资源简介

考点三十 点、直线与圆的有关位置关系
【命题趋势】
在中考中，与圆有关的位置关系，主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系。该内容主要是以选择题、填空题、综合解答题的形式来考查，分值为3～10分．主要考点为点与圆、直线与圆的位置关系，圆切线的性质和判定等。
【中考考查重点】
一、点、直线与圆的有关位置关系
二、切线性质的有关证明与计算
三、切线判定的有关证明与计算
考点：点与圆的有关位置关系
（设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d）
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 点在外
点在圆上 点在圆周上 点在上
点在圆内 点在圆的内部 点在内
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC。
于是以点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是
一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
1.（2021春 九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为（　　）
相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵点（3，﹣4）到直线x＝1的距离为2，半径为2，
则有2＝2，
∴这个圆与直线x＝1相切．
故选：B．
2.（2020秋 钦州期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（　　）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
【答案】B
【解答】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，
到y轴的距离是2，小于半径，
∴圆与y轴相交，与x轴相切．
故选：B．
考点：直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线与相交
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
三角形外接圆的概念：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
外接圆圆心和三角形位置关系：
1）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2）直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3）钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）。
三角形内切圆的概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
【扩展】三角形内心、外心、重心、垂心、旁心
3.（2021 嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
4.（2020秋 舞阳县期末）已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】A
【解答】解：∵⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径为6cm，
∵圆心O到一条直线的距离为7cm＞6cm，
∴直线和圆相离．
故选：A．
考点： 切线性质
5.（2014 天津）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠C＝40°．
故选：C．
6.（2015 泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（　　）
A．65° B．130° C．50° D．100°
【答案】C
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝130°，
则∠P＝360°﹣（90°+90°+130°）＝50°．
故选：C．
7.（2013 乌鲁木齐）如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG＝﹣1，则△ABC的周长为（　　）
A．4+2 B．6 C．2+2 D．4
【答案】A
【解答】解：连接OD，OE，
∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，
∴∠C＝∠OEB＝∠OEC＝∠ODC＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD＝OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD＝CE＝OE，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠EOB＝∠EBO＝45°，
∴OE＝EB，
∴△OEB是等腰直角三角形，
设OE＝r，
∴BE＝OE＝OG＝r，
∴OB＝OG+BG＝﹣1+r，
∵OB＝OE＝r，
∴﹣1+r＝r，
∴r＝1，
∴AC＝BC＝2r＝2，AB＝2OB＝2×（1+﹣1）＝2．
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝4+2．
故选：A．
8.（2019 富顺县三模）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（　　）
﹣1 B．2 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，
∴AB＝OA＝6，
∴OP＝＝3，
∴PQ＝＝2．
故选：C．
考点： 切线性质的相关证明与计算
9.（2011 芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
【答案】（1）略 （2）∴AB＝6．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝6，
设AD＝x，则OF＝CD＝6﹣x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF＝OC＝5，
∴AF＝5﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，
化简得x2﹣11x+18＝0，
解得x1＝2，x2＝9．
∵CD＝6﹣x大于0，故x＝9舍去，
∴x＝2，
从而AD＝2，AF＝5﹣2＝3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝6．
1．（2020秋 越秀区校级期中）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断
【答案】C
【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：C．
2．（2019秋 义乌市期末）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内
C．在⊙O外 D．在⊙O上或在⊙O内
【答案】B
【解答】解：∵⊙O的半径是5，线段OP的长为4，
即点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选：B．
3．（2021 崇明区二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
4．（2021秋 定海区期末）如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（　　）
A． B．π C． D．
【答案】C
【解答】解：连接AB，
∵PA、PB是圆O的切线，
∴OB⊥BP，OA⊥PA，
∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴的长＝＝，
故选：C．
5．（2021秋 澄海区期末）如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ADC＝40°，则∠P的度数是（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【解答】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝40°，
∴∠AOC＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP＝90°，
∴∠CAP＝∠BAP﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠P＝∠ACB﹣∠CAP＝90°﹣40°＝50°，
故选：D．
6．（2021秋 福州期末）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（　　）
A． B． C．5 D．5
【答案】C
【解答】解：∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB＝PA＝5，
故选：C．
7．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（　　）
A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
【答案】C
【解答】解：如图，过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形．
∴AC＝OD，OC＝AD．
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径．
∵点A坐标为（8，5），
∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB．
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10．
在Rt△PAD中，根据勾股定理，得PD＝＝＝6，
∴OP＝PD+DO＝11．
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，11）．
故选：C．
8．（2021秋 吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【答案】（1）略 (2)6．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OP＝OB，
∴∠B＝∠OPB，
∴∠OPB＝∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∴BP＝CP，
∵∠CAB＝120°，
∴∠BAP＝60°，
在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，
∴BP＝AP＝3，
∴BC＝2BP＝6．
1．（2021 嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
2．（2021 上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（　　）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，
设圆A的半径为R，
则：AB＝R﹣1，
∵AB＝4，圆B半径为1，
∴R＝5，即圆A的半径等于5，
∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5，
∴AC＝5＝R，AD＝3＜R，
∴点C在圆上，点D在圆内，
故选：C．
3．（2021 青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 　 　．
【答案】6.5cm或2.5cm
【解答】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝4+9＝13（cm），
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），
∴半径r＝2.5cm．
综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．
故答案为：6.5cm或2.5cm．
4．（2021 临沂）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）
A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
5．（2021 湘潭）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴＝，AE＝DE＝2，
∴∠COD＝2∠ABC＝45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE＝ED＝2，
∴OD＝＝2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF＝OC，
∵OC＝OD＝2，
∴CF＝2，
故选：B．
6．（2021 杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝　　．
【答案】
【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，
∴PT＝＝＝，
故：PT＝．
7．（2021 南京）如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝　 　°．
【答案】180
【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD和OE，
∵FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，
∴∠OAF＝∠OBG＝∠OCH＝∠ODI＝∠OEJ＝90°，
即（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）＝90°×5＝450°，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝OE，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OCD＝∠ODC，∠ODE＝∠OED，OEA＝∠OAE，
∴∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA＝×五边形ABCDE内角和＝＝270°，
∴∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）﹣（∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA）＝450°﹣270°＝180°，
故答案为：180．
8．（2021 营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．
【答案】（1）略 （2）AF＝
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠F+∠DAF＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABF，
∵＝，
∴∠ABF＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE；
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∵AB＝8，BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，
∴△BCE∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴CE＝AF，
∵AF＝AE，
∴CE＝AE，
∵AE+CE＝AC＝2，
∴AE＝，
∴AF＝AE＝．
9．（2021 铜仁市）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．
【答案】（1）略 （2）⊙O的半径为15 （3）AD＝9
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即∠AEO+∠OEB＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，
∴OF＝x+10，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴x2+202＝（x+10）2，
解得：x＝15，
∴⊙O的半径为15；
∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴＝＝，
设BE＝a，则AE＝2a，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即a2+（2a）2＝302，
解得：a＝6，
∴AE＝2a＝12，
∵∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∵OE⊥EF，
∴BC∥EF，
∴，即，
∴AD＝9．
1．（2021 花都区一模）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：由题意可作图，如下图所示：
∵d＝4＜5，
∴点P在⊙O内．
故A正确，B、C、D错误，
故选：A．
2．（2021 黄埔区校级二模）已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】A
【解答】解：∵点P在半径为5cm的圆内，
∴点P到圆心的距离小于5cm，
所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；
故选：A．
3．（2021 南宁一模）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵OP＝7＞5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
4．（2021 香洲区模拟）如图，格点A、B在圆心也在格点上的圆上，则tanC的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，BD为圆的直径，连接AD、AB，
则∠ACB＝∠ADB，∠DAB＝90°，
∵AD＝AB＝＝3，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴tanC的值为1，
故选：B．
5．（2021 杨浦区三模）在平面直角坐标系中，以点A（2，1）为圆心，1为半径的圆与x轴的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】B
【解答】解：∵点A（2，1）到x轴的距离为1，圆的半径＝1，
∴点A（2，1）到x轴的距离＝圆的半径，
∴圆与x轴相切；
故选：B．
6．（2021 额尔古纳市模拟）如图，已知直线y＝，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　　）
A．6 B．5.5 C．5 D．4.5
【答案】B
【解答】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，
则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，
∴5×CM＝16，
∴CM＝，
∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最小距离是 ﹣1＝，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×＝，
故选：B．
7．（2021 蜀山区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　）
A．10﹣ B．﹣3 C．2﹣6 D．3
【答案】B
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，
∴AB＝＝2，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝＝，CM＝＝3，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：﹣3，
故选：B．
8．（2021秋 凤凰县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB＝4+，BC＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1） 略 （2）．
【解答】（1）证明：连接OA．
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝2，
∴BE＝BC＝，CE＝3，
∵AB＝4+，
∴AE＝AB﹣BE＝4，
∴在Rt△ACE中，AC＝＝5，
∴AP＝AC＝5．
∴在Rt△PAO中，OA＝，
∴⊙O的半径为．考点三十 点、直线与圆的有关位置关系
【命题趋势】
在中考中，与圆有关的位置关系，主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系。该内容主要是以选择题、填空题、综合解答题的形式来考查，分值为3～10分．主要考点为点与圆、直线与圆的位置关系，圆切线的性质和判定等。
【中考考查重点】
一、点、直线与圆的有关位置关系
二、切线性质的有关证明与计算
三、切线判定的有关证明与计算
考点：点与圆的有关位置关系
（设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d）
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 点在外
点在圆上 点在圆周上 点在上
点在圆内 点在圆的内部 点在内
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC。
于是以点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是
一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
1.（2021春 九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为（　　）
相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2.（2020秋 钦州期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（　　）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
考点：直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线与相交
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
三角形外接圆的概念：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
外接圆圆心和三角形位置关系：
1）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2）直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3）钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）。
三角形内切圆的概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
【扩展】三角形内心、外心、重心、垂心、旁心
3.（2021 嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
4.（2020秋 舞阳县期末）已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
考点： 切线性质
5.（2014 天津）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
6.（2015 泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（　　）
A．65° B．130° C．50° D．100°
7.（2013 乌鲁木齐）如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG＝﹣1，则△ABC的周长为（　　）
A．4+2 B．6 C．2+2 D．4
8.（2019 富顺县三模）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（　　）
﹣1 B．2 C．2 D．3
考点： 切线性质的相关证明与计算
9.（2011 芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
1．（2020秋 越秀区校级期中）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断
2．（2019秋 义乌市期末）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内
C．在⊙O外 D．在⊙O上或在⊙O内
3．（2021 崇明区二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
4．（2021秋 定海区期末）如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（　　）
A． B．π C． D．
5．（2021秋 澄海区期末）如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ADC＝40°，则∠P的度数是（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
6．（2021秋 福州期末）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（　　）
A． B． C．5 D．5
7．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（　　）
A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
8．（2021秋 吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
1．（2021 嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
2．（2021 上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（　　）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
3．（2021 青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 　 　．
4．（2021 临沂）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）
A．110° B．120° C．125° D．130°
5．（2021 湘潭）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
6．（2021 杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝　　．
7．（2021 南京）如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝　 　°．
8．（2021 营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．
9．（2021 铜仁市）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．
1．（2021 花都区一模）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
2．（2021 黄埔区校级二模）已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
3．（2021 南宁一模）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
4．（2021 香洲区模拟）如图，格点A、B在圆心也在格点上的圆上，则tanC的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
5．（2021 杨浦区三模）在平面直角坐标系中，以点A（2，1）为圆心，1为半径的圆与x轴的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
6．（2021 额尔古纳市模拟）如图，已知直线y＝，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　　）
A．6 B．5.5 C．5 D．4.5
7．（2021 蜀山区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　）
A．10﹣ B．﹣3 C．2﹣6 D．3
8．（2021秋 凤凰县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB＝4+，BC＝2，求⊙O的半径．

展开更多......

收起↑