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考点七 分式方程及其应用
【命题趋势】
在中考中，解分式方程常以选择题、填空题和计算题考查；分式方程的实际应用再选择题考查列方程，解答题多与不等式、函数的实际应用结合考查。
【中考考查重点】
能解可化一元一次方程的分式方程
能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是合理
考点一：解分式方程
1．（2021 广州）方程＝的解为（　　）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
【答案】D
【解答】解：去分母，得x＝2x﹣6，
∴x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
故选：D．
2．（2021 贵池区模拟）分式方程+2＝的解是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．无解
【答案】D
【解答】解：去分母，得1+2x﹣2＝2﹣x，
整理，得3x＝3，
解，得x＝1．
经检验，x＝1不是原方程的解．
所以原方程无解．
故选：D．
3．（2021 饶平县校级模拟）在下列方程中，（　　）是分式方程．
A．＝1 B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、是分式方程，故此选项符合题意；
B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；
C、不是分式方程，故此选项不符合题意；
D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．（2020 郴州）解方程：＝+1．
【答案】x＝3，
【解答】解：＝+1，
方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得
x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），
解得x＝3，
检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．
故x＝3是原方程的解．
考点二：分式方程的实际应用
行程问题
工程问题 （当题干中没有给出具体工作总量时，默认工作总量为1）
购买问题
航行问题 顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度
【提分要点】 双检验：1.检验是否为分式方程的解； 2.检验是否符号实际问题
5．（2021 黔西南州）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．＝3
【答案】B
【解答】解：设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度是3xkm/h，
根据题意得：﹣＝3．
故选：B．
6．（2021 黔东南州模拟）2020年在抗击“新型冠状病毒”期间，甲、乙两人准备帮助某抗疫指挥中心整理一批新到的物资，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才能完工．设乙单独整理这批物资需要x分钟完工，则根据题意列得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设乙单独整理x分钟完工，
根据题意得：+＝1，
故选：B．
7．（2021 市中区三模）开学在即，由于新冠疫情学校决定共用8000元分两次购进口罩6000个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.5倍，则第二次购买口罩的单价是 　　元．
【答案】
【解答】解：8000÷2＝4000（元）．
设第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.5x元，
依题意得：+＝6000，
解得：x＝，
经检验，x＝是原方程的解，且符合题意．
故答案为：．
8．（2020 沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是　　元．
【答案】40
【解答】解：设第一批进货的单价为x元/件，
由题意2×＝，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
答：第一次进货单价为40元/件，
故答案为：40．
1．（2021秋 遵化市期中）下列哪个是分式方程（　　）
A．﹣﹣3x＝6 B．﹣1＝0 C．﹣3x＝5 D．2x2+3x＝﹣2
【答案】B
【解答】解：A、﹣﹣3x＝6是整式方程，故本选项错误；
B、﹣1＝0是分式方程，故本选项正确；
C、﹣3x＝5是整式方程，故本选项错误；
D、2x2+3x＝2是整式方程，故本选项错误．
故选：B．
2．（2021秋 江油市期末）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h，则轮船在静水中航行的速度是（　　）
A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h
【答案】A
【解答】解：设轮船在静水中航行的速度是xkm/h，则轮船顺水航行速度为（x+2）km/h，轮船逆水航行速度为（x﹣2）km/h，
依题意得：＝，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意．
故选：A．
3．（2021 张湾区模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，得：．
故选：C．
4．（2021 安阳二模）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从安阳东站到北京西站的距离是516千米，乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟，已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快100千米/小时，设复兴号动车组的平均速度为x千米/小时，根据题意可列方程（　　）
A．﹣＝2.6 B．﹣＝2
C．﹣＝ D．﹣＝2
【答案】B
【解答】解：设“复兴号”的速度为x千米/时，则特快列车的速度为（x﹣100）千米/时，
根据题意得：﹣＝2，
故选：B．
5．（2021秋 铁岭县期末）解下列分式方程：
（1）+4＝；
（2）﹣1＝．
【答案】（1）x＝3是增根，分式方程无解 （2）x＝﹣．
【解答】解：（1）去分母得：2﹣x+4（x﹣3）＝﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x﹣3＝0，
∴x＝3是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝1，
解得：x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣．
1．（2021 阿坝州）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【答案】B
【解答】解：把x＝3代入分式方程＝3，得，
整理得6+m＝3，
解得m＝﹣3．
故选：B．
2．（2021 百色）方程＝的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3
【答案】D
【解答】解：∵＝，
∴．
去分母，得3（x﹣1）＝2x．
去括号，得3x﹣3＝2x．
移项，得3x﹣2x＝3．
合并同类项，得x＝3．
经检验：当x＝3时，3x（x﹣1）≠0．
∴这个分式方程的解为x＝3．
故选：D．
3．（2021 巴中）关于x的分式方程﹣3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
【答案】B
【解答】解：﹣3＝0，
方程两边同时乘以2﹣x，得m+x﹣3（2﹣x）＝0，
去括号得，m+x﹣6+3x＝0，
合并同类项得，4x＝6﹣m，
∵方程有解，
∴x≠2，
∴6﹣m≠8，
∴m≠﹣2，
故选：B．
4．（2021 兴安盟）若关于x的分式方程+＝2无解，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．0或3
【答案】A
【解答】解：+＝2，
方程两边同时乘以x﹣3，得2﹣（x+a）＝2（x﹣3），
去括号得，2﹣x﹣a＝2x﹣6，
移项、合并同类项得，3x＝8﹣a，
∵方程无解，
∴x＝3，
∴9＝8﹣a，
∴a＝﹣1，
故选：A．
5．（2021 鄂尔多斯）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设2020年每包口罩为x元，
根据题意可得：，
故选：C．
6．（2021 株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（　　）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
【答案】C
【解答】解：根据题意得：3斗＝30升，
设可以换得的粝米为x升，
则＝，
解得：x＝＝18（升），
经检验：x＝18是原分式方程的解，
答：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．
故选：C．
7．（2020 阜新）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．﹣＝30
B．﹣＝30
C．﹣＝30
D．﹣＝30
【答案】B
【解答】解：设实际每天铺xm管道，则原计划每天铺m管道，
根据题意，得﹣＝30，
故选：B．
8．（2021 大庆）解方程：+＝4．
【答案】x＝1
【解答】解：给分式方程两边同时乘以2x﹣3，
得x﹣5＝4（2x﹣3），
解得x＝1，
检验：把x＝1代入2x﹣3≠0，
所以x＝1是原分式方程的解．
1．（2014 日照校级模拟）下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：①解分式方程不一定会产生增根；
②方程＝0的根为2，分母为0，所以是增根；
③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；
所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．
故选：A．
2．（2021 安徽模拟）若x＝6是分式方程的根，则a的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【答案】C
【解答】解：将x＝6代入分式方程可得：＝，
解得a＝4．
故选：C．
3．（2021 郯城县模拟）分式方程＝0的解是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无解
【答案】B
【解答】解：去分母得：x2﹣1＝0，
解得：x＝1或x＝﹣1，
检验：把x＝1代入得：x﹣1＝0；
把x＝﹣1代入得：x﹣1≠0，
∴x＝1是增根，x＝﹣1是分式方程的解．
故选：B．
4．（2021 西湖区校级三模）某生产厂家更新技术后，平均每天比更新技术前多生产3万件产品，现在生产50万件产品与更新技术前生产40万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产产品x万件，则可以列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵更新技术前每天生产产品x万件，
∴更新技术后每天生产产品（x+3）万件．
依题意得：＝．
故选：A．
5．中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，则下面所列方程中正确（　　）
A．﹣＝3.6 B．﹣＝3.6
C．﹣＝3.6 D．＝3.6﹣
【答案】A
【解答】解：设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均行驶速度为2.8xkm/h，
依题意得：﹣＝3.6．
故选：A．
6．（2020 河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（　　）
A．197元 B．198元 C．199元 D．200元
【答案】D
【解答】解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+20）元，根据题意列方程得：
＝，
解得：x＝200
经检验：x＝200是原分式方程的解，则A商家每张餐桌的售价为200元．
故选：D．
7．（2021 碑林区校级模拟）解方程：＝1﹣．
【答案】x＝﹣12
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣3）得：
x（x﹣3）＝（x+2）（x﹣3）﹣3（x+2），
解得：x＝﹣12，
检验：当x＝﹣12时，（x+2）（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣12是原分式方程的解．考点七 分式方程及其应用
【命题趋势】
在中考中，解分式方程常以选择题、填空题和计算题考查；分式方程的实际应用再选择题考查列方程，解答题多与不等式、函数的实际应用结合考查。
【中考考查重点】
能解可化一元一次方程的分式方程
能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是合理
考点一：解分式方程
1．（2021 广州）方程＝的解为（　　）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
2．（2021 贵池区模拟）分式方程+2＝的解是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．无解
3．（2021 饶平县校级模拟）在下列方程中，（　　）是分式方程．
A．＝1 B．
C． D．
4．（2020 郴州）解方程：＝+1．
考点二：分式方程的实际应用
行程问题
工程问题 （当题干中没有给出具体工作总量时，默认工作总量为1）
购买问题
航行问题 顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度
【提分要点】 双检验：1.检验是否为分式方程的解； 2.检验是否符号实际问题
5．（2021 黔西南州）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．＝3
6．（2021 黔东南州模拟）2020年在抗击“新型冠状病毒”期间，甲、乙两人准备帮助某抗疫指挥中心整理一批新到的物资，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才能完工．设乙单独整理这批物资需要x分钟完工，则根据题意列得方程（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021 市中区三模）开学在即，由于新冠疫情学校决定共用8000元分两次购进口罩6000个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.5倍，则第二次购买口罩的单价是 　　元．
8．（2020 沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是　　元．
1．（2021秋 遵化市期中）下列哪个是分式方程（　　）
A．﹣﹣3x＝6 B．﹣1＝0 C．﹣3x＝5 D．2x2+3x＝﹣2
2．（2021秋 江油市期末）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h，则轮船在静水中航行的速度是（　　）
A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h
3．（2021 张湾区模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021 安阳二模）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从安阳东站到北京西站的距离是516千米，乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟，已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快100千米/小时，设复兴号动车组的平均速度为x千米/小时，根据题意可列方程（　　）
A．﹣＝2.6 B．﹣＝2
C．﹣＝ D．﹣＝2
5．（2021秋 铁岭县期末）解下列分式方程：
（1）+4＝；
（2）﹣1＝．
1．（2021 阿坝州）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
2．（2021 百色）方程＝的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3
3．（2021 巴中）关于x的分式方程﹣3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
4．（2021 兴安盟）若关于x的分式方程+＝2无解，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．0或3
5．（2021 鄂尔多斯）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021 株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（　　）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
7．（2020 阜新）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．﹣＝30 B．﹣＝30
C．﹣＝30 D．﹣＝30
8．（2021 大庆）解方程：+＝4．
1．（2014 日照校级模拟）下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021 安徽模拟）若x＝6是分式方程的根，则a的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
3．（2021 郯城县模拟）分式方程＝0的解是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无解
4．（2021 西湖区校级三模）某生产厂家更新技术后，平均每天比更新技术前多生产3万件产品，现在生产50万件产品与更新技术前生产40万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产产品x万件，则可以列方程为（　　）
A． B． C． D．
5．中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，则下面所列方程中正确（　　）
A．﹣＝3.6 B．﹣＝3.6
C．﹣＝3.6 D．＝3.6﹣
6．（2020 河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（　　）
A．197元 B．198元 C．199元 D．200元
7．（2021 碑林区校级模拟）解方程：＝1﹣．

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