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考点十五 二次函数解析式的确定及图像变换
【命题趋势】
在中考中，二次函数的解析式主要在解答题中考查；二次函数图像的变换常在选择题和填空题中考查；二次函数的翻折、旋转常结合取值范围考查；二次函数与一元二次方程常在选择题和填空题中考查为主。
【中考考查重点】
会根据题意求二次函数解析式；
二、会利用二次函数图像求一元二次方程的近似解
考点一：二次函数解析式的确定
方法 待定系数法
具体 方法 巧设二次函数的解析式； 根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式； 若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式； 若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
1．（2020秋 广饶县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
【答案】C
【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4，
将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．
故选：C
2．（2021秋 瑶海区校级期中）已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2021 B．y＝2（x﹣1）2+2021
C．y＝2（x+1）2+2021 D．y＝﹣2（x+1）2+2021
【答案】D
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，
∵抛物线y＝a（x+1）2+2021二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+2021．
故选：D．
考点二：二次函数图像的变换
1.二次函数图像的平移
平移前 平移方向（m＞0) 平移后 口诀
向左平移m个单位 “左加右减” “上加下减”
向右平移m个单位
向上平移m个单位
向下平移m个单位
2.二次函数的图像的翻折、旋转
变化前 变换形式 变化后 简记
绕顶点旋转180° a变号，h、k均不变
绕原点旋转180° a、h、k均变号
沿x轴翻折 a、k变号，h不变
沿y轴翻折 a、h不变，h变号
3．（2021秋 利通区期末）将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式（　　）
A．y＝﹣x2﹣1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x2+1）2
【答案】A
【解答】解：将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式y＝﹣x2﹣1，
故选：A．
4．（2021秋 天河区期末）抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝（x+2）2，
抛物线y＝（x+2）2，再向上平移1个单位即可得到抛物线y＝（x+2）2+1．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向上平移1个单位．
故选：C．
5．（2021秋 集贤县期末）将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3
【答案】C
【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，﹣1），
∴平移后抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣1．
故选：C．
6．（2021秋 金安区期中）平移抛物线y＝（x+1）2﹣9使其经过原点，下列操作正确的是（　　）
A．向右平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向上平移8个单位 D．向上平移9个单位
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2﹣9向上平移8个单位，得到抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣1，此时，图象经过原点，
故选：C
7．（2021秋 牡丹江期末）将抛物线y＝2（x+2）2﹣5向左平移3个单位长度后，再沿x轴翻折，则变换后所得抛物线的顶点坐标为 　　 ．
【答案】（﹣5，5）
【解答】解：∵抛物线y＝2（x+2）2﹣5向左平移3个单位的顶点坐标为（﹣5，﹣5），
∴得到新的图象的解析式y＝2（x+5）2﹣5，
∴将图象沿着x轴翻折，则翻折后的图象对应的函数解析式为y＝﹣2（x+5）2+5．
∴变换后顶点的坐标为（﹣5，5）．
故答案为：（﹣5，5）．
考点三： 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： ① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．. ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点. a、当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； b、当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
8．（2021 碑林区校级模拟）如果把对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+a﹣4沿y轴平移，使得平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点，那么下列平移方式正确的是（　　）
A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+a﹣4的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2+bx+a﹣4＝ax2﹣2ax+a﹣4＝a（x﹣1）2﹣4，
∴平移方式正确的是向上平移4个单位．
故选：A．
9．（2021 南召县一模）若函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【解答】解：由图象可得，
函数y＝ax2+bx的最小值是﹣3，
∴不存在x使得ax2+bx＝﹣5，
∴一元二次方程ax2+bx+5＝0无实数根，
故选：A．
1．（2021秋 东城区期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：　　 ．
【答案】y＝x2+2
【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）
2．（2020秋 顺平县期中）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【答案】C
【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∴二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得a＝1，
所以y＝（x﹣2）2﹣1．
故选：C．
3．（2021 西湖区校级开学）已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝．
故选：D．
4．（2021秋 长安区校级期末）二次函数y＝（x+1）（x﹣3）向上平移2个单位，向左平移3个单位后抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（1，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）
【答案】D
【解答】解：二次函数y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的图象的顶点坐标是（1，﹣4），将其向上平移2个单位，向左平移3个单位后得到（1﹣3，﹣4+2），
即（﹣2，﹣2）．
故选：D．
5．（2021秋 武昌区校级期末）将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（　　）
A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2
【答案】C
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式：y＝（x﹣a）2+b，即y＝x2﹣2ax+a2+b．
∴y＝x2﹣4x+2＝x2﹣2ax+a2+b，
∴2a＝4，a2+b＝2．
∴a＝2，b＝﹣2．
故选：C．
6．（2022秋 武汉期末）将抛物线y＝x2﹣6x+5绕坐标原点旋转180°后，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣6x﹣5 B．y＝﹣x2+6x+5 C．y＝x2+6x+5 D．y＝x2+6x﹣5
【答案】A
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4），点（3，﹣4）关于原点的对称点为（﹣3，4），
∴抛物线抛物线y＝x2﹣6x+5的图象绕坐标原点旋转180°所得的新的抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5．
故选：A．
7．（2020 阳新县模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣3＜x＜1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+c＜﹣mx+n的解集为﹣3＜x＜1，
即不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．
故选：C．
1．（2021 西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2
【答案】D
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2，即y＝（x+2）2+2；
再向下平移4个单位为：y＝（x+2）2+2﹣4，即y＝（x+2）2﹣2＝x2+4x+2．
故选：D．
2．（2020 昌图县校级一模）如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
【答案】B
【解答】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
可设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
可得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝1，
所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
3．（2021 眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
【答案】A
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2） +1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．
由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2） +9＝﹣x ﹣4x+5．
故选：A．
4.（2021 贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（　　）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【答案】D
【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，
如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
5．（2020 成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；
当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；
故选：D．
6．（2020 大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
【答案】B
【解答】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B
7．（2020 陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，则m，n的值为（　　）
A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3 C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，
∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，
∴y＝﹣mx2﹣2x+n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n相同，
∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，
解得m＝6，n＝3，
故选：D．
8．（2019 淄博）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，
∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，
将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，
由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．
故选：D．
9．（2021 黔东南州）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA AD＝1×2＝2．
故选：B．
10.（2021 广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）
A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
【答案】A
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣3或﹣，
故选：A．
11．（2020 随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
1．（2019 邵阳县模拟）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），
∴2×22﹣4×2+c＝﹣3，
解得c＝﹣3，
故选：C．
2．（2018 北塔区模拟）抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2+1
【答案】C
【解答】解：抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，所以a＝．
顶点在（﹣2，1），所以是y＝（x+2）2+1．
故选：C．
3．（2021 诸暨市模拟）平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x经变换得到抛物线y＝x2﹣2x，则这个变换是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
【答案】B
【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣1）．
y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，顶点坐标是（1，﹣1）．
所以将抛物线y＝x2+2x向右平移2个单位得到抛物线y＝x2﹣2x，
故选：B．
4．（2021 日喀则市二模）将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位得到的抛物线是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2+3 D．y＝2（x+2）2﹣5
【答案】D
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝2（x+2）2；
再向下平移5个单位为：y＝2（x+2）2﹣5．
故选：D．
5．（2020 吴兴区校级三模）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
【答案】D
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
∵OC＝2，
∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a （﹣2） 1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；
把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a （﹣2） 1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选：D．
6．（2021 城固县二模）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线L1：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线L2，再将抛物线L2通过上下平移得到抛物线L3：y＝x2﹣2x+2，则抛物线L2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【答案】C
【解答】解：抛物线L1：y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），抛物线L2：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）．
则将抛物线L1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线L2．
所以抛物线L3是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，
所以其顶点坐标是（1，﹣2）．
故选：C．
7．（2021 陕西模拟）将抛物线C1：y＝x2+4x+3沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线C2．若抛物线C1的顶点为A，点B是抛物线C2与y轴的交点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∵顶点为A（﹣2，﹣1），
∴将抛物线C1：y＝x2+4x+3沿x轴对称后的抛物线的顶点为（﹣2，1），
∴沿x轴对称后的抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+1，
向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线C2：y＝﹣（x+2﹣3）2+1﹣3，
即y＝﹣（x﹣1）2﹣2，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
∴△AOB的面积为：＝3，
故选：C．
8．（2021 陕西模拟）已知抛物线L1：y＝mx2﹣2mx+5（m≠0）的顶点为A，抛物线L2与抛物线L1关于点B（2，0）成中心对称．若抛物线L2经过点A，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C． D．
【答案】A
【解答】解：∵已知抛物线L1：y＝mx2﹣2mx+5＝m（x﹣1）2+5﹣m，
∴顶点A（1，5﹣m），
∵抛物线L2与抛物线L1关于点B（2，0）成中心对称．
∴抛物线L2与抛物线L1的开口大小相同，方向相反，顶点为（3，m﹣5），
∴抛物线L2的解析式是：y＝﹣m（x﹣3）2+m﹣5，
∵抛物线L2经过点A，
∴5﹣m＝﹣4m+m﹣5，解得m＝﹣5，
故选：A．
9．（2021 长沙模拟）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且它们分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，分别与两抛物线交于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，y2总是负数；
②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
【答案】B
【解答】解：①∵（x﹣2）2≥0，
∴﹣（x﹣2）2≤0，
∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，
∴无论x取何值，y2总是负数；
故①正确；
②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），
∴当x＝1时，y＝﹣2，
即﹣2＝a（1+1）2+2，
解得：a＝﹣1；
∴y1＝﹣（x+1）2+2，
∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
故②正确；
③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，
∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；
故③错误；
④设AC与DE交于点F，
∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴点A（﹣3，﹣2），
当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，
解得：x＝3或x＝1，
∴点C（3，﹣2），
∴AF＝CF＝3，AC＝6，
当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，
∴DE＝6，DF＝EF＝3，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AC＝DE，
∴四边形AECD为矩形，
∵AC⊥DE，
∴四边形AECD为正方形．
故④正确．
故选：B．
10．（2021 越秀区校级模拟）抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）（x﹣3） B．y＝2（x﹣1）（x﹣3）
C．y＝2（x﹣1）（x+3） D．y＝﹣2（x﹣1）（x+3）
【答案】C
【解答】解：∵关于y轴对称的点的坐标横坐标化为相反数，纵坐标相同，
∴抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为y＝2（﹣x+1）（﹣x﹣3）＝2（x﹣1）（x+3），
故选：C．
11．（2021 寻乌县模拟）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2020，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
【答案】D
【解答】解：由y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，
又因为2020＝12×168+4，
所以m的值等于x＝4时的纵坐标，
所以m＝﹣42+6×4＝8．
故选：D．
12．（2020 滦州市模拟）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
【答案】D
【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，
当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
13．（2021 平邑县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；
②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点C到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点C纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；
易知直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞0，从而④错误．
故选：B．考点十五 二次函数解析式的确定及图像变换
【命题趋势】
在中考中，二次函数的解析式主要在解答题中考查；二次函数图像的变换常在选择题和填空题中考查；二次函数的翻折、旋转常结合取值范围考查；二次函数与一元二次方程常在选择题和填空题中考查为主。
【中考考查重点】
会根据题意求二次函数解析式；
二、会利用二次函数图像求一元二次方程的近似解
考点一：二次函数解析式的确定
方法 待定系数法
具体 方法 巧设二次函数的解析式； 根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式； 若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式； 若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
1．（2020秋 广饶县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
2．（2021秋 瑶海区校级期中）已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2021 B．y＝2（x﹣1）2+2021
C．y＝2（x+1）2+2021 D．y＝﹣2（x+1）2+2021
考点二：二次函数图像的变换
1.二次函数图像的平移
平移前 平移方向（m＞0) 平移后 口诀
向左平移m个单位 “左加右减” “上加下减”
向右平移m个单位
向上平移m个单位
向下平移m个单位
2.二次函数的图像的翻折、旋转
变化前 变换形式 变化后 简记
绕顶点旋转180° a变号，h、k均不变
绕原点旋转180° a、h、k均变号
沿x轴翻折 a、k变号，h不变
沿y轴翻折 a、h不变，h变号
3．（2021秋 利通区期末）将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式（　　）
A．y＝﹣x2﹣1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x2+1）2
4．（2021秋 天河区期末）抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
5．（2021秋 集贤县期末）将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3
6．（2021秋 金安区期中）平移抛物线y＝（x+1）2﹣9使其经过原点，下列操作正确的是（　　）
A．向右平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向上平移8个单位 D．向上平移9个单位
7．（2021秋 牡丹江期末）将抛物线y＝2（x+2）2﹣5向左平移3个单位长度后，再沿x轴翻折，则变换后所得抛物线的顶点坐标为 　　 ．
考点三： 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： ① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．. ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点. a、当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； b、当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
8．（2021 碑林区校级模拟）如果把对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+a﹣4沿y轴平移，使得平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点，那么下列平移方式正确的是（　　）
A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
9．（2021 南召县一模）若函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
1．（2021秋 东城区期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：　　 ．
2．（2020秋 顺平县期中）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
3．（2021 西湖区校级开学）已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
4．（2021秋 长安区校级期末）二次函数y＝（x+1）（x﹣3）向上平移2个单位，向左平移3个单位后抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（1，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）
5．（2021秋 武昌区校级期末）将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（　　）
A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2
6．（2022秋 武汉期末）将抛物线y＝x2﹣6x+5绕坐标原点旋转180°后，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣6x﹣5 B．y＝﹣x2+6x+5 C．y＝x2+6x+5 D．y＝x2+6x﹣5
7．（2020 阳新县模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
1．（2021 西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2
2．（2020 昌图县校级一模）如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
3．（2021 眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
4.（2021 贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（　　）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
5．（2020 成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
6．（2020 大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
7．（2020 陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，则m，n的值为（　　）
A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3 C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3
8．（2019 淄博）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5
9．（2021 黔东南州）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10.（2021 广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）
A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
11．（2020 随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1．（2019 邵阳县模拟）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣2
2．（2018 北塔区模拟）抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2+1
3．（2021 诸暨市模拟）平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x经变换得到抛物线y＝x2﹣2x，则这个变换是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
4．（2021 日喀则市二模）将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位得到的抛物线是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2+3 D．y＝2（x+2）2﹣5
5．（2020 吴兴区校级三模）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
6．（2021 城固县二模）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线L1：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线L2，再将抛物线L2通过上下平移得到抛物线L3：y＝x2﹣2x+2，则抛物线L2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
7．（2021 陕西模拟）将抛物线C1：y＝x2+4x+3沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线C2．若抛物线C1的顶点为A，点B是抛物线C2与y轴的交点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021 陕西模拟）已知抛物线L1：y＝mx2﹣2mx+5（m≠0）的顶点为A，抛物线L2与抛物线L1关于点B（2，0）成中心对称．若抛物线L2经过点A，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C． D．
9．（2021 长沙模拟）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且它们分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，分别与两抛物线交于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，y2总是负数；
②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
10．（2021 越秀区校级模拟）抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）（x﹣3） B．y＝2（x﹣1）（x﹣3）
C．y＝2（x﹣1）（x+3） D．y＝﹣2（x﹣1）（x+3）
11．（2021 寻乌县模拟）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2020，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
12．（2020 滦州市模拟）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
13．（2021 平邑县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④

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