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考点二十五 平行四边形与多变形
【命题趋势】
在中考中，平行四边形主要在选择题，填空题和简单的解答题考查为主，并结合相似，锐角三角函数结合考查；多变形主要在选择特和填空题考查为主。
【中考考查重点】
平行四边形的性质及判定
二、多边形及其性质
考点一：平行四边形
一、平行四边形的性质
1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
平行四边形的判定
与边有关的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
1．（2017春 成都期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝5，∠DAB的角平分线AE交DC于点E，则EC的值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2021春 沈北新区期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中不一定成立的是（　　）
A．AB∥CD B．OA＝OC
C．∠ABC+∠BCD＝180° D．AB＝BC
3．（2021春 株洲期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A（在原点O）、B、D的坐标分别如图所示，则点C的坐标为（　　）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
4．（2019春 西湖区校级期中）如图， ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　）
A．30 cm B．60cm C．40cm D．20 cm
5．（2020春 蚌埠期末）如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5cm，BC＝3cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定
6．（2019春 西湖区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（　　）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD
7．（2021秋 开福区校级期末）如图， ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，OE＝2，则AD是 　　．
8．（2021秋 朝阳区期末）如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝　　．
9．（2020春 新蔡县期末）如图所示，已知点E，F在 ABCD的对角线BD上，且BE＝DF，求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）AE∥CF．
考点二：多边形性质
有关公式：
①n边形的内角和等于（n-2）x180°
②过n边形一个顶点有（n-3）条对角线；
③n边形共有n×（n-3）÷2=对角线；
④n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形
⑤任意凸形多边形的外角和都等于360°
⑥ n边形截去一个角后得到n-1、n、n+1边形．
2、正多边形
正n边形的一个外角为：360°÷n
10．（2021春 闵行区期中）如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．（2021春 雁塔区校级期末）若一个正多边形的一个内角为144°，则此多边形是（　　）边形．
A．7 B．8 C．9 D．10
12．（2021 济宁）如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（　　）
A．72° B．45° C．36° D．35°
13．（2021 五华区一模）如图，小明从点A出发，沿直线前进8米后向左转60°，再沿直线前进8米，又向左转60°，…，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，走过的总路程为（　　）
A．48米 B．80米 C．96米 D．无限长
14．（2021春 吴兴区期末）把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了180°，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2021春 西安期末）如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝215°，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．140° B．180° C．215° D．220°
16．（2021春 玄武区校级月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（　　）
A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12
1．（2021 平谷区二模）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
2．（2021 顺义区一模）若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）米．
A．60 B．72 C．48 D．36
4．（2021春 薛城区期末）如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝230°，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．140° B．180° C．230° D．320°
5．（2021 徐汇区二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　）
A．180° B．270° C．360° D．540°
6．（2021 昆明模拟）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
7．（2021春 泉州期末）如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（　　）
A．360° B．290° C．270° D．250°
8．（2021春 会宁县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠A等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，聪明的李叔叔通过量得∠BCD的度数就断定这个零件是否合格，那么∠BCD＝　 　时这个零件合格．
9．（2021秋 肇源县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
1．（2020 衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
2．（2021 河北）如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（　　）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
3．（2021 株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（　　）
A．38° B．48° C．58° D．66°
4．（2021 宜宾）下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
5．（2021 荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
6．（2021 天津）如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　）
A．（﹣4，1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
7．（2020 陕西）如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是 ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A． B． C．3 D．2
8．（2021 北京）下列多边形中，内角和最大的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021 连云港）正五边形的内角和是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
10．（2021 株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝（　　）
A．10° B．12° C．14° D．15°
11．（2021 铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
12．（2021 湘潭）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝　 　．
13．（2021 湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是 　　度．
14．（2021 怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．
15．（2021 北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．
1．（2022 大渡口区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠ADC＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．80°
2．（2021秋 龙口市期末）如图， ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线BD的长为（　　）
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
3．（2021 漳州模拟）正九边形的一个内角大小为（　　）
A．135° B．140° C．144° D．150°
4．（2021 陕西模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（　　）
A．12 B．20 C．24 D．30
5．（2021 五华区校级模拟）若正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形的内角和的度数为（　　）
A．1440° B．1620° C．1800° D．1980°
6．（2022 绿园区校级一模）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
7．（2021 玉林模拟）如图，在 ABCD中，点E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，四边形AFCE是矩形，求DE的长．考点二十五 平行四边形与多变形
【命题趋势】
在中考中，平行四边形主要在选择题，填空题和简单的解答题考查为主，并结合相似，锐角三角函数结合考查；多变形主要在选择特和填空题考查为主。
【中考考查重点】
平行四边形的性质及判定
二、多边形及其性质
考点一：平行四边形
一、平行四边形的性质
1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
平行四边形的判定
与边有关的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
1．（2017春 成都期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝5，∠DAB的角平分线AE交DC于点E，则EC的值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，DC∥AB，AD＝BC＝5，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝5，
∴EC＝CD﹣DE＝8﹣5＝3．
故选：D．
2．（2021春 沈北新区期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中不一定成立的是（　　）
A．AB∥CD B．OA＝OC
C．∠ABC+∠BCD＝180° D．AB＝BC
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC+∠BCD＝180°，
故A、B、C都成立，只有D不一定成立，
故选：D
3．（2021春 株洲期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A（在原点O）、B、D的坐标分别如图所示，则点C的坐标为（　　）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
【答案】C
【解答】解：在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD，AB＝6，
∴CD＝6，
∵D点的横坐标为1，
∴C点的横坐标为1+6＝7，
∵AB∥CD，
∴D点和C点的纵坐标相等为3，
∴C点的坐标为（7，3）．
故选：C．
4．（2019春 西湖区校级期中）如图， ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　）
A．30 cm B．60cm C．40cm D．20 cm
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
又∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝DE，
∴AE+ED＝AE+BE，
∵ ABCD的周长为60cm，
∴AB+AD＝30cm，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD＝30cm，
故选：A．
5．（2020春 蚌埠期末）如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5cm，BC＝3cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵AC⊥b，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm），
∴平行线a、b之间的距离是：AC＝4cm．
故选：B．
6．（2019春 西湖区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（　　）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD
【答案】D
【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠B+C＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；
故选：D．
7．（2021秋 开福区校级期末）如图， ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，OE＝2，则AD是 　　．
【答案】4
【解答】解：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∴OE是△ACD的中位线，
∵OE＝2，
∴AD＝2OE＝2×2＝4．
故答案为：4．
8．（2021秋 朝阳区期末）如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝　　．
【答案】1
【解答】解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴AF＝AB＝3，BE＝EF，
∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
∵BD＝DC，BE＝EF，
∴DE＝FC＝1，
故答案为：1．
9．（2020春 新蔡县期末）如图所示，已知点E，F在 ABCD的对角线BD上，且BE＝DF，求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）AE∥CF．
【答案】（1）略 （2）略
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∴∠AED＝∠BFC，
∴AE∥CF．
考点二：多边形性质
有关公式：
①n边形的内角和等于（n-2）x180°
②过n边形一个顶点有（n-3）条对角线；
③n边形共有n×（n-3）÷2=对角线；
④n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形
⑤任意凸形多边形的外角和都等于360°
⑥ n边形截去一个角后得到n-1、n、n+1边形．
2、正多边形
正n边形的一个外角为：360°÷n
10．（2021春 闵行区期中）如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）180°＝900°，
解得n＝7，
故选：B．
11．（2021春 雁塔区校级期末）若一个正多边形的一个内角为144°，则此多边形是（　　）边形．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
∴（n﹣2）×180°＝144°×n，
∴n＝10．
故选：D．
12．（2021 济宁）如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（　　）
A．72° B．45° C．36° D．35°
【答案】C
【解答】解：根据正多边形内角和公式可得，
正五边形ABCDE的内角和＝180°×（5﹣2）＝540°，
则∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，
根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，
∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，
故选：C．
13．（2021 五华区一模）如图，小明从点A出发，沿直线前进8米后向左转60°，再沿直线前进8米，又向左转60°，…，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，走过的总路程为（　　）
A．48米 B．80米 C．96米 D．无限长
【答案】A
【解答】解：360°÷60°＝6，
8×6＝48（米），
故选：A．
14．（2021春 吴兴区期末）把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了180°，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：多边形的边数增加1，它的内角和增加180度，
180°÷180°＝1，
∴x＝1，
故选：A
15．（2021春 西安期末）如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝215°，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．140° B．180° C．215° D．220°
【答案】C
【解答】解：五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∵∠A+∠B＝215°，
∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣215°＝325°，
又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3＝180°×3＝540°，
∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣325°＝215°．
故选：C．
16．（2021春 玄武区校级月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（　　）
A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12
【答案】D
【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝1620°，
解得n＝11，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原来多边形的边数是10或11或12．
故选：D．
17．（2021春 溧阳市期末）若多边形的每个内角都相等，且它的每一个外角是它的邻补角的，则该多边形是（　　）
A．十边形 B．十二边形 C．十五边形 D．十六边形
【答案】B
【解答】解：设这个多边形的一个内角为x，则外角为x，
根据题意得：x+x＝180°，
解得：x＝150°，
x＝30°，
360°÷30°＝12，
故选：B．
1．（2021 平谷区二模）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】B
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°＝720°，
解得：n＝6，
故这个多边形是六边形．
故选：B．
2．（2021 顺义区一模）若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】解：∵360÷40＝9，
∴这个多边形的边数是9．
故选：C．
3．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）米．
A．60 B．72 C．48 D．36
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，
所以一共走了8×6＝48（米）．
故选：C．
4．（2021春 薛城区期末）如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝230°，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．140° B．180° C．230° D．320°
【答案】C
【解答】解：∵五边形ABCDE，∠A+∠B＝230°，
∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣230°＝310°，
又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3＝540°，
∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣310°＝230°．
故选：C．
5．（2021 徐汇区二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】B
【解答】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2） 180°＝180°，
若边数不变，则内角和＝（4﹣2） 180°＝360°，
若边数增加1，则内角和＝（5﹣2） 180°＝540°，
所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°．
故选：B．
6．（2021 昆明模拟）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【答案】A
【解答】解：如图，
∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，
∴六边形花环为正六边形，
∴∠ABD＝＝120°，
而∠CBD＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°．
故选：A．
7．（2021春 泉州期末）如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（　　）
A．360° B．290° C．270° D．250°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝110°，
∴∠A的外角为180°﹣110°＝70°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣70°＝290°，
故选：B．
8．（2021春 会宁县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠A等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，聪明的李叔叔通过量得∠BCD的度数就断定这个零件是否合格，那么∠BCD＝　 　时这个零件合格．
【答案】140°
【解答】解：延长DC交AB于E，
∠BCD＝∠B+∠CEB
＝∠B+∠D+∠A
＝20°+30°+90°
＝140°，
故答案为：140°．
9．（2021秋 肇源县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
【答案】（1） 略 （2）28（cm）．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
1．（2020 衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】C
【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：C．
2．（2021 河北）如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（　　）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
【答案】A
【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；
故选：A．
3．（2021 株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（　　）
A．38° B．48° C．58° D．66°
【答案】B
【解答】解：∵∠DCE＝132°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣132°＝48°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠DCB＝48°，
故选：B．
4．（2021 宜宾）下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
【答案】D
【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形而是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；
B、平行四边形的邻边不等，对边相等，故原命题错误，不符合题意；
C、平行四边形对角线互相平分，错误，故本选项不符合题意；
D、平行四边形对角线互相平分，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（2021 荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【解答】解：延长EH交AB于N，
∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°，
∴∠NHB＝∠FHE＝45°，
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2+∠HNB＝180°，
∴∠2＝75°，
故选：C．
6．（2021 天津）如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　）
A．（﹣4，1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
【答案】C
【解答】解：∵B，C的坐标分别是（﹣2，﹣2），（2，﹣2），
∴BC＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，
∵点A的坐标为（0，1），
∴点D的坐标为（4，1），
故选：C．
7．（2020 陕西）如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是 ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：如图，延长BF交CD的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AB∥CD，
∴∠H＝∠ABF，
∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∵E是边BC的中点，
∴EF是△BCH的中位线，
∴BF＝FH，
∵∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF，
∴CF是BH的中垂线，
∴BC＝CH＝8，
∴DH＝CH﹣CD＝3，
在△ABF和△GHF中，
，
∴△ABF≌△GFH（ASA），
∴AB＝GH＝5，
∴DG＝GH﹣DH＝2，
故选：D．
8．（2021 北京）下列多边形中，内角和最大的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A．三角形的内角和为180°；
B．四边形的内角和为360°；
C．五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°；
D．六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；
故选：D．
9．（2021 连云港）正五边形的内角和是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】B
【解答】解：正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，
故选：B．
10．（2021 株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝（　　）
A．10° B．12° C．14° D．15°
【答案】B
【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠FAB＝120°，∠IAB＝108°，
∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°，
故选：B．
11．（2021 铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C
12．（2021 湘潭）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝　 　．
【答案】5
【解答】解：在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC的中点，
∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝5．
故答案为：5．
13．（2021 湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是 　　度．
【答案】36
【解答】解：如图，
∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，
∴∠GFN＝∠FNM＝＝108°，
∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，
∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案为：36．
14．（2021 怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．
【证明】（1）证明 （2）证明
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，
∴ED∥BF．
15．（2021 北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．
【答案】（1） 略 （2）AD＝EC＝3
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵cosB＝＝，BE＝5，
∴BF＝BE＝×5＝4，
∴EF＝＝＝3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3．
1．（2022 大渡口区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠ADC＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED＝30°，
∴∠ADC＝2×30°＝60°，
故选：C．
2．（2021秋 龙口市期末）如图， ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线BD的长为（　　）
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
【答案】D
【解答】解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝OC＝2cm，BC＝AD＝5cm，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝90°，
∴AB＝＝＝3（cm），
在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO＝＝＝（cm），
∴BD＝2BO＝2（cm），
故选：D．
3．（2021 漳州模拟）正九边形的一个内角大小为（　　）
A．135° B．140° C．144° D．150°
【答案】B
【解答】解：正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝＝140°，
故选：B．
4．（2021 陕西模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（　　）
A．12 B．20 C．24 D．30
【答案】B
【解答】解：延长DM交AC于E，
∵AM平分∠CAD，AM⊥DM，
∠DAM＝∠EAM，∠AMD＝∠AME＝90°，
在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（ASA），
∴DM＝EM，AE＝AD＝12，
∴M点是DE的中点，
∵N是CD的中点，
∴MN是△CDE的中位线，
∵MN＝2，
∴CE＝2MN＝4，
∴AC＝AE+CE＝12+4＝16，
在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，AC⊥BC，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∴AB＝CD＝，
故选：B．
5．（2021 五华区校级模拟）若正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形的内角和的度数为（　　）
A．1440° B．1620° C．1800° D．1980°
【答案】A
【解答】解：正多边形的边数为：360°÷36°＝10，
则这个多边形是正十边形，
所以，该多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故选：A．
6．（2022 绿园区校级一模）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
【答案】（1） 略 （2）AD＝9．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO，（ASA）
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，OE＝3.5，
∴EF＝2OE＝7，
又∵EF⊥AD，
∴S ABCD＝AD×EF＝63，
∴AD＝9．
7．（2021 玉林模拟）如图，在 ABCD中，点E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，四边形AFCE是矩形，求DE的长．
【答案】（1）略 （2）2﹣4
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8，
连接AC交EF于O，
∴DO＝BD＝4，
∴AO＝＝＝2，
∵四边形AFCE是矩形，
∴AC＝EF，AO＝AC，EO＝EF，
∴AO＝EO＝2，
∴DE＝EO﹣DO＝2﹣4．

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