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考点十八 线段、角、相交线与平行线
【命题趋势】
在中考中，直线与线段主要以选择题和填空题形式考查；角及角平分线主要在选择题中考查；平行线常与角度结合考查，以选择题和填空题形式为主。
【中考考查重点】
角的识别及余角、补角的计算
平行线的判定
平行线的性质求角度
命题
考点一：直线和线段
两个基本事实 线段的基本事实：两点确定一条直线 线段的基本事实：两点间线段最短
两点间的距离 连接两点间的线段的长度
线段的和与差 如图，在线段AC上取一点B，则有AC=AB+BC； AB=AC-BC; BC=AC-AB
线段的中点 如图，M是线段AB的中点，即有AM=BM=
1．（2021春 自贡期末）在墙上要钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子．能解释这一实际应用的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．直线比线段长
D．两条直线相交，只有一个交点
2．（2021春 拱墅区月考）在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（　　）个．
A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3
3．（2021春 白碱滩区期末）直线l外有一点P，直线l上有三点A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（　　）
A．不小于2cm B．大于2cm C．不大于2cm D．小于2cm
4．如图，线段AB＝12，点C是它的中点．则AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
度分秒的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″ 角的度分秒的进制是60
角的分类 按大小分：周角（360°）＞平角（180°）＞直角（90°）＞锐角
2.余角、补角、角平分线
余角 概念：如若两个角之和=90°，那么这两个角互为余角； 性质：同角（等角）的余角相等
补角 1.概念：如若两个角之和=180°，那么这两个角互为补角； 性质：同角（等角）的补角相等
角平分线 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上
5．（2021秋 洪山区期末）若一个角比它的余角大30°，则这个角等于（　　）
A．30° B．60° C．105° D．120°
6．（2021秋 盐池县期末）若∠α的补角是125°24′，则∠α的余角是（　　）
A．90° B．54°36′ C．36°24′ D．35°24′
7．（2021秋 龙江县期末）已知∠AOB＝100°，过点O作射线OC、OM，使∠AOC＝20°、OM是∠BOC的平分线，则∠BOM的度数为（　　）
A．60° B．60°或40° C．120°或80° D．40°
8．（2021秋 江汉区期末）如图，在观测站O发现客轮A、货轮B分别在它北偏西50°、西南方向，则∠AOB的度数是（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
9．（2021秋 锦江区校级期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠BOC＝20°，则∠AOD等于（　　）
A．160° B．140° C．130° D．110°
图示
对顶角 性质：对顶角相等 如图，∠1与∠3，∠与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8
邻补角 性质：邻补角之和等于180° 如图，∠1与∠4，∠2与∠3，∠5与∠8，∠6与∠7
同位角 如图。∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8
内错角 如图，∠2与∠8，∠3与∠5
同旁内角 如图，∠2与∠5，∠3与∠8
10．（2021秋 南岗区期末）下列四幅图中，∠1和∠2是对顶角的为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2021秋 临江市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOE的度数等于（　　）
A．145° B．135° C．35° D．120°
2.垂线
点到直线距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
垂线的性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
线段的垂直平分线 性质：垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 逆定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。
12．（2021秋 虎林市期末）如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是（　　）
A．垂线最短 B．过一点确定一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短 D．以上说法都不对
13．（2021 张家口一模）如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得AB＝5米，AC＝7米，则点A到DE的距离可能为（　　）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
考点4 平行线
平行公理及推论 1.公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线有平行 【提分要点】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
平行线的判定与性质
平行线之间的距离 概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离 性质： 夹在两条平行线间的平行线段处处相等 平行线间的距离处处相等
14．（2021秋 于洪区期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
15．（2021春 灵山县期末）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝140°，则∠2为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
16．（2021 江干区二模）如图，AB∥CD，AE交DF于点C，∠ECF＝134°，则∠A的度数是（　　）
A．54° B．46° C．45° D．44°
考点5 命题
真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题
假命题 如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
互逆命题 在两个命题中，如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题
17．（2019秋 兰考县期末）下列说法正确的是（　　）
A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
18．（2020春 威县期末）如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（　　）
A．等量代换
B．两直线平行，同位角相等
C．平行公理
D．平行于同一直线的两条直线平行
1．（2020春 肇东市期末）如图，从点A到点B有3条路，其中走ADB最近，其数学依据是（　　）
A．经过两点有且只有一条直线
B．两条直线相交只有一个交点
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．直线比曲线短
2．（2021春 广水市期末）如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点B到AD的距离是下列哪条线段的长度（　　）
A．AB B．BD C．AD D．BC
3．（2021秋 绿园区期末）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
4．（2021 杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（　　）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
5．（2021秋 朝阳区期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1＝　　°．
6．（2020秋 揭西县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，．则∠AOB等于（　　）
A．75° B．70° C．65° D．60°
7．（2021秋 朝阳区校级期末）如图，OE是北偏东30°40′方向的一条射线，将射线OE绕点O逆时针旋转80°20′得到射线OF，则OF的方位角是（　　）
A．北偏西50°40′ B．北偏西50°20′
C．北偏西49°40′ D．北偏西49°20′
8．（2021春 奉化区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'，C'的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
9．（2021 滨江区二模）将一块直尺与一块三角板如图2放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为（　　）
A．145° B．135° C．120° D．115°
10．（2021秋 虎林市期末）如图，请你添加一个条件使得AD∥BC，所添的条件是 　　 ．
1．（2021 兰州）若∠A＝40°，则∠A的补角为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．140°
2．（2021 包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
3．（2021 台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边
D．两点确定一条直线
4．（2020 十堰）如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若∠AOC＝130°，则∠BOD＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2020 自贡）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）
A．50° B．70° C．130° D．160°
6．（2019 广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　　cm．
7．（2021 兰州）将一副三角板如图摆放，则 　 　∥　 　，理由是 　　 ．
8．（2021 青海）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，∠1＝50°，则∠2的度数是 　　．
9．（2020 广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．180° B．360° C．270° D．540°
10．（2020春 嘉荫县期末）下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
1．（2021 吉林模拟）永定河，“北京的母亲河”．近年来，我区政府在永定河治理过程中，有时会将弯曲的河道改直，图中A、B两地间的河道改直后大大缩短了河道的长度．这一做法的主要依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
2．（2021 甘谷县一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　）
A．4 B．4.5 C．4.8 D．5
3．（2021 南浔区二模）已知∠α＝76°22′，则∠α的补角是（　　）
A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′
4．（2021 河北一模）如图，有三个小海岛A、B、C，其中海岛C到海岛A的距离为100海里，海岛B在海岛A北偏东70°的方向上，若海岛C在海岛B北偏西20°的方向上，且到海岛B的距离是50海里，则海岛C在海岛A（　　）
A．北偏东20°方向 B．北偏东30°方向
C．北偏东40°方向 D．北偏西30°方向
5．（2021 雁塔区校级模拟）如图∠AOC与∠COB互余，∠BOC＝15°，OC平分∠AOD，则∠BOD的度数是（　　）
A．75° B．60° C．65° D．55°
6．（2021 雁塔区校级模拟）如图，两块三角板的直角顶点O重合在一起，∠BOD＝35°，则∠AOC的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．（2021 许昌二模）如图，直线a与b相交，∠1+∠2＝240°，∠3＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．（2021 顺平县二模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD＝70°，则∠DOE的度数是（　　）
A．70° B．35° C．120° D．145°
9．（2021 范县模拟）如图，直线a、b被直线c所截．若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）时能判定a∥b．
A．35° B．45° C．125° D．145°
10．（2021 西丰县模拟）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD，交于点B，E，若∠F＝30°，∠CEF＝130°，则∠A的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
11．（2021 陕西模拟）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝24°，则∠EGF等于（　　）
A．24° B．78° C．66° D．56°
12．（2021 陕西模拟）如图，已知AB∥CD，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠AEF＝70°，则∠EFG的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
13．（2021 枣庄）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
14．（2020 天心区校级模拟）下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行
15．（2021 寻乌县模拟）下面推理正确的是（　　）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
16．（2021 邓州市一模）将一副直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，则∠ADF等于（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°考点十八 线段、角、相交线与平行线
【命题趋势】
在中考中，直线与线段主要以选择题和填空题形式考查；角及角平分线主要在选择题中考查；平行线常与角度结合考查，以选择题和填空题形式为主。
【中考考查重点】
角的识别及余角、补角的计算
平行线的判定
平行线的性质求角度
命题
考点一：直线和线段
两个基本事实 线段的基本事实：两点确定一条直线 线段的基本事实：两点间线段最短
两点间的距离 连接两点间的线段的长度
线段的和与差 如图，在线段AC上取一点B，则有AC=AB+BC； AB=AC-BC; BC=AC-AB
线段的中点 如图，M是线段AB的中点，即有AM=BM=
1．（2021春 自贡期末）在墙上要钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子．能解释这一实际应用的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．直线比线段长
D．两条直线相交，只有一个交点
【答案】B
【解答】解：在墙上固定一根木条，至少需要钉两颗钉子．能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线．
故选：B．
2．（2021春 拱墅区月考）在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（　　）个．
A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3
【答案】D
【解答】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：
①三条直线互相平行，有0个交点；
②一条直线与两平行线相交，有2个交点；
③三条直线都不平行，有1个或3个交点；
所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．
故选：D．
3．（2021春 白碱滩区期末）直线l外有一点P，直线l上有三点A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（　　）
A．不小于2cm B．大于2cm C．不大于2cm D．小于2cm
【答案】C
【解答】解：∵PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，
∴PB最短，
∵直线外一点与直线上点的连线中，垂线段最短，
∴P到直线l的距离不大于2cm，
故选：C．
4．如图，线段AB＝12，点C是它的中点．则AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：∵线段AB＝12，点C是它的中点，
∴AC＝AB＝6，
故选：C．
度分秒的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″ 角的度分秒的进制是60
角的分类 按大小分：周角（360°）＞平角（180°）＞直角（90°）＞锐角
2.余角、补角、角平分线
余角 概念：如若两个角之和=90°，那么这两个角互为余角； 性质：同角（等角）的余角相等
补角 1.概念：如若两个角之和=180°，那么这两个角互为补角； 性质：同角（等角）的补角相等
角平分线 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上
5．（2021秋 洪山区期末）若一个角比它的余角大30°，则这个角等于（　　）
A．30° B．60° C．105° D．120°
【答案】B
【解答】解：设这个角为x，
则x﹣（90°﹣x）＝30°，
解得x＝60°，
故选：B．
6．（2021秋 盐池县期末）若∠α的补角是125°24′，则∠α的余角是（　　）
A．90° B．54°36′ C．36°24′ D．35°24′
【答案】D
【解答】解：∵∠α的补角是125°24′，
∴∠α＝180°﹣125°24′＝54°36′，
∴∠α的余角是90°﹣54°36′＝35°24′，
故选：D．
7．（2021秋 龙江县期末）已知∠AOB＝100°，过点O作射线OC、OM，使∠AOC＝20°、OM是∠BOC的平分线，则∠BOM的度数为（　　）
A．60° B．60°或40° C．120°或80° D．40°
【答案】B
【解答】解：如图1，当OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB＝100°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝80°，
∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝40°；
如图2，当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝100°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝120°，
∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝60°；
综上所述：∠BOM的度数为40°或60°，
故选：B．
8．（2021秋 江汉区期末）如图，在观测站O发现客轮A、货轮B分别在它北偏西50°、西南方向，则∠AOB的度数是（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【答案】 B
【解答】解：由题意得：
∠AOB＝180°﹣（45°+50°）＝85°，
故选：B．
9．（2021秋 锦江区校级期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠BOC＝20°，则∠AOD等于（　　）
A．160° B．140° C．130° D．110°
【答案】A
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝20°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC＝90°+90°﹣20°＝160°．
故选：A．
图示
对顶角 性质：对顶角相等 如图，∠1与∠3，∠与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8
邻补角 性质：邻补角之和等于180° 如图，∠1与∠4，∠2与∠3，∠5与∠8，∠6与∠7
同位角 如图。∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8
内错角 如图，∠2与∠8，∠3与∠5
同旁内角 如图，∠2与∠5，∠3与∠8
10．（2021秋 南岗区期末）下列四幅图中，∠1和∠2是对顶角的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由对顶角的定义可知，
选项B中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
11．（2021秋 临江市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOE的度数等于（　　）
A．145° B．135° C．35° D．120°
【答案】A
【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，
∴∠EOA＝35°，
∴∠BOE＝180°﹣35°＝145°，
故选：A．
2.垂线
点到直线距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
垂线的性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
线段的垂直平分线 性质：垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 逆定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。
12．（2021秋 虎林市期末）如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是（　　）
A．垂线最短 B．过一点确定一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短 D．以上说法都不对
【答案】C
【解答】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故选：C
13．（2021 张家口一模）如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得AB＝5米，AC＝7米，则点A到DE的距离可能为（　　）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案]A
【解答】解：根据垂线段最短得，点A到DE的距离＜AB，
故选：A．
考点4 平行线
平行公理及推论 1.公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线有平行 【提分要点】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
平行线的判定与性质
平行线之间的距离 概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离 性质： 夹在两条平行线间的平行线段处处相等 平行线间的距离处处相等
14．（2021秋 于洪区期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
【答案】D
【解答】解：A、当∠1＝∠3时，有a∥b，故A不符合题意；
B、当∠2+∠3＝180°时，有a∥b，故B不符合题意；
C、当∠1＝∠4时，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b，故C不符合题意；
D、当∠1+∠4＝180°时，不能判定a∥b，故D符合题意．
故选：D．
15．（2021春 灵山县期末）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝140°，则∠2为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【解答】解：在图中标上各字母，如图所示．
∵CD∥EF，
∴∠1+∠DCF＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣140°＝40°．
∵2∠2+∠DCF＝180°，
∴∠2＝＝70°．
故选：C．
16．（2021 江干区二模）如图，AB∥CD，AE交DF于点C，∠ECF＝134°，则∠A的度数是（　　）
A．54° B．46° C．45° D．44°
【答案】B
【解答】解：∵∠ECD+∠ECF＝180°，∠ECF＝134°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ECF＝46°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ECD＝46°．
故选：B．
考点5 命题
真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题
假命题 如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
互逆命题 在两个命题中，如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题
17．（2019秋 兰考县期末）下列说法正确的是（　　）
A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误；
B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原题说法错误；
C、直线外一点与该直线上所有点的连线中垂线最短，故原题说法错误；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法正确；
故选：D．
18．（2020春 威县期末）如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（　　）
A．等量代换
B．两直线平行，同位角相等
C．平行公理
D．平行于同一直线的两条直线平行
【答案】D
【解答】解：∵a∥b，b∥c，a、c不重合，
∴a∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故选：D．
1．（2020春 肇东市期末）如图，从点A到点B有3条路，其中走ADB最近，其数学依据是（　　）
A．经过两点有且只有一条直线
B．两条直线相交只有一个交点
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．直线比曲线短
【答案】C
【解答】解：从点A到点B有3条路，其中走ADB最近，其数学依据是两点之间的所有连线中，线段最短．
故选：C．
2．（2021春 广水市期末）如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点B到AD的距离是下列哪条线段的长度（　　）
A．AB B．BD C．AD D．BC
【答案】B
【解答】解：点B到AD的距离是线段BD的长度．
故选：B．
3．（2021秋 绿园区期末）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【解答】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．
故选：D．
4．（2021 杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（　　）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
【答案】C
【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，
∴PT≥PQ，
故选：C．
5．（2021秋 朝阳区期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1＝　　°．
【答案】75
【解答】解：∵∠2＝135°﹣60°＝75°，
∴∠1＝∠2＝75°，
故答案为：75．
6．（2020秋 揭西县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，．则∠AOB等于（　　）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】D
【解答】解：设∠BOD为x°，则∠COD为3x°，
∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝2x°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠COB＝4x°，
∵∠BOD＝15°，
∴∠AOB＝4×15°＝60°．
故选：D．
7．（2021秋 朝阳区校级期末）如图，OE是北偏东30°40′方向的一条射线，将射线OE绕点O逆时针旋转80°20′得到射线OF，则OF的方位角是（　　）
A．北偏西50°40′ B．北偏西50°20′
C．北偏西49°40′ D．北偏西49°20′
【答案】C
【解答】解：由题意得：
80°20′﹣30°40′
＝79°80′﹣30°40′
＝49°40′，
故选：C．
8．（2021春 奉化区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'，C'的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【解答】解：由折叠可知，∠DEF＝∠D′EF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣∠DEF﹣∠EFB＝50°．
故选：A
9．（2021 滨江区二模）将一块直尺与一块三角板如图2放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为（　　）
A．145° B．135° C．120° D．115°
【答案】B
【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠3＝90°+∠1＝90°+45°＝135°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠3＝135°．
故选：B．
10．（2021秋 虎林市期末）如图，请你添加一个条件使得AD∥BC，所添的条件是 　　 ．
【答案】∠EAD＝∠B或∠CAD＝∠C或∠BAD+∠B＝180°
【解答】解：根据同位角相等，两条直线平行，可以添加∠EAD＝∠B；
根据内错角相等，两条直线平行，可以添加∠CAD＝∠C；
根据同旁内角互补，两条直线平行，可以添加∠BAD+∠B＝180°，
故答案为：∠EAD＝∠B或∠CAD＝∠C或∠BAD+∠B＝180°．
1．（2021 兰州）若∠A＝40°，则∠A的补角为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．140°
【答案】D
【解答】解：因为∠A＝40°，
所以∠A的补角为：180°﹣∠A＝140°．
故选：D．
2．（2021 包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【解答】解：根据题意分两种情况，
①如图1，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝＝；
②如图2，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝＝×6＝3．
∴线段AD的长为1或3．
故选：C．
3．（2021 台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边
D．两点确定一条直线
【答案】A
【解答】解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，
故选：A．
4．（2020 十堰）如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若∠AOC＝130°，则∠BOD＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝40°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝50°．
故选：C．
5．（2020 自贡）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）
A．50° B．70° C．130° D．160°
【答案】C
【解答】解：设这个角是x°，根据题意，得
x＝2（180﹣x）+30，
解得：x＝130．
即这个角的度数为130°．
故选：C．
6．（2019 广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　　cm．
【答案】5
【解答】解：∵PB⊥l，PB＝5cm，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，
故答案为：5．
7．（2021 兰州）将一副三角板如图摆放，则 　 　∥　 　，理由是 　　 ．
【答案】BC；ED；内错角相等，两直线平行
【解答】解：根据题意得出，∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ACB＝∠DEF，
∴BC∥ED．
故答案为：BC；ED；内错角相等，两直线平行．
8．（2021 青海）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，∠1＝50°，则∠2的度数是 　　．
【答案】40°
【解答】解：在△DEF中，∠1＝50°，∠DEF＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝40°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠D＝40°．
故答案为：40°．
9．（2020 广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．180° B．360° C．270° D．540°
【答案】B
【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故选：B．
10．（2020春 嘉荫县期末）下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
【答案】D
【解答】解：A、只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故A选项错误；
B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B选项错误；
C、相等的角不一定是对顶角，因为对顶角还有位置限制，故C选项错误；
D、由平行公理的推论知，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故D选项正确．
故选：D．
1．（2021 吉林模拟）永定河，“北京的母亲河”．近年来，我区政府在永定河治理过程中，有时会将弯曲的河道改直，图中A、B两地间的河道改直后大大缩短了河道的长度．这一做法的主要依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
【答案】D
【解答】解：把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度就发生了变化，
这一做法的主要依据是：两点之间线段最短．
故选：D．
2．（2021 甘谷县一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　）
A．4 B．4.5 C．4.8 D．5
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：AB PC＝AC BC，
∴PC＝．
故选：C．
3．（2021 南浔区二模）已知∠α＝76°22′，则∠α的补角是（　　）
A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′
【答案】A
【解答】解：180°﹣76°22′＝103°38′，
故选：A．
4．（2021 河北一模）如图，有三个小海岛A、B、C，其中海岛C到海岛A的距离为100海里，海岛B在海岛A北偏东70°的方向上，若海岛C在海岛B北偏西20°的方向上，且到海岛B的距离是50海里，则海岛C在海岛A（　　）
A．北偏东20°方向 B．北偏东30°方向
C．北偏东40°方向 D．北偏西30°方向
【答案】C
【解答】解：如图，
由题意可得，∠FAB＝70°，∠CBE＝20°，
∵AF∥DE，
∴∠ABD＝∠FAB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣20°＝90°，
∵AC＝100，BC＝50，
∴∠BAC＝30°，
∴∠FAC＝70°﹣30°＝40°．
故选：C．
5．（2021 雁塔区校级模拟）如图∠AOC与∠COB互余，∠BOC＝15°，OC平分∠AOD，则∠BOD的度数是（　　）
A．75° B．60° C．65° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOC与∠COB互余，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BOC＝15°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣15°＝75°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOC＝2×75°＝150°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝150°﹣90°＝60°．
故选：B．
6．（2021 雁塔区校级模拟）如图，两块三角板的直角顶点O重合在一起，∠BOD＝35°，则∠AOC的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【解答】解：∵两块三角板的直角顶点O重合在一起，
∴∠BOD和∠AOC是同角的余角，
∵∠BOD＝35°，
∴∠AOC＝35°．
故选：A．
7．（2021 许昌二模）如图，直线a与b相交，∠1+∠2＝240°，∠3＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝240°，
∴∠1＝∠2＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°．
故选：C．
8．（2021 顺平县二模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD＝70°，则∠DOE的度数是（　　）
A．70° B．35° C．120° D．145°
【答案】D
【解答】解：∵∠BOD＝70°，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝70°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝×70°＝35°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝180°﹣35°＝145°．
故选：D．
9．（2021 范县模拟）如图，直线a、b被直线c所截．若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）时能判定a∥b．
A．35° B．45° C．125° D．145°
【答案】C
【解答】解：如图，∵∠2＝125°，∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝55°，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b，
故选：C．
10．（2021 西丰县模拟）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD，交于点B，E，若∠F＝30°，∠CEF＝130°，则∠A的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝130°，
∴∠ABF＝50°，
∵∠A+∠E＝∠ABF，∠E＝30°，
∴∠A＝20°．
故选：A．
11．（2021 陕西模拟）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝24°，则∠EGF等于（　　）
A．24° B．78° C．66° D．56°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣24°＝156°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝78°；
∴∠EGF＝∠BEG＝78°（两直线平行，内错角相等）．
故选：B．
12．（2021 陕西模拟）如图，已知AB∥CD，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠AEF＝70°，则∠EFG的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，∠AEF＝70°，
∴∠EFD＝∠AEF＝70°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠EFG＝×70°＝35°．
故选：B．
13．（2021 枣庄）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】A
【解答】解：由题意知DE∥AF，
∴∠AFD＝∠CDE＝40°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝40°﹣30°＝10°，
故选：A．
14．（2020 天心区校级模拟）下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行
【答案】D
【解答】解：A、对顶角相等，正确；
B、两点之间所有连线中，线段最短，正确；
C、等角的补角相等，正确；
D、过直线外一点P，都能画一条直线与已知直线平行，错误；
故选：D．
15．（2021 寻乌县模拟）下面推理正确的是（　　）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
【答案】C
【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；
B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行．
故选：C．
16．（2021 邓州市一模）将一副直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，则∠ADF等于（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】B
【解答】解：如图所示，CB与FD交点为G，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠BGD＝45°，
又∵∠ADG是△BDG的外角，∠B＝30°，
∴∠ADG＝∠B+∠BGD＝30°+45°＝75°，
故选：B．

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