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第十一章　三角形
11.1　与三角形有关的线段
11.1.1　三角形的边
学习目标
1.认识三角形，了解三角形的概念，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.(重点)
2.经历度量三角形边长的实践活动，理解三角形的三边关系.(重点)
3.掌握判断任意三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题.(重、难点)
自主学习
学习任务一　探索三角形的相关知识
1.三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段　　　　所组成的图形叫做三角形.如图1，记作　　　　.
图1
2.如图1，A，B，C是三角形的　　　；　　　　、　　　　、　　　　是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
3.如图1，线段　　　　、　　　　、　　　　是三角形的边，三角形的三边可用小写字母来表示，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用　　　　表示，顶点C所对的边AB用　　　　表示.
学习任务二　探索三角形的分类
1.根据三角形三个内角的大小来分类
三角形
2.根据三角形三条边的相等关系分类
三角形
学习任务三　探索三角形的三边关系
如图2，假设有一只小虫要从点B出发，沿三角形的边爬到点C处，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？
图2
我们可以得出三角形三边有如下关系：　 　　　.
学习任务四　探索应用三角形三边的关系解决实际问题
用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
合作探究
小组合作探究下列问题：
下列长度的三条线段，能组成三角形的是(　　)
A.3，4，8 B.5，6，10
C.5，5，11 D.5，6，11
当堂达标
1.下列说法正确的是(　　)
A.由三条线段组成的图形叫做三角形
B.顶点A所对应的边为直线BC
C.三条边分别为a，b，c的三角形记作△abc
D.等边三角形是等腰三角形
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　)
A.4，7，10 B.4，7，11
C.3，4，8 D.4a，4a，8a(a>0)
3.如图3，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5 m，PB＝4 m，那么点A与点B之间的距离不可能是(　　)
A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m
　　
　 图3　　　　　　　　　图4
4.如图4，图中有　　　　个三角形，把它们用符号分别表示为　　　　.
5.若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足+(b-2)2＝0，则第三边c的取值范围是　　　　.
6.已知等腰三角形的两边长分别为11 cm和5 cm，则它的周长为　　　　.
7.用一条长为36 cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8 cm的等腰三角形吗？为什么？
8.已知等腰三角形的一边长为24 cm，腰长是底边长的2倍，求这个三角形的周长.
课后提升
1.如果a，b，c为三角形的三边长，且(a-b)2+(a-c)2 +|b-c|＝0，则这个三角形是　　　　.
2.已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足(b-2)2 +|c-3|＝0，且a为方程|a-4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.D　2.A　3.D
4.5　△ABC，△ECB，△ABD，△EDC，△BDC
5.16.27 cm　解析：因为用5 cm作为腰长，5+5<11，构不成三角形，所以腰长只能是11 cm，此时周长为11+11+5＝27(cm).
7.解：能.
因为长为8 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需分两种情况讨论.
(1)如果8 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则有x+x+8＝36，解得x＝14.
(2)如果8 cm长的边为腰，设底边长为x cm，则有8+8+x＝36，解得x＝20.
因为8+8<20，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是8 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是8 cm的等腰三角形.
8.解：当腰长为24 cm时，底边长为12 cm，
则三边长为12 cm，24 cm，24 cm，
所以三角形的周长为12+24+24＝60(cm)；
当底边长为24 cm时，腰长为48 cm，
则三边长为24 cm，48 cm，48 cm，
所以三角形的周长为24+48+48＝120(cm).
所以这个三角形的周长为60 cm或120 cm.
课后提升
1.等边三角形　解析：∵ (a-b)2+(a-c)2+|b-c|＝0，
∴ a-b＝0，a-c＝0，b-c＝0，∴ a＝b，a＝c，b＝c，
∴ a＝b＝c，∴ 这个三角形是等边三角形.
2.解：∵ (b-2)2+|c-3|＝0，∴ b-2＝0，c-3＝0，
解得b＝2，c＝3.
∵ a为方程|a-4|＝2的解，
∴ a-4＝±2，解得a＝6或2.
∵ a，b，c为△ABC的三边长，b+c<6，
∴a＝6不合题意，舍去，∴ a＝2，
∴ △ABC的周长为2+2+3＝7，
△ABC是等腰三角形.
11.1.2　三角形的高、中线与角平分线
学习目标
1.认识三角形的高、中线、角平分线；会画出任意三角形的高、中线、角平分线，通过画图、折纸了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线会交于一点.(重、难点)
2.在画、折等实践操作活动过程中，发展和培养空间观念、推理能力及创新精神，提高用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养动手实践能力.(难点)
3.通过对问题的解决，使学生有成就感，培养合作精神，树立学好数学的信心.
自主学习
学习任务一　探索三角形的高的有关知识
1.作出下列三角形三边上的高：
　　
　 ① ② ③
图1
2.如图2，AD是△ABC的边BC上的高，则∠ADC＝　　　　＝　　　　°.
图2
3.由作图可得出如下结论：
(1)三角形的三条高所在的直线相交于　　　　点；
(2)锐角三角形的三条高相交于三角形的　　　　；
(3)钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的　　　　；
(4)直角三角形的三条高相交于三角形的　　　　.
学习任务二　认识并会画三角形的中线
自学教材第4页三角形的中线，并完成下列各题：
1.作出下列三角形三边上的中线.
　　
图3
2.若AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD＝　　　　＝　　　　.
3.由作图可得出如下结论：
(1)三角形的三条中线相交于　　　　点；
(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的　　　　；
(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的　　　　；
(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的　　　　；
(5)交点我们叫做三角形的　　　　.
学习任务三　认识并会画三角形的角平分线
1.作出下列三角形的角平分线：
　　
图4
2.若AD是△ABC中∠BAC的平分线，则∠BAD＝　　　　＝　　　　.
3.由作图可得出如下结论：
(1)三角形的三条角平分线相交于　　　　点；
(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的　　　；
(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的　　　；
(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的　　　.
总结：三角形的高、中线、角平分线都是　　　　.
合作探究
例1　小组合作探究下列问题：
(1)如图5，CD，BE是△ABC的角平分线，它们相交于点I，则
①∠ACD＝　　　　＝　　　　∠ACB，∠ABC＝　　　　∠ABE.
②若∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，则∠BIC＝　　　　.
③你能画出△ABC的第三条角平分线吗？
图5 图6
(2)如图6，
①若AD是△ABC的中线，则BD＝　　　　＝　　　　BC，BC＝　　　　BD.
②若BD＝CD，则AD是△ABC的　　　　.
③若AD是△ABC的中线，则△ABD的面积与△ADC的面积有什么关系？
例2　在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，求AC的长.
例3　如图7所示，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数.
图7　 　
当堂达标
1.(长沙中考)如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是(　　)
　　　　
A　　　　　　　　　B
　　　
C　　　　　　　　 D
2.一定能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的(　　)
A.高线 B.中线 C.角平分线 D.不确定
3.如图8所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是(　　)
A.∠C的对边是DE B.BD是△ABC的中线
C.AD＝DC，BE＝EC D.DE是△ABC的中线
　　　
图8　　　　　　　　　图9
4.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是　　　　.
5.如图9所示，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，S△ABC＝4 cm2，则S△ABE＝　　　　.
6.如图10所示，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线.
(1)求∠DAE的度数；
(2)指出AD是哪几个三角形的高.
图10　
7.如图11所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B.
(1)试说明CD是△ABC的高.
(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长.
图11　　　
课后提升
如图12所示，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线.
(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数.
(2)试问∠DAE与∠C-∠B有怎样的数量关系？说明理由.
图12　　　
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　 　　
　 　　
参考答案
当堂达标
1.A　2.B　3.D　4.直角三角形　5.1 cm2
6.解：(1)∵ ∠BAC＝80°，AE是∠BAC的平分线，
∴ ∠CAE＝40°.
∵ AD⊥BC，∠C＝60°，∴ ∠CAD＝30°.
∴ ∠DAE＝∠CAE-∠CAD＝10°.
(2)△ABC，△ABE，△AED，△ACD，△ACE，△ABD.
7.解：(1)∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠A+∠B＝90°.
∵ ∠1＝∠B，∴ ∠A+∠1＝90°，
∴ ∠ADC＝90°，∴ CD是△ABC的高.
(2)∵ ∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴ △ABC的面积为24.
∵ AB＝10，CD是高，∴ CD＝4.8.
课后提升
解：(1)∵ ∠B＝30°，∠C＝50°，
∴ ∠BAC＝180°-30°-50°＝100°.
∵ AE是∠BAC的平分线，∴ ∠BAE＝50°.
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°-∠B＝60°，
∴ ∠DAE＝∠BAD-∠BAE＝60°-50°＝10°.
(2)2∠DAE＝∠C-∠B.(∠C >∠B)
理由：在△ABC中，∠BAC＝180°-∠B-∠C，
∵ AD是△ABC的高，∴ ∠BAD＝90°-∠B.
∵ AE是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAE＝∠BAC＝(180°-∠B-∠C)，
∴ ∠DAE＝∠BAD-∠BAE＝90°-∠B-(180°-∠B-∠C)＝(∠C-∠B)，
∴ 2∠DAE＝∠C-∠B.(∠C>∠B).
11.1.3　三角形的稳定性
学习目标
1.通过观察、实验、想象、推理、交流等活动，了解三角形的稳定性，认识四边形的不稳定性.(重点)
2.能判断一般的图形是否具有稳定性.(重点)
3.培养从周围生活中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题的能力，从而体验到数学与日常生活的密切联系.(重难点)
4.在活动中培养知识迁移的能力、创造性思维能力.(重点)
自主学习
学习任务一　通过实际操作探索三角形的稳定性和四边形的不稳定性
1.问题1：如图1，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条.为什么要这样做呢？
2.问题2：如图2，把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
图1　　 　　 图2 　 　　　 图3　 　　图4
3.问题3：如图3，把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
4.问题4：如图4，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
5.问题5：经过以上实验，你发现了什么规律？
结论：　　 　　.
学习任务二　通过生活中的实例感受三角形的稳定性和四边形的不稳定性在生产和生活中的应用
钢架桥 　　　　　 屋顶钢架　 起重机　　　 　活动挂架　
　　　　　　　　　② 　 ③　　　　　　　④　
图5
以上设计分别是利用了三角形和四边形的什么性质？
学习任务三　应用三角形的稳定性解决实际问题
例1　下列图形中哪些具有稳定性？
　　　　　
　　　　　 ②　　　 ③　　 ④　　　　　 ⑤ ⑥
图6
合作探究
例2　要使四边形木架不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？小组合作探究下列问题.
　　　　
图7
例3　大家经常看到有些学校、小区等的大门都使用了伸缩门(如图8所示)，它常常做成四边形的形状，你知道这是为什么吗？
图8
当堂达标
1.如图9所示，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是(　　)
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
(
图
9
)2.工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形，这种做法的依据是　　　　　　　　；学校门口能伸长、收缩的自动门利用了四边形
的　　　　.
3.三角形的稳定性在生活或生产实践中具有广泛的应用，请你举一例进行说明　　　　.
4.站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳，这是利用了　　　　.
5.如图10所示，回答下列问题：
(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上　　　　根木条；
(2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上　　　　根木条；
(3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上　　　　根木条；
(4)试一试！n(n≥4)边形不具有稳定性，要使n边形木架不变形，请问至少要再钉上多少根木条？
图10
反思感悟
我的收获：
　 　　　
我的易错点：
　　　 　
参考答案
当堂达标
1.A
2.三角形具有稳定性　不稳定性
3.答案不唯一，如塔吊支架等
4.三角形的稳定性
5.(1)1　(2)2　(3)3　(4)n-3

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