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考点二十八 正方形
【命题趋势】
在中考中，正方形主要在选择题，填空题，解答题考查为主，并结合相似，锐角三角函数结合考查，；其中正方形常考4种模型是中考中的重难点。
【中考考查重点】
正方形的性质及判定
二、正方形常考模型
考点：正方形性质及判定
一、正方形的概念和性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
二、正方形的判定
判定方法：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
1.（2020秋 法库县期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
2.（2020秋 武功县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．2
3.（2010秋 金口河区期末）如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BEC＝70°，且△BCE≌△DCF．连接EF，则∠EFD的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4.（2020春 沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝，点E是对角线AC上一点，EF⊥AB于点F，连接DE，当∠ADE＝22.5°时，EF的长是（　　）
A．1 B．2﹣2 C．﹣1 D．
5.（2021 罗湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　）
A．20 B．16 C．34 D．25
6.（2020春 老城区校级月考）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7.（2021秋 南海区月考）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．
（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．
（2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明．
1．（2021秋 武侯区期末）下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．四个角都为直角 D．对角线互相平分
2．（2017春 柳州期末）边长为4的正方形ABCD中，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．6
3．（2021秋 普宁市期末）下列说法中正确的是（　　）
A．矩形的对角线平分每组对角
B．菱形的对角线相等且互相垂直
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
4．（2020 眉山）下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5．（2021秋 海州区期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（　　）
A．7 B．2 C． D．
6．（2021秋 铁锋区期末）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（　　）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
7．（2021春 海淀区校级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
1．（2021 玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（　　）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
2．（2019 毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　）
A． B．3 C． D．5
3．（2021 重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
4．（2021 湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2020 陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为　 　．
6．（2021 邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
1．（2021 云岩区模拟）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（　　）
A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm
2．（2021 石家庄一模）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．
下列判断正确的是（　　）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
3．（2021 临沂模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（　　）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
4．（2020 宁津县一模）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且相互平分的四边形是矩形
B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
5．（2021 南浔区模拟）如图，E，F是正方形ABCD的边BC上两个动点，BE＝CF．连接AE，BD交于点G，连接CG，DF交于点M．若正方形的边长为1，则线段BM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6.（2021 平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
7．（2021 沂水县二模）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上的点．
（1）当点M是CE与BD的交点时，如图1，求∠DMC的度数；
（2）若点M是BD上任意一点时，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，CM，求证：EN＝CM；
（3）当点M在何处时，BM+2CM的值最小，说明理由．
8．（2022 南昌模拟）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图1，连接BG、CF，
①求的值；
②求∠BHC的度数．
（2）当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．考点二十八 正方形
【命题趋势】
在中考中，正方形主要在选择题，填空题，解答题考查为主，并结合相似，锐角三角函数结合考查，；其中正方形常考4种模型是中考中的重难点。
【中考考查重点】
正方形的性质及判定
二、正方形常考模型
考点：正方形性质及判定
一、正方形的概念和性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
二、正方形的判定
判定方法：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
1.（2020秋 法库县期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
【答案】A
【解答】解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；
B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；
C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；
D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．
故选：A．
2.（2020秋 武功县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．2
【答案】C
【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
3.（2010秋 金口河区期末）如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BEC＝70°，且△BCE≌△DCF．连接EF，则∠EFD的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCE＝∠DCF＝90°；
由旋转的性质知：CE＝CF，∠BEC＝∠DFC＝70°；
则△ECF是等腰直角三角形，得∠EFC＝45°，
∴∠EFD＝∠DFC﹣∠EFC＝25°．
故选：D．
4.（2020春 沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝，点E是对角线AC上一点，EF⊥AB于点F，连接DE，当∠ADE＝22.5°时，EF的长是（　　）
A．1 B．2﹣2 C．﹣1 D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝，∠B＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD＝45°，
∴AC＝AB＝2，
∵∠ADE＝22.5°，
∴∠CDE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠CED＝∠CAD+∠ADE＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝，
∴AE＝2﹣，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴EF＝＝﹣1，
故选：C．
5.（2021 罗湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　）
A．20 B．16 C．34 D．25
【答案】C
【解答】解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：C．
6.（2020春 老城区校级月考）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，连接PC，延长AP交EF于H，延长FP交AB于G，
在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，
∵在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①④正确；
只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故③错误；
∵PF∥BC，
∴∠AGF＝∠ABC＝90°，
∵∠BAP＝∠PFE，∠APG＝∠FPH，
∴∠AGP＝∠AHF＝90°，
∴AP⊥EF，故②正确，
故选：C．
7.（2021秋 南海区月考）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．
（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．
（2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明．
【答案】（1）四边形ACBD是矩形
（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形
【解答】解：（1）四边形ACBD是矩形，
证明：∵CD平行MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵CD＝OC+OD，
AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形，
证明：由（1）得四边形ACBD是矩形，
∵CB＝BD，
∴四边形ACBD是正方形．
1．（2021秋 武侯区期末）下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．四个角都为直角 D．对角线互相平分
【答案】B
【解答】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：B．
2．（2017春 柳州期末）边长为4的正方形ABCD中，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．6
【答案】A
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∵PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，
∴△APE和△PDF为等腰直角三角形，
∴PE＝AP，PF＝PD，
∴PE+PF＝（AP+PD）＝×4＝2．
故选：A．
3．（2021秋 普宁市期末）下列说法中正确的是（　　）
A．矩形的对角线平分每组对角
B．菱形的对角线相等且互相垂直
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】C
【解答】解：A、矩形的对角线平分每组对角，说法错误，故本选项不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，故本选项不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故本选项符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．（2020 眉山）下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，可以是平行四边形，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不合题意；
故选：B．
5．（2021秋 海州区期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（　　）
A．7 B．2 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∵EF⊥AB于点F，AE＝3，
∴AF＝EF＝3，
∵AB＝10，
∴BF＝7，
∴BE＝＝，
∴ED＝．
故选：C．
6．（2021秋 铁锋区期末）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（　　）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
【答案】D
【解答】解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，
∵AB＝BC＝10厘米，AE＝4厘米，
∴BE＝CP＝6厘米，
∴BP＝10﹣6＝4厘米，
∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；
当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t＝＝（秒），
故选：D．
7．（2021春 海淀区校级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
【答案】（1）略（2）20cm （3）AF＝5cm
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，∠B＝90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．
又∵∠B＝90°，
∴四边形BFEG是矩形；
（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB＝40÷4＝10cm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．
（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，
∵AF＝EF，AB＝10cm，
∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．
1．（2021 玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（　　）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【答案】C
【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故选：C．
2．（2019 毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．
故选：B．
3．（2021 重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
4．（2021 湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
5．（2020 陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为　 　．
【答案】4　
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AH＝HC，
又∵Q是AB中点，
∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，
同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，
∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，
∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，
∵OT⊥QH，
∴四边形POTQ是矩形，
∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，
∴TH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴MN＝2OH＝4，
故答案为：4．
6．（2021 邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
【答案】（1） 略 （2）8
【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：∵AB＝AD＝，
∴BD＝＝＝8，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴DE＝＝＝2．
∴4DE＝，
故四边形BEDF的周长为8．
1．（2021 云岩区模拟）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（　　）
A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm
【答案】C
【解答】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，
∵∠D＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝DC＝AC＝16cm，
∴正方形ABCD的边长为16cm，
故选：C．
2．（2021 石家庄一模）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．
下列判断正确的是（　　）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
【答案】B
【解答】解：若ABCD是正方形，可设AB＝BC＝CD＝AD＝x，
∴AQ＝4﹣x，AP＝3+x，
∴PQ2＝AQ2+AP2，
即PQ＝＝＝，
x取值不同则PQ的长度不同，
∴甲不正确，
若四边形PQMN为正方形，则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QPA＝90°，
在△QMD和△PQA中，
，
∴△QMD≌△PQA（ASA），
∴QD＝AP，
同理QD＝AP＝MC＝BN，
又∵BP＝MD＝AQ，
∴QD﹣AD＝PA﹣AB，
∴AB＝AD，
同理AB＝CD＝AD＝BC，
即四边形ABCD为菱形，
∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°，
则四边形ABCD为正方形，
∴乙正确，
故选：B．
3．（2021 临沂模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（　　）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【解答】解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故选：D．
4．（2020 宁津县一模）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且相互平分的四边形是矩形
B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
【答案】A
【解答】解：A、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，故该选项正确；
B、对角线相等且相互垂直的四边形不一定是菱形，故该选项错误；
C、四条边相等的四边形是菱形，不是正方形，故该选项错误；
D、对角线相互垂直的四边形不是平行四边形，故该选项错误，
故选：A．
5．（2021 南浔区模拟）如图，E，F是正方形ABCD的边BC上两个动点，BE＝CF．连接AE，BD交于点G，连接CG，DF交于点M．若正方形的边长为1，则线段BM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CB，∠EBA＝∠FCD，∠ABG＝∠CBG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CDF，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAG＝∠BCG，
∴∠CDF＝∠BCG，
∵∠DCM+∠BCG＝∠FCD＝90°，
∴∠CDF+∠DCM＝90°，
∴∠DMC＝180°﹣90°＝90°，
取CD的中点O，连接OB、OF，
则OF＝CO＝CD＝，
在Rt△BOC中，OB＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OM+BM＞OB，
∴当O、M、B三点共线时，BM的长度最小，
∴BM的最小值＝OB﹣OF＝＝．
故选：D．
6.（2021 平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）略 （2）当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM；
（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，
∵MF＝CM，
∴NE＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
∵M为AD中点，
∴AD＝2AM，
∵AB：AD＝1：2，
∴AD＝2AB，
∴AM＝AB，
∵∠A＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
7．（2021 沂水县二模）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上的点．
（1）当点M是CE与BD的交点时，如图1，求∠DMC的度数；
（2）若点M是BD上任意一点时，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，CM，求证：EN＝CM；
（3）当点M在何处时，BM+2CM的值最小，说明理由．
【答案】（1）60° （2）略 （3）当M点位于BD，CE交点时，BM+2CM的值最小
【解答】（1）解：∵△AEB是等边三角形，
∴EB＝AB＝AE，∠EBA＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴EB＝CB，∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝60°+90°＝150°，
∴∠BCE＝（180°﹣∠EBC）＝×（180°﹣150°）＝15°，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠DBC＝45°，
∵∠DMC是△BMC的外角，
∴∠DMC＝∠DBC+∠BCE＝45°+15°＝60°；
（2）证明：由旋转可知，BM＝BN，∠MBN＝60°，
∵∠MBA＝45°，
∴∠ABN＝∠MBN﹣∠MBA＝15°，
∵∠ABE＝60°，
∴∠NBE＝∠ABE﹣∠ABN＝45°，
在△BMC和△BNE中，
，
∴△BMC≌△BNE（SAS），
∴CM＝EN；
（3）当M点位于BD，CE交点时，BM+2CM的值最小，理由如下：
在△ADM和△CDM中，
，
∴△ADM≌△CDM（SAS），
∴AM＝CM，
将BM绕点B旋转60°，得到BN，
∵∠EBN+∠NBA＝60°，∠NBA+∠ABM＝60°，
∴∠EBN＝∠ABM，
在△ENB和△AMB中，
，
∴△ENB≌△AMB（SAS），
∴AM＝EN，
∵BM＝BN，∠NBM＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM＝NM，
∴BM+2CM＝BM+AM+CM＝MN+EN+CM＝EN+MN+CM，
即E，N，M，C四点共线时，有最小值．
8．（2022 南昌模拟）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图1，连接BG、CF，
①求的值；
②求∠BHC的度数．
（2）当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．
【答案】（1）①＝ ②45°（2）BE＝2MN，MN⊥BE
【解答】解：（1）①如图1，连接AF，AC，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，，
∴△CAF∽△BAG，
∴＝；
②∵AC是正方形BCD的对角线，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
在△BCH中，∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ACF）
＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ABG）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝45°；
（2）BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图2，连接ME，过点C作CQ∥EF，交直线ME于Q，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，
∵CQ∥EF，
∴∠FCQ＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMQ＝∠FME，
∴△CMQ≌△FME（ASA），
∴CQ＝EF，ME＝QM，
∴AE＝CQ，
∵CQ∥EF，AG∥EF，
∴CQ∥AG，
∴∠QCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCQ＝∠BCF+∠QCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCQ，
又∵BC＝AB，CQ＝AE，
∴△BCQ≌△BAE（SAS），
∴BQ＝BE，∠CBQ＝∠ABE，
∴∠QBE＝∠CBA＝90°，
∵MQ＝ME，点N是BE中点，
∴BQ＝2MN，MN∥BQ，
∴BE＝2MN，MN⊥BE．

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