资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 数列
专题1：数列的概念与简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的 大小关系分类 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
按其他标 准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
周期数列 对n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
(2)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
4．数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
1．在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则
2．Sn与an关系问题的两种求解思路
思路1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
思路2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
考点一　由an与Sn的关系求通项公式
1．（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）若数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令可求得的值，当时， 由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出的值，即可得解.
【详解】
当时，，可得，
当时， 由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，则，
因此，.
故选：D.
2．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列，的前项和分别为，，，，当时，，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出，，判断出随着增大而增大，随着增大而减小，且，，即可得到实数的取值范围.
【详解】
由①，可得②，所以②－①得，即.因为，所以，故是首项为，公比为的等比数列，所以，故.
当时，，当时，也符合，故.
显然随着增大而增大，随着增大而减小，且，，
故要使得恒成立，则.
故选：B
3．（2022·辽宁大连·高二期末）已知等比数列的前项和为，则实数的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【分析】先求出，由解得即可；
【详解】
等比数列的前项和为，
当时，可得，可得，
当时，，则
所以
因为为等比数列，
所以，即
解得，经检验符合题意.
故选：C．
4．（2022·四川成都·高一期末）记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则对于任意的，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量共线的坐标表示得到，再根据计算可得.
【详解】
解：因为，且，
所以，当时，又，所以，
当时，所以，即，
所以，，又，故A、B错误；
又，所以，即，故C错误，D正确；
故选：D
5．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用，验证时是否满足，即可求出答案.
（2）求出，由裂项相消法求数列的前项和.
（1）当时，，当时，，时也满足，所以.
（2）因为，设数列的前项和为，因为所以
已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1.
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝
考点二　由数列的递推关系式求通项公式
累加法
设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
【答案】an＝　
【解析】由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
∴an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝.
　累积法
在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
【答案】an＝　
【解析】∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得，an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝.
构造法
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
【答案】an＝2·3n－1－1　
【解析】∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.]
　取倒数法
已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】　
【解析】∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，
又a1＝2，则＝，
∴是以为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝.
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
考点三　数列的函数特性
数列的周期性
1．（2022·四川·遂宁中学高一期末）在数列中，，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的周期性即可计算作答.
【详解】
依题意，，则，，
于是得数列是周期数列，其周期是3，由得：，
所以.
故选：C
2．（2022·辽宁·高二期末）若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.
【详解】
数列满足，，依次取代入计算得，
，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.
故选：D.
3．（2022·山东东营·高二期末）数列满足，则（ ）
A．2022 B．2020 C． D．
【答案】C
【分析】逐项计算，确定的周期，再求和即可
【详解】由题意，，，
，，
故的周期为4.又，
故
故选：C
4．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））在前项和为的数列中，，，对所有正整数均有，则__________.
【答案】1
【分析】根据递推公式求出前若干项，观察其周期性，然后利用周期性可得.
【详解】
由题意有，可求得，，，可得数列是一个周期为3的数列，且，有.
故答案为：1
数列的单调性
1．（2022·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
【答案】D
【分析】由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围
【详解】
因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故选：D
2．（2022·上海徐汇·高一期末）已知数列是严格增数列，满足，，且.则n的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】欲使得n尽可能大，则 的各项应尽可能小，据此即可求出n的最大值.
【详解】
∵ ，并且是严格增数列， ，
∵ ，
即 ，解得 ，
， ， ， ，
，即n的最大值为12；
故选：C.
3．（2022·江苏常州·高二期末）数列{an}满足a1＝1，，若，b1＝－λ，且数列{bn}满足bn＋1＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，，且求得实数的取值范围.
【详解】
解：由得，，则，
由，得，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
由，得，
因为数列满足，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
综上：实数的取值范围是.
故选：C.
4．（2022·四川资阳·高一期末）已知数列的前n项和为，且，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若（），求实数t的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由递推公式可得，即可得证；
（2）由（1）利用累加法及等比数列前项和公式计算可得；
（3）由（2）可得，参变分离可得恒成立，令，利用作差法判断数列的单调性，即可求出的最大值，从而得解．
(1)解：由，得，
则，又，
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由（1）得，，
则时，
．
当时，满足上式，所以，数列的通项公式为．
(3)解：由（2）可知，数列为首项为1，公比为2的等比数列，则，
由即恒成立．
令，则，
则时，，即数列递增；当时，，即数列递减，
又，，则的最大值，
所以，实数的取值范围是．
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法
(1)根据数列的单调性判断．
(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值．
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】
∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
2．（2021·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】
因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
3．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】
解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
一、单选题
1．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中的递推关系式及，依次取，，，可分别求出，，，的值，即可求得答案.
【详解】
由题意得，又，所以，
易得，则，
同理，，，故
故选：B
2．已知数列{}满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由判断出是递增数列且，再由结合累加法求得；再由结合累加法求得，即可求解.
【详解】
由，得，，所以，又，
所以数列是递增数列且，，所以，
所以，
所以， .当，得，由得，
则，
同上由累加法得，
所以，所以，则.
故选：C.
3．中国公民身份号码编排规定、女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以l，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应2个三角形和1个正方形，在图2中，第1行有1个三角形和1个正方形，第2行有3个三角形和2个正方形，则在第6行中的三角形的个数为（ ）
A．142 B．144 C．146 D．148
【答案】B
【分析】根据题中给出图形，先分析每行的三角形个数和正方形个数的变化规律，再分析三角形数与正方形数的变化关系即可求解.
【详解】
设为第行中三角形的个数，为第行中正方形的个数，因为每个正方形产生下一行的1个三角形和1个正方形，每个三角形产生下一行的2个三角形和1个正方形，所以，.又，，则
，；，；，；，；.
故选：B.
4．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由数列是单调递增数列，可得，从而有恒成立，由，可求得的取值范围.
【详解】
解：由题意得：
由数列是单调递增数列，所以，
即，即（）恒成立，
又因为数列是单调递减数列
所以当时，取得最大值，所以.
故选：C.
5．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据题意得到函数的周期为3，且，转化为，结合因为，即可求解.
【详解】
因为函数是奇函数且满足，可得，
则，即，所以为周期为3的函数，
又因为数列是等差数列，且，，
可得，解得，，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
6．已知数列的通项公式为 ，则这个数列第5项是（ ）
A．9 B．17 C．33 D．65
【答案】C
【分析】代入通项公式计算可得．
【详解】
.
故选：C.
7．数列3，5，9，17，33，…的通项公式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由规律即可写出通项公式.
【详解】
由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知，每一项都满足．
故选：B.
8．若数列{}的前n项和为＝，=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，利用与的关系求得数列的通项公式，利用等比数列前项和公式求解即可.
【详解】
解：当时，，解得，
当时，，即，
∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，
所以.
故选：B.
二、多选题
9．已知数列满足，则（ ）
A．≥2 B．是递增数列
C．{-4}是递增数列 D．
【答案】ABD
【分析】根据所给的递推公式，结合选项构造对应的表达式推导即可
【详解】
对于A，因为，故，所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，由A可得为正数数列，且，则，故为递增数列，且，根据对勾函数的单调性，为递增数列，故B正确；
对于C，由，由题意，，即可知不是递增数列；
对于D，因为，所以，所以，
所以，即.
故选：ABD
10．下列命题中，正确的命题的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．若函数有极大值和极小值，则的取值范围是
C．已知数列中，，，则数列的通项公式为
D．若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于 A，求导后，由导数小于零可求出其减区间，对于B，由题意可得有两个不相等的实根，从而可求出的取值范围，对于C，通过构造等比数列可求了出其通项公式，对于D，利用赋值法求解
【详解】
对于A，的定义域为，由，得，由，得，所以函数的减区间为，所以A正确，
对于B，由，得，因为函数有极大值和极小值，所以有两个不相等的实根，所以，解得或，所以B正确，
对于C，由，由，所以数列是以3为公比，为首项的等比数列，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为展开式的通项公式为，所以可知，都小于零，都大于零，
令，则，令，则，
所以，
所以，所以D错误，
故选：ABC
11．已知数列满足：，，若为的前项和，则（ ）
A． B．
C．是递增数列 D．
【答案】ACD
【分析】利用递推式求出可判断A；利用递推式求出可判断B；利用得与同号，且可判断C；由得，然后利用累项求和可判断D.
【详解】
，，
时，，
时，故A正确；
时，所以，故B错误；
由得与同号，又，所以，
所以，所以是递增数列，故C正确；
由得，所以，
，
，
，
以上各式累加得，
即，所以，当时，，所以
，故D正确.
故选：ACD.
12．已知数列满足，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】代入前几项即可判断出A,B，然后分奇偶可点数列的通项公式，从而判断出C，D.
【详解】
由题意可得，
所以，所以A错误，B正确；
又，
故，即，
所以为等差数列，故，所以C正确，D错误，
故选：BC.
三、填空题
13．数列满足，前16项和为508，则__．
【答案】3
【分析】
根据,讨论n的奇偶性，可分别得到当为奇数时有，当为偶数时，从而结合前16项和为508，可得，结合列出等式，即可求得答案.
【详解】
由，
当为奇数时，有，
可得，
，
累加可得；
当为偶数时，，
可得，，，．
可得．
,
，
，即．
故答案为：3．
14．已知数列满足，且，则__________.
【答案】
【分析】
已知式变形构造出数列是常数数列，从而易得通项公式．
【详解】
因为，所以，数列是常数数列，
所以，．
故答案为：．
15．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1．如：第一位同学报，第二位同学报，第三位同学报，……这样得到的100个数的积为__________．
【答案】101
【分析】用数学符号表示出每位同学的报数，再直接相乘即可.
【详解】
设第位同学的报数为，则，
则；
故答案为：101.
16．某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录网站免费下载学习资源.这个特别密码与如图数表有关.数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推，每年的特别密码是由该年年份及数表中第年份行（如2019年即为第2019行）自左向右第一个数的个位数字构成的五位数.如：2020年特别密码前四位是2020，第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字.按此规则，2022年的特别密码是___________.
【答案】20228
【分析】由数表归纳可得每一行的数都构成等差数列，且第行的公差是，记第行第个数为；化简可得，构造数列，可判断该数列为等差数列，化简可求得，从而第2022行的第一个数，再归纳找到个位数的规律，即可求得．
【详解】
解：由数表可得，每一行的数都构成等差数列，且第行的公差是，
记第行第个数为，
则，
则，，
故数列是以首项为，公差为的等差数列，
故，
故，
故第2022行的第一个数为，
的个位数是2，的个位数是4，的个位数是8，的个位数是6，的个位数是2，，
的个位数以4为周期循环，而，故的个位数是6，
又，
故第2022行的第一个数的个位数为，
故2022年的特别密码是20228.
故答案为：20228．
四、解答题
17．已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用可得，从而可求及.
（2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.
（1）时，，时，，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．所以，即，当时，，当时，，不满足上式，
所以，
（2）当时，，原式成立．
当时， 所以．
18．在数列中，，
(1)设，求证：；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）依题意将转化为，将代入即可得到，结论成立；
（2）根据第（1）问，运用累加法得到，进而求出；
（3）根据第（1）、（2）问知，，，则，运用分组转化求和以及错位相减求和，得出数列的前项和.
（1）由条件可知：，，，，；
（2）由第（1）问可知，，当时，，当时，，当时，，当时，，以上各式相加，得，，，，即；
（3）由第（1）、（2）问知，，，则，设数列的通项公式，前项和为，则，，两式相减，得，，数列的前项和.
19．已知数列的前n项和为，______，
(1)求数列的通项公式；
(2)记，是数列的前n项和，若对任意的，，求实数k的取值范围．
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）选①：根据与的关系即可求解；选②：根据已知有时，，两式相减即可求解；选③：根据已知有时，，两式相除即可求解；
（2）利用裂项相消求和法求出，则原问题等价于，令，判断数列的单调性，求出数列的最大值即可得答案.
（1）解：选①：当时，，，，时，，两式相减得，数列是以2为首项2为公比的等比数列， ；选②：，时，，两式相减得，即，又当时，，，满足上式，；选③：，时，，两式相除得，当时，，满足上式，；
（2）解：∵∴，∵对任意的，即对任意的都成立，∴对任意的都成立，，令，则，∵，，即，数列是递减数列，，，，∴的取值范围是.
20．已知是数列的前n项和，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先求，利用和可求通项公式；
（2）先求，根据的取值逐个求解，然后求和可得答案.
（1）∵；∵，∴两式相减可得，又，∴.
（2）由（1）知：，所以当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时，所以数列的前10项和为．中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 数列
专题1：数列的概念与简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1．数列的定义
一般地，把按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 分类 有穷数列 项数
无穷数列 项数
按项与项间的 大小关系分类 递增数列 an＋1 an 其中n∈N*
递减数列 an＋1 an
常数列 an＋1 an
按其他标 准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
周期数列 对n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是 、 和 ．
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
(2)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用 来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
4．数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝ 叫做数列的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
1．在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则
2．Sn与an关系问题的两种求解思路
思路1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
思路2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
考点一　由an与Sn的关系求通项公式
1．（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）若数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令可求得的值，当时， 由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出的值，即可得解.
【详解】
当时，，可得，
当时， 由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，则，
因此，.
故选：D.
2．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列，的前项和分别为，，，，当时，，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出，，判断出随着增大而增大，随着增大而减小，且，，即可得到实数的取值范围.
【详解】
由①，可得②，所以②－①得，即.因为，所以，故是首项为，公比为的等比数列，所以，故.
当时，，当时，也符合，故.
显然随着增大而增大，随着增大而减小，且，，
故要使得恒成立，则.
故选：B
3．（2022·辽宁大连·高二期末）已知等比数列的前项和为，则实数的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【分析】先求出，由解得即可；
【详解】
等比数列的前项和为，
当时，可得，可得，
当时，，则
所以
因为为等比数列，
所以，即
解得，经检验符合题意.
故选：C．
4．（2022·四川成都·高一期末）记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则对于任意的，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量共线的坐标表示得到，再根据计算可得.
【详解】
解：因为，且，
所以，当时，又，所以，
当时，所以，即，
所以，，又，故A、B错误；
又，所以，即，故C错误，D正确；
故选：D
5．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用，验证时是否满足，即可求出答案.
（2）求出，由裂项相消法求数列的前项和.
（1）当时，，当时，，时也满足，所以.
（2）因为，设数列的前项和为，因为所以
已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1.
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝
考点二　由数列的递推关系式求通项公式
累加法
设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
【答案】an＝　
【解析】由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
∴an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝.
　累积法
在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
【答案】an＝　
【解析】∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得，an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝.
构造法
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
【答案】an＝2·3n－1－1　
【解析】∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.]
　取倒数法
已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】　
【解析】∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，
又a1＝2，则＝，
∴是以为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝.
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
考点三　数列的函数特性
数列的周期性
1．（2022·四川·遂宁中学高一期末）在数列中，，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的周期性即可计算作答.
【详解】
依题意，，则，，
于是得数列是周期数列，其周期是3，由得：，
所以.
故选：C
2．（2022·辽宁·高二期末）若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.
【详解】
数列满足，，依次取代入计算得，
，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.
故选：D.
3．（2022·山东东营·高二期末）数列满足，则（ ）
A．2022 B．2020 C． D．
【答案】C
【分析】逐项计算，确定的周期，再求和即可
【详解】由题意，，，
，，
故的周期为4.又，
故
故选：C
4．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））在前项和为的数列中，，，对所有正整数均有，则__________.
【答案】1
【分析】根据递推公式求出前若干项，观察其周期性，然后利用周期性可得.
【详解】
由题意有，可求得，，，可得数列是一个周期为3的数列，且，有.
故答案为：1
数列的单调性
1．（2022·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
【答案】D
【分析】由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围
【详解】
因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故选：D
2．（2022·上海徐汇·高一期末）已知数列是严格增数列，满足，，且.则n的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】欲使得n尽可能大，则 的各项应尽可能小，据此即可求出n的最大值.
【详解】
∵ ，并且是严格增数列， ，
∵ ，
即 ，解得 ，
， ， ， ，
，即n的最大值为12；
故选：C.
3．（2022·江苏常州·高二期末）数列{an}满足a1＝1，，若，b1＝－λ，且数列{bn}满足bn＋1＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，，且求得实数的取值范围.
【详解】
解：由得，，则，
由，得，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
由，得，
因为数列满足，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
综上：实数的取值范围是.
故选：C.
4．（2022·四川资阳·高一期末）已知数列的前n项和为，且，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若（），求实数t的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由递推公式可得，即可得证；
（2）由（1）利用累加法及等比数列前项和公式计算可得；
（3）由（2）可得，参变分离可得恒成立，令，利用作差法判断数列的单调性，即可求出的最大值，从而得解．
(1)解：由，得，
则，又，
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由（1）得，，
则时，
．
当时，满足上式，所以，数列的通项公式为．
(3)解：由（2）可知，数列为首项为1，公比为2的等比数列，则，
由即恒成立．
令，则，
则时，，即数列递增；当时，，即数列递减，
又，，则的最大值，
所以，实数的取值范围是．
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法
(1)根据数列的单调性判断．
(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值．
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
一、单选题
1．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列{}满足，则（ ）
A． B． C． D．
，
3．中国公民身份号码编排规定、女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以l，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应2个三角形和1个正方形，在图2中，第1行有1个三角形和1个正方形，第2行有3个三角形和2个正方形，则在第6行中的三角形的个数为（ ）
A．142 B．144 C．146 D．148
4．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
6．已知数列的通项公式为 ，则这个数列第5项是（ ）
A．9 B．17 C．33 D．65
7．数列3，5，9，17，33，…的通项公式（ ）
A． B． C． D．
8．若数列{}的前n项和为＝，=（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列满足，则（ ）
A．≥2 B．是递增数列
C．{-4}是递增数列 D．
10．下列命题中，正确的命题的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．若函数有极大值和极小值，则的取值范围是
C．已知数列中，，，则数列的通项公式为
D．若，则
11．已知数列满足：，，若为的前项和，则（ ）
A． B．
C．是递增数列 D．
12．已知数列满足，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．数列满足，前16项和为508，则__．
14．已知数列满足，且，则__________.
15．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1．如：第一位同学报，第二位同学报，第三位同学报，……这样得到的100个数的积为__________．
16．某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录网站免费下载学习资源.这个特别密码与如图数表有关.数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推，每年的特别密码是由该年年份及数表中第年份行（如2019年即为第2019行）自左向右第一个数的个位数字构成的五位数.如：2020年特别密码前四位是2020，第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字.按此规则，2022年的特别密码是___________.
四、解答题
17．已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．
18．在数列中，，
(1)设，求证：；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
19．已知数列的前n项和为，______，
(1)求数列的通项公式；
(2)记，是数列的前n项和，若对任意的，，求实数k的取值范围．
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．已知是数列的前n项和，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．

展开更多......

收起↑