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第六章 数列
专题4：数列求和
1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：
①＝－；
②＝；
③＝－.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
(1)k＝1＋2＋3＋…＋n＝ ；
(2)(2k－1)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；
(3)k3＝13＋23＋…＋n3＝；
(4)k2＝12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1).
考点一　分组求和与并项求和
分组求和
（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）数列的前项和___________.
【答案】
【分析】利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前n项和公式求解作答.
【详解】依题意，.
故答案为：
并项求和
（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知数列的前n项和满足且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，数列的前n项和，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得出递推公式，得出数列是公差为1的等差数列，再计算，即可得出通项公式.
（2）先求出，再由并项求和法求出的前n项和，即可求出的值.
(1)当时，，解得或0（舍去）
当时，，，
两式相减得：，即，，
又因为，所以；所以，
即，数列是公差为1的等差数列，
(2)因为，所以，，，…，所以
.
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
提醒：如果cn＝(－1)n·an，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解．
考点二　裂项相消法求和
形如an＝(k为非零常数)型
1．（2023·全国·高三专题练习（理））已知等差数列的前项和为，则___________.
【答案】
【分析】依题意设公差为，即可得到方程组，求出与，即可求出通项公式与前项和公式，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】设公差为，因为，所以，解得，
所以，所以，所以，
所以
故答案为：
2.（2022·广东广州·高二期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意求出的值，再利用等差数列的通项公式可求得；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
（1）解：设等差数列的公差为，则，由题意可得，即，因为，解得，因此，.
（2）解：由（1）可得，所以，.
形如an＝(k为非零常数)型
1．（2022·四川广安·模拟预测（理））数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.
【答案】
【分析】利用裂项相消法可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】设数列的前项和为，因为，
所以，，解得.
故答案为：.
（2023·全国·高三专题练习）如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽．它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A7A8＝1，它可以形成近似的等角螺线，记OA1、OA2、OA3、…、OA8的长度组成数列{an}，且bn＝，则an＝________，数列{bn}的前7项和为________．
图甲　　　　图乙
【答案】　2－1　
【解析】△OAnAn＋1是以∠OAnAn＋1为直角的直角三角形，由勾股定理可得a＝a＋1，所以数列为等差数列，且首项为a＝1，
公差为d＝1, 所以a＝1＋d＝n，
因为an>0，所以an＝.
则bn＝＝
＝＝－＋，
因此，数列{bn}的前7项和为S7＝＋＋…＋＝2－1.
形如bn＝(q为等比数列{an}的公比)型
　(2021·广东实验中学模拟)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn满足an＋1＝Sn＋1(n∈N*)．
(1)求Sn；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－1＋1，
又an＋1＝Sn＋1，
所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，
即an＋1＝2an(n≥2)，
在an＋1＝Sn＋1中，令n＝1，可得a2＝a1＋1，
因为a1＝1，所以a2＝2a1＝2，
故{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an＝2n－1，
所以Sn＝an＋1－1＝2n－1.
(2)因为bn＝＝－＝－，
所以Tn＝＝1－.
故Tn＝1－.
形如an＝型
正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.
【解析】(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.n＝1时，也满足此式．
综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，
故bn＝＝＝.
Tn＝
＝＜＝.
裂项相消法的步骤、原则及规律
(1)基本步骤
(2)裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(3)消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
考点三　错位相减法求和
1．（2022·陕西省安康中学高一阶段练习）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，即可得到，再利用错位相减法求出，依题意可得恒成立，参变分离可得恒成立，再根据函数的单调性，求出参数的取值范围；
【详解】
解：因为，所以，则，，
所以，
即，又，所以，
显然当时也成立，
所以，
所以，
所以①，
②，
①②得
所以，
因为恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
易知在上单调递增，所以当时，
所以，即；
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题干中的递推公式，利用累乘法求解数列的通项公式，利用错位相减法求解，分离参数，利用函数的单调性求解参数的取值范围.
【详解】
解:由，得
，
所以，当时，，符合上式，
所以．
所以，，
作差得，
所以．由，得，
整理得．
易知函数在上单调递增，所以当时，，所以.
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知是递增的等差数列，，是方程的根.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）利用错位相减法即可得出答案.
（1）解：因为是方程的两个根，且使递增的等差数列，所以，所以公差，则，所以；
（2）解：由（1）知，所以①，②，①②得，所以.
错位相减法求和的具体步骤
1．（2021·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】
因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
2．（2020·江苏·高考真题）设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列．已知数列的前n项和，则的值是_______．
【答案】
【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.
【详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.
故答案为：
3．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；
（2） ∴
4．（2022·天津·高考真题）已知是等差数列，其前n项和为；是等比数列，．
(1)求与的通项公式；
(2)证明：；
(3)求．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
（1）设公差为d，公比为，则，由可得（舍去），所以；
（2）证明：因为所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，所以；
（3）因为，所以，设所以，则，作差得，所以，所以.
一、单选题
1．已知数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A．0 B． C．l D．
【答案】C
【分析】由求解即可.
【详解】
解：
．
故选:C．
2．已知等差数列，，，则数列的前8项和为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质可求公差，进而可求 ，根据裂项求和即可求解.
【详解】
由，可得公差 ，所以，
因此 ，所以前8项和为
故选：B
3．已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据的关系求出的通项公式，继而求出的通项公式，再用裂项相消法求出，进而得解.
【详解】
因为数列中，，所以，所以，所以．因为，所以，
所以．因为数列是递增数列，当时，，当时，，，所以，所以的取值范围为．
故选：A．
4．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为的分数（称为埃及分数）．则下列埃及分数、、、、的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用裂项相消法可求得结果.
【详解】
当时，，
因此，
.
故选：C.
5．已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1可求解，进而根据概率公式即可求解.
【详解】
，所以；
故
故选：B
6．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，解得等差数列的公差，求得，对和式的通项裂项求和．
【详解】
等差数列的公差为，由，，得，所以，解得，
所以
，
所以．
故选：D．
7．已知数列满足，，令，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意整理可得，即，利用累加法可得，结合题意可得，即，运算求解．
【详解】
∵，则
∴
又∵
∴
由题意可得：，则
∴
故选：D．
8．已知正项数列满足，则数列的前8项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，两式相减求得，即可得到的通项公式，利用裂项求和的方法，即可求得答案.
【详解】
由，
可得，
两式相减得：，由于 ，
故，当时，，解得 适合，
故，
所以，
故数列的前8项和为：，
故选：A
二、多选题
9．设函数，且都有，则下列判断正确的是（ ）
A．，的图象关于原点对称
B．，直线和的图象至多只有一个交点
C．，命题“，满足”成立
D．，使得，都有成立
【答案】AB
【分析】由递推关系得到，即可得到函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可判断A、B、C，再利用放缩法证明，即可判断D；
【详解】
解：由题可得，
同理得， ，由此推得，，
所以，则为奇函数，函数图象关于原点对称，故A对.
当时，，所以，在上单调递增，B对，C错.
，，
故，
当时，，
则，D错.
故选：AB.
10．已知数列{}满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列 B．{}的通项公式为
C．{}为递增数列 D．的前n项和
【答案】AB
【分析】
根据递推关系可得，进而可判断A，由是等比数列即可求解的通项，进而可判断单调性，根据分组求和即可判断D.
【详解】
因为，所以，又，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，即，所以{}为递减数列，的前n项和．
故选:AB．
11．下列命题正确的有（ ）
A．若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列
B．若为等比数列，且，则
C．若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大
D．若 ，则数列的前2020项和为4040
【答案】BCD
【分析】A.利用等差数列的性质判断；B.利用等比数列的性质判断；C.根据等比数列前n项和公式判断；D.利用数列并项求和判断.
【详解】
A.等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列，故错误；
B. 为等比数列，且，则，所以，故正确；
C. 因为，则，，则，所以，，
所以数列前项的和最大，故正确；
D. 因为，所以数列的前2020项和为：，，故正确.
故选：BCD
12．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
【答案】BCD
【分析】由题知，进而得数列是首项为2，公比为2的等比数列，再结合通项公式和裂项求和求解即可.
【详解】
由得，即
所以，由，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A错误，B正确；
所以，即，故C正确；
又，
所以，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．数列满足，前16项和为540，则__．
【答案】-2
【分析】分为奇数与偶数两种情况，分别求得前16项中奇数项和偶数项的和，再根据偶数项与的关系求解即可
【详解】
因为数列满足，
当为奇数时，，
所以，，，，
则，
当为偶数时，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因为前16项和为540，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
14．已知公差为整数的等差数列满足，，则的前11项和为______．
【答案】
【分析】由题目条件求出等差数列的通项公式，则，再由裂项相消法即可求出答案.
【详解】
设公差为整数的等差数列的公差为d，则由
得解得或（舍去）．
所以，所以，
所以．
故答案为：.
15．已知正项数列满足，则数列的前n项和为___________.
【答案】
【分析】根据递推关系得出与，进而求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可求解.
【详解】
由题意可知，因为正项数列，所以，
当时，，解得或（舍），
，
当时，，
由，得，解得或（舍）,
当时，此式也满足，故正项数列的通项公式为,
令，则
设数列的前n项和为，则
.
故答案为：.
16．已知数列的前n项和，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据求出数列的通项，再利用裂项相消法求出数列的前n项和，从而可得出答案.
【详解】
解：当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，
所以，
所以，
因为函数在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知各项均为正数的数列、满足，，且，，成等差数列，，，成等比数列.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记，且数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据等差中项及等比中项的性质化简后，由等差中项可判断数列为等差数列；
（2）由数列为等差数列求出，代入条件可求出，利用裂项相消法求和即可得证.
（1）由条件可得，且，又，，故，代入中，得时，有，即，所以数列为等差数列.
（2）由（1）知数列为等差数列且，由，可得，由，所以，.数列是首项为，公差为的等差数列，得，即， 故，即，所以时，，且也符合上式，故 则，所以，而，所以.
18．从条件①，，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，_________.
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，记，求的前100项和.
【答案】(1)若选①或②，；选③，
(2)若选①或②，92；选③，145
【分析】（1）①②都是利用的方法进行化简，然后得到与的关系，进而得到通项公式；③利用的方法进行化简，得到与的关系，进而得到通项公式；
（2）利用①②③的结果代入，然后讨论的具体值，通过求和得到答案
（1）若选择①，因为，所以，两式相减得，整理得，即，所以为常数列，，所以，若选择②，因为，所以，两式相减，得，因为，∴，所以是等差数列，所以；若选择③，（1）由变形得，，所以，易知，所以，所以为等差数列，又，所以，，∴，又时，也满足上式，所以；
（2）选择①或②，，，；；，∴，选择③，，；；，∴.
19．在等差数列中，，且前项和．
(1)求的通项公式；
(2)设，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得.
(1)
解：设等差数列的公差为，则，解得，
.
(2)
解：由题意可得，①
则，②
①②可得，
因此，.
20．在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为，且__________．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）若选①，则由条件可求出，，从而可求出，进而可求出通项公式，若选②，则有，结合可求出，进而可求出通项公式，若选③，则利用可求出，
（2）由（1）可得，然后利用裂项相消法可求得结果
(1)
若选择①，因为，，，，
解得，，
设公差为d，则有，，
解得，，
所以．
若选择②，设公差为d，，
即，
结合，解得，，
所以．
若选择③，当时，；
当时，，
当时亦满足上式，
所以．
(2)证明：由（1）得，
所以，
因为，（），所以，
所以．中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 数列
专题4：数列求和
1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：
①＝－；
②＝；
③＝－.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
(1)k＝1＋2＋3＋…＋n＝ ；
(2)(2k－1)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；
(3)k3＝13＋23＋…＋n3＝；
(4)k2＝12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1).
考点一　分组求和与并项求和
分组求和
（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）数列的前项和___________.
【答案】
【分析】利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前n项和公式求解作答.
【详解】依题意，.
故答案为：
并项求和
（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知数列的前n项和满足且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，数列的前n项和，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得出递推公式，得出数列是公差为1的等差数列，再计算，即可得出通项公式.
（2）先求出，再由并项求和法求出的前n项和，即可求出的值.
(1)当时，，解得或0（舍去）
当时，，，
两式相减得：，即，，
又因为，所以；所以，
即，数列是公差为1的等差数列，
(2)因为，所以，，，…，所以
.
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
提醒：如果cn＝(－1)n·an，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解．
考点二　裂项相消法求和
形如an＝(k为非零常数)型
1．（2023·全国·高三专题练习（理））已知等差数列的前项和为，则___________.
【答案】
【分析】依题意设公差为，即可得到方程组，求出与，即可求出通项公式与前项和公式，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】设公差为，因为，所以，解得，
所以，所以，所以，
所以
故答案为：
2.（2022·广东广州·高二期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意求出的值，再利用等差数列的通项公式可求得；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
（1）解：设等差数列的公差为，则，由题意可得，即，因为，解得，因此，.
（2）解：由（1）可得，所以，.
形如an＝(k为非零常数)型
1．（2022·四川广安·模拟预测（理））数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.
【答案】
【分析】利用裂项相消法可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】设数列的前项和为，因为，
所以，，解得.
故答案为：.
（2023·全国·高三专题练习）如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽．它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A7A8＝1，它可以形成近似的等角螺线，记OA1、OA2、OA3、…、OA8的长度组成数列{an}，且bn＝，则an＝________，数列{bn}的前7项和为________．
图甲　　　　图乙
【答案】　2－1　
【解析】△OAnAn＋1是以∠OAnAn＋1为直角的直角三角形，由勾股定理可得a＝a＋1，所以数列为等差数列，且首项为a＝1，
公差为d＝1, 所以a＝1＋d＝n，
因为an>0，所以an＝.
则bn＝＝
＝＝－＋，
因此，数列{bn}的前7项和为S7＝＋＋…＋＝2－1.
形如bn＝(q为等比数列{an}的公比)型
　(2021·广东实验中学模拟)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn满足an＋1＝Sn＋1(n∈N*)．
(1)求Sn；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－1＋1，
又an＋1＝Sn＋1，
所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，
即an＋1＝2an(n≥2)，
在an＋1＝Sn＋1中，令n＝1，可得a2＝a1＋1，
因为a1＝1，所以a2＝2a1＝2，
故{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an＝2n－1，
所以Sn＝an＋1－1＝2n－1.
(2)因为bn＝＝－＝－，
所以Tn＝＝1－.
故Tn＝1－.
形如an＝型
正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.
【解析】(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.n＝1时，也满足此式．
综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，
故bn＝＝＝.
Tn＝
＝＜＝.
裂项相消法的步骤、原则及规律
(1)基本步骤
(2)裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(3)消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
考点三　错位相减法求和
1．（2022·陕西省安康中学高一阶段练习）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，即可得到，再利用错位相减法求出，依题意可得恒成立，参变分离可得恒成立，再根据函数的单调性，求出参数的取值范围；
【详解】
解：因为，所以，则，，
所以，
即，又，所以，
显然当时也成立，
所以，
所以，
所以①，
②，
①②得
所以，
因为恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
易知在上单调递增，所以当时，
所以，即；
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题干中的递推公式，利用累乘法求解数列的通项公式，利用错位相减法求解，分离参数，利用函数的单调性求解参数的取值范围.
【详解】
解:由，得
，
所以，当时，，符合上式，
所以．
所以，，
作差得，
所以．由，得，
整理得．
易知函数在上单调递增，所以当时，，所以.
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知是递增的等差数列，，是方程的根.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）利用错位相减法即可得出答案.
（1）解：因为是方程的两个根，且使递增的等差数列，所以，所以公差，则，所以；
（2）解：由（1）知，所以①，②，①②得，所以.
错位相减法求和的具体步骤
1．（2021·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏·高考真题）设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列．已知数列的前n项和，则的值是_______．
3．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
4．（2022·天津·高考真题）已知是等差数列，其前n项和为；是等比数列，．
(1)求与的通项公式；
(2)证明：；
(3)求．
一、单选题
1．已知数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A．0 B． C．l D．
2．已知等差数列，，，则数列的前8项和为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为的分数（称为埃及分数）．则下列埃及分数、、、、的和是（ ）
A． B． C． D．
5．已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列满足，，令，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正项数列满足，则数列的前8项和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设函数，且都有，则下列判断正确的是（ ）
A．，的图象关于原点对称
B．，直线和的图象至多只有一个交点
C．，命题“，满足”成立
D．，使得，都有成立
10．已知数列{}满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列 B．{}的通项公式为
C．{}为递增数列 D．的前n项和
11．下列命题正确的有（ ）
A．若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列
B．若为等比数列，且，则
C．若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大
D．若 ，则数列的前2020项和为4040
12．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
三、填空题
13．数列满足，前16项和为540，则__．
14．已知公差为整数的等差数列满足，，则的前11项和为______．
15．已知正项数列满足，则数列的前n项和为___________.
16．已知数列的前n项和，则的最小值为______.
四、解答题
17．已知各项均为正数的数列、满足，，且，，成等差数列，，，成等比数列.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记，且数列的前项和为，求证：.
18．从条件①，，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，_________.
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，记，求的前100项和.
19．在等差数列中，，且前项和．
(1)求的通项公式；
(2)设，求．
20．在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为，且__________．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和为，求证：．

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