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3.3.1 抛物线及其标准方程
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)
A.(2，0) B.(－2，0) C.(4，0) D.(－4，0)
3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)
A．－2 B．2 C．－4 D．4
4.顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)
A.x2＝±3y B.y2＝±6x C.x2＝±12y D.x2＝±6y
5．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－ B．－1 C．－ D．－
6.若抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________.
7.若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程是________.
8.如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
能 力 练
综合应用 核心素养
9．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．4
10.如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)(　　)
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
11.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
12.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B.1 C. D.
13.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)
A.4 B.2 C.1 D.8
14．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
15.以椭圆＋y2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______________.
16.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________.
17.如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，准线为l，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.
18.已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程.
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
【参考答案】
1. B　[当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B.]
2. B 解析　∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2，0).
3. D　[y2＝2px的焦点为，而椭圆的右焦点为(2,0)，由＝2得p＝4.故选D.]
4. C 解析　∵顶点与焦点的距离等于3，∴2p＝12，又∵对称轴是y轴，∴抛物线的方程为x2＝±12y.
5. C　[抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝＝－.]
6.　 解析　方程化为y2＝－x，抛物线开口向左，2p＝，＝，故焦点坐标为
7. 2　x＝－1解析　由y2＝2px得焦点坐标为，∴＝1 p＝2，准线方程x＝－1.
8. [解]　(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则MN的方程为y＝－x＋2.解方程组得所以N.
D　[如图，∵△FPM是等边三角形，∴由抛物线的定义知PM⊥l.在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∴S△PMF＝×42＝4.故选D.]
C　[依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2 km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.]
11. D 解析　方法一　设动点P的坐标为(x，y).则＝.
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线.
方法二　显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
12.C 解析　∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
C 解析　如图，F，过A作AA′⊥准线l，∴|AF|＝|AA′|，∴x0＝x0＋＝x0＋，∴x0＝1.
14. 6　[因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.
15.y2＝4x 解析　由＋y2＝1得，右焦点为(，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
16.　y2＝12x 解析　设动点M(x，y)，设圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3的距离相等，且点A不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6.∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
17.解　如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，
抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题.
将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部.
设抛物线上动点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2，2).
18.(1)解　由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)证明　抛物线C的焦点为F(0，－1).设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).
由得x2＋4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝x.
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－，同理得B的横坐标xB＝－.
设点D(0，n)，则＝，＝，
·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.
令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3).

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