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第六章 数列
专题2：等差数列
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
提醒：等差数列的定义用递推公式表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
2．等差数列的通项公式
(1)若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝ak＋(n－k)d.
提醒：当d≠0时，等差数列通项公式可以看成关于n的一次函数an＝dn＋(a1－d)．
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b.
4. 等差数列的前n项和公式
Sn＝na1＋d＝.
提醒：数列{an}是等差数列 数列的前n项和公式Sn＝n2＋n Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，所以当d≠0时，等差数列前n项和公式可以看成关于n的二次函数，且常数项为0.
等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(4)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.
(5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S偶－S奇＝nd，＝.
(6)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.
考点一　等差数列基本量的运算
1．（2022·四川成都·高一期末）我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个节气的晷长损益相同.晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始.二十四节气及晷长变化如图2所示.已知谷雨时节晷长为5.5尺，霜降时节晷长为9.5尺，则二十四节气中晷长的最大值为（ ）
A．14.5 B．13.5 C．12.5 D．11.5
【答案】B
【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，由图可知冬至的晷长最大，设为，从冬至到谷雨减少，从霜降到冬至增加，然后根据题意列方程组可求得答案
【详解】
设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，由图可知冬至的晷长最大，设为，从冬至到谷雨减少，从霜降到冬至增加，则
，解得，
所以二十四节气中晷长的最大值为，
故选：B
2．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知求出和公差，再由等差数列通项公式求解即可；
（2）写出的通项公式，可知当时，，当时，；再利用求和公式分别在两个范围内求解.
(1)由题意得：，解得，；
(2)，当时，，；时，，；
当时，；
当时，；即
，综上所述：.
解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
考点二　等差数列的判定与证明
1．（2022·全国·高三专题练习）由数列和的公共项组成的数列记为，已知，，若为递增数列，且，则______．
【答案】
【分析】由已知可得，设即，再检验是否为中的项，再计算，根据求得和的值即可求解.
【详解】
因为，所以，，
因为，所以，，
因为数列和的公共项组成的数列记为，
所以，
设即，
，可得：，所以不是中的项，
，因为，所以是中的项，
所以，
因为，，所以，，，
所以，所以，，，
所以，所以，，所以，
故答案为：.
2．（2022·江苏·高二课时练习）如果数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，那么数列是等差数列吗？
【答案】不一定.
【分析】分与讨论，结合等差数列的定义即可判断.
【详解】当时，对任意的，时，，
可得，
所以数列是等差数列；
当时，对任意的，，都有，不能推出数列是等差数列，
例如，时，数列2，0，4，3，6, 6，8满足，但数列显然不是等差数列.
综上，数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，那么数列不一定是等差数列.
3．（2022·全国·高二期末）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
(2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
(3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)
【答案】(1)数列具有性质，理由见解析；
(2)，；
(3)有限个.
【分析】（1）由题意，由性质的定义，即可知是否具有性质.
（2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；
（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需为整数，即可判断数列的个数是否有限.
(1)由，对任意正整数，，
说明仍为数列中的项，
∴数列具有性质.
(2)设的公差为．由条件知：，则，即，
∴必有且，则，
而此时对任意正整数，，
又必一奇一偶，即为非负整数
因此，只要为整数且，
那么为中的一项．
易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.
(3)同（2）知：，则，
∴必有且，则，
故任意给定，公差均为有限个，
∴具有性质的数列是有限个.
4．（2022·辽宁抚顺·高二期末）已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】(1)对条件进行代数变换，即可证明 是等差数列；
(2)对 裂项求和即可.
(1)因为 ，所，
则，所以数列是以 为首项，公差等于1的等差数列，
∴，即；
(2)
，
则；
综上，， .
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
考点三　等差数列性质的应用
等差数列项的性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，项数为27的等差数列满足，且公差，若，当时，则的值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】A
【分析】根据题意得到是奇函数，结合等差数列有27项，利用等差数列的性质，即可得到答案.
【详解】由函数是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．
而等差数列有27项，，
若，则必有，所以．
故选：A.
2．（2022·辽宁大连·高二期末）已知是等差数列，，，则的公差等于（ ）
A．3 B．4 C．-3 D．-4
【答案】C
【分析】利用等差数列下标和性质得出，进而可得公差．
【详解】，，
则的公差，
故选：C
3．（2022·云南红河·高二期末）设等差数列的前n项和为，若，则_________．
【答案】20
【分析】根据等差数列下标和的性质计算.
【详解】由题意得，故.
故答案为：20.
4．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，．
(1)求数列前项和的最小值；
(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】
（1）由等差数列的性质及已知等量关系可得，结合求基本量，进而写出前n项和，即可求的最小值；
（2）由（1）得，令有，即可得，求出m值并判断对应值是否为中的项即可.
（1）设等差数列的公差为，由题设得：，即，所以，又，由于，所以，即①，由得：②，联立①②解得，，则，所以．当时，.
（2）由（1）知：令，则，中的项均为整数，要使为中的项，则可整除4．由为奇数，故可取值； 当时，可得此时又，故为中的项．当时，可得此时，又，故为中的项．综上，或时，使得为数列中的项．
等差数列前n项和的性质
1．（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列片段和性质可构造方程求得结果.
【详解】由等差数列性质知：，，成等差数列，
，即，解得：.
故选：C.
2．（2022·湖北武汉·高二期末）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是数列中的项
C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列
【答案】AD
【分析】根据题意，可得数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，逐项求解即可．
【详解】，，
数列为首项为，公差为的等差数列，
则，
，为递增数列，A正确，
令，得，不满足题意，故B错误，
，且为递增数列，
数列中的最小项为，故C错误，
，
，则数列是等差数列，故D正确．
故选：AD
3．（2020·河北·唐山市第二中学高一阶段练习）已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.
【答案】2
【分析】利用等差数列的性质以及前n项和求解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
又，所以.
故答案为：2.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则__________.
【答案】16
【分析】根据递推关系式求得数列{}的奇数项是首项为1，公差为﹣3的等差数列，偶数项是首项为﹣4，公差为﹣3的等差数列，进而求出其2n项的和，即可求解结论．
【详解】数列满足，
，且，
，
数列的奇数项是首项为1，公差为的等差数列，
偶数项是首项为，公差为的等差数列，
(负值舍去)，
，此时n无正整数解，
若，则，
故答案为：16.
5．（2022·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．
【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
利用等差数列的性质解题的三个关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质，如利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分．
(2)在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化．
(3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.
等差数列的前n项和及其最值
1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A． B．52 C．54 D．55
【答案】D
【分析】利用求和公式可得公差为，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
故.
又函数的对称轴为直线，
而，
故当时，取得最大值.
故选：D.
2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）对于数列，定义为的“伴生数列”，已知某数列的“伴生数列”为，则________；记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】 ； .
【分析】根据数列的新定义可得，据此得当时，，两式相减即可求出通项公式，令，根据等差数列和的最大值的性质可得求解即可.
【详解】
因为，所以①，
所以当时，，当时，②，① ②：，所以，综上：，，
令，则，可知为等差数列，
又因为对任意，恒成立，所以
则有 解得．
故答案为：；
3．（2021·上海市建平中学模拟预测）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，当________时，取得最大值．
【答案】
【分析】，把代入得，代入得，根据二次函数配方可得答案.
【详解】
，
把代入得，
又因为，代入得，
根据二次函数配方得：
，即当时，达到最大.
故答案为：1.5 .
4．（2022·四川内江·高一期末（文））已知等比数列的前n项和为，且，.
(1)求通项公式；
(2)若的前3项按某种顺序重新排列后是递增等差数列的第八、九、十项，求的前n项和的最小值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，即可求出、，从而求出通项公式；
（2）列出数列的前项，再按照要求排列，即可求出的通项公式，再根据数列的单调性及前项和公式计算可得；
(1)解：设等比数列的公比为，由，，
所以，，解得或，
所以或.
(2)解：若，则前项均为，显然不满足是递增的等差数列，故舍去；
所以，则，，，
因为是递增的等差数列，所以，，，
所以公差，
所以，
所以当时，时，
所以当时取得最小值，即；
求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
传统文化中的数列问题
(多选)(2021·日照校际联合考试)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　)
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
【答案】ABD　
【解析】由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，则d＝10，
同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d ′＝－10，
故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；
因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d ′＝135－60＝75，
因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，
故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；
因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，
又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；
因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，
所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d ′＝135－30＝105，
所以b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．故选ABD．
1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】
设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
2．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
3．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】
由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
4．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
（1）解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．
一、单选题
1．设等差数列的前项和为，，则（ ）
A．56 B．63 C．67 D．72
【答案】B
【分析】结合等差数列通项公式化简等式，可求得，再结合求值即可；
【详解】
设的公差为，则，所以，所以.
故选：B
2．在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用等比中项得，从而可求公差d，即可得等差数列通项公式.
【详解】
解：设等差数列的公差为d，又，，成等比数列，
所以，则，解得：
所以.
故选：D.
3．已知等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设等差数列的公差为，依题意求出公差，即可求出通项公式，再代入计算可得.
【详解】
解：设等差数列的公差为，由、，
所以，
所以，
所以.
故选：B
4．等差数列中，，，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据条件求出即可.
【详解】
因为，，
所以可解得，所以，
故选：C
5．我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】D
【分析】由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．
【详解】
解：设甲，乙每天织布分别记为数列，，
由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，
故，
即，
因为在上单调递增，当时，，而，
故的解为,故至少需要5天，
故选：D．
6．在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可
【详解】
由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故
故选：D
7．等差数列的前项和为，若，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．数列是递减数列 D．
【答案】D
【分析】由，结合可判断选项A; 由等差数列的前项和可得，，结合选项A中得出的结论可判断选项B；由，，可得，，从而，可判断选项C；由可判断选项D.
【详解】
由，则，即，
又，故A正确；
，，
则，故，B正确；
由，，即，
所以，数列是递减数列，故C正确；
，D错误.
故选：D
8．骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和（ ）
A．134 B．133 C．114 D．113
【答案】B
【分析】根据等差数列的前项和公式计算．
【详解】
由题意7个齿轮的齿轮数构成等差数列，首末两项分别为10和28，
所以所有齿数之和为．
故选：B．
二、多选题
9．已知数列满足：，，下列说法正确的是（ ）
A．，成等差数列 B．
C． D．，一定不成等比数列
【答案】BCD
【分析】根据题意得，再结合数列单调性与得，可判断B选项；由递推关系式易得，进而可判断AD选项；根据数列单调性得，进而可得判断C.
【详解】
解：因为，
所以，且，
所以①，
所以②
所以，②-①整理得：
因为，
所以数列为单调递增数列，
所以，即，故B选项正确；
对于A选项，若，成等差数列，则成等差数列，由递推关系得，显然不满足等差数列，故A选项错误；
对于C选项，因为，数列为单调递增数列，
所以，即，
所以，因为，所以，
所以，从第2项起，数列介于以为首项，公比分别为和为公比的等比数列对应项之间，
所以，故C选项正确；
对于D选项，假设，成等比数列，则成等比数列，由递推关系得，显然不满足等比数列定义，故D正确；.
故选：BCD
10．已知等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
【答案】CD
【分析】根据等差数列的定义和通项公式，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由，又由，
因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以A不一定正确；
对于B中，由，又由，
因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以B不一定正确；
对于C中，因为，可得，且，
又因为，所以
又由，所以等号不成立，即，所以C正确.
对于D中，由等差数列的定义知，所以D正确.
故选：CD.
11．已知函数，，动直线l过原点且与曲线相切，切点的横坐标从小到大依次为，，.则下列说法错误的是（ ）
A． B．数列为等差数列
C． D．
【答案】ABC
【分析】先依据题给条件求得，从而得到选项BC判断错误；再依据题给条件求得，进而得到选项A判断错误，选项D判断正确.
【详解】
，，则，
设切点坐标，则切线斜率
则，
整理得
则选项BC错误；
由，则选项D判断正确；
若，则，则，这与题意矛盾，故选项A判断错误.
故选：ABC
12．等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．公差 B．
C．是各项中最大的项 D．是中最大的值
【答案】ABD
【分析】由得：，进而再等差数列的性质逐个判断即可
【详解】
由得：，
所以，且各项中最大的项为，故A正确，C错误；
，所以，故B正确；
因为，等差数列递减，所以最大，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．已知数列，满足，，，则______.
【答案】
【分析】根据已知条件转化式子得出，进而求出数列的通项公式即得数列的通项公式，再求出数列的通项公式，进一步求出答案即可.
【详解】
，，，，
，
，即：，
是以首项为，公差为的等差数列，
，，
，
.
故答案为：.
14．已知，则的值等于__．
【答案】320
【分析】
由题意可得，进而求得即可
【详解】
∵，
∴，则
∴
故答案为：320．
15．设等差数列的前n项和为，若，则________.
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以.
故答案为：.
16．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为___________
【答案】
【分析】根据给定条件，求出m，n的值，再利用正弦定理、二倍角的正弦及三角函数性质求解作答.
【详解】
依题意，方程的四个根为，且成等差数列，
则有，，解得，，
则，锐角中，，则有，且，解得，，
由正弦定理得：，
所以的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.
(1)证明：是等差数列；
(2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列定义和可得答案；
（2）由可构成三角形的三边可得，利用又，根据的范围可得答案.
（1）（1）因为是公差为的等差数列，时，，即，所以，又，所以，所以是等差数列.
（2）因为可构成三角形的三边，所以，即，又，且，所以.
18．记为数列{}的前项和，已知
(1)证明：{}是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用与的关系结合等差数列的定义即可证明；
（2）利用等差数列的通项公式与等比中项的性质求出，从而得到，再结合基本不等式求解即可.
（1）由已知①∴②由①-②，得即∴，且∴是以2为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，∵，，成等比数列，∴即，解得∴∴当且仅当，即时，的最小值为
19．已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知得，再当时，，验证满足，可得数列的通项公式为.从而得数列的通项公式；
（2）由（1）得，再运用分组求和法和裂项求得法求得，可得证.
（1）解：因为，所以，当时，，由于满足，所以的通项公式为.因为，所以.
（2）证明：由（1）得，所以，所以.
20．已知是公比为的等比数列，前项和为，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)根据等比数列的通项公式与求和公式求出首项与公比，即可求的通项公式；
(2)由对数的运算可得数列是等差数列，根据等差数列的求和公式即可求解.
【详解】
解：(1)由已知，得或（舍去），
又，由，解得，所以；
(2)由题意得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
则
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第六章 数列
专题2：等差数列
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列．
提醒：等差数列的定义用递推公式表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
2．等差数列的通项公式
(1)若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝ .
(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝ .
提醒：当d≠0时，等差数列通项公式可以看成关于n的一次函数an＝dn＋(a1－d)．
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝ .
4. 等差数列的前n项和公式
Sn＝ ＝.
提醒：数列{an}是等差数列 数列的前n项和公式Sn＝n2＋n Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，所以当d≠0时，等差数列前n项和公式可以看成关于n的二次函数，且常数项为0.
等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(4)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.
(5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S偶－S奇＝nd，＝.
(6)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.
考点一　等差数列基本量的运算
1．（2022·四川成都·高一期末）我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个节气的晷长损益相同.晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始.二十四节气及晷长变化如图2所示.已知谷雨时节晷长为5.5尺，霜降时节晷长为9.5尺，则二十四节气中晷长的最大值为（ ）
A．14.5 B．13.5 C．12.5 D．11.5
【答案】B
【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，由图可知冬至的晷长最大，设为，从冬至到谷雨减少，从霜降到冬至增加，然后根据题意列方程组可求得答案
【详解】
设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，由图可知冬至的晷长最大，设为，从冬至到谷雨减少，从霜降到冬至增加，则
，解得，
所以二十四节气中晷长的最大值为，
故选：B
2．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知求出和公差，再由等差数列通项公式求解即可；
（2）写出的通项公式，可知当时，，当时，；再利用求和公式分别在两个范围内求解.
(1)由题意得：，解得，；
(2)，当时，，；时，，；
当时，；
当时，；即
，综上所述：.
解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
考点二　等差数列的判定与证明
1．（2022·全国·高三专题练习）由数列和的公共项组成的数列记为，已知，，若为递增数列，且，则______．
【答案】
【分析】由已知可得，设即，再检验是否为中的项，再计算，根据求得和的值即可求解.
【详解】
因为，所以，，
因为，所以，，
因为数列和的公共项组成的数列记为，
所以，
设即，
，可得：，所以不是中的项，
，因为，所以是中的项，
所以，
因为，，所以，，，
所以，所以，，，
所以，所以，，所以，
故答案为：.
2．（2022·江苏·高二课时练习）如果数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，那么数列是等差数列吗？
【答案】不一定.
【分析】分与讨论，结合等差数列的定义即可判断.
【详解】当时，对任意的，时，，
可得，
所以数列是等差数列；
当时，对任意的，，都有，不能推出数列是等差数列，
例如，时，数列2，0，4，3，6, 6，8满足，但数列显然不是等差数列.
综上，数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，那么数列不一定是等差数列.
3．（2022·全国·高二期末）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
(2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
(3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)
【答案】(1)数列具有性质，理由见解析；
(2)，；
(3)有限个.
【分析】（1）由题意，由性质的定义，即可知是否具有性质.
（2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；
（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需为整数，即可判断数列的个数是否有限.
(1)由，对任意正整数，，
说明仍为数列中的项，
∴数列具有性质.
(2)设的公差为．由条件知：，则，即，
∴必有且，则，
而此时对任意正整数，，
又必一奇一偶，即为非负整数
因此，只要为整数且，
那么为中的一项．
易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.
(3)同（2）知：，则，
∴必有且，则，
故任意给定，公差均为有限个，
∴具有性质的数列是有限个.
4．（2022·辽宁抚顺·高二期末）已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】(1)对条件进行代数变换，即可证明 是等差数列；
(2)对 裂项求和即可.
(1)因为 ，所，
则，所以数列是以 为首项，公差等于1的等差数列，
∴，即；
(2)
，
则；
综上，， .
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
考点三　等差数列性质的应用
等差数列项的性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，项数为27的等差数列满足，且公差，若，当时，则的值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】A
【分析】根据题意得到是奇函数，结合等差数列有27项，利用等差数列的性质，即可得到答案.
【详解】由函数是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．
而等差数列有27项，，
若，则必有，所以．
故选：A.
2．（2022·辽宁大连·高二期末）已知是等差数列，，，则的公差等于（ ）
A．3 B．4 C．-3 D．-4
【答案】C
【分析】利用等差数列下标和性质得出，进而可得公差．
【详解】，，
则的公差，
故选：C
3．（2022·云南红河·高二期末）设等差数列的前n项和为，若，则_________．
【答案】20
【分析】根据等差数列下标和的性质计算.
【详解】由题意得，故.
故答案为：20.
4．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，．
(1)求数列前项和的最小值；
(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】
（1）由等差数列的性质及已知等量关系可得，结合求基本量，进而写出前n项和，即可求的最小值；
（2）由（1）得，令有，即可得，求出m值并判断对应值是否为中的项即可.
（1）设等差数列的公差为，由题设得：，即，所以，又，由于，所以，即①，由得：②，联立①②解得，，则，所以．当时，.
（2）由（1）知：令，则，中的项均为整数，要使为中的项，则可整除4．由为奇数，故可取值； 当时，可得此时又，故为中的项．当时，可得此时，又，故为中的项．综上，或时，使得为数列中的项．
等差数列前n项和的性质
1．（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列片段和性质可构造方程求得结果.
【详解】由等差数列性质知：，，成等差数列，
，即，解得：.
故选：C.
2．（2022·湖北武汉·高二期末）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是数列中的项
C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列
【答案】AD
【分析】根据题意，可得数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，逐项求解即可．
【详解】，，
数列为首项为，公差为的等差数列，
则，
，为递增数列，A正确，
令，得，不满足题意，故B错误，
，且为递增数列，
数列中的最小项为，故C错误，
，
，则数列是等差数列，故D正确．
故选：AD
3．（2020·河北·唐山市第二中学高一阶段练习）已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.
【答案】2
【分析】利用等差数列的性质以及前n项和求解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
又，所以.
故答案为：2.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则__________.
【答案】16
【分析】根据递推关系式求得数列{}的奇数项是首项为1，公差为﹣3的等差数列，偶数项是首项为﹣4，公差为﹣3的等差数列，进而求出其2n项的和，即可求解结论．
【详解】数列满足，
，且，
，
数列的奇数项是首项为1，公差为的等差数列，
偶数项是首项为，公差为的等差数列，
(负值舍去)，
，此时n无正整数解，
若，则，
故答案为：16.
5．（2022·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．
【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
利用等差数列的性质解题的三个关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质，如利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分．
(2)在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化．
(3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.
等差数列的前n项和及其最值
1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A． B．52 C．54 D．55
【答案】D
【分析】利用求和公式可得公差为，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
故.
又函数的对称轴为直线，
而，
故当时，取得最大值.
故选：D.
2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）对于数列，定义为的“伴生数列”，已知某数列的“伴生数列”为，则________；记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】 ； .
【分析】根据数列的新定义可得，据此得当时，，两式相减即可求出通项公式，令，根据等差数列和的最大值的性质可得求解即可.
【详解】
因为，所以①，
所以当时，，当时，②，① ②：，所以，综上：，，
令，则，可知为等差数列，
又因为对任意，恒成立，所以
则有 解得．
故答案为：；
3．（2021·上海市建平中学模拟预测）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，当________时，取得最大值．
【答案】
【分析】，把代入得，代入得，根据二次函数配方可得答案.
【详解】
，
把代入得，
又因为，代入得，
根据二次函数配方得：
，即当时，达到最大.
故答案为：1.5 .
4．（2022·四川内江·高一期末（文））已知等比数列的前n项和为，且，.
(1)求通项公式；
(2)若的前3项按某种顺序重新排列后是递增等差数列的第八、九、十项，求的前n项和的最小值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，即可求出、，从而求出通项公式；
（2）列出数列的前项，再按照要求排列，即可求出的通项公式，再根据数列的单调性及前项和公式计算可得；
(1)解：设等比数列的公比为，由，，
所以，，解得或，
所以或.
(2)解：若，则前项均为，显然不满足是递增的等差数列，故舍去；
所以，则，，，
因为是递增的等差数列，所以，，，
所以公差，
所以，
所以当时，时，
所以当时取得最小值，即；
求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
传统文化中的数列问题
(多选)(2021·日照校际联合考试)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　)
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
【答案】ABD　
【解析】由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，则d＝10，
同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d ′＝－10，
故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；
因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d ′＝135－60＝75，
因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，
故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；
因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，
又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；
因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，
所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d ′＝135－30＝105，
所以b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．故选ABD．
1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
2．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
4．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
一、单选题
1．设等差数列的前项和为，，则（ ）
A．56 B．63 C．67 D．72
2．在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用等比中项得，从而可求公差d，即可得等差数列通项公式.
3．已知等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．等差数列中，，，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
6．在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．等差数列的前项和为，若，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．数列是递减数列 D．
8．骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和（ ）
A．134 B．133 C．114 D．113
二、多选题
9．已知数列满足：，，下列说法正确的是（ ）
A．，成等差数列 B．
C． D．，一定不成等比数列
10．已知等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
11．已知函数，，动直线l过原点且与曲线相切，切点的横坐标从小到大依次为，，.则下列说法错误的是（ ）
A． B．数列为等差数列
C． D．
12．等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．公差 B．
C．是各项中最大的项 D．是中最大的值
三、填空题
13．已知数列，满足，，，则______.
14．已知，则的值等于__．
15．设等差数列的前n项和为，若，则________.
16．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为___________
四、解答题
17．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.
(1)证明：是等差数列；
(2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.
18．记为数列{}的前项和，已知
(1)证明：{}是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最小值.
19．已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
20．已知是公比为的等比数列，前项和为，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和.

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