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考点十六 二次函数实际应用
【命题趋势】
在中考中，二次函数的实际应用是中考必考考点，常以解答题形式考查，往往会结合方程（组）与一次函数考查。
【中考考查重点】
二次函数的实际应用-运动类型
二次函数的实际应用-经济类型
二次函数的实际应用-面积类型
二次函数的实际应用-拱桥类型
考点一：运动类型
考向1 落地模型
1.（2021秋 松江区期末）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　 　米．
考向2 最值模型
2.（2021秋 信阳期中）烟花厂为建党成立100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
3.（2021秋 越秀区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 　 　米．
考点二：经济类型
4．（2021秋 克东县期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
5．（2021秋 郧西县期末）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
考点三： 面积类型
6．（2021秋 西湖区校级期中）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
考点三： 拱桥类型
7．（2021秋 建华区期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是 　 　．
8．（2021秋 绿园区期末）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为 　　 m．
9．（2021秋 营口期末）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
1．（2021秋 房山区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．小球运动的时间是 　　s时，小球最高；小球运动中的最大高度是 　 　m．
2．（2021秋 龙凤区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣0.5t2，飞机着陆后滑行 　 　m才能停下来．
3．（2021秋 黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
4．（2021秋 和平区期末）如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为 　 　，并直接写出x的取值范围是 　 　；
（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
5．（2021秋 龙江县校级期末）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
6．（2021秋 宽城区期末）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求w与x之间的函数关系式．
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
1．（2020 长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
2．（2021 黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t，则足球距地面的最大高度是 　 　m．
3．（2020 日照）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
4．（2020 呼伦贝尔）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？
（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
5．（2021 贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
1．（2021 晋中模拟）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
2．（2021 温州模拟）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
3．（2021秋 岳池县期末）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为 　 　m．
（2021秋 朝阳区期末）一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩
为 　　米．
5．（2021 连云港模拟）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是　 　秒．
6．（2021 金堂县模拟）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m的门，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；
（2）若4＜x＜7，则S的最大值是多少？请说明理由．
7．（2021 盐城二模）疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如表所示：
进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日）
A型 400 600 200
B型 800 1200 400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．
8．（2021 即墨区一模）即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
9．（2021 路南区一模）某园林专业户计划投资种植树木及花卉，根据市场调查与预测，图1是种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，图2是种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系．（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别根据投资种植树木及花卉的图象l1、l2，求利润y关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户共投入10万元资金种树木和花卉，其中投入x（x＞0）万元种植花卉，那么他至少获得多少利润？
（3）在（2）的基础上要保证获利在20万元以上，该园林专业户应怎样投资？考点十六 二次函数实际应用
【命题趋势】
在中考中，二次函数的实际应用是中考必考考点，常以解答题形式考查，往往会结合方程（组）与一次函数考查。
【中考考查重点】
二次函数的实际应用-运动类型
二次函数的实际应用-经济类型
二次函数的实际应用-面积类型
二次函数的实际应用-拱桥类型
考点一：运动类型
考向1 落地模型
1.（2021秋 松江区期末）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　 　米．
【答案】3
【解答】解：由题意可得：
y＝﹣
＝﹣（x2﹣8x）+
＝﹣（x﹣4）2+3，
故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．
故答案为：3．
考向2 最值模型
2.（2021秋 信阳期中）烟花厂为建党成立100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【答案】D
【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t＝﹣＝﹣＝6，
∴从点火升空到引爆需要的时间为6s，
故选：D．
3.（2021秋 越秀区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 　 　米．
【答案】15
【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣（t﹣20）2+600，
﹣＜0，抛物线开口向下，
∴当t＝20时，s有最大值，此时s＝600，
∴飞机从落地到停下来共需20秒，
飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝585（米），
∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣585＝15（米），
故答案为：15．
考点二：经济类型
4．（2021秋 克东县期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
【答案】（1） 20% （2）涨价5元 （3）涨价7.5元，6125元
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元；
（3）设商场每天的盈利为y元，由（2）可知：
y＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000，
∵﹣20＜0，
∴当x＝﹣＝7.5时，y取最大值，
∴当x＝7.5时，y最大值＝（10+7.5）×（500﹣20×7.5）＝6125（元），
答：应涨价7.5元，每天的盈利达到最大值，为6125元．
5．（2021秋 郧西县期末）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
【答案】（1） y1＝0.6x ，y2＝﹣0.2x2+2.2x（2） 2≤t≤6
【解答】解：（1）由题意得：5k＝3，
解得k＝0.6，
∴y1＝0.6x；
由，
解得：，
∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；
（2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
当t＝4时，W有最大值9.2，
答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元；
②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
∴t1＝2，t2＝6，
∵a＝﹣2＜0，
∴当2≤t≤6时，W≥8.4，
答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适．
考点三： 面积类型
6．（2021秋 西湖区校级期中）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
【答案】（1）y＝﹣x2+30x（4≤x≤8） （2） x取8m时，最大面积是176m2
（3）x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元
【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××
＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）
＝200﹣200+30x﹣x2
＝﹣x2+30x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；
（3）设布置场地所用费用为w元，
则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]
＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x
＝﹣2x2+60x+1600，
令w＝1850，
﹣2x2+60x+1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．
考点三： 拱桥类型
7．（2021秋 建华区期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是 　 　．
【答案】
【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（﹣2，﹣3）点，
故﹣3＝4a，
a＝﹣，
故y＝﹣x2，
故答案为．
8．（2021秋 绿园区期末）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为 　　m．
【答案】4
【解答】解：∵水面的宽度AB为16米
∴B的横坐标为8，
把x＝8代入y＝﹣x2，
得y＝﹣4，
∴B（8，﹣4），
∴OC＝4m．
水面离桥拱顶的高度OC为4m．
故答案为：4．
9．（2021秋 营口期末）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
【答案】（1） y＝﹣x2+2x （0≤x≤8） （2）不会碰到头
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4，
即y＝﹣x2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1，
∴将＝1代入y＝﹣x2+2x，
解得：y＝＝1.75
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
1．（2021秋 房山区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．小球运动的时间是 　　s时，小球最高；小球运动中的最大高度是 　 　m．
【答案】3，45．
【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，0≤t≤6，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45．
故答案为：3，45．
2．（2021秋 龙凤区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣0.5t2，飞机着陆后滑行 　 　m才能停下来．
【答案】200
【解答】解：s＝20t﹣0.5t2
＝﹣0.5（t﹣20）2+200
当t＝20时，s有最大值为200．
即飞机着陆后滑行200m才能停下来．
故答案为200．
3．（2021秋 黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
【答案】　y＝x2﹣100　
【解答】解：由题意可得：A（﹣250，0），P（0，﹣100），
设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，
则0＝62500a﹣100，
解得：a＝，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．
故答案为：y＝x2﹣100．
4．（2021秋 和平区期末）如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为 　 　，并直接写出x的取值范围是 　 　；
（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1） S＝﹣2x2+100x，30≤x＜50 （2）x为35m时，面积S为1050m2
（3）AB＝30m，BC＝40m时，面积S有最大值为1200m2
【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，
∴S＝x（100﹣2x）＝﹣2x2+100x，
∵0＜100﹣2x≤40，
∴30≤x＜50，
∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+100x，自变量x的取值范围是30≤x＜50，
故答案安为：S＝﹣2x2+100x，30≤x＜50；
（2）令S＝1050，则﹣2x2+100x＝1050，
解得：x1＝15，x2＝35，
∵30≤x＜50，
∴x＝35，
∴当x为35m时，面积S为1050m2；
（3）∵S＝﹣2（x2﹣50x+625﹣625）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＞25时，S随着x的增大而减小，
∵30≤x＜50，
∴当x＝30时，S有最大值为1200，
∴当AB＝30m，BC＝40m时，面积S有最大值为1200m2．
5．（2021秋 龙江县校级期末）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
【答案】(1) y＝﹣5x+550 （2）70元 （3）80元
【解答】解：（1）依题意得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）设每月总利润为w元，
依题意得w＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
6．（2021秋 宽城区期末）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求w与x之间的函数关系式．
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣2x+120 （2） w＝﹣2x2+160x﹣2400
（3）售价定为36元时，每天销售利润最大，最大利润是768元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）
＝﹣2x2+160x﹣2400，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）w＝﹣2x2+160x﹣2400
＝﹣2（x﹣40）2+800，
∵﹣2＜0，20≤x≤36＜40，
∴当x＝36时，w取得最大值，
w最大＝﹣2×（36﹣40）2+800＝768．
答：当每件商品的售价定为36元时，每天销售利润最大，最大利润是768元．
1．（2020 长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【答案】C
【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故选：C．
2．（2021 黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t，则足球距地面的最大高度是 　 　m．
【答案】7.2
【解答】解：∵h＝﹣5t2+12t，
a＝﹣5，b＝12，c＝0，
∴足球距地面的最大高度是：＝7.2m，
故答案为：7.2．
3．（2020 日照）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）AE＝3BE （2） （0＜x＜）
【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
（2）∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即，
∴．
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则，
∵，
∴BE＝10﹣x＞0，
解得x＜，
∴（0＜x＜）．
4．（2020 呼伦贝尔）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？
（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【答案】（1） y= ﹣10x2+1400x﹣40000 （2）8元 （3）70元时会获得最大利润9000
【解答】解：（1）由题意得：
y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，
w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；
（2）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80，
当x＝60时，成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求，舍去，
当x＝80时，成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求，
∴销售价应定为每件80元；
（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
又∵﹣10＜0．
当x＝70时，w取最大值9000，
故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．
5．（2021 贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x （0≤x≤8） （2）工人不会碰到头 （3）5≤m≤8
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4，
即y＝﹣x2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵打捞船距O点0.4m，打捞船宽1.2m，工人直立在打捞船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1，
∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x，
解得：y＝＝1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头；
（3）抛物线y＝﹣x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．
如图所示，
新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，
∵平移不改变图形形状和大小，
∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m，
∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
得m的取值范围是：
①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，
②8+m≤8，得m≤0，
由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．
1．（2021 晋中模拟）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
【答案】B
【解答】解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
2．（2021 温州模拟）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【答案】D
【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t＝﹣＝＝6（s），
故选：D．
3．（2021秋 岳池县期末）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为 　 　m．
【答案】20
【解答】解：由题意得，﹣4＝﹣x2，
解得x＝±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故答案为：20．
（2021秋 朝阳区期末）一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩
为 　　米．
【答案】12
【解答】解：设铅球出手点为点A，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
∵当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，
∴抛物线的对称轴为直线x＝5，
∴﹣＝﹣＝＝5，
则b＝，
又∵抛物线经过（0，），
∴c＝，
∴y＝﹣x2+x+，
当y＝0时，﹣x2+x+＝0，
整理得：x2﹣10x﹣24＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝12，
故答案安为：12．
5．（2021 连云港模拟）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是　 　秒．
【答案】
【解答】解：∵s＝﹣3t2+8t，
＝﹣3（t﹣）2+，
∴当t＝秒时，s取得最大值，即汽车停下来．
故答案为：．
6．（2021 金堂县模拟）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m的门，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；
（2）若4＜x＜7，则S的最大值是多少？请说明理由．
【答案】（1）S＝﹣3x2+26x（5≤x＜） （2）55m2
【解答】解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米，
则S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x，
∵BC＝26﹣3x≤11，3x＜24+2，
∴5≤x，
∴S＝﹣3x2+26x（5≤x＜）；
（2））解不等式组，
解得：5≤x＜7，
∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴x＞时，S随x的增大而减小，
∴x＝5时，
S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．
7．（2021 盐城二模）疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如表所示：
进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日）
A型 400 600 200
B型 800 1200 400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．
【答案】（1）y＝﹣10x2+800x+200000，（0≤x≤40且x为整数） （2）20≤x≤40
（3）a＝35
【解答】解：（1）由题意得，
y＝（600﹣400﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+800x+200000，（0≤x≤40且x为整数），
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x2+800x+200000，（0≤x≤40且x为整数）；
（2）∵y＝﹣10x2+800x+200000＝﹣10（x﹣40）2+216000，
∴当y＝212000时，﹣10（x﹣40）2+216000＝212000，
解得：x1＝20，x2＝60，
要使y≥212000，则20≤x≤60，
∵0≤x≤40，
∴20≤x≤40，
即x的取值范围是：20≤x≤40；
（3）设捐款后每天的利润为w元，则
w＝﹣10x2+800x+200000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（800+a）x+200000﹣400a，
对称轴为，
∵0＜a≤100，
∴，
∵抛物线开口向下，当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，w最大，
∴﹣10×402+40（800+a）+200000﹣400a＝203400，
解得，a＝35．
8．（2021 即墨区一模）即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
【答案】（1）（0≤x≤4） （2）消防车能正常进入 （3）650元
【解答】解：（1）由题意知，抛物线的顶点为（2，6），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6，
又∵抛物线经过点E（0，4），
∴4＝4a+6，
∴a＝，
∴抛物线的表达式为，
即（0≤x≤4）；
（2）由题意知，当消防车走最中间时，进入的可能性最大，
即当x＝时，＝4.875＞4.5，
∴消防车能正常进入；
（3）设B点的横坐标为m，AB+AD+CD的长度为L，
由题意知BC＝4﹣2m，即AD＝4﹣2m，CD＝AB＝，
∴L＝2×（）+（4﹣2m）＝﹣m2+2m+12，
∵0≤x≤4，
当m＝＝1时，L最大，L最大＝﹣12+2×1+12＝13，
∴费用为13×50＝650（元），
答：仅钢支架一项，最多需要花费650元．
9．（2021 路南区一模）某园林专业户计划投资种植树木及花卉，根据市场调查与预测，图1是种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，图2是种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系．（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别根据投资种植树木及花卉的图象l1、l2，求利润y关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户共投入10万元资金种树木和花卉，其中投入x（x＞0）万元种植花卉，那么他至少获得多少利润？
（3）在（2）的基础上要保证获利在20万元以上，该园林专业户应怎样投资？
【答案】（1） y＝x2（x≥0） （2） 18万元 （3）该园林专业户应投资花卉种植超过4万元
【解答】解：（1）设l1：y＝kx，∵函数y＝kx的图象过（1，2），
∴2＝k 1，k＝2，
故l1中y与x的函数关系式是y＝2x（x≥0），
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设l2：y＝ax2，
由图2，函数y＝ax2的图象过（2，2），
∴2＝a 22，解得：a＝，
故l2中y与x的函数关系式是：y＝x2（x≥0）；
（2）因为投入x万元（0＜x≤10）种植花卉，则投入（10﹣x）万元种植树木，
，
∵a＝＞0，0＜x≤10，
∴当x＝2时，w的最小值是18，
他至少获得18万元的利润．
（3）根据题意，当w＝20时，，
解得：x＝0（不合题意舍），x＝4，
∴至少获得20万元利润，则x＝4，
∵在2≤x≤10的范图内w随x的增大而增大，
∴w＞20，只需要x＞4，
所以保证获利在20万元以上，该园林专业户应投资花卉种植超过4万元．

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