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考点六 一元二次方程及其应用
【命题趋势】
在中考，一元二次方程的概念主要在选择题和填空题中考查，解一元二次方程（包括配方法）常以选择题、填空题和计算题考查，一元二次方程根的判别式常以选择题、填空题考查，一元二次方程应用常在选择题、填空题和解答题的第一问考查。
【中考考查重点】
掌握配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程
掌握一元二次方程根的判别式判别方程是否由实根和两个实根是否相等
熟练掌握一元二次方程的几种类型应用
考点一：一元二次方程的相关概念及解法
1．（2021秋 农安县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0
2．（2019秋 武汉期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（　　）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
考点二：一元二次方程的解法
3．（2021 鼓楼区校级模拟）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣3）2＝1
4．（2021 太和县一模）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解是（　　）
A．x1＝x2＝﹣1 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x1＝﹣3，x2＝1 D．无实数解
5．（2021 广东模拟）一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（　　）
A．5 B．6 C．7.5 D．12
概念 关于x的一元二次方程的根的判别式为
与根的关系 ＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根； =0 一元二次方程有两个相等的实数根 ＜0 一元二次方程无实数根
【满分技巧】根的判别式的作用： 直接判断或证明一元二次方程根的情况； 根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围（注：二次项系数不为0）
6．（2021 毕节市）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
7．（2021秋 富裕县期末）方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤9 B．k≤9且≠0 C．k≠0 D．k＞9
8．（2021 博山区一模）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
9．（2021秋 汝阳县期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
考点四：一元二次方程的应用
变化率问题 设a为原来的量，平均增长率为10%，增长次数为2，则增长后的量为a(1+10%) ，平均下降率为10%，下降次数为2，则下降后的量为 a(1-10%)
面积问题 如图①，设空白部分的宽为x,则； 如图②，设阴影道路的宽为x,则 如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
每每问题 常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 每每问题中，单价每涨a元，少买不件。若涨价y元，则少买的数量为
循环赛问题 单循环淘汰赛问题：设x队进行m场比赛，则； 互赠照片问题;全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送张，则x(x-1)=m
10．（2021秋 铁西区期末）某品牌足球2020年单价为200元，到2022年后，公司将该品牌足球的单价确定为162元，则2020年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　）
A．10% B．19% C．20% D．30%
11．（2021 香坊区二模）某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生（　　）名．
A．39 B．40 C．41 D．42
12．（2021秋 射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
13．（2021春 青秀区校级期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则AB的长为（　　）
A．20m或5m B．25m或5m C．5m D．20m
1．（2021秋 长春期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+＝2 B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．xy＝4
2．（2017秋 武清区期中）将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，一次项系数、常数项分别为（　　）
A．1，﹣6 B．﹣6，1 C．1，6 D．6，1
3．（2021 南充一模）方程（9x﹣1）2＝1的解是（　　）
A．x1＝x2＝ B．x1＝x2＝
C．x1＝0，x2＝ D．x1＝0，x2＝﹣
4．（2021 庐阳区校级一模）方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝0
5．（2021秋 新抚区期末）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围（　　）
A．k≥﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
6．（2021秋 零陵区期末）方程9x2﹣16＝0的根是 　　 ．
7．（2021秋 江油市期末）已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
8．（2021秋 郧西县期末）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根是x1＝﹣1，则方程的另一根x2＝　　．
9．（2021秋 舞钢市期末）若a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，则a2+2a+b＝　 　．
10．（2021秋 津南区期中）某中学九年级以班级为单位组织篮球比赛，每两班之间都要比赛一场，共比赛了15场，设参赛班级的个数为x，则x的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（2021 黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
12．（2020 无锡）已知关于x的方程：4x2+4mx+2m﹣1＝0（m为实数）．
（1）求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，求证：x1+x2+m＝0．
1．（2021 赤峰）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
2．（2021 西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
3．（2021 河池）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
4．（2021 丹东）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2021 黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为 　　．
6．（2021 贵港）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
7．（2021 宜宾）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
8．（2020 济南）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 　　米．
9．（2020 黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 　　个人．
10．（2021 毕节市）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（2021 黄石）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
1．（2021 潜江模拟）下列是一元二次方程的是（　　）
A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0
2．（2021 临沂模拟）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2021＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝2025 B．（x+2）2＝2025
C．（x﹣1）2＝2022 D．（x+1）2＝2022
3．（2021 深圳模拟）若x1，x2是方程x2＝16的两根，则x1+x2的值是（　　）
A．16 B．8 C．4 D．0
4．（2021 桂林模拟）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．（2021 江油市二模）若关于x的一元二次方程（1﹣2a）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．0≤a≤1 B．0＜a≤1
C．0≤a≤1且a≠ D．0≤a＜1且a≠
6．（2021 遵义一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
7．（2021 江西模拟）如图，为美化校园环境，学校打算在长为30m，宽为20m的长方形空地上修建上一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成宽为am的通道．若花圃的面积恰好等于264m2，则通道的宽a＝　　m．
8．（2021 哈尔滨模拟）由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由4000美元下调至2560美元，则平均每次下调的百分率为　　．
9．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 　　队参赛．
10．（2021 蜀山区校级模拟）某校九年级3月份中考模拟总分760分以上有300人，同学们在老师们的高效复习指导下，复习效果显著，在4月份中考模拟总分760分以上人数比3月份增长5%，且5，6月份的760分以上的人数按相同的百分率x继续上升，则6月份该校760分以上的学生人数（　　）
A．300（1+5%）（1+2x）人 B．300（1+5%）（1+x）2人
C．（300+5%）（300+2）人 D．300（1+5%+2x）人
11．（2021 凉山州模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．考点六 一元二次方程及其应用
【命题趋势】
在中考，一元二次方程的概念主要在选择题和填空题中考查，解一元二次方程（包括配方法）常以选择题、填空题和计算题考查，一元二次方程根的判别式常以选择题、填空题考查，一元二次方程应用常在选择题、填空题和解答题的第一问考查。
【中考考查重点】
掌握配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程
掌握一元二次方程根的判别式判别方程是否由实根和两个实根是否相等
熟练掌握一元二次方程的几种类型应用
考点一：一元二次方程的相关概念及解法
1．（2021秋 农安县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0
【答案】D
【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2019秋 武汉期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（　　）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
【答案】C
【解答】解：5x2﹣1＝4x，
5x2﹣4x﹣1＝0，
二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，
故选：C．
考点二：一元二次方程的解法
3．（2021 鼓楼区校级模拟）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣3）2＝1
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝10，
∴（x﹣3）2＝10．
故选：A．
4．（2021 太和县一模）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解是（　　）
A．x1＝x2＝﹣1 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x1＝﹣3，x2＝1 D．无实数解
【答案】C
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
故选：C．
5．（2021 广东模拟）一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（　　）
A．5 B．6 C．7.5 D．12
【答案】B
【解答】解：x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
x﹣3＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝3，x2＝5，
即三角形的两条边长分别3、5，
而三角形的周长是12，
所以第三边长为3，
因为32+42＝52，
所以此三角形为直角三角形，
所以该三角形的面积＝×3×4＝6．
故选：B．
概念 关于x的一元二次方程的根的判别式为
与根的关系 ＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根； =0 一元二次方程有两个相等的实数根 ＜0 一元二次方程无实数根
【满分技巧】根的判别式的作用： 直接判断或证明一元二次方程根的情况； 根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围（注：二次项系数不为0）
6．（2021 毕节市）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
【答案】D
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣4且a≠0，
故选：D．
7．（2021秋 富裕县期末）方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤9 B．k≤9且≠0 C．k≠0 D．k＞9
【答案】A
【解答】解：①当k＝0时，﹣6x+1＝0，
解得x＝；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4k≥0，解得k≤9；
故k的取值范围是k≤9．
故选：A．
8．（2021 博山区一模）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1，
∴a2+a＝2022，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．
故选：B．
9．（2021秋 汝阳县期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
【答案】（1）略 （2）、
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2，
则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为＝；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的面积为＝；
综上，该直角三角形的面积为或．
考点四：一元二次方程的应用
变化率问题 设a为原来的量，平均增长率为10%，增长次数为2，则增长后的量为a(1+10%) ，平均下降率为10%，下降次数为2，则下降后的量为 a(1-10%)
面积问题 如图①，设空白部分的宽为x,则； 如图②，设阴影道路的宽为x,则 如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
每每问题 常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 每每问题中，单价每涨a元，少买不件。若涨价y元，则少买的数量为
循环赛问题 单循环淘汰赛问题：设x队进行m场比赛，则； 互赠照片问题;全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送张，则x(x-1)=m
10．（2021秋 铁西区期末）某品牌足球2020年单价为200元，到2022年后，公司将该品牌足球的单价确定为162元，则2020年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　）
A．10% B．19% C．20% D．30%
【答案】A
【解答】解：设2020年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故选：A．
11．（2021 香坊区二模）某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生（　　）名．
A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】C
【解答】解：设全班共有学生x名，则每名学生需写（x﹣1）份毕业留言，
依题意得：x（x﹣1）＝1640，
解得：x1＝41，x2＝﹣40（不合题意，舍去）．
故选：C．
12．（2021秋 射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解答】解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝169，
即（1+m）2＝169．
解得：m1＝12，m2＝﹣14（不合题意，舍去）．
故选：B．
13．（2021春 青秀区校级期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则AB的长为（　　）
A．20m或5m B．25m或5m C．5m D．20m
【答案】D
【解答】解：设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则BC边的长为（49+1﹣2x）m，
依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，
整理得：x2﹣25x+100＝0，
解得：x1＝5，x2＝20．
当x＝5时，49+1﹣2x＝49+1﹣2×5＝40＞35，不合题意，舍去；
当x＝20时，49+1﹣2x＝49+1﹣2×20＝10＜35，符合题意．
故选：D．
1．（2021秋 长春期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+＝2 B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．xy＝4
【答案】B
【解答】解：A、＝2为分式方程，所以A选项不符合题意．
B、2x2﹣x＝1为一元二次方程，所以B选项符合题意；
C、3x3＝1是一元三次方程，所以C选项不符合题意；
D、xy＝4是二元二次方程，所以D选项不符合题意；
故选：B．
2．（2017秋 武清区期中）将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，一次项系数、常数项分别为（　　）
A．1，﹣6 B．﹣6，1 C．1，6 D．6，1
【答案】B
【解答】解：化为一般式为：3x2﹣6x+1＝0
∴故一次项系数为﹣6，常数项为：1
故选：B．
3．（2021 南充一模）方程（9x﹣1）2＝1的解是（　　）
A．x1＝x2＝ B．x1＝x2＝
C．x1＝0，x2＝ D．x1＝0，x2＝﹣
【答案】C
【解答】解：∵（9x﹣1）2＝1，
∴9x﹣1＝1或9x﹣1＝﹣1，
解得x1＝0，x2＝，
故选：C．
4．（2021 庐阳区校级一模）方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝0
【答案】C
【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
则x﹣1＝0或x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
故选：C．
5．（2021秋 新抚区期末）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围（　　）
A．k≥﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【答案】D
【解答】解：根据题意得b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0且k≠0，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：D．
6．（2021秋 零陵区期末）方程9x2﹣16＝0的根是 　　 ．
【答案】x1＝，x2＝﹣
【解答】解：9x2﹣16＝0，
移项，得9x2＝16，
∴3x＝4或3x＝﹣4，
∴x1＝，x2＝﹣，
故答案为：x1＝，x2＝﹣．
7．（2021秋 江油市期末）已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
∴a+b＝3．
故选：A．
8．（2021秋 郧西县期末）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根是x1＝﹣1，则方程的另一根x2＝　　．
【答案】5
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，
即﹣1+x2＝4，
解得x2＝5．
故答案为5．
9．（2021秋 舞钢市期末）若a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，则a2+2a+b＝　 　．
【答案】2020
【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，
∴a2+a﹣2021＝0，a+b＝﹣1，
∴a2+a＝2021，
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2021﹣1＝2020，
故答案为：2020．
10．（2021秋 津南区期中）某中学九年级以班级为单位组织篮球比赛，每两班之间都要比赛一场，共比赛了15场，设参赛班级的个数为x，则x的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
故选：B．
11．（2021 黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，
即（1+x）2＝144，
解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），
故选：B．
12．（2020 无锡）已知关于x的方程：4x2+4mx+2m﹣1＝0（m为实数）．
（1）求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，求证：x1+x2+m＝0．
【答案】（1） 略 （2）略
【解答】（1）证明：∵a＝4，b＝4m，c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（4m）2﹣4×4（2m﹣1）＝16（m﹣1）2≥0
∴方程有两个实数根．
（2）证明：∵x1，x2是该方程的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣m，
∴x1+x2+m＝0．
1．（2021 赤峰）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣8x﹣2＝0，
∴x2﹣8x＝2，
则x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，
故选：A．
2．（2021 西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
【答案】C
【解答】解：法1：方程x2﹣10x+24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为×4×6＝12；
法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根，
∴ab＝24，
则这个菱形的面积为ab＝12．
故选：C．
3．（2021 河池）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2）
＝m2+4m+8
＝（m+2）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选A
4．（2021 丹东）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，
∴k＝﹣3，b＝1，
∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
5．（2021 黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为 　　．
【答案】12
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，
当第三边为3时，2+3＝5，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
当第三边为5时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+5+5＝12，
故答案为：12．
6．（2021 贵港）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
7．（2021 宜宾）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
【答案】C
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9，
∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．
故选：C．
8．（2020 济南）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 　　米．
【答案】1
【解答】解：设道路的宽为x m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
9．（2020 黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 　　个人．
【答案】10
【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
依题意，得1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了10人
10．（2021 毕节市）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：设八年级有x个班，
依题意得：x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
故选：B．
11．（2021 黄石）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
【答案】（1）m≤0 （2）﹣2
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
1．（2021 潜江模拟）下列是一元二次方程的是（　　）
A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0
【答案】C
【解答】解：A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（2021 临沂模拟）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2021＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝2025 B．（x+2）2＝2025
C．（x﹣1）2＝2022 D．（x+1）2＝2022
【答案】C
【解答】解：x2﹣2x﹣2021＝0，
移项，得x2﹣2x＝2021，
配方，得x2﹣2x+1＝0＝2022，
即（x﹣1）2＝2022，
故选：C．
3．（2021 深圳模拟）若x1，x2是方程x2＝16的两根，则x1+x2的值是（　　）
A．16 B．8 C．4 D．0
【答案】D
【解答】解：∵x2＝16，
∴x1＝4，x2＝﹣4，
则x1+x2＝0，
故选：D．
4．（2021 桂林模拟）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【解答】解：因为Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
5．（2021 江油市二模）若关于x的一元二次方程（1﹣2a）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．0≤a≤1 B．0＜a≤1
C．0≤a≤1且a≠ D．0≤a＜1且a≠
【答案】C
【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣2）2﹣4×（1﹣2a）×（﹣1）≥0且1﹣2a≠0，
解得0≤a≤1且a≠．
故选：C．
6．（2021 遵义一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．
故选：B．
7．（2021 江西模拟）如图，为美化校园环境，学校打算在长为30m，宽为20m的长方形空地上修建上一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成宽为am的通道．若花圃的面积恰好等于264m2，则通道的宽a＝　　m．
【答案】4
【解答】解：∵花圃四周余下的空地修建成宽为am的通道，
∴花圃的长为（30﹣2a）m，宽为（20﹣2a）m，
依题意得：（30﹣2a）（20﹣2a）＝264，
整理得：a2﹣25a+84＝0，
解得：a1＝4，a2＝21．
∵20﹣2a＞0，
∴a＜10，
∴a＝4．
故答案为：4．
8．（2021 哈尔滨模拟）由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由4000美元下调至2560美元，则平均每次下调的百分率为　　．
【答案】20%
【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
4000（1﹣x）2＝2560，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．
故答案是：20%．
9．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 　　队参赛．
【答案】8
【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4＝28场比赛．
设比赛组织者应邀请x队参赛，
则由题意可列方程为：＝28．
解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去），
所以比赛组织者应邀请8队参赛．
故答案为：8．
10．（2021 蜀山区校级模拟）某校九年级3月份中考模拟总分760分以上有300人，同学们在老师们的高效复习指导下，复习效果显著，在4月份中考模拟总分760分以上人数比3月份增长5%，且5，6月份的760分以上的人数按相同的百分率x继续上升，则6月份该校760分以上的学生人数（　　）
A．300（1+5%）（1+2x）人 B．300（1+5%）（1+x）2人
C．（300+5%）（300+2）人 D．300（1+5%+2x）人
【答案】B
【解答】解：根据题意知，6月份该校760分以上的学生人数＝300（1+5%）（1+x）2人．
故选：B．
11．（2021 凉山州模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
【答案】（1） 略 （2）5．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．

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