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第六章 数列
专题3：等比数列
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
提醒： “G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.
(2)前n项和公式：
Sn＝
提醒：求等比数列前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．
3．等比数列的性质
(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．
(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．
1．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
2．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn A＋B＝0，公比q＝C．(A，B，C均不为零)
考点一　等比数列基本量的运算
1．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））是等比数列的前项和，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等比数列，利用即可求解.
【详解】依题意，根据等比数列的性质，，于是，于是.
故选：A
2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20 B．12 C．8 D．4
【答案】C
【分析】设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.
【详解】
设的公比为q，则，
解得，所以，
故选：C．
3．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）设等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则________．
【答案】1或
【分析】
利用等比数列的通项公式列出方程组即可解出答案.
【详解】
∵∴或.
故答案为：1或.
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．
考点二　等比数列的判定与证明
1．（2022·全国·高三专题练习）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知：数列中，，.
①求证：数列是“平方递推数列”；
②求证：数列是等比数列；
③求数列的通项公式；
（2）已知：数列中，，，求：数列的通项.
【答案】（1）①见解析；②见解析；③；（2）.
【分析】（1）①依据“平方递推数列”定义，结合条件，可证数列是“平方递推数列”；
②令，进而有．从而可证数列为等比数列；
③由②知，数列是以为首项，2为公比的等比数列，故可求；
（2）两边同乘以整理得，，两边取对数得：，故数列是以为首项，3为公比的等比数列，从而可求数列的通项．
【详解】
解：（1）①由条件，得，
数列是“平方递推数列”；
②令，，则，
，，
数列是等比数列；
③由②知，，
，
；
（2）∵，
∴，
，
两边取对数得：，
数列是以为首项，3为公比的等比数列，
，
，
.
2．（2021·辽宁·高三期中）在数列中，令，若对任意正整数n，总为数列中的项，则称数列是“前n项之积封闭数列”，已知数列是首项为，公比为q的等比数列．
(1)判断：当，q＝3时，数列是否为“前n项之积封闭数列”；
(2)证明：是数列为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件．
【答案】(1)不是“前n项之积封闭数列”
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，再验证是否是数列中的项，即可作出判断；
（2）由等差数列的求和公式得出，从而证明充分性；取，利用反例判断必要性.
(1)
若为数列中的项，则存在，使得，即，
所以，所以不是“前n项之积封闭数列”．
(2)
（2）充分性：
因为，所以，
当，时，
因为，所以，所以，
因为，所以令，所以，
所以数列是“前n项之积封闭数列”，所以充分性成立；
不必要性：
当时，，所以，
因为，令，所以，即此时数列是“前n项之积封闭数列”，
所以是数列为“前n项之积封闭数列”的不必要条件．
　判定一个数列为等比数列的常见方法
考点三　等比数列性质的应用
1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出关于、的值，可求得、的值，再利用等比数列的求和公式可求得.
【详解】由等比数列的性质可知，因为，则，
由已知可得，可得，，则，
因此，.
故选：B.
2．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）在数列中，，，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题知当为奇数时，；当为偶数时，，前n项和为满足 ，，进而分为奇数和为偶数讨论求解即可.
【详解】
解：由题意得，，，即，
所以当为奇数时，；当为偶数时，；
设的前n项和为，则，.
若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意；
当为偶数，则
，即，所以.
故选：B
3．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据为等比数列可求的值.
【详解】因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
4．（2022·安徽滁州·高二期末）在等比数列中，，，则等于______．
【答案】
【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解．
【详解】
设等比数列的公比为，因为等比数列中，，，
故，
则．
故答案为：．
5．（2022·北京房山·高二期末）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为___________．
【答案】
【分析】利用等比中项及等比数列下标和性质计算可得；
【详解】解：因为，，所以，即，
所以；
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）先根据等比数列通项公式写出，然后根据成等差可以求出，即可求出数列的通项公式.
（2）先根据可知将n分奇偶性进行讨论，然后根据数列单调性求出取值范围即可知的最小值.
(1)解：由题意得：
设数列的公比为．由，得
，即
成等差数列
，即，解得，或（舍去）
．
(2)由，当时，，两式相减得，，对也成立
所以
设
当n为奇数时，可递减数列，所以
当n为偶数时，为递增数列，所以
所以的最小值为4．
　应用等比数列性质的两个关注点
1．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】
解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
2．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】
由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
3．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】
（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
4．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
(1)
因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
(2)
因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
一、单选题
1．数列中，，且对任意都有，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，令，则，由此得到是一个等比数列，由等比数列的性质知 是等比数列，用等比数列的求和公式计算即可.
【详解】
由任意都有，所以令，则，且，所以是一个等比数列，且公比为，则
所以，
故选：D.
2．数列1，，， ，的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设此数列的第n项为，先求出此数列的通项，再分求和求出前n项的和即可.
【详解】
设此数列的第n项为，则
所以数列前n项和为：
， .
故选：B.
3．已知等比数列，，的最小值为（ ）
A．70 B．90 C．135 D．150
【答案】B
【分析】设的公比为，分析可知，，利用基本不等式结合等比数列的性质可求得的最小值.
【详解】
设的公比为，由等比数列的知识可知，，
结合可得，.
由基本不等式及等比数列的性质可得，
当且仅当，时等号成立，故的最小值为.
故选：B
4．已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程，求出这两个量的值，可求得的值，再利用等比数列的基本性质可求得结果.
【详解】
设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，
因此，.
故选：B.
5．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由，得，两式相除可求出，从而可求得，所以将问题转化为，从而可求出m的取值范围
【详解】
当时，由，得，
两式相除得，也适合
所以
，
因为对任意，（且）恒成立，
所以，
所以，
当时，由，得，则，
当时，由，得，则，
综上，
故选：A
6．设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（ ）
A．64 B．63 C．127 D．128
【答案】B
【分析】设正项递增等比数列的公比为，根据题意求得，，利用等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
设正项递增等比数列的公比为，
因为，所以，
又因为，可得，解得或（舍去），
又由，解得，所以.
故选：B.
7．记为等比数列的前n项和，若，则的公比q=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质，即可求公比.
【详解】
，所以，即.
故选：B
8．已知数列，定义数列为数列的“2倍差数列”.若的“2倍差数列”的通项公式，且，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可得，从而得数列表示首项为，公差的等差数列，求得，再根据错位相减法即可得.
【详解】
根据题意得，
，
数列表示首项为，公差的等差数列，
，
，
，
，
，
.
故选：A.
二、多选题
9．设等比数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为64 D．当取最大值时，
【答案】ABC
【分析】根据条件求出 的通项公式，再根据通项公式的性质逐项判断即可.
【详解】
， ， ，
，
当或4时，可取最大，最大值为64；
故选：ABC.
10．已知是数列的前项和，，则（ ）
A．是等比数列 B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用与的关系可得是以1为首项，以为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式及求和公式逐项分析即得.
【详解】
，
，即，
当时，，
，
，即，
是以1为首项，以为公比的等比数列，故A正确；
∴，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
11．已知等比数列各项均为正数，其前项积为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是中最小的项
D．使成立的的最大值为18
【答案】AC
【分析】对于A：利用直接求出；对于B：由解得，即可得到；对于C：判断出时，；时， 得到是中最小的项；对于D：直接求出使成立的的最大值为17.
【详解】
对于A：因为，所以，所以，所以.故A正确；
对于B：因为，所以时，，所以数列为递增数列.
因为，所以，所以.故B错误；
对于C：因为数列各项均为正数，前项积为，且时，有，所以，即；时，有，所以，即；所以是中最小的项.故C正确.
对于D：因为，而，
所以使成立的的最大值为17.故D错误.
故选：AC
12．如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，再分别写出和的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】
根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故，即，故，，，…，累加可得，所以，故A正确，C错误；
又，故，即，故D正确；
又，，…，累加可得，故正确，故B正确；
故选：ABD
三、填空题
13．已知等比数列的前n项和为，公比．若，则__________．
【答案】
【分析】由等比数列的求和公式化简求出公比即可.
【详解】
由题意知，，解得或，又，则.
故答案为：.
14．已知数列的前n项和为，若，则______．
【答案】
【分析】由得出的递推关系，构造等比数列得出通项公式，从而可得．
【详解】
由题意，则，
两式相减得：，
所以，
又，，所以是等比数列，公比为，
，所以．
故答案为：．
15．如图，在边长为的正方形ABCD中，点A1，B1，C1，D1分别为正方形ABCD各边的中点，点A2，B2，C2，D2分别为正方形A1，B1，C1，D1各边的中点，……，记正方形AnBnCnDn的面积为an，若数列{an}的前m项和Sm =，则m=___________.
【答案】6
【分析】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得；
【详解】
解：因为，，
依题意可得，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，又，
所以，即，所以；
故答案为：
16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，通常是一个粗糙或零碎的几何形状，并可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有自相似的特征．如图，有一列曲线，，…，，…，且是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉记曲线的周长依次为，，…，，…，则______．
【答案】.
【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出第个图形的周长，从而可求出周长和
【详解】
由题意可知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，第3个图形的边长又是第2个图形边长的，……，
所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，
所以第个图形的边长为，
由图可知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，
所以第个图形的边数为，
所以第个图形的周长为，
所以，
令，
所以
，
故答案为：
四、解答题
17．已知数列满足，（）.
(1)求，的值，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据递推关系式求得，利用配凑法求得.
（2）利用裂项求和法求得.
（1），，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2），，所以.
18．已如数列前n项和为，若，且成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列性质得关于的等式，从而求得数列前后项关系，得证结论；
（2）由等比数列前项和公式求得，确定的单调性，再由不等式性质得证．
（1），因为成等差数列，所以，所以，且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知.一方面，；另一方面，是递增数列，所以.综上所述，.
19．在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义分析即可.
（2）由（1）可得的通项公式，构造求.
（1）各项都为正数的数列满足，得，即所以数列是公比为的等比数列；
（2）因为，，所以，由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，于是，又因为，所以，即.
20．已知等差数列的前项和为，，，等比数列各项均为正数，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求使得的的最小值.
【答案】(1)，
(2)6
【分析】(1)利用等差数列通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式；利用等比数列通项公式列方程，求出公比，由此能求出数列的通项公式.
(2)由，得到，用代数法逐一代入能求出使得的n的最小值.
(1)
设等差数列的公差为，
由，可得，
由，可得，
故，，.
设等比数列的公比为，
由，可得，
故，.
(2)
若，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，2<5，
当时，4<6，
当时，8>7，
所以的最小值为6.中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 数列
专题3：等比数列
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 ＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
提醒： “G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ ＝amqn－m.
(2)前n项和公式：
Sn＝
提醒：求等比数列前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．
3．等比数列的性质
(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．
(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．
1．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
2．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn A＋B＝0，公比q＝C．(A，B，C均不为零)
考点一　等比数列基本量的运算
1．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））是等比数列的前项和，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等比数列，利用即可求解.
【详解】依题意，根据等比数列的性质，，于是，于是.
故选：A
2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20 B．12 C．8 D．4
【答案】C
【分析】设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.
【详解】
设的公比为q，则，
解得，所以，
故选：C．
3．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）设等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则________．
【答案】1或
【分析】
利用等比数列的通项公式列出方程组即可解出答案.
【详解】
∵∴或.
故答案为：1或.
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．
考点二　等比数列的判定与证明
1．（2022·全国·高三专题练习）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知：数列中，，.
①求证：数列是“平方递推数列”；
②求证：数列是等比数列；
③求数列的通项公式；
（2）已知：数列中，，，求：数列的通项.
【答案】（1）①见解析；②见解析；③；（2）.
【分析】（1）①依据“平方递推数列”定义，结合条件，可证数列是“平方递推数列”；
②令，进而有．从而可证数列为等比数列；
③由②知，数列是以为首项，2为公比的等比数列，故可求；
（2）两边同乘以整理得，，两边取对数得：，故数列是以为首项，3为公比的等比数列，从而可求数列的通项．
【详解】
解：（1）①由条件，得，
数列是“平方递推数列”；
②令，，则，
，，
数列是等比数列；
③由②知，，
，
；
（2）∵，
∴，
，
两边取对数得：，
数列是以为首项，3为公比的等比数列，
，
，
.
2．（2021·辽宁·高三期中）在数列中，令，若对任意正整数n，总为数列中的项，则称数列是“前n项之积封闭数列”，已知数列是首项为，公比为q的等比数列．
(1)判断：当，q＝3时，数列是否为“前n项之积封闭数列”；
(2)证明：是数列为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件．
【答案】(1)不是“前n项之积封闭数列”
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，再验证是否是数列中的项，即可作出判断；
（2）由等差数列的求和公式得出，从而证明充分性；取，利用反例判断必要性.
(1)
若为数列中的项，则存在，使得，即，
所以，所以不是“前n项之积封闭数列”．
(2)
（2）充分性：
因为，所以，
当，时，
因为，所以，所以，
因为，所以令，所以，
所以数列是“前n项之积封闭数列”，所以充分性成立；
不必要性：
当时，，所以，
因为，令，所以，即此时数列是“前n项之积封闭数列”，
所以是数列为“前n项之积封闭数列”的不必要条件．
　判定一个数列为等比数列的常见方法
考点三　等比数列性质的应用
1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出关于、的值，可求得、的值，再利用等比数列的求和公式可求得.
【详解】由等比数列的性质可知，因为，则，
由已知可得，可得，，则，
因此，.
故选：B.
2．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）在数列中，，，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题知当为奇数时，；当为偶数时，，前n项和为满足 ，，进而分为奇数和为偶数讨论求解即可.
【详解】
解：由题意得，，，即，
所以当为奇数时，；当为偶数时，；
设的前n项和为，则，.
若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意；
当为偶数，则
，即，所以.
故选：B
3．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据为等比数列可求的值.
【详解】因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
4．（2022·安徽滁州·高二期末）在等比数列中，，，则等于______．
【答案】
【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解．
【详解】
设等比数列的公比为，因为等比数列中，，，
故，
则．
故答案为：．
5．（2022·北京房山·高二期末）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为___________．
【答案】
【分析】利用等比中项及等比数列下标和性质计算可得；
【详解】解：因为，，所以，即，
所以；
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）先根据等比数列通项公式写出，然后根据成等差可以求出，即可求出数列的通项公式.
（2）先根据可知将n分奇偶性进行讨论，然后根据数列单调性求出取值范围即可知的最小值.
(1)解：由题意得：
设数列的公比为．由，得
，即
成等差数列
，即，解得，或（舍去）
．
(2)由，当时，，两式相减得，，对也成立
所以
设
当n为奇数时，可递减数列，所以
当n为偶数时，为递增数列，所以
所以的最小值为4．
　应用等比数列性质的两个关注点
1．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
2．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
3．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
（4．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
一、单选题
1．数列中，，且对任意都有，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．数列1，，， ，的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列，，的最小值为（ ）
A．70 B．90 C．135 D．150
4．已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（ ）
A．64 B．63 C．127 D．128
7．记为等比数列的前n项和，若，则的公比q=（ ）
A． B． C． D．2
8．已知数列，定义数列为数列的“2倍差数列”.若的“2倍差数列”的通项公式，且，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设等比数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为64 D．当取最大值时，
10．已知是数列的前项和，，则（ ）
A．是等比数列 B．
C． D．
11．已知等比数列各项均为正数，其前项积为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是中最小的项
D．使成立的的最大值为18
12．如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知等比数列的前n项和为，公比．若，则__________．
14．已知数列的前n项和为，若，则______．
15．如图，在边长为的正方形ABCD中，点A1，B1，C1，D1分别为正方形ABCD各边的中点，点A2，B2，C2，D2分别为正方形A1，B1，C1，D1各边的中点，……，记正方形AnBnCnDn的面积为an，若数列{an}的前m项和Sm =，则m=___________.
16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，通常是一个粗糙或零碎的几何形状，并可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有自相似的特征．如图，有一列曲线，，…，，…，且是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉记曲线的周长依次为，，…，，…，则______．
四、解答题
17．已知数列满足，（）.
(1)求，的值，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．已如数列前n项和为，若，且成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，求证：.
19．在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
20．已知等差数列的前项和为，，，等比数列各项均为正数，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求使得的的最小值.

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