，题目要求单调递增区间，所以两
个函数的单调性要一致，可得单调递增区间为 ( 1,1)。
方法四：分段函数单调性
如果一个连续的分段函数单调递增，我们需要保证它每一段都
单调递增，且在分段的区间端点处，保证端点在左边的函数值
不大于在右边的函数值，如右图。
如果一个连续的分段函数单调
递减，我们需要保证它每一段都单调递减，且在分段的区间端点
处，保证端点在左边的函数值不小于在右边的函数值，如左图。
21
2b 1
+b+3, x 1
例 4. 若函数 f (x) = x 在 R上为增函数，求b的取值范围。
x2 + (2 b) x, x 1
1
答案： b 0
4
解析： 对于分段函数 f ( x)，要满足在 R上为增函数，则每一段都单调递增。要使得函数
y 2b 1 1= +b+3在 (1,+ )上单调递增，则2b 1 0，即b ；要使得 y = x2 + (2 b) x在
x 2
( ,1 2 b上单调递增，则 1，即b 0。在满足每一段都单调递增的前提下，由于分
2
段区间的端点为 x =1，还要满足把 x =1代入左边函数中的值不大于代入右边函数中的值，
即 1+ (2 b) 1 2b 1 b 3 b 1 1+ + ，解得 ，综上，b的取值范围为 b 0。
1 4 4
披荆斩棘
一.抽象函数单调性
若题给的函数解析式不能求，我们首先需要根据题目条件代入自变量的特殊值求出某些特定自变
量的函数值，再根据题目条件构造出用定义法可以证明的函数单调性。
例 1. 已知定义在 (0,+ )函数 f ( x)，满足 f (mn) = f (m) + f (n) ,(m,n 0)。且当 x 1时，
f (x) 0。求证： f ( x)在 (0,+ )上是增函数。
答案： 略
解析： 首先代入特殊值，这里我们可以令m = n =1，根据题目条件可得 f (1) = f (1) + f (1)，即
f (1) = 0。接下来就要利用定义法去证明当 x1 x2时， f (x1 ) f (x2 ) 0。先在 (0,+ )上
任取 x1，x
x
2，不妨设 x1 x2，由题可得 f (mn) f (m) = f (n)，所以 f (x1 ) f (x 12 ) = f ，x2
x1 x
x1 f x， 1，则 12 0，即 f (x1 ) f (x2 ) 0，得证。 x2 x2
22
二.增减函数的等价形式
有时候题目中并没有直接给出函数的单调性，但是可以一些常见的条件等同于告诉了单调性，下
面列举几个常见的增函数的等价形式：
①若函数 f ( x)满足 x1 x2 0， f (x1 ) f (x2 ) 0，则 f ( x)为增函数；
②若函数 f ( x)满足 (x1 x2 )( f (x1 ) f (x2 )) 0，则 f ( x)为增函数；
③若函数 f ( x) x1 x满足 2 0，则 f x 为增函数；
f (x1 ) f (x2 )
( )
④若函数 f ( x)满足 x1 f (x1 ) + x2 f (x2 ) x1 f (x2 ) + x2 f (x1 )，则 f ( x)为增函数。
其中可以简单证明一下④：
移项可得 x1 f (x1 ) x1 f (x2 ) x2 f (x1 ) x2 f (x2 )
x1 ( f ( x1 ) f (x2 )) x2 ( f (x1 ) f (x2 ))
再移项可得 (x1 x2 )( f (x1 ) f (x2 )) 0，即②，得证。
例 2. 设函数 f ( f x f xx) = x x a ( ) ( )，若对任意 x1，x2 3,+ )，x1 x2，不等式 1 2 0恒成x1 x2
立，求实数 a的取值范围。
答案： a 3
f (x ) f (x )
解析： 由题中 1 2 0这个条件可得函数在 3,+ )为增函数，去绝对值后可以得到
x1 x2
f ( x)在 a,+ ) , a a， 上单调递增，在 ,a 上单调递减，即得a 3。
2 2
23
三.利用函数增减性解不等式
解题思路为将不等式转变为判断函数值的大小关系，继而通过函数的单调性转化为判断自变量的
大小关系，从而化简题目。
x2 , x 0
例 3. 函数 f (x) = ，若对任意的 x t, t + 2 ，不等式 f (x + t ) 2 f (x)恒成立，求实
x2 , x 0
数 t的取值范围。
答案： t 2
解析： 根据函数解析式可得 2 f (x) = f ( 2x)，而 f ( x)显然在定义域上为增函数，所以不等式
f (x + t ) 2 f (x)等价于 f (x + t ) f ( 2x)，也等价于 x+ t 2x恒成立，参变分离可得
t ( 2 1) x恒成立，因为 x t, t + 2 ，所以有 t ( 2 1)(t + 2)，解得 t 2。
24
本章知识框架
第五节 奇偶性
拨云见日
一.函数奇偶性的定义：
一般地，设函数 f ( x)的定义域为 I ，如果 x I，都有 x I，且 f ( x) = f (x)，那么函数
f ( x)就叫做偶函数。
一般地，设函数 f ( x)的定义域为 I ，如果 x I，都有 x I，且 f ( x) = f (x)，那么函数
f ( x)就叫做奇函数。
二.常见函数的奇偶性：
1
1.常见的奇函数： f ( x) = x2n 1 (n Z )， f (x) = x 2n 1 (n Z )；
2.常见的偶函数： f (x) = x2n (n Z )， f (x) = x ；
25
三.奇偶函数的简单性质：
奇函数 偶函数
定义域 关于原点对称
图像对称性 关于原点对称 关于 y轴对称
函数值特征 f ( x) = f (x) f ( x) = f (x)
关于原点对称的两个区间 关于原点对称的两个区间
单调性
内，单调性相同 内，单调性相反
若定义域包含0，则
其他特征
f (0) = 0
柳暗花明
方法一：定义法判断奇偶性
根据函数奇偶性的定义，判断一个具体函数的奇偶性通常需要如下两步：
①判断定义域：奇偶函数的定义域一定关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，那么函数
一定为非奇非偶函数；
②判断 f ( x)和 f ( x)的关系：在确保函数的定义域关于原点对称之后，比较 f ( x)和 f ( x)的
关系。这里常将 f ( x)的表达式进行化简，如果最后的化简结果显示 f ( x) = f (x)，则 f ( x)为
偶函数；如果最后的化简结果显示 f ( x) = f (x)，则 f ( x)为奇函数。如果化简比较复杂，可
以尝试对 f ( x)和 f ( x)进行求和，若有 f ( x) + f (x) = 0，则 f ( x)为奇函数；也可对 f ( x)和
f ( x)进行求差，若有 f ( x) f (x) = 0，则 f ( x)为偶函数。
26
x x , x 0 1, x 0
例1. 现有三个函数： f (x) (x 2) 2+ x1 = ， f2 (x) = ， f3 (x) = ，在这2 x x x , x 0 1.x 0
三个函数中，下面说法正确的是（ ）
A.有一个是偶函数，两个是非奇非偶函数 B.有一个是偶函数，两个是奇函数
C.有两个是偶函数，一个是奇函数 D.有两个是奇函数，一个是偶函数
答案： A
解析： ①判断定义域：先求定义域， f1 ( x)的定义域为 2, 2)，不关于原点对称，所以一定是
非奇非偶函数； f2 ( x)的定义域为 ( ,0) (0,+ )，关于原点对称； f3 ( x)的定义域为
R，关于原点对称；
②判断 f ( x)和 f ( x)的关系：对于 f2 ( x)，不妨取 x 0，此时 f2 (x) = x x，且
f2 ( x) = ( x) ( x) = x x，满足 f ( x) = f (x)，所以为偶函数；对于 f3 ( x)，不妨
取 x 0，此时 f3 (x) =1，且 f3 ( x) = 1，满足 f ( x) = f (x)，但 f3 (0) =1 0，所以
为非奇非偶函数。故选A。
方法二：组合函数奇偶性
在熟知常见函数的奇偶性之后，根据以下性质可以快速判断函数单调性：
①奇函数 奇函数=奇函数；②偶函数 偶函数=偶函数；
③奇函数 奇函数=偶函数；④偶函数 偶函数=偶函数；
⑤奇函数 偶函数=奇函数。
（注意奇偶函数相加减奇偶性不能确定）
27
例2. 已知 y = f (x)是定义在 R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
① y = f 2 (x)；② y = f ( x)；③ y = xf (x)；④ y = f (x) + x
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
答案： D
解析： ① f 2 ( 2 x) = f (x) = f 2 (x)，为偶函数；② f ( ( x)) = f (x) = f ( x)，为奇函数；
③中 y = x为奇函数，根据奇函数 奇函数为偶函数，所以为偶函数；④根据奇函数+
奇函数仍为奇函数，所以为奇函数，故选D。
方法三：复合函数“同奇则奇，有偶则偶”
复合函数 f g (x) 的奇偶性遵循“同奇则奇，有偶则偶”的法则。即先判断函数是怎么复合
的，再根据各自在定义域或给定区间上的奇偶性，两个函数都为偶函数，或为一奇一偶，整体
就为偶函数，只有都是奇函数的时候才会是奇函数，如奇函数加绝对值后为偶函数。
证明：①：若 f ( x)和 g ( x)均为奇函数，即满足 f ( x) = f (x)， g ( x) = g (x)。此时，
f g ( x) = f g (x) = f g (x) ，可得 f g (x) 为奇函数；
②：若 f ( x)为偶函数 g ( x)为奇函数，即满足 f ( x) = f (x)， g ( x) = g (x)。此时，
f g ( x) = f g (x) = f g (x) ，可得 f g (x) 为偶函数。
3
例3. 判断函数 y = ( x ) 的奇偶性。
答案： 偶函数
解析： 首先我们先求出函数的定义域，显然函数定义域为 R，再观察到题目给的函数是复合函
数，令 f (x) = x3， g (x) 3= x ，则 f g (x) = ( x ) 。显然对于 f (x) = x3，在定义域内为
奇函数，而对于 g (x) = x ，在定义域为为偶函数。根据复合函数的“同奇则奇，有偶
3
则偶”， y = ( x ) 为偶函数。（当然，直接用定义法判断也相当简单）
28
方法四：分段函数的奇偶性
这类题的解答过程可以参考函数第二节课分段函数求解析式的方法，可以先将要求部分解析式
中的自变量采用取相反数的方法转变为已知分段解析式中自变量的范围，再根据奇偶函数的关
系得到所要求自变量范围的函数解析式，注意如果题给函数为奇函数，且定义域中包含0，则
一定有 f (0) = 0。
例4. 已知 f ( x) 2是定义域为 R的偶函数，当 x 0时， f (x) = 1。求当 x 0时函数的解析
x
式。
2
答案： f ( x) = 1
x
解析： 取 x 0，此时 x 0 2，从而有 f ( x) = 1 2= 1。
x x
根据偶函数的定义 f ( x) = f ( x)，此时有 f (x) = f ( x) 2= 1。
x
方法五：奇偶函数的单调性
根据奇偶函数图像的性质，显然有如下性质：奇函数关于原点对称的两个区间内，单调性相
同；偶函数关于原点对称的两个区间内，单调性相反。
29
1
例5. 已知 f ( x)为偶函数，且 f ( x)在 0,+ )上是增函数，若 f (ax +1) f (x 2)在 ,1 是
2
恒成立的，则实数 a的取值范围是（ ）
A. 2,0 B. 2,1 C. 5,0 D. 5,1
答案： A
解析： 因为 f ( x)为偶函数，所以函数在大于0和小于0两个区间内单调性相反，由题意得
f ( x)在 ( , 0 上是减函数， f (ax +1) f (x 2)即 ax 1+1 x 2 在 ,1 恒成立。当
2
x 1 ,1 3 1时， x 2 , 1 ，故 f (x 2) f ( 1) = f (1)，所以有当 x ,1 时，
2 2 2
ax +1 1恒成立，有 1 ax+1 1，解得 2 a 0，故选A。
披荆斩棘
一.抽象函数奇偶性
若题给的函数解析式不能求，我们首先需要根据题目条件代入自变量的特殊值求出某些特定自变
量的函数值，再根据题目条件构造出用定义法可以证明的函数奇偶性。
例 1. 已知 f ( x)的定义域为 R，且当 x, y R时，恒有 f (x + y) = f (x) + f ( y )。判断 f ( x)的奇
偶性并证明。
答案： 略
解析： 首先代入特殊值，这里我们可以令m = n = 0，根据题目条件可得 f (0) = f (0) + f (0)，即
f (0) = 0。此时有 f (0) = f ( x + x) = f ( x) + f (x)，满足奇函数性质，所以 f ( x)为奇函
数。
30
二.含参函数的奇偶性
原则上我们还是要根据函数奇偶性的定义来求参数值，在保证定义域关于原点对称的前提下，尽
量根据 f ( x) + f (x) = 0或者 f ( x) = f (x)这两个式子的恒成立的关系来求出参数的值。
在求参问题上，还有一个相对简单的方法，我们可以取在定义域内互为相反数的两个自变量 x0与
x0，利用 f ( x0 ) + f (x0 ) = 0或者 f ( x0 ) = f (x0 )，直接求得参数值。然后再代入原式证明奇偶
性的确成立，注意一定要代入证明保证充分性。
x
例 2. 若函数 f (x) = 是奇函数，求实数 a的取值。 (2x +1)(x + a)
1
答案： a =
2
解析： 法一：因为 f ( x)是奇函数，所以有 f ( x) + f (x) = 0，得
x x
+ = 0，化简得 2(2a +1) x = 0恒成立，即2a+1= 0，解
( 2x +1)( x + a) (2x +1)(x + a)
得 a 1= 。
2
法二：先求函数定义域有 (2x +1)(x + a) 0 1，解得定义域为 x x , x a ，因为
2
f ( x) 1是奇函数，所以定义域关于原点对称，则 a = ，解得a 1= 。接下去需要代入
2 2
证明此时 f ( x)是奇函数。 f (x) x x= = ，有
(2x +1) x 1 2 x2 1
2 4
f ( x) x 2 1 = = = f (x)，可得 f1 1 ( x)是奇函数，所以a = 。 2 ( x)2 2 x2 2
4 4
31
三.奇偶函数对称性应用
根据奇偶函数的定义，我们可以得到如下性质：
①如果 f ( x)为奇函数，一定有 f ( x a) = f (x + a)；
如果 f ( x)为偶函数，一定有 f ( x a) = f (x + a)；
②如果 f ( x + a)为奇函数，一定有 f ( x + a) = f (x + a)，此时可以得到 f ( x)的图像关于 (a, 0)对
称；
如果 f ( x + a)为偶函数，一定有 f ( x + a) = f (x + a)，此时可以得到 f ( x)的图像关于 x = a对
称。
例 3. 若函数 f ( x 1)为奇函数，且满足 f (2) = 3，求 f ( 4)的值。
答案： 3
解析： 因为函数 f ( x 1)为奇函数，有 f ( x 1) = f ( x 1)。因为 f (2) = f (3 1) = 3，所以有
f (3 1) = f ( 3 1) = f ( 4)，即 f ( 4) = f (2) = 3。
32
本章知识框架
第六节 幂函数
拨云见日
一.幂函数的定义：
一般地，函数 y = x 叫做幂函数，其中 x是自变量， 是常数。
二.幂函数的图像：
33
三.常见幂函数的性质：
y = x y = x2
1
y = x3 1y = x 2 y = x
定义域 R R R 0,+ ) x x 0
值域 R 0,+ ) R 0,+ ) y y 0
非奇非偶函
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
数
在 0,+ )上 在 (0,+ )上
单调递增； 单调递减；
单调性 单调递增 单调递增 单调递增
在 ( , 0)上 在 ( , 0)上
单调递减 单调递减
过定点 (1,1)
定点
过定点 (0,0)
柳暗花明
方法一：根据具体函数值求解析式
幂函数 y = x 解析式中只有一个参数 ，所以只要知道其中一个对应的函数值，或者知道图像
经过的一个 (1,1)， (0,0)以外的点，就可以列方程求出 ，从而求出函数解析式。
y k x 1 2例1. 幂函数 = 的图像过点 , ，则 k + =_______
2 2
3
答案：
2
2 1 1 3
解析： 因为函数为幂函数，所以 k =1。所以得 = ，解得 = ，所以 k + = 。
2 2 2 2
34
方法二：根据单调性确定幂函数
对于幂函数 y = x ，当 0时，函数经过定点 (0,0)， (1,1)，且在 (0,+ )上单调递增；当 0
时，函数经过定点 (1,1)，且在 (0,+ )上单调递减。
2
例2. 当 x 0时，幂函数 y = (m2 m 1) xm 2m 3为减函数，求实数m的值。
答案： m = 2
解析： 由于题目已知函数为幂函数，所以m2 m 1=1。又有函数在 (0,+ )上为减函数，得
2
2 m m 1=1m 2m 3 0。联立得到 ，解得m = 2。
m2 2m 3 0
方法三：根据奇偶性确定幂函数
对于幂函数 y = x ，当 为奇数或者奇数的倒数时，函数为奇函数；当 为偶数时，函数为偶
函数。
例3. 下列函数中，在 (0,+ )上单调递减，且为偶函数的是（ ）
1 1
A. y = x 2 B. y = x4 C. y = x 2 D. y = x3
答案： C
解析： A.函数定义域为 0,+ )，为非奇非偶函数，不满足题意；
B. 为偶数，为偶函数， 0，在 (0,+ )上单调递增，不满足题意；
C. 为偶数，为偶函数， 0，在 (0,+ )上单调递减，满足题意；
D. 为奇数的倒数，为奇函数，不满足题意。
故选C。
35
披荆斩棘
利用幂函数单调性比较大小
当题中所给两个数均含有幂形式时，先观察幂是否相同，幂相同时可以直接根据先前学习的幂
函数的单调性来比较数与数之间的大小。
如果幂不同，而底数相同时，两数大小遵循如下法则：
设 f (x0 ) = x 10 ， g (x0 ) = x 20 ， 1 2
① 1 0， 2 0，且 1 2， x0 1，则 f ( x0 ) g (x0 )；
② 1 0， 2 0，且 1 2，0 x0 1，则 f ( x0 ) g (x0 )；
③ 1 0， 2 0，且 1 2， x0 1，则 f ( x0 ) g (x0 )；
④ 1 0， 2 0，且 1 2，0 x0 1，则 f ( x0 ) g (x0 )。
2 3 2
3 5 2 5 2 5
例1. 设 a = ，b = ， c = ，则a,b,c的大小关系是________。
5 5 5
答案： b c a
a,c 2 2
2
解析： 先找是否有幂相同的两数，观察发现 的幂均为 ，因为 0，所以函数 y = x 5在
5 5
(0,+ )上单调递增，得a c。再找是否有幂不同但底数相同的两数，观察发现b,c的
3 0 3 3 2底数均为 ，因为 1，且 0，得b c。综上，a,b,c的大小关系是为
5 5 5 5
b c a。
36
例2. 比较下列各组数的大小：
2 2
5 5
3 3
（1）3 2 ________3.1 2 2 （2） ________
3 6
7
7
1 8 5 5
（3） 8 8 ________ （4）42 ________52
9
5 5

答案： （1）3 2 3.1 2
2 2
2 3 3
（2）
3 6
7
7
1 8
（3） 8 8
9
5 5
（4） 42 52
5
5 5
解析： （1）观察到两数幂相同，函数 y = x 2在 (0,+ )上单调递减，所以3 2 3.1 2；
2

（2）观察到两数幂相同，函数 y = x 3为偶函数在 ( , 0)上单调递增，所以
2 2
2 3 3
；
3 6
7 7
7 1 7 8 1 8
（3）观察到两数幂虽不相同，但 8 8 = ，与 幂相同。函数 y = x 8在
8 9
7
7 7
(0,+ ) 8上单调递增，所以 y = x 8在 (0,+ )上单调递减，得 8 8 1 ；
9
5 5 5
（4）观察两数幂不相同，但底数相同，因为 1，且5 4 0，得 42 52。
2
37
本章知识框架
第七节 指数函数
拨云见日
一.分数指数幂：
我们规定，正数的正分数指数幂的意义是
m
a n = n am (a 0,m,n N ,n 1)。
于是，在条件a 0，m,n N ，n 1下，根式都可以写成分数指数幂的形式。
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，
m

a n 1 1= m = (a 0,m,n N ,n 1)。 n ama n
与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，
0的正分数指数幂等于0。0的负分数指数幂没有意义。
38
二.指数运算法则：
① aras = ar+s (a 0, r, s Q)；
s
② (ar ) = ars (a 0, r, s Q)；
③ (ab)r = arbr (a 0,b 0,r Q)。
三.指数函数：
一般地，函数 y = ax（a 0，且a 1）叫做指数函数，其中指数 x是自变量，定义域是R。
四.指数函数图像及性质：
a 1 0 a 1
图像
定义域 R
值域 (0,+ )
过定点 (0,1)
当 x 0时， f ( x) 1； 当 x 0时， f ( x) 1；
性质
当 x 0时， f ( x) 1。 当 x 0时， f ( x) 1。
增函数 减函数
39
柳暗花明
方法一：实数指数运算
计算时把底数相同的数放在一起，利用指数运算的法则以及分数指数幂的意义进行计算。
例1. 计算2 3 3 3 1.5 6 12。
答案： 18
解析： 先将题中的所有根式化成指数形式
1
1 3 3 3 33 1 1 1 1 3 = 32， 3 1.5 = 3 = = = 33 2 3， 6 12 = 6 4 3 = 6 22 61 3 = 23 36， 2 3 2 23
1 1
1 1 1
原式= 2 3 2 3 23 32 33 36 = 6 20 31 =18。
方法二：代数式指数运算
与实数的指数运算方法类似，计算时把底数相同的代数式放在一起，利用指数运算的法则以及
分数指数幂的意义进行计算。
2 1 1 1 1 5
例2. 计算 2a 3b2 6a 2b3 3a6b6 。
答案： 4a
解析： 观察题中存在的底数只有 a和b，先将底数相同的代数式放在一起，其中除法转化成负
2 1 1 2 1 1+
指数幂进行计算。以 a为底数的有 a 3 a 2 a 6 = a 3 2 6 = a1 = a，以b为底数的有
1 1 5 1 1 5+
b2 b3 b6 = b2 3 6 = b0 =1， 原式 2 ( 6) ( 3) a = 4a。
40
方法三：解方程
方程中通常会出现两个底数正好是二次方的关系，可以使用换元法转化成二次函数来求解方程
的根。
例3. 解方程4x 2x+1 8 = 0。
答案： x = 2
x 2
解析： 观察到4x = (22 ) = 22x = (2x ) ，2x+1 = 2x 21 = 2 2x，采用换元法，令 2x = t (t 0)，可将
原方程转化为 t2 2t 8 = 0，解得 t = 4或 t = 2（舍去），所以2x = 4解得 x = 2。
方法四：利用指数函数性质求解
指数函数需要注意的性质有值域，过定点，以及单调性。
例4. 函数 f ( x) = a1 x + 5（a 0，且a 1）的图像必过定点_________。
答案： (1,6)
解析： 由于当a 0时，a0 =1，所以指数函数图像必过定点 (0,1)。所以对于题给函数而言，当
1 x = 0即 x =1时，a1 x =1，此时 f (1) =1+ 5 = 6，所以图像必过定点 (1,6)。
1 2x x
2
例5. 求函数 y = 的值域。
2
1
答案： ,+
2
解析： 观察到函数为复合函数，需要依次判断值域。首先判断指数中2x x2的范围，这是一
1
个开口向下的二次函数，范围为 ( ,1 。而因为0 1，指数函数为减函数，所以函
2
1 1 1
数的最小值为 = 1，最大值为+ ，即函数值域为 ,+ 。
2 2 2
41
披荆斩棘
底数相同的指数式比大小
底数相同的指数式比大小，其操作步聚如下：
1. 构造对应指数函数;
2. 转化为比较不同自变量情况下函数值问题;
3. 用单调性比较大小。
1 1.2
例1. 设 a = 40.8，b = 80.46，c = ，则 a，b， c 的大小关系为( )
2
A．a b c B．b a c C．c a b D．c b a
答案： A
1 1.2
解析： 由题可知：a = 40.8 = 21.6，b =80.46 = 21.38，c = = 21.2，
2
由函数 y = 2x 是增函数且 1.6 1.38 1.2，可得：a b c。故选 A。
底数不同的指数式比大小
(1) 底数不同指数相同的指数式比大小, 用作商法和1比较。
(2) 底数和指数都不同，用中间值法，结合函数图像和去比。
(3) 底数指数都不同, 且都大于, 于是同时次方，化为整数。
例2. 已知 a = 20.2，b = 0.40.2， c = 0.40.6，则( )
A．b c a B．a c b C．c a b D．a b c
答案： D
解析： 根据题意可得 20.2 20 =1，1= 0.40 0.40.2 0.40.6 0，进而即可求得结果。
20.2 20 =1，1= 0.40 0.40.2 0.40.6 0。因此 a b c。故选 D。
42
本章知识框架
第八节 对数函数
拨云见日
一.对数：
一般地，如果ax = N（a 0，且a 1），那么数 x叫做以 a为底N 的对数，记作
x = loga N，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数。
通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把 log10 N记为 lgN。另外，在科技、经济以及
社会生活中经常使用以无理数e = 2.71828 为底数的对数，以 e为底的对数称为自然对数，并
把 loge N记为 lnN。
二.对数与指数的关系：
当a 0，a 1时， ax = N x = loga N。
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
负数和0没有对数；
log 1= 0， log a =1； log ax = x，aloga xa a a = x。
43
三.对数运算法则：
如果a 0，且a 1，M 0，N 0，那么
① loga (MN ) = loga M + loga N；
② log Ma = loga M loga N； N
③ log M na = n loga M (n R)；
log M 1④ n = loga M (n 1a )； n
log b logc b⑤对数换底公式： a = （a 0，且a 1；b 0；c 0，且c 1） logc a
四.对数函数：
一般地，函数 y = loga x（a 0，且a 1）叫做对数函数，其中指数 x是自变量，定义域是
(0,+ )。
44
五.指数函数图像及性质：
a 1 0 a 1
图像
定义域 (0,+ )
值域 R
过定点 (1,0)
当 x 1时， f (x) 0； 当 x 1时， f (x) 0；
性质
当0 x 1时， f (x) 0。 当0 x 1时， f (x) 0。
增函数 减函数
45
柳暗花明
方法一：实数对数运算
计算时把底数相同的数放在一起，利用对数运算的法则以进行计算。
如果a 0，且a 1，M 0，N 0，令 loga M = x， loga N = y，那么
① loga (MN ) = loga M + loga N
证明： loga (MN ) = loga (ax ay ) = log ax+ ya = x + y = loga M + loga N
② log Ma = logN a
M loga N
M
证明： loga = loga (ax ay ) = log x ya a = x y = loga M loga N N
③ loga M
n = n loga M (n R)
证明： log M na = log (axna ) = xn = n loga M (n R)
1
④ log n M = loga M (n 1a ) n
x
证明： log M = log ax = log (an )n x 1n n n = = log M n 1a a a ( ) n n a
log 1
例 1. 计算 log2 8 + lg 25+ lg 4+ 6
6 2。
答案： 4
解析： 先将题中的所有根式化成指数形式
1 3 3 3
8 = 82 = (2)2 ， log 22 8 = log2 2 = ，而 lg 25+ lg 4 = log (25 4) = lg100 = 2 ，2
log 1
6 6 2 1 3 1= ， 原式= + 2+ = 4。
2 2 2
46
方法二：换底公式
log b
对数换底公式： log ca b = （a 0，且a 1；b 0；c 0，且c 1） logc a
证明：令 loga b = x， log xc a = y， logc b = z，根据指对数的关系可得a = b，c
y = a，cz = b，显
x
然有 (cy ) = ax = b = cz，即 xy = z z，有 x = ，得证。 y
1 1 1 1
例 2. 设P = + + + ，则（ ）
log2 11 log3 11 log4 11 log5 11
A. 0 P 1 B.1 P 2 C. 2 P 3 D.3 P 4
答案： B
log 11 ln11 log 11 ln11 log 11 ln11 log 11 ln11解析： 由换底公式可得 2 = ， 3 = ， 4 = ， = ，即得ln 2 ln 3 ln 4 5 ln 5
P ln 2+ ln 3+ ln 4+ ln 5 ln120= = = log11120， log1111 log11120 log 121，ln11 ln11 11
1 log11120 2，故选 B。
47
方法三：利用对数求值
在实数对数运算的基础上引入参数，计算方法与实数计算类似，也要把底数相同的对数放在一起
进行四则运算。
例 3. 已知2a = 5b
2 1
=M ，且 + = 2，则M的值是（ ）
a b
A. 20 B. 2 5 C. 2 5 D. 400
答案： B
a = log M
解析： 2a = 5b =M 2 2 1， ，可得 + = 2，所以
b = log5 M log2 M log5 M
2logM 2+ logM 5 = logM 20 = 2，显然M 0，则M = 2 5，故选 B。
方法四：利用对数函数性质求解
对数函数需要注意的性质有定义域，过定点，以及单调性。
例 4. 函数 f ( x) = loga (1 x) + 3（a 0，且a 1）的图像必过定点_________。
答案： (0,3)
解析： 由于当a 0，且a 1时，loga 1=0，所以对数函数图像必过定点 (1,0)。所以对于题给函
数而言，当1 x =1即 x = 0时，loga (1 x) = 0，此时 f (0) = 0+3 = 3，所以图像必过定点
(0,3)。
48
3x2
例 5. 若函数 f (x) = + lg (3x +1)的定义域为_______
1 x
1
答案： ,1
3
解析： 因为对数函数 f ( x) = loga x具备定义域 (0,+ )，所以有3x+1 0，综合可得关于 x的不等
1 x 0 1
式组 。解得 x 1 1，即定义域为 ,1 。
3x +1 0 3 3
例 6. 若函数 y = loga (2 ax)在区间 (0,1)上单调递减，则a的取值范围为_______
答案： (1, 2)
解析： 观察到函数为复合函数，需要依次判断单调性。首先判断对数函数 y = loga t的单调性：
当a 1时，对数函数单调递增，此时 y = 2 ax单调递减，利用同增异减的性质，题给函
数单调递减，满足，再考虑函数的定义域，显然 (0,1)应为定义域的子集，所以应满足
2 a 0，解得1 a 2；当0 a 1时，对数函数单调递减，此时 y = 2 ax单调递减，
利用同增异减的性质，题给函数单调递增，不满足。综上， a的取值范围为 (1, 2)。
披荆斩棘
比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性。
1. 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较。
2. 若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论。
3. 若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针
方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较。
4. 若底数与真数都不同，则常借助0，1等中间量进行比较。
49
例 1. 设a = log0.60.4，b = log0.60.7， c = log1.5 0.6，则 a，b， c的大小关系是( )
A．a c b B．a b c C．c a b D．c b a
答案： B
解析： a = log0.60.4 b = log0.60.7 0， c = log1.5 0.6 0， a b c，故选：B。
50定义域 值域 对应法则 单调性
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奇偶性 幂函数 指数函数 对数函数
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立竿见影
x
1.求 f (x) = 的定义域。
x 1
2.求 f (x) = x2 + 2x +8的定义域。
3.求 f (x) = log 2 (2x 1)的定义域。
3
1
4.求 f (x) = 的定义域。

tan 2x
4

5.求 f (x) = tan 2x + 的定义域。
6
1 0
6.求 f (x) = + (x + 2) 的定义域。
x2 2x +1
0
(x +1)
7.求 f (x) = + x2 + x +1的定义域。
x 1
1 0
8.求 f (x) = + (x2 x) 的定义域。
lg (3 x )
9.求 f (x) = x +1 + x + 2 5 的定义域。
1
10.若 f (x) = x2 2x 3的图像恒在 x轴下方，则 f ( x)的定义域可以为（ ）
A. ( 1,3) B. ( 3,3) C. ( 3,1) D. 1,3
披荆斩棘
1.已知 f (3 2x)的定义域是 1, 2 ，求 f ( x)的定义域。
x
2.已知 ，求
4
f ( x) = x 1 f + f 的定义域。
2 x
3.已知函数 f (x) = x2 + ax +1的定义域为 R，求a的取值范围。
x 4
4.已知函数 f (x) = 的定义域为 R，求m的取值范围。
mx2 + 4mx +3
5.已知函数 f (x) = (1 a) x2 + 3(1 a) x + 6 的定义域为 2,1 ，求 a的取值范围。
2
立竿见影
1.已知函数 f (x) = 2x2 + 6x +1，求函数在 ( 2,5)上的值域。
x 1
2.已知函数 f ( x) = ，求函数 1,3 的值域。
2x +1
x2 +5x 6
3.已知函数 f (x) = ，求函数的值域。
x2 + 2x 3
x2 + 2x +3
4.已知函数 f (x) = ，求函数的值域。
x +1
x +1
5.已知函数 f (x) = ，求函数的值域。
x2 +5x 6
m
6.已知函数 y = 1 x + x + 3的最大值为M ，最小值为m，则 的值为（ ）
M
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 2 2 2
7.已知函数 f (x) = 3x2 12x +18 4x x2 23，求函数的值域。
1
8.已知函数 f (x) = x + 2 4x +1，求函数的值域。
2
9.已知函数 f (x) = x 3 3x +1，求函数的值域。
3
2x x
2 ,0 x 3
10.已知函数 f (x) = ，函数的值域为（ ）
x2 + 6x, 2 x 0
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 2 2 2
披荆斩棘
1.已知函数 f (x) = (a2 2a 3) x2 + (a 3) x +1的定义域和值域都为 R，求 a的值。
2.若函数 f (x) = x2 + 2(m +1) x +1的值域为 1,+ )，求实数m的取值范围。
1
3.若函数 f (x) = 的值域为 (0,+ )，求实数m的取值范围。
mx2 + 2(m 2) x +1
2x2 +3x +1
4.已知函数 y = ，求函数的值域。
x2 +3x + 4
5.已知函数 y = x + x2 2x + 3 ，求函数的值域。
4
立竿见影
1.已知 f ( x)为二次函数，且满足 f (0) = 0， f (x +1) = f (x)+ 2x +8，求 f ( x)的解析式。
2.已知 f ( x)为二次函数，函数最小值为1，且 f (0) = f (2) = 3，求 f ( x)的解析式。
3.已知 f (3x + 2) = 9x +8，求 f ( x)的解析式。
4.已知 f ( x +1) = x + 2 x ，求 f ( x)的解析式。
5.已知 f (2x 1) = 2x，求 f ( x)的解析式。
1 16.已知 f x + 2 = x + +1，求 f ( x)的解析式。
x x2
1 1
7.已知 f x = x
3 3，求 f ( x)的解析式。
3
x x
1
8.已知 满足 f ( x) f (x)+ 2 f = 3x (x 0)，求 f ( x)的解析式。
x
1
9.设定义域为 (0,+ )的函数 f ( x)满足

f (x) = 2 x f 1，求 f ( x)的解析式。
x
x 1
10.已知 ( )满足 f x f (x)+ f = x +1(x 0,1)，求 f ( x)的解析式。
x
5
披荆斩棘
1
1.已知函数 f ( x)满足 f ( x) = f ( x)，当 x (0,1)时， f (x) = 。求当 x ( 1,0)时， f ( x)的解
x +1
析式。
2.已知函数 f ( x)满足 f (x) = f (2 x)，当 x (0,1)时，f (x) = x2 + x +1。求当 x (1, 2)时，f ( x)
的解析式。
3.已知函数 f ( x)满足 f (x) = f (x + 2)，当 x (2,3)时， f (x) = x2 x 。求当 x (4,5)时， f ( x)
的解析式。
4.已知函数 f ( x)满足 f ( x) = f (2x)，当 x (2, 4 时， f (x) = x +1。求当 x (1, 2 时， f ( x)的解
析式。
1
5.已知函数 f ( x)满足 f (x)+1= ，当 x (0,1)时， f (x) = x，则当 x ( 1,0)时，求 f ( x)
f (x +1)
的解析式；当 x (1, 2)时，求 f ( x)的解析式。
6
立竿见影
1.如图是函数的图像，则函数的单调递减区间是（ ）
A. ( 1,0) B. (1,+ ) C. ( 1,0)∪(1,+ ) D. ( 1,0)和 (1,+ )
1
2.用定义法证明 f (x) = x 在区间 (0,+ )上是增函数。
x
ax
3.讨论函数 f (x) = 在 ( 1,1)上的单调性。
x2 1
4.已知函数 f (x) = x2 + 2(a 1) x + 2在区间 ( , 4 上是减函数，则实数 a的取值范围是（ ）
A. a 3 B. a 3 C. a 5 D. a 3
1
5.求函数 f ( x) = 的单调递增区间。
x2 2x
6.求函数 f (x) = x2 5x + 4的单调递减区间。
7.求函数 f (x) = x +1 x 1的单调区间。
x
8.求函数 f (x) = 的单调递减区间。
x + 2
7
ax, x 1
9.若函数 f (x) = a 在 R上为增函数，求a的取值范围。
4 x + 2, x 1
2
ax2 + x 1, x 2
10.若函数 f (x) = 在 R上为减函数，求 a的取值范围。
ax 1, x 2
披荆斩棘
1.已知函数 f ( x)对任意的a,b R，满足 f (a + b) = f (a)+ f (b) 1。且当 x 0时， f ( x) 1。判
断并证明 f ( x)的单调性。
2.已知函数 f ( x) = 2x2 mx + 5，对于任意的 x1， x2 ( , 2 ，均满足
x1 f (x1 )+ x2 f (x2 ) x1 f (x2 )+ x2 f (x1 )，求 f (1)的取值范围。
3.已知函数 f ( x)是定义在 2,+ )的单调递增函数，
若 f (2a2 5a + 4) f (a2 + a + 4)，求实数 a的取值范围。
x2 + 4x, x 0
4.已知函数 f (x) = ，若 f (2 a2 ) f (a)，求实数 a的取值范围。
4x x
2 , x 0
5. f ( x)是定义 (0,+ )在上的增函数，对任意的 x, y (0,+ )都有
f (x + y) = f (x)+ f ( y ) 1且 f (4) = 5。
（1）求 f (2)的值；
（2）解不等式 f (m 2) 3。
8
立竿见影
1 x2
1.函数 f (x) = 是（ ）
x +1 + x 2
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇函数又是偶函数
2.函数 f (x) = x x 2 px, x R 是（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与 p有关
1
x2 +1, x 0
3.判断分段函数 f (x) 2= 的奇偶性。
1 x2 1, x 0
2
4.设函数 f ( x)和 g ( x)分别是 R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A. f (x) g (x)是奇函数 B. f (x) g (x) 是奇函数
C. f (x) + g (x)是偶函数 D. f (x)+ g (x) 是偶函数
5.已知 f (x) = ax3 + bx 2，若 f (2017) = 6，求 f ( 2017)的值。
6.定义在R上的奇函数 f ( x)，当 x (0,+ )时， f (x) = x (1+ 3 x )，则 f ( x)的解析式为。
7.已知 f ( x)是偶函数，g ( x)是奇函数，且 f (x) 2g (x) = 2x3 4x 4，求 f ( x)和 g ( x)的解析式。
9
8.已知 f ( x)是定义在 1,1 上的增函数，且 f ( x 1) f (1 3x)，求 x的取值范围。
1
9.设 f ( x)为定义在 R上的奇函数， f (1) = ， f (x + 2) = f (x)+ f (2)，则 f (5)的值为。
2
10. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) ， f (5) = 0 ，且对任意不等的正实数 x1 ， x2 都满足
f (x1 ) f (x2 ) (x2 x1 ) 0，则不等式 xf ( x) 0的解集为（ ）
A. ( 5,0) (0,5) B. ( , 5) (5,+ )
C. ( , 5) (0,5) D. ( 5,0) (5,+ )
10
披荆斩棘
1.已知 f ( x)是定义在 R上的函数，对任意 x, y R，都有 f (x + y)+ f (x y) = 2 f (x) f ( y)，且
f (0) 0。判断并证明 f ( x)的奇偶性。
2a 1
2.若函数 f (x) = 2x + 是奇函数，求 a的值。
x2
x
2 + 2x, x 0
3.已知 f (x) = ，若 f ( a)+ f (a) 2 f (1)，则a的取值范围为（ ）
2
x 2x, x 0
A. 1,0) B. 0,1 C. 1,1 D. 2, 2
4.函数 f ( x)在 (0, 2)上是减函数，且关于 x的函数 y = f (x + 2)是偶函数，那么（ ）
1 5A.
5 1
f f f (3) B. f (3) f f
2 2 2 2
1
C.
5 5 1
f (3) f f D.

f f (3) f
2 2 2 2
5.已知函数 f (x) = ax2 +bx + c (a,b,c R)，满足 f (0) =1， f (1) = 0，且 f ( x +1)是偶函数。
（1）求函数 f ( x)的解析式；
f (x) , x 1
（2）设h (x) = ，若对任意的 x t, t + 2 ，不等式h (x + t ) h (x2 )恒成立，求实数
f (2 x) , x 1
t的取值范围。
11
立竿见影
1
1.幂函数求 f ( x)的图像过点 (4, 2)，则

f =_______。
8
2
2.已知幂函数 y = f (x)的图像过点 2, ，则下列结论正确的是（ ）
2
A. y = f (x)是偶函数 B. y = f (x)是奇函数
C. y = f (x)在定义域上为减函数 D. y = f (x)的定义域为 0,+ )
3.设 1,1, 2,3 ，则使 y = x 的定义域为 R且为奇函数的所有 的值为（ ）
A.1,3 B. 1,1 C. 1,3 D.1,2,3
f (4)
4.若 f ( x)是幂函数，且满足 = 3，则 f (2) =_______。
f (2)
4

5.函数 y = x 3 的图像是（ ）
A. B.
C. D.
12
6.已知幂函数 y = (m2 2m 2) xm的图像不过原点，求实数m的值。
7.已知幂函数 f (x) = x3m 6 (m N )在区间 (0,+ )上是减函数，且 f ( x) = f ( x)，则实数m的最大
值为________
8.已知 的图像经过点
1
y = f (x) 4, ，且 f (a +1) f (10 2a)，求实数a的取值范围。
2
9.已知幂函数 y = (m2 3m + 3) xm+1为偶函数，求实数m的值。
2
10.已知幂函数 y = x p 2 p 3 ( p N )的图像关于 y 轴对称，且在 (0,+ )上是减函数，实数 a满足
p p
(a2 1) 3 (3a +3) 3 ，则 a的取值范围为（ ）
A. ( 1, 4) B. (1, 4) C. (1, 4) D. ( 4,1)
13
披荆斩棘
3 3 3

1.比较下列各数的大小.1.75 ，0.7 5 ，0.75 。
3 3 2
2.比较下列各数的大小.1.14 ，1.44 ，1.13 。

n 3 2 3.已知点 (m,8)在幂函数 f (x) = (m 1) x 的图像上，设 a = f ，b = f ln ， a = f ， ( ) 3 2
则a,b,c的大小关系为________。
1 1 1

3 3 3
4.若 ，
4 3 4
a = b = ，c = ，则a,b,c的大小关系为________。
4 4 2
m 1


2 m 2
6 2 m
5.已知幂函数 f (x) = (m m 5) x (m Z )在 (0,+ )上单调递减，若a = ，b = ， 2 2
m
1
c = ，则a,b,c的大小关系为________。
2
14
立竿见影
1 3
0 2
1.计算0.0064 3 ( ) +164 + (3 ) 。
x2 x 2
2.已知 x+ x 1 = 4， (0 x 1)，求 的值。 1 1

x 2 + x 2
3.方程4x+1 +7 2x 2 = 0的解为_________。
4.已知函数 f ( x) = a x 2 +1（a 0，且a 1）恒过定点M (m,n)，则函数 g ( x) = n mx 不经过
（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
x2 2x+6
1
5.函数 f (x) = 的单调递增区间是__________。
2
6.若函数 y = ax（a 0，且a 1）在区间 1, 2 上的最大值是最小值的3倍，则实数a的值为
（ ）
1 1
A. B. 2 C.3 D. 或3
3 3
x 2
7.若 2x
2+1 1 ，则函数 y = 2
x 的值域是（ ）
4
1 1 1A. , 2 B.
C. , 2 , D. 2,+ )
8 8 8
15
2
8.已知函数 f ( x) = 2x 2x 在区间 1, t 上的最大值为8，则实数 t的取值范围为__________。
2x 1
9.已知函数 f (x) = ，下面说法正确的是（ ）
2x +1
A. f ( x)的定义域不为 R B. f ( x)的图像关于 y 轴对称
f (x ) f (x )
C. f ( x)的值域为 ( 1,1) D. x ，且 x x 1 21, x2 R 1 2 ， 0恒成立
x1 x2
10.已知函数 f (x) = b a x（b,a R且a 0，且a 1）的图像经过点 A(1,8)， B (3,32)，
（1）试求 a，b的值；
x x
1
（2）若不等式
1
+ m 0在 x ( ,1 时恒成立，求实数m的取值范围。
a b
16
披荆斩棘
1.1
1.已知
1
a = ，b = 0，c = 30.9 ，则 a，b， c 三者的大小关系是( )
3
A.c b a B. c a b C.b a c D.b c a
1.5
0.9 0.48 1 2.设 y1 = 4 ， y2 = 8 ， y3 = ，则( )
2
A. y y y B. y y y C. y y y D.3 1 2 2 1 3 1 2 3 y1 y3 y 2
1 1 3

3 3 3 4 3 4
3.设 a = ，b = ， c = ， 则 a，b， c 的大小关系为( )
5 5 2
A.c a b B. a c b C. a b c D.c b a
3 5 3
5 74.设
3 7 3 7
a = ，b = ， c = ，则 a，b， c 的大小关系为( )
7 7 7
A. a b c B.b c a C. a c b D.c a b
0.3 0.2
1 1
5.已知 a = 0.3 2，b = ， c = ，则a，b， c的大小关系是( )
2 2
A. a b c B. a c b C.c b a D.b a c
17
立竿见影
1

2 lg1
1.计算2log2 4
9
+ (
2
2 1) + (lg5) + lg 2 lg50 =_________。
4
2.若 lg 2 = a， lg3= b，则 log12 5可以用 a，b表示为（ ）
1 a 1 a 1 a a
A. B. C. D.
2a + b a2 + b 2ab 2a + b
2x +3
3.函数 f (x) = loga + 2（a 0，且a 1）的图像必过定点_________。
x +1
4.函数 f (x) = log1 (2x 1)的定义域为__________。
3
5.函数 f (x) = log1 (x2 2x)的单调递增区间是（ ）
2
A. (1,+ ) B. (2,+ ) C. ( ,1) D. ( , 0)
1
6.已知函数 f (x) = loga x + 2（a 0，且a 1）的图像恒过定点P (m,n)，则函数
2
g (x) = log (x2m 2nx 5)的单调递增区间是（ ）
A. ( ,1) B. ( , 2) C. (2,+ ) D. (5,+ )
7.已知函数 f (x) = lg (ax2 2x + a)的值域为 R，则实数 a的取值范围为________。
18
4
8.已知函数 f (x) = ln x + t ，若对任意m R，均存在 x0 0使得 f (x0 ) = m，则实数m的
x
取值范围为_________。
9.若函数 f (x) = lg (ax 1) lg (x 1)在区间 2,+ )上是增函数，则实数a的取值范围为
________。
1 ax
10.设函数 f (x) = log1 为奇函数， a为常数。
x 1
2
（1）试求 a的值；
（2）求证. f ( x)是 (1,+ )上的增函数；
x
1
（3）若对于区间 3, 4 上的每一个 x值，不等式 f (x) +m恒成立，求实数m的取值范
2
围。
19
披荆斩棘
1.设a = log ，43 b = log 5，c = log 3，则( ) 4 5
A. a b c B.b a c C.b c a D. a c b
2
2.若实数a，b满足 2a b 1，m = log (log b)，n = (log b) ， l = log ba a a a ，则m， n， l的大小
关系为( )
A. m l n B. l n m C. n l m D. l m n
a b
3.比较大小： loga 、 logb 、 log b 与 a log a（其中 a
2
b b a 1）。
b a
ln 3 ln 2
4.若a = ，b = ，则 a与b的大小关系为 ________ 。
3 2
log2 0.3
1
5.已知 a = 5log2 3.4，b = 5log4 3.6 ，c = ，则 a，b，c 的大小关系是_______________。
5
20
定义域 参考答案
立竿见影
1. 答案： 0,1)∪(1,+ )
x 0
解析： 由题意得 ，解得 x 1且 x 0，所以 f ( x)的定义域为 0,1)∪(1,+ )。
x 1 0
2. 答案： R
解析： 由题意得 x2 + 2x+8 0，解得 x R，所以 f ( x)的定义域为R。
1
3. 答案： ,1
2


log 2 (2x 1) 0 1 1
解析： 由题意得 3 ，解得 x 1，所以 f ( x)的定义域为 ,1 。
2 2 2x 1 0

k 3 k
4. 答案： + , + (k Z )
8 4 8 4

tan 2x 0
解析： 由题意得 4
k 3 k
，解得 x + 且 x + (k Z )，所以
8 2 8 22x + k (k Z )
4 2
k 3 k
f ( x)的定义域为 + , + (k Z )。
8 4 8 4
21
k k
5. 答案： + , + (k Z )
12 2 6 2

tan 2x + 0 k k
解析： 由题意得 6 ，解得 + x + (k Z )，所以 f ( x)
12 2 6 22x + + k (k Z )
6 2
k k
的定义域为 + , + (k Z )。
12 2 6 2
6. 答案： ( , 2)∪( 2,1)∪(1,+ )
x2 2x +1 0
解析： 由题意得 ，解得 x 2且 x 1，所以 f ( x)的定义域为
x + 2 0
( , 2)∪( 2,1)∪(1,+ )。
7. 答案： ( , 1)∪(1,+ )
x +1 0

解析： 由题意得 x 1 0 ，解得 x 1且 x 1，所以 f ( x)的定义域为

x2 + x +1 0
( , 1)∪(1,+ )。
8. 答案： ( 3, 2)∪( 2,0)∪(0,1)∪(1,2)∪(2,3)
3 x 0

解析： 由题意得 3 x 1 ，有 x 3且 x 2且 x 1且 x 0，所以 f ( x)的定义域为

x
2 x 0
( 3, 2)∪( 2,0)∪(0,1)∪(1,2)∪(2,3)。
22
9. 答案： ( , 4 ∪ 1,+ )
解析： 由题意得 x +1 + x + 2 5 0，在同一直角坐标系中做出函数 y1 (x) = x +1 + x + 2 与
y2 ( x) = 5的图像，由图像可得定义域为 ( , 4 ∪ 1,+ )。
10. 答案： A
解析： 由题意得， f (x) 0，解得 1 x 3，所以 f ( x)的定义域可以为 ( 1,3)，故选A。
披荆斩棘
1. 答案： 1,5
解析： 首先求括号的范围，由于 f (3 2x)的定义域是 1, 2 ，所以此时 x 1,2 ，解得括
号内范围3 2x 1,5 。括号范围不变，所以 x 1,5 ，即 f ( x)的定义域为
1,5 。
2. 答案： 2, 4
x

1
解析： 可以求得 f ( x)的定义域为 ，所以有
2
1,+ ) ，求得新函数的定义域为 2, 4 。
4 1
x
3. 答案： 2, 2
解析： 即 x2 +ax+1 0对于任意实数恒成立，有 0，解得 2 a 2。
23
3
4. 答案： 0,
4
解析： 观察到函数有分母，可得mx2 +4mx+3 0对于任意实数恒成立，当m = 0时，显然
3 3
成立；当m 0时，有 0，解得0 m ，综上，m的取值范围为 0, 。 4 4
5. 答案： a = 2
解析： 由题意得， g (x) = (1 a) x2 + 3(1 a) x + 6为开口向下的抛物线，且与 x轴的两个交
6
= 2
1 a
2
点为 ( 2,0)和 (1,0)，根据韦达定理有 ，解a = 2。 3(1 a)
= 1
2
1 a ( )
24
值 域 参考答案
立竿见影
7
1. 答案： ,81
2
3
解析： 二次函数开口向上，图像对称轴为 x = ，易得在 ( 2,5)上，函数最大值趋向于
2
3 7 7
f (5) = 81，最小值为 f = ，故函数值域为 ,81 。
2 2 2
2
2. 答案： 0,
7
1 3
(2x +1) 1 3 3
解析： 常数分离可得， f (x) = 2 2 = ，因为定义域为 1,3 ，判断
2x +1 2 4x + 2 4x + 2
3 1 2
的取值范围为 , ，故函数值域为 0, 。
14 2
7
7 7
3. 答案： ( ,1)∪ 1, ∪ ,+
4 4
x2 +5x 6 (x 1)(x + 6) x + 6
解析： 化简函数得 f (x) = = = (x 1)，由于
x2 + 2x 3 (x 1)(x +3) x +3
x + 6 3 7 7
=1+ 1，而又因为 x 1，有函数值域为 ( ,1)∪ 1, ∪ ,+ 。
x +3 x +3 4 4
25
4. 答案： 2,+ )∪( , 2
解析： 令 x +1= t (t 0)，有 x = t 1，则函数可化简为
2
(t 1) + 2(t 1)+3 t2 + 2 2
f (t ) = = = t + ，根据对勾函数的性质，可得
t t t
2
t + 2,+ )∪( , 2 ，故函数值域为 2,+ )∪( , 2 。
t
5. 答案： R
t t
解析： 令 x+1= t，有 x = t 1，则函数可化简为 f (t ) = = ，2 2
(t 1) +5(t 1) 6 t +3t 10
t 1 10
当 t 0时， = ，利用飘带函数性质有 t R，可得
t2 +3t 10 10
t +3 t
t
1
( ,0)∪(0,+ )，当 t = 0时， f (t ) = 0，故函数值域为 R。
10
t +3
t
6. 答案： C
解析： 利用平方，可得 y2 = 4+ 2 x2 2x +3 ，判断 f (x) = x2 2x + 3的值域。易得值域
为 ( , 4 ，所以 x2 2x + 3 0,2 ，即M = 8 = 2 2，m = 4 = 2，则
m 2 2
= = ，故选C。
M 2 2 2
7. 答案： 23,1
解析： 利用换元法，令 4x x2 = t (0 t 2)，此时我们不需要用 t直接表示 x，因为函数
中3x2 12x的即为 3t2，故函数可表示为 y = 3t2 +18t 23，开口向下，图像对称
轴为 t = 2，在 0, 2 上有最大值1，最小值 23，即函数值域为 23,1 。
26
3
8. 答案： 0,
2


1 1
解析： f (x) = x + 2 4x +1 = x + 2 x + ，将函数分子有理化，得
2 4
7
4 1 y = 。显然分母在 ,+ 上单调递增，所以函数的值域为
1 4
x + 2 + x +
4
3
0, 。
2
10
9. 答案： ,
3

2x 4, x 3

1
解析： 去绝对值后把函数转化为分段函数的形式，得 f (x) = 4x + 2, x 3，观察函
3
1
2x + 4, x 3
1 10 10
数单调性可得，函数最大值为 g = ，无最小值，即值域为 , 。
3 3

3
10. 答案： C
解析： 当0 x 3时， g ( x) = 2x x2，为开口向下，图像对称轴为 x =1的二次函数，此时
最大值为 g (1) =1，最小值为 g (3) = 3，即值域为 3,1 ；当 2 x 0时，
g ( x) = x2 + 6x，为开口向上，图像对称轴为 x = 3的二次函数，此时最大值为
g (0) = 0，最小值为 g ( 2) = 8，即值域为 8,0 。求并集得函数的值域为 8,1 ，
故选C。
27
披荆斩棘
1. 答案： 1
解析： 由于二次函数的值域一定不会是 R，故a2 2a 3= 0，解得a = 3或 1。当a = 1时，
f ( x) = 4x +1，满足条件；当a = 3时， f ( x) =1，值域为 1 ，不满足条件，故 a的
值为 1。
2. 答案： m = 1
2
4 4(m+1)
解析： g (x) = x2 + 2(m +1) x +1的值域应为 1,+ )，有 =1，解得m = 1。
4
3. 答案： 0,1 ∪ 4,+ )
解析： 由题意得，g (x) = mx2 + 2(m 2) x +1的值域能取到 (0,+ )。当m = 0时，g ( x) = 4x +1，
m 0
值域为 R，满足条件；当m 0时，要满足条件，有 2 ，解得0 m 1
4(m 2) 4m 0
或m 4。综上，m的取值范围为 0,1 ∪ 4,+ )。
4. 答案： ( , 4 5 9 ∪ 4 5 9,+ )
解析： 先判断定义域， x2 +3x+ 4 0，解得定义域为 R。
第一步：等式两边同乘以 2 2x +3x+4，得到 (x + 3x + 4) y = 2x2 + 3x +1；
第二步：整理得到关于 x的一元二次方程 (2 y) x2 (3 3y) x +1 4y = 0；
第 三 步 ： 因 为 方 程 要 有 解 ， 即 0 ， 得 关 于 y 的 一 元 二 次 不 等 式
2
(3 3y) 4(2 y)(1 4y) 0 ，解得 y 4 5 9 或 y 4 5 9 ，即函数值域为
( , 4 5 9 ∪ 4 5 9,+ )。
28
5. 答案： (1,+ )
解析： 此题也可以采用反解法的思路求解值域。
2
先判断定义域， x2 2x + 3 = (x 1) + 2，易知定义域为 R。
第一步：移项，得到 y x = x2 2x + 3 ；
y2 3
第二步：平方整理得到关于 x的方程 x2 2xy+ y2 = x2 2x+3，有 x = ；
2y 2
y2
第三步： y x = x2
3
2x + 3 0， y 0，解得 y 1，即函数值域为 (1,+ )。
2y 2
29
对应法则 参考答案
立竿见影
1. 答案： f ( x) = x2 + 7x
解析： f ( x)为二次函数，设 f (x) = ax2 + bx + c (a 0)，由题意得：
( a =1 f 0) = c = 0

，要使方程组恒成立，解得 b = 7，即2
a (x +1) +b (x +1)+ c = ax
2 +bx + c + 2x +8
c = 0
f ( x)的解析式为 f ( x) = x2 + 7x。
2. 答案： f (x) = 2x2 4x + 3
解析： 由题意得， f (0) = f (2)， 函数图像对称轴为 x =1，得图像得顶点坐标为 (1,1)。
2 2
设 f (x) = a (x 1) +1(a 0)，得 f (0) = a (0 1) +1= 3，解得a = 2，则 f ( x)的解析
式为 f (x) = 2x2 4x + 3。
3. 答案： f ( x) = 3x + 2
t 2 t 2
解析： 令 3x + 2 = t (t R)，得 x = ，有 f (t ) = 9 +8 = 3t + 2 ，即 f ( x)的解析式为
3 3
f ( x) = 3x + 2。
4. 答案： f ( x) = x2 1(x 1)
2 2
解析： 令 x +1= t (t 1)，得 x = (t 1) ，有 f (t ) = (t 1) + 2(t 1) = t 2 1，即 f ( x)的解析式
为 f ( x) = x2 1(x 1)。
30
5. 答案： f ( x) = 2log2 ( x +1)
解析： 令 2x 1= t (t 1)，得 x = log2 (t +1)，有 f (t ) = 2log2 (t +1)，即 f ( x)的解析式为
f ( x) = 2log2 ( x +1)。
6. 答案： f (x) = x2 1(x 2,+ )∪( , 2 )
2
1 1 1
解析： 由完全平方公式有 x + = x
2 + + 2，令 x + = t (t 2,+ )∪( , 2 ，可得
x x2
)
x
2
f (t ) = t 2 1，即 f ( x)的解析式为 f (x) = x 1(x 2,+ )∪( , 2 )。
7. 答案： f (x) = x3 + 3x 3
3
1 3 3 1 3 1 1 1 解析： 由完全立方公式有 x = x 3x + = x 3 x ，令 x = t (t R)，3 3
x x x x x x
可得 f (t ) = t3 + 3t 3，即 f ( x)的解析式为 f (x) = x3 + 3x 3。
2
8. 答案： f (x) = x +
x
1 3
解析： 由题意得 f + 2 f (x) = ，和题给条件联立方程，得方程组
x x
1
f (x)+ 2 f = 3x
x 1 2
，消去 f ，即可得 f ( x)的解析式为 f (x) = x + 。
1 3 x xf + 2 f (x) = x x
31
2 x +1
9. 答案： f (x) =
3
1 1
解析： 由题意得 f = 2 f (x) 1，和题给条件联立方程，得方程组
x x
1
f (x) = 2 x f 1
x 1 2 x +1
，消去 f ，即可得 f ( x)的解析式为 f (x) = 。
1 1 x 3f = 2 f (x) 1
x x
x3 + x2 +1
10. 答案： f (x) =
2x (1 x)
x 1 x 1 1
解析： 已知 f (x)+ f = x +1，记为①式。令 t = ，则 x = ，代入①式有
x x 1 t
1 1 2 t 1 2 x
f + f (t ) = +1= ，即 f + f (x) = ，记为②式。再令
1 t 1 t 1 t 1 x 1 x
1 u 1 u 1 1 u 1 2u 1
u = ，则 x = ，代入①式有 f + f = +1= ，即
1 x u u 1 u u u
x 1 1 2x 1
f + f = ，记为③式。①+② ③得，化简得
x 1 x x
2 x 2x 1 x3 + x2 +1 x3 + x2 +1
2 f (x) = x +1+ = ，即 f ( x)的解析式为 f (x) = 。
1 x x 2x (1 x) 2x (1 x)
披荆斩棘
1
1. 答案： f ( x) =
x +1
1
解析： 观察到当 x ( 1,0)时， x (0,1)，此时可得 f ( x) = 。根据题目给的条件
x +1
1
f ( x) = f ( x)，当 x ( 1,0)时， f ( x)的解析式为 f ( x) = 。
x +1
32
2. 答案： f (x) = x2 + 5x 7
解析： 观察到当 x (1, 2)时， 2 x (0,1)，此时可得
2
f (2 x) = (2 x) + (2 x)+1= x2 5x + 7 。根据题目给的条件 f (x) = f (2 x)，
当 x (1, 2)时， f ( x)的解析式为 f (x) = f (2 x) = (x2 5x + 7) = x2 + 5x 7。
3. 答案： f (x) = x2 5x + 6
解析： 观察到当 x (4,5)时， x 2 (2,3)，此时可得
2
f (x 2) = (x 2) (x 2) = x2 5x + 6 。根据题目给的条件 f (x) = f (x + 2)，有
f (x 2) = f (x)，所以当 x (4,5)时，解析式为 f (x) = f (x 2) = x2 5x + 6 。
4. 答案： f ( x) = 2x +1
解析： 观察到当 x (1, 2 时， 2x (2,4 ，此时可得 f (2x) = 2x +1。根据题目给的条件
f ( x) = f (2x)，可得当 x (1, 2 时， f ( x)的解析式为 f (x) = f (2x) = 2x +1。
x 1
5. 答案： 当 x ( 1,0)时，解析式为 f (x) = ；当 x (1, 2)时，解析式为 f (x) =
x +1 x
解析： 观察到当 x ( 1,0)时， x +1 (0,1)，此时可得 f ( x +1) = x +1。根据题目给的条件
1
f (x)+1= ，可得当 x ( 1,0)时， f ( x)的解析式为
f (x +1)
1 x
f (x) = 1= 。同理，观察到当 x (1, 2)时， x 1 (0,1)，此时可得
x +1 x +1
1 1
f ( x 1) = x 1。根据题目给的条件 f (x)+1= ，可得 f (x 1)+1= ，
f (x +1) f (x)
1 1
当 x (1, 2)时， f ( x)的解析式为 f (x) = = 。
x 1+1 x
33
单调性 参考答案
立竿见影
1. 答案： D
解析： 由图像可得，在 ( 1,0)和 (1,+ )两个区间上，当 x1 x2时，都有 f ( x ) f (x )，所1 2
以这两个区间都为函数的单调递减区间。
2. 答案： 见解析
解析： ①取值：在 (0,+ )任取 x1， x2，不妨设 x1 x2；
1 1 1
②做差变形： f (x1 ) f (x2 ) = x1 x2 = (x1 x2 ) 1+ ；
x1 x2 x1x2
1
③定号： x x ， x x 0， x x 0，1+ 01 2 1 2 1 2 ，即 f (x1 ) f (x2 ) 0；
x1x2
1
④判断： x x ，1 2 f (x1 ) f (x ) 0，函数 f (x) = x 在2 (0,+ )上单调递增。
x
3. 答案： 当a 0时，单调递减；当a 0时，单调递增；当a = 0时，函数为常数函数。
解析： 任取 x1， x ( 1,1)，不妨设 x x ， 2 1 2
ax ax a (x2 x )(x x +1)
f (x ) f ( ) 1 1 2x = 1 2 = ， x x ， x1 x2 01 2 ，
x 2 1 x 2 1 (x 2 1)(x 2 1 21 2 1 2 1)
2 2
x1， x ， x 1 0， x2 ( 1,1) 1 2 1 0， x 。 1x2 +1 0
当a 0时， f (x ) f (x ) 0，函数单调递减； 1 2
当a 0时， f (x ) f (x ) 0，函数单调递增； 1 2
当a = 0时， f (x1 ) f (x2 ) = 0，函数为常数函数。
34
4. 答案： B
解析： f (x) = x2 + 2(a 1) x + 2的图像是开口向上，以 x =1 a为对称轴的抛物线，由题意
得不等式1 a 4，解得a 3，故选 B。
5. 答案： ( , 0)， (0,1)
解析： 函数为复合函数，根据“同增异减”，单调性相同时为递增。先求函数定义域，
x2 2x 0，解得定义域为 ( ,0) (0,2) (2,+ )，由于反比例函数在分子为1时
在 ( , 0)， (0,+ )上单调递减，所以需要求分母二次函数的单调递减区间，与定义
域综合易得原函数的单调递增区间为 ( , 0)， (0,1)。
6. 答案： ( ,1
解析： 函数为复合函数，根据“同增异减”，单调性相反时为递增。先求函数定义域，
x2 5x+ 4 0，解得定义域为 ( ,1 4,+ )，由于 y = x 在定义域内单调递增，
所以需要求根号内二次函数的单调递减区间，综合定义域易得原函数的单调递减区
间为 ( ,1 。
7. 答案： 单调递增区间为 1,+ )
2
解析： 将函数进行分子有理化，得 f (x) = x +1 x 1 = ，在定义
f (x) = x +1+ x 1
域 1,+ )上， y = x +1和 y = x 1均为单调递增函数，故原函数在定义域内单调
递增，所以 f (x) = x +1 x 1的单调递增区间为 1,+ )，无单调递减区间。
35
8. 答案： ( , 2)， ( 2,0)
x
, x 0 x + 2
f x =
解析： 去绝对值，得 ( ) x ， , x 2, 2 x 0
x + 2
2
1 , x 0 x + 2
f x =
变形得 ( ) 2 ，根据反比例函数图像得平移可作出函数 1+ , x 2, 2 x 0
x + 2
图像为。根据图像得函数的单调递减区间为 ( , 2)， ( 2,0)。
9. 答案： 4 a 8
a
4 0 2
解析： 由题意得方程组 ，解得4 a 8。
a a 4 + 2
2
10. 答案： a 1
a 0

1
解析： 由题意得方程组 2 ，解得a 1。
2a
4a + 2 1 2a 1
36
披荆斩棘
1. 答案： 单调递增
解析： 任取 x1， x2 R，不妨设 x1 x2 ，由题意得 f (x1 ) f (x2 ) = f (x1 x2 ) 1。
x1 x2 0， f (x1 x2 ) 1，则 f (x ) f (x ) 0，即 f ( x)单调递增。 1 2
2. 答案： f (1) 15
解析： 由条件 x1 f (x1 )+ x2 f (x2 ) x f (x )+ x f (x )，可得函数在给定区间内单调递减，二1 2 2 1
m
次函数开口向上时在对称轴左侧单调递减，有 2，解得m 8，
4
f (1) = 2 m+5 = 7 m 15。
1
3. 答案： 0, 2,6)
2
解析： 函数 f ( x)是定义在 2,+ )的单调递增函数，若 f (2a2 5a + 4) f (a2 + a + 4)，则
1
2 2a2 5a+4 a2 +a+4，解得0 a 或2 a 6。
2
4. 答案： ( 2,1)
解析： 易知 f ( x)为单调递增函数， f (2 a2 ) f (a)等价于2 a2 a，解得 2 a 1。
5. 答案： （1） f (2) = 3（2） (2, 4
解析： （1）由题意得 f (2+ 2) = f (2)+ f (2) 1= 5，解得 f (2) = 3；
m 2 0
（2）可得关于m的方程组 ，解得2 m 4。
m 2 2
37
奇偶性 参考答案
立竿见影
1. 答案： B
1 x
2 0
解析： ①判断定义域： ，解得 x 1,1 ，定义域关于原点对称；
x +1 + x + 2 0
2
1 ( x)
②判断 f ( x)和 f ( x)的关系： f ( x) = ， 1 x 1，
x +1 + x 2
1 x2
x +1 =1 x， x 2 = 2+ x ，则 f ( x) = ，
3
1 x2 1 x2
同理有 f (x) = = = f ( x)，所以 f ( x)为偶函数，故选 B。
x +1+ 2 x 3
2. 答案： A
解析： ①判断定义域： x R，定义域关于原点对称；
②判断 f ( x)和 f ( x)的关系： f ( x) = x x 2 p ( x) = x x + 2 px = f (x)， 所
以 f ( x)为偶函数，与 p无关，故选 A。
3. 答案： 奇函数。
解析： ①判断定义域：定义域为 ( ,0) (0,+ )，关于原点对称；
②判断 f ( x)和 f ( x)的关系：不妨设 x 0，则 x 0，此时
1 2 1 1
f ( x) = ( x) 1= x2 1， f (x) = x2 +1= f ( x)，所以 f ( x)为奇函数。
2 2 2
38
4. 答案： D
解析： 根据复合函数奇偶性的性质，可得 f ( x) 为偶函数， g ( x) 也为偶函数，再根据组合
函数奇偶性，偶函数+偶函数仍为偶函数，偶函数+奇函数的奇偶性不能判断，只
有 D 选项成立，故选 D。
5. 答案： 10
解析： f ( x) = ax3 + bx 2， f (x)+ 2 = ax3 + bx ，为奇函数。设 g (x) = f (x)+ 2，有
g ( x) = g (x)。即 f ( x)+ 2 = f (x)+ 2 = 2 f (x)，可得 f ( x) = 4 f (x)。
f (2017) = 6， f ( 2017) = 4 6 = 10。
x (1 3 x ) , x 0
6. 答案： f (x) =
x (1+ 3 x ) , x 0
解析： 取 x ( ,0)，此时 x (0,+ )，从而有 f ( x) = ( x)(1+ 3 x ) = x (1 3 x )。根据
奇函数的定义 f (x) = f ( x)，有 f (x) = x (1 3 x ) = x (1 3 x )，又因为函数定
x (1 3 x , x 0 )
义域为 R，一定满足 f (0) = 0，得 f ( x)解析式为 f (x) = 。
3
x (1+ x ) , x 0
7. 答案： f ( x) = 4； g (x) = x3 + 2x
解析： 由 f (x) 2g (x) = 2x3 4x 4可得 f ( x) 2g ( x) = 2x3 + 4x 4，
f (x) 2g (x) = 2x
3 4x 4
f ( x) = f (x)， g ( x) = g (x)， ，解得
f (x)+ 2g (x) = 2x
3 + 4x 4
f (x) = 4
。
g (x) = x
3 + 2x
39
1
8. 答案： 0,
2
1 x 1 1
1
解析： 由题意得方程组 1 1 3x 1，解得0 x 。
2
x 1 1 3x
5
9. 答案：
2
1
解析： 由题意得 f ( 1) = 。又有 f (5) = f (1)+ 2 f (2) = f ( 1)+ 3 f (2)，可得
2
1 1 1 5
+ 2 f (2) = + 3 f (2)，解得 f (2) =1，则 f (5) = + 2 = 。
2 2 2 2
10. 答案： A
解析： 由 f ( x)对任意不等的正实数 x1， x2都满足 f (x1 ) f (x2 ) (x2 x1 ) 0可得函数
f ( x)在 (0,+ )内单调递增， f (5) = 0， 当0 x 5时， f (x) 0，当 x 5时，
f (x) 0。 f ( x)是定义在 R上的奇函数， f ( 5) = 0，且当 5 x 0时，
f (x) 0，当 x 5时， f (x) 0。根据以上条件， xf ( x) 0即 xf (x) 0，要使
不等式成立，需 x与 f ( x)异号，解得 x ( 5,0) (0,5)，故选 A。
披荆斩棘
1. 答案： 偶函数
解析： 令 x = y = 0，可得 2 f (0) = 2 f 2 (0)，因为 f (0) 0，则 f (0) =1。任取 x R，由题
意得 f (0+ x)+ f (0 x) = 2 f (0) f (x)，即 f (x)+ f ( x) = 2 f (x)，移项可得
f ( x) = f (x)，即 f ( x)为偶函数。
40
1
2. 答案： a =
2
2a 1
解析： 因为函数 f (x) = 2x + 是奇函数，所以 f ( x)+ f (x) = 0(x 0)，代入可得可得
x2
2a 1 2a 1 2a 1
2x + + 2x + = 0，即 2 = 0。要使得式子恒成立，必有2a 1= 0。
2
x2 x2( x)
1
解得 a = 。
2
3. 答案： C
2
解析： 不妨设 x 0，由题意得 f ( x) = ( x) 2( x) = x2 + 2x = f (x)，所以函数 f ( x)是
定义在 R上的偶函数，则不等式 f ( a)+ f (a) 2 f (1)即 2 f (a) 2 f (1)，则有
a 1，解得 1 a 1，故选 C。
4. 答案： D
解析： 因为 f ( x + 2)是偶函数，所以 f ( x)关于直线 x = 2对称,由条件函数 f ( x)在 (0, 2)上
是减函数易知 f ( x)在 (2, 4)上单调递增，所以选项中的函数值大小比较即为自变量
与 2的差的绝对值大小比较，绝对值越大的函数值越大，故选 D。
41
5. 答案： （1） f (x) = x2 2x +1
1
（2） , 2,+ )
4
b
解析： （1）因为 f ( x +1)是偶函数，所以 f ( x)关于直线 x =1对称，所以 =1，又
2a
a =1
f (

0) = c =1
，解得 b = 2，所以 f (x) = x
2 2x +1；
f (1) = a +b + c = 0
c =1
x
2 2x +1, x 1
（2）由题意得 h (x) = ，显然有单调递增。所以不等式
x2 + 2x 1, x 1
h (x + t ) h (x2 )即 x+ t x2，参变分离得 t x2 x在 x t, t + 2 上恒成立。
1
记 g ( x) = x2 x，当 t 时， g ( x) = x2 x在 x t, t + 2 上单调递增，
2
g (x) = g (t ) t，此时 t 2；
min
3
当 t 时， g ( x) = x2 x在 x t, t + 2 上单调递减， g ( x) = g (t + 2) t ，此时
2 min
3
t ；
2
3 1 1 3 1
当 t 时， g (x) = g t ，此时 t ；
2 2 min 2 2 4
1
综上， t的取值范围为 , 2,+ )。
4
42
幂函数 参考答案
立竿见影
2
1. 答案：
4
1
2
解析： 设 f (x) = x
1 1 1 2
，由题意得4 = 2，解得 = ，所以 f = = 。
2 8 8 4
2. 答案： C
2 1 1
解析： 设 f (x) = x ，由题意得 2
= ，解得 = ，所以 f (x) = ，定义域为
2 2 x
(0,+ )，且在定义域上为减函数，故选 C。
3. 答案： A
解析： 当 = 1时， y = x 1的定义域为 ( ,0)∪(0,+ )，不满足题意；
当 =1时，定义域为 R，且为奇函数，满足题意；
当 = 2时，定义域为 R，为偶函数，不满足题意；
当 = 3时，定义域为 R，且为奇函数，满足题意。故选 A。
4. 答案： 3

2
解析： 设 f (x) = x
4
，由题意得 = 3，因为4 ( = 2 ) ，解得2 = 3，所以 f (2) = 3。
2
43
5. 答案： C
4

解析： y = x 3 为定义域是 ( ,0)∪(0,+ )的偶函数，故选 C。
6. 答案： m = 1
解析： 由题意得m2 2m 2 =1，且m 0，解得m = 1。
7. 答案： 0
解析： 由函数为减函数得3m 6 0，解得m 2。又有偶函数的性质有3m 6为偶数。所
以整数m的最大值为0。
8. 答案： (3,5)
1
1 1
解析： 设 f (x) = x ，由题意得 4 = ，解得 = 0，所以 f (x) = x 2 的定义域为
2 2
a +1 0
(0,+ )且在定义域上单调递减。由题意得

10 2a 0 ，解得3 a 5。

a +1 10 2a
9. 答案： m =1
解析： 由题意得，m2 3m+3=1且m+1为偶数，即得m =1。
10. 答案： A
解析： 由题意得 p2 2 p 3 0，解得 1 p 3， p N ， p =1或 2。当 p =1时，
y = x 4 为偶函数满足条件；当 p = 2时， y = x 3为奇函数不满足条件。不等式等价
1 1
为 (a2 2 1)3 (3a + 3)3 ，有a 1 3a+3，解得 1 a 4。故选 A。
44
披荆斩棘
3 3 3

1. 答案： 0.75 0.7 5 1.75
3
3
10 5 3 3 3
解析： 观察发现0.7 5 = ，这样三数的幂均为 ，因为 0，所以函数 y = x5 在
7 5 5
3 3 3
10
(0,+ )上单调递增，有1.7 0.7，得0.75 0.7 5 1.75 。
7
2 3 3
2. 答案： 1.13 1.14 1.44
3 3
3 3 3
解析： 观察发现1.14 和1.44 的幂均为 ，因为 0，所以函数 y = x 4 在 (0,+ )上单调递
4 4
3 3 3 2
3 2
增，有1.44 1.14 。又因为1.1 1， 0，所以1.14 1.13 ，得
4 3
2 3 3
1.13 1.14 1.44 。
3. 答案： a c b
解析： 由题意得m 1=1，解得m = 2，将点 (2,8)代入函数中，解得n = 3。因为3 1，
2 3
ln ，所以a c b。
2 3
4. 答案： c b a
1 1 1
解析： 观察发现b 和 c的幂均为 ，因为 0，所以函数 y = x 4 在 (0,+ )上单调递
4 4
3 1 1
减，有c b。又因为0 1， ，所以b a，得c b a。
4 4 3
45
5. 答案： c b a
1 1
2 3 2 2
解析： 由题意得m2 m 5 =1且m 0，解得m = 2。则有a = ，b = ， 2 2


2 4
1 2 2 1 1
c = = 。又因为0 1，4 0，所以c b a。
2 2 2 2 3
46
指数函数 参考答案
立竿见影
13
1. 答案： +
2
1 4 3 5 13 解析： 原式= 1+ 16 + 3 = 1+8+ 3 = + 。
3 0.0064 2 2
2. 答案： 4 2
解析： x2 x 2 = (x1 x 1 )(x1 + x 1 ) = 4(x1 x 1 )， ， x1 x 10 x 1 0，
2 2
(x1 x 1 ) = (x1 x 1 ) = (x1 + x 1
1
) 4 x = 2 3， x2 x 2 = 8 3，
x
2
1 1 1 1 2 2
1 x x 8 3x2 + x 2 = x2 + x 2 = x + x + 2 = 6 ，得 = = 4 2 。 1 1
6x2 + x 2
3. 答案： x = 1
2
解析： 令 x ( )，得 4x+1 = 4 4x = 4 (2x ) = 4t 2
1
2 = t t 0 ，有4t2 +7t 2 = 0，解得 t = 或 t = 2
2
1
（舍去）， 2x = ，即 x = 1。
2
4. 答案： C
解析： 由指数函数性质可得，当 x = 2时， f (2) = a2 2 +1= 2，即定点M (m,n)为
M (2, 2)，得 g ( x) = 2 2x ，函数经过第一象限、第二象限以及第四象限，故选 C。
47
5. 答案： ( ,1)
t
1
解析： 由函数单调性的“同增异减”， f (t ) = 为单调递减函数，要求题给函数的单调
2
递增区间，需要求 g (x) = x2 2x + 6的单调递减区间，得此时递减区间为 ( ,1)即
原函数的单调递增区间为 ( ,1)。
6. 答案： D
解析： 由指数函数的单调性可得，在区间 1, 2 上的最大值与最小值在区间端点取到，即
a a2 1
= 3或 = 3，解得 a = 或3，故选 D。
a2 a 3
7. 答案： B
x 2
1
解析：
x 2
2
= (2) = 2
4 2x，又 f ( x) = 2x 在定义域内是单调递增函数，可得
4
x2
1
+1 4 2x，解得 x 3 x 1。当 3 x 1时， 2 1，故选 B。
8
8. 答案： ( 1,3
2
解析： 设函数 x 2xg ( x) = x2 2x，已知 f ( x) = 2 在区间 1, t 上的最大值为8，则
g ( x) = x2 2x在区间 1, t 上的最大值为3。因为 g ( x) = x2 2x开口向上，有
g ( 1) = g (3) = 3，所以实数 t的取值范围为 ( 1,3 。
48
9. 答案： C
解析： 求解函数定义域需满足2x +1 0，解得 x R，排除 A；由于
2 x 1 1 2x
f ( x) = = = f (x)，函数为奇函数，图像不关于 y 轴对称，排除 B；
2 x +1 1+ 2x
2x 1 2
由于 f (x) = =1 ，函数单调递增，排除 D；已知2x 0，所以
2x +1 2x +1
2
f (x) =1 1,1 ，C 正确，故选 C。
2x
( )
+1
3
10. 答案： （1）a = 2，b = 4；（2）m
4
f (1) = 8 b a = 8
解析： （1）由图像经过点 A(1,8)，B (3,32)可得方程组 ，即 ，解得
f (3) = 32 b a
3
= 32
a = 2
；
b = 4
x x x x
1 1 1 1
（2）不等式 + m 0在 x ( ,1 时恒成立，得

+ m在
2 4 2 4
x x
1 1
x ( ,1 时恒成立，即求 g (x) = + 在 x ( ,1 上的最小值。令
2 4
x
1 1 1
= t，在 x ( ,1 上得 t ，即求 g (t ) = t + t
2 在 t ,+ 上的最小值。可得
2 2 2
1 1 3 3
当 t = 时，取到最小值 g = ，所以实数m的取值范围为m 。
2 2 4 4
49
披荆斩棘
1. 答案： D
1.1
1
解析： 0 0.9 0a = ，b = ，c = 3 ,则 b =1，c 3 =1，且 ，a = 3
1.1
c 3 3，
3
即有 a c b，即 b c a。故选 D。
2. 答案： D
1.5
解析： y = 40.9 = 22 0.9 = 21.8， y = 80.48 = 23 0.48
1
1 2 = 2
1.44， y = = 21.53 ，
2
因为函数 y = 2x 在定义域上为单调递增函数，所以 y 。故选 D。 1 y3 y2
3. 答案： C
x
3 1 1 解析： 函数 y = 在定义域上单调递减，因为 ，所以a b。
5 3 4
1 3
3 3 27
函数 y = x 4 在 (0,+ )单调递减，又因为

1 = ，所以 b c。
5 2 8
故选 C。
4. 答案： B
x
3 3
解析： 由函数 y = 为减函数，可知b c，由函数 y = x 7 为增函数，可知a c。即
7
b c a。故选 B。
5. 答案： B
0.3 0.2
1 1
解析： b = c = 1，a = 0.3
2 1， a c b，故选 B。
2 2
50
对数函数 参考答案
立竿见影
13
1. 答案： +
2
2 0
解析： 原式= 4 + ( ) 2 13 162 1 + (lg5) + lg 2 (lg5+1) = + lg5 (lg5+ lg 2)+ lg 2 = 。
3 3 3
2. 答案： A
lg5 1 lg 2 1 a
解析： 由换底公式可得 lg12 5 = = = ，故选 A。
lg12 lg 2+ lg 2+ lg3 2a +b
3. 答案： ( 2, 2)
2x +3
解析： 令 =1，解得 x = 2，此时有 f ( 2) = log 1+ 2 = 2，所以图像过定点 ( 2, 2)。 a
x +1
1
4. 答案： ,1
2


2x 1 0
1 1
解析： 由题可得， log (2x 1) 0，解得 x 1，即定义域为 ,12 2
。
1
3
51
5. 答案： D
解析： 由函数单调性的“同增异减”， f (t ) = log1 t为单调递减函数，要求题给函数的单
2
调递增区间，需要求 2g ( x) = x2 2x的单调递减区间，且 x 2x 0。得此时递增区
间为 ( , 0)，即原函数的单调递增区间为 ( , 0)，故选 D。
6. 答案： D
1 3 3 3
解析： 令 x =1，解得 x = ，此时有 f = loga 1+ 2 = 2，所以图像过定点 , 2 。
2 2 2 2
由函数单调性的“同增异减”， f (t ) = log 3 t为单调递增函数，要求题给函数的单
2
调递增区间，需要求 g (x) = x2 4x 5的单调递增区间，且 x2 4x 5 0。
得此时递增区间为 (5,+ )，即原函数的单调递增区间为 (5,+ )，故选 D。
7. 答案： 0 a 1
解析： 由对数函数的值域为 R可得，在函数 f (x) = lg (ax2 2x + a)中， g (x) = ax2 2x + a
的值域需包含区间 (0,+ )。
当a = 0时，显然成立；
当a 0时，二次函数需开口向上且满足判别式 0，综上解得0 a 1。
8. 答案： 4,+ )
4
解析： 令n = x + t ，于是有函数 y = ln n，n 4 t。由题意得，n需满足能取遍所有正
x
数，即有4 t 0，解得 t 4。
52
1
9. 答案： ,1
2
1
ax 1 0 a 1 1 1
解析： 由题意得 ，有 x ，又因为 x 2，所以0 ，故a 。
x 1 0 x 2 2
x 1
ax 1 a 1
又 f (x) = lg = lg a + 在 2,+ )上是增函数，
x 1 x 1
a 1 1
需满足 在上单调递增，则a 1 0，即a 1。综上， a 1。
x 1 2
53
9
10. 答案： （1）a = 1；（2）见解析；（3）m
8
1+ ax 1 ax 1 a2x2
解析： （1）由题意得 f ( x)+ f (x) = log1 + log1 = log1 = 0，解得
x 1 x 1 x2 +1
2 2 2
2 1 xa =1。而当a =1时， f (x) = log1 = log1 ( 1)，舍去，故a = 1；
x 1
2 2
（2）证明：任取 x1， x (1,+ )，且 x1 x2。 2
1+ x 1+ x (1+ x1 )(x2 1) 有 f (x1 ) f (x2 ) = log
1 log 21 1 = log1 ，
x1 1 x2 1 x2 2 2 ( 1 1)(1+ x2 )
(1+ x1 )(x2 1) x x + x x 1
= 1 2 2 1 ， x1 x2，
(x1 1)(1+ x2 ) x1x2 + x1 x2 1
x1x2 + x2 x 1 (1+ x1 )(x2 11 ) 1， log1 0，即 f (x1 ) f (x2 ) 0，得证；
x1x2 + x1 x2 1 (x1 1)(1+ x2 2 )
x x
1+ x 1 1+ x 1
（3）不等式 log +m在 x 3, 4 时恒成立，得1 log 在1 m
x 1 2 x 12 2 2
x
1+ x 1
x 3, 4 时恒成立，即求 g (x) = log 在 x 3, 4 上的最小值。由（2）可1
x 1 22
x
1+ x 1得 log1 在 x 3, 4 上为增函数， 在 x 3, 4 上也为增函数，所以
x 1 2
2
x
1+ x 1
g (x) = log 在 x 3, 4 上为增函数，最小值为1
x 1 2
2
3
1+3 1 9 9
g (3) = log1 = ，所以实数m的取值范围为m 。
3 1 2 8 8
2
54
披荆斩棘
1. 答案： B
解析： 因为 log5 4 log4， log 3 log 3，故b a c。 5 4
2. 答案： B
解析： 实数 a，b 满足a b 1，m = log (log b)， n = (log b)2a ， l = log b
2
a ， a a
0 = loga1 logab logaa =1，
m = log (log b) log 1= 0， a a a
0 n = (log 2ab) 1， l = logab
2 = 2logab n = (logab)
2。
m， n， l的大小关系为 l n m。故选：B。
a b
3. 答案： loga logb logba logab．
b a
解析： a2 b a 1，
b a
logab 1，0 log a 1，0 logb =1 logba 1， loga =1 logab 0。 b
a b
b b b b
再比较 log a和 logb ， logb logba = logb logb1= 0，故 logb logb 2 ba， a a a a
a b
loga logb logba logab。
b a
4. 答案： a b
ln 3 ln 2 a ln 3 2 2ln3 ln 9
解析： a = 0，b = 0。 = = = = log89 1。
3 2 b 3 ln 2 3ln2 ln8
55
5. 答案： a c b
解析： 实质是比较指数部分得大小，指数部分分别是三个对数值，将底数化为相同之后易
得a c b。
56

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