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考点二十九 圆的基本性质
【命题趋势】
圆的基本性质是中考考查的重点，常以选择题，填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活。
【中考考查重点】
一、运用垂径定理及其推论进行计算
二、运用圆周角定理及其推论进行计算
三、垂径定理雪与圆周角定理结合
考点：圆的有关概念
圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形
成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。
圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
1．（2021秋 顺义区期末）如图，在⊙O中，如果＝2，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（　　）
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC
【答案】D
【解答】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则＝2＝2，
∵＝2，
∴＝＝，
∴AD＝BD＝AC．
在△ABD中，AD+BD＞AB，
∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．
故选：D．
2．（2021秋 平原县期末）下列语句，错误的是（　　）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【答案】B
【解答】解：直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
3．（2021秋 玉林期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（　　）
A．猫先到达B地 B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π AB；
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d＝AB．
则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π AB．
故猫和老鼠行走的路径长相同．
故选：C．
考点： 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。
4．（2021秋 开化县期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（　　）（1尺＝10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【答案】D
【解答】解：连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝5（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故选：D．
考点： 与圆有关的角
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
5．（2021秋 随县期末）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝70°，若P为一点，∠AOP＝75°，则∠POB的度数为（　　）
A．50° B．65° C．75° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵所对的圆周角∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×70°＝140°，
∵∠AOP＝75°，
∴∠POB＝∠AOB﹣∠AOP＝140°﹣75°＝65°．
故选：B．
6．（2021秋 余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（　　）
A．16 B．24 C．12 D．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵AP BP＝CP DP，
∴PD＝，
∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，
∴PD＝12，
∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．
故选：A．
7．（2021秋 大连期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，
∴DE＝D′E，
∴CE+DE＝CE+D′E＝CD′，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∵D为的中点，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∵AB＝2，
∴OC＝OD′＝1，
∴CD′＝＝＝，
∴CE+DE最小值为：，
故选：B．
考点：圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
例：∠BCD+∠DAB=180°，∠BCD=∠DAE
8．（2021秋 定海区期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是（　　）
A．80° B．120° C．135° D．140°
【答案】B
【解答】解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°﹣60°＝120°．
故选：B．
9．（2021秋 姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（　　）
A．40° B．70° C．80° D．90°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝140°，
∴∠A＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
故选：A
1．（2021秋 凉州区期末）下列结论中，正确的是（　　）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆是中心对称图形
【答案】D
【解答】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
C、此弦不能是直径，命题错误；
D、圆是中心对称图形，正确，
故选：D．
2．（2021秋 永年区月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（　　）
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故不符合题意；
（2）弦包括直径，故不符合题意；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故不符合题意；
（4）直径是圆中最长的弦，符合题意，
正确的只有1个，
故选：A．
3．（2021秋 鼓楼区校级月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．直径未必是弦
【答案】B
【解答】解：A、在同圆或等圆中，两个半圆是等弧，故原命题错误，不符合题意；
B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
D、直径一定是弦，故原命题错误，不符合题意，
故选：B．
4．（2021秋 枣阳市期末）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADC＝25°，则∠AOB等于（　　）
A．15° B．25° C．30° D．50°
【答案】D
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴，
∴∠AOB＝2∠ADC＝2×25°＝50°．
故选：D．
5．（2021秋 西湖区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝45°，则∠ADC＝（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【解答】解：连接OD，如图，
∵BD垂直平分半径OC，
∴DO＝DC，
∵OD＝OC，
∴OD＝OC＝DC，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CBD＝∠COD＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝45°+30°＝75°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣75°＝105°．
故选：B．
6．（2021秋 渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（　　）
A．80° B．40° C．100° D．160°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE＝80°，
故选：A．
7．（2021秋 亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是　 ．
【答案】　51°
【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．
故答案为：51°．
8．（2021秋 黄石期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数　 ．
【答案】　70°
【解答】解：连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE＝40°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC＝∠OCE＝70°．
9．（2021秋 甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为　　寸．
【答案】26
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
由勾股定理得：r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
10．（2021秋 河北区期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝160m，CD＝40m，则这段弯路的半径是 　 　m．
【答案】100
【解答】解：∵AB＝160m，
∴BD＝80m，
根据勾股定理可得：OB2＝BD2+OD2，
即OB2＝602+（OB﹣40）2，
解得OB＝100．
故答案是：100．
1．（2021 长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　）
A．27° B．108° C．116° D．128°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝54°，
∴∠BOC＝2∠A＝108°，
故选：B．
2．（2021 邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
3．（2021 武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
【答案】B
【解答】解：如图，连接AC，CD，DE．
∵＝，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD＝α，
∵＝＝，
∴AC＝CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
故选：B．
4．（2021 宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　　．
【答案】13°
【解答】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．
5．（2021 烟台）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 　　．
【答案】
【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
由勾股定理得：AD＝＝2，
∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，
故答案为：．
6．（2021 丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　）
A．OE＝m tanα B．CD＝2m sinα
C．AE＝m cosα D．S△COD＝m2 sinα
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，∴DE＝CD，
在Rt△EDO中，OD＝m，∠AOD＝∠α，
∴tanα＝，
∴OE＝＝，
故选项A不符合题意；
∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，
∴CD＝2DE，
∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，
∴DE＝OD sinα＝m sinα，
∴CD＝2DE＝2m sinα，
故选项B正确，符合题意；
∵cosα＝，
∴OE＝OD cosα＝m cosα，
∵AO＝DO＝m，
∴AE＝AO﹣OE＝m﹣m cosα，
故选项C不符合题意；
∵CD＝2m sinα，OE＝m cosα，
∴S△COD＝CD×OE＝×2m sinα×m cosα＝m2sinα cosα，
故选项D不符合题意；
故选：B．
7．（2021 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 　 　．
【答案】2
【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：
在y＝x+中，令x＝0得y＝,
∴C(0,),OC＝,
在y＝x+中令y＝0得x+＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,
Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA cos30°＝2×＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
8．（2021 吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．65°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠APC为△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．
故选：D．
9．（2021 泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　）
A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
【答案】C
【解答】解：延长AD、BC交于E，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，
在Rt△CDE中，DE＝＝，
∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，
故选：C．
1．（2022 南平模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（　　）
A．60° B．50° C．80° D．100°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
故选：C．
2．（2022 泸县一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm．则DC的长为（　　）
A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
【答案】D
【解答】解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝×6＝3（cm），
∵OD＝4cm，
∴OA＝＝5（cm），
∴OC＝OA＝5cm，
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣4＝1（cm）．
故选：D．
3．（2021 拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（　　）
A．m B．m C．5m D．m
【答案】D
【解答】解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝（m），
即这个轮子的半径长为m，
故选：D．
4．（2021 望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（　　）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
【答案】C
【解答】解：设⊙O的半径为r寸．
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
5．（2021 宁波模拟）如图，A，B，C三点均在⊙O上，∠BAC＝37°，则∠BOC的度数为（　　）
A．37° B．53° C．74° D．127°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝37°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝74°，
故选：C．
6．（2021 玉林模拟）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长120m，测得圆周角∠ACB＝60°，则这个人工湖的直径AD为（　　）
A．40m B．60m C．80m D．100m
【答案】C
【解答】解：连接BD，
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴sin∠ADB＝＝sin60°＝，
∴AD＝＝＝80（m），
故选：C．
7．（2021 清江浦区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上，若∠D＝64°，则∠BAC的度数为（　　）
A．64° B．34° C．26° D．24°
【答案】C
【解答】解：连接BC，
∵∠D＝64°，
∴∠D＝∠B＝64°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝26°，
故选：C．
8．（2021 覃塘区模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（　　）
A．140° B．110° C．80° D．70°
【答案】B
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣∠CDO﹣∠CEO﹣∠DCE＝140°，
∴的度数是140°，
∴优弧的度数是360°﹣140°＝220°，
∴圆周角∠ACB的度数是220°＝110°，
故选：B．
9．（2021 中江县模拟）如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，如果∠BAD＝56°，则∠ACD的大小为（　　）
A．34° B．46° C．56° D．44°
【答案】A
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∠BAD＝56°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝34°，
∴∠ACD＝∠ABD＝34°，
故选：A．
10．（2021 开福区模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　 　．
【答案】2
【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，OA＝2，OD＝1，
在Rt△OAD中
AD＝＝＝，
∴AB＝2AD＝2．
故答案为：2．考点二十九 圆的基本性质
【命题趋势】
圆的基本性质是中考考查的重点，常以选择题，填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活。
【中考考查重点】
一、运用垂径定理及其推论进行计算
二、运用圆周角定理及其推论进行计算
三、垂径定理雪与圆周角定理结合
考点：圆的有关概念
圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形
成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。
圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
1．（2021秋 顺义区期末）如图，在⊙O中，如果＝2，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（　　）
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC
2．（2021秋 平原县期末）下列语句，错误的是（　　）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
3．（2021秋 玉林期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（　　）
A．猫先到达B地 B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地 D．无法确定
考点： 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
4．（2021秋 开化县期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（　　）（1尺＝10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
考点： 与圆有关的角
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
5．（2021秋 随县期末）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝70°，若P为一点，∠AOP＝75°，则∠POB的度数为（　　）
A．50° B．65° C．75° D．80°
6．（2021秋 余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（　　）
A．16 B．24 C．12 D．不能确定
7．（2021秋 大连期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
考点：圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
例：∠BCD+∠DAB=180°，∠BCD=∠DAE
8．（2021秋 定海区期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是（　　）
A．80° B．120° C．135° D．140°
9．（2021秋 姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（　　）
A．40° B．70° C．80° D．90°
1．（2021秋 凉州区期末）下列结论中，正确的是（　　）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆是中心对称图形
2．（2021秋 永年区月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（　　）
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021秋 鼓楼区校级月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．直径未必是弦
4．（2021秋 枣阳市期末）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADC＝25°，则∠AOB等于（　　）
A．15° B．25° C．30° D．50°
5．（2021秋 西湖区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝45°，则∠ADC＝（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
6．（2021秋 渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（　　）
A．80° B．40° C．100° D．160°
7．（2021秋 亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是　 ．
8．（2021秋 黄石期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数　 ．
9．（2021秋 甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为　　寸．
10．（2021秋 河北区期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝160m，CD＝40m，则这段弯路的半径是 　 　m．
1．（2021 长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　）
A．27° B．108° C．116° D．128°
2．（2021 邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
3．（2021 武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
4．（2021 宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　　．
5．（2021 烟台）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 　　．
6．（2021 丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　）
A．OE＝m tanα B．CD＝2m sinα
C．AE＝m cosα D．S△COD＝m2 sinα
7．（2021 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 　 　．
8．（2021 吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．65°
9．（2021 泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　）
A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
1．（2022 南平模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（　　）
A．60° B．50° C．80° D．100°
2．（2022 泸县一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm．则DC的长为（　　）
A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
3．（2021 拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（　　）
A．m B．m C．5m D．m
4．（2021 望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（　　）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
5．（2021 宁波模拟）如图，A，B，C三点均在⊙O上，∠BAC＝37°，则∠BOC的度数为（　　）
A．37° B．53° C．74° D．127°
6．（2021 玉林模拟）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长120m，测得圆周角∠ACB＝60°，则这个人工湖的直径AD为（　　）
A．40m B．60m C．80m D．100m
7．（2021 清江浦区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上，若∠D＝64°，则∠BAC的度数为（　　）
A．64° B．34° C．26° D．24°
8．（2021 覃塘区模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（　　）
A．140° B．110° C．80° D．70°
9．（2021 中江县模拟）如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，如果∠BAD＝56°，则∠ACD的大小为（　　）
A．34° B．46° C．56° D．44°
10．（2021 开福区模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　 　．

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